Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).
Phương pháp:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số;
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) ;

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số;
B5: Kết luận.

B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 , ( tìm các giá trị xj mà
f’(xj) không tồn tại).
Bài tập mẫu 1: Xét chiều biến thiên của hàm số sau:
1
y = x3 − 2 x 2 + 3 x + 1 .
3
Giải:
B1: Tập xác định D = R;
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
B3: Giải phương trình
'
2
f ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1; x = 3 ;

B4: Bảng biến thiên

Bài tập mẫu 2: Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

1 3
2
y = x − 3x + 5 x + 2 .
3
Giải:
B1: Tập xác định D = ……
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = ................

B4: Bảng biến thiên
……………………………………………………………
………................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
.
……………………………………………………………
……………………………………….………………..
B5: Kết luận:
……………………………………………………………
……………………………………………………………

B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ ................. …………
…………………………………………………………

B5: Kết luận: Hàm số tăng trên các khoảng
(−∞;1);(3; +∞) ; hàm số giảm trên khoảng (1;3) .

Bài tập mẫu 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch
biến của hàm số sau: y = 3x2 – 8x3
Bài tập rèn luyện: Xét sự biến thiên của các hàm số:
1. y = 1 + 4x –x2

2. y = 2x2 -3x -13. y =

x2 − x + 2
5. y =
2− x

x 2 − 3x + 2
6. y =
2x2 + x −1
4 5
3
10. y = x − x + 8
5

9. y = 25 − x 2

1 3
x − 3x 2 + 8 x − 2
3

4. y =

7. y = − x + 2 x 2 + 4
11. y =

1 7
x − x6 + x5 + 1
7

x−2
x+2
8. y = x4 + 8x2 + 5
12. y =

x2 + 2x + 3 .

Dạng 2: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến ( hay nghịch biến) trên khoảng I.
Loại 1: Xác định m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) đồng biến (hay nghịch biến) trên R.
Phương pháp:
B1: Tính đạo hàm f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c ;
a > 0
a < 0
B2: Hàm số đồng biến trên R ⇔ f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
; (hàm số nghịch biến trên R ⇔ 
).
∆ ≤ 0
∆ ≤ 0
Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số
a > 0
⇔
B2:
Hàm
số
đồng
biến
trên
R
1 3
y = x − x 2 + (m − 1) x + 2 đồng biến trên R.

∆ ≤ 0
3
1 > 0(true)
⇔
⇔ 4 − 4(m − 1) ≤ 0 ⇔ 4 − 4m + 4 ≤ 0
Giải:
B1: f ' ( x ) = x 2 − 2 x + m − 1
 4 − 4( m − 1) ≤ 0
⇔ 8 − 4m ≤ 0 ⇔ 8 ≤ 4 m ⇔ 2 ≤ m

Năm học 2016 – 2017

Tr 1


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số
1
y = (m − 1) x 3 − (m − 1) x 2 − x + 2 nghịch biến trên R.
3
Giải:
B1: f ' ( x ) = ......... ……………………..

B2: Hàm số nghịch biến trên R ⇔ f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡
⇔ ……...........................
……………………………………………………………

……………………………………………………………

Bài tập rèn luyện:
1. Tìm m sao cho hàm số y = 1. Cho hàm số y =

1 3
x + 2x2 + (2m + 1)x - 3m + 2 nghịch biến trên tập xác định.
3

1
(m + 3) x 3 − 2 x 2 + mx .
3

a. Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R;

b. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên R.

1
3

3
2
2. Tìm m sao cho hàm số y = − mx + mx − x luôn nghịch biến trên R.

Loại 2: Xác định m để hàm số y =
khoảng mà nó xác định.

ax + b
ax 2 + bx + c
, y=

đồng biến (hay nghịch biến) trên từng
cx + d
dx + e

Phương pháp:

ax + b
ax 2 + bx + c
Đối với hàm y =
cx + d
dx + e
B1: Tập xác định D = R \ { − d / c} ;
B1: Tập xác định D = R \ { −e / d } ;
ad − bc
'
Ax 2 + Bx + C
B2: Tính đạo hàm f ( x) =
f ' ( x) =
B2:
Tính
đạo
hàm
có
dạng
;
2 ;
(cx + d )
(dx + e) 2
B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ad – bc > 0;
A > 0

( hàm số nghịch biến trên từng khoảng  ad – bc < 0). B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ⇔ 
;
∆ ≤ 0
A < 0
( hàm số nghịch biến trên từng khoảng ⇔ 
).
∆ ≤ 0
Giải:
mx + 2
Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số y =
đồng
B1: Tập xác định D = R \ { −1} ;
x +1
biến trên từng khoảng mà nó xác định.
m−2
'
B2: Tính đạo hàm f ( x ) =
;
( x + 1) 2
B3: Hàm số đồng biến trên từng khoảng
 m – 2 > 0 m>2.
Giải:
mx + 4
Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số y =
nghịch
B1: Tập xác định D = ………
x+m
biến trên từng khoảng mà nó xác định.
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = ………….
Đối với hàm y =

Bài tập mẫu 3: Tìm m để hs y =

x2 + x + m
tăng trên
x−2

từng khoảng mà nó xác định.
Giải:
…………………………………………………………
……………………………………………………
Bài tập rèn luyện: Tìm m sao cho hàm số:

B3: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  …………
……………………………………………………………
……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

mx − 2
luôn nghịch biến trên từng khoảng mà nó xác định.
x+m−3
x 2 + m2 x + m − 2
2. y =
luôn tăng trên từng khoảng xác định của nó.
x +1
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. y =

Năm học 2016 – 2017

Tr 2


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x).
Phương pháp:
B1: Tìm tập xác định của hàm số;
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) ;

Giải tích

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số;
B5: Kết luận.

B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 , ( tìm các giá trị xj mà
f’(xj) không tồn tại).
Bài tập mẫu 1: Tìm cực trị của hàm số sau:
1
y = x3 − 2 x 2 + 3 x + 1 .
3
Giải:
B1: Tập xác định D = R ;
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
B3: Giải phương trình

'
2
f ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1; x = 3 ;

Bài tập mẫu 2: Tìm cực trị của hàm số sau:
1 3
2
y = x − 3x + 5 x + 2 .
3
Giải:
B1: Tập xác định D = ……
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = ................
B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ ................. …………
…………………………………………………………

B4: Bảng biến thiên
−∞
x
y’
+
y

1
0

-

3
0

+∞
+

f(1)
f(3)
B5: Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại f(1) = 7/3
1
( f (1) = .33 − 2.32 + 3.3 + 1 = 7 / 3 );
3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu f(3) = 1.
B4: Bảng biến thiên
……………………………………………………………
………................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
.
……………………………………………………………
…………………………………………………………
B5: Kết luận:……………………………………………..
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Bài tập mẫu 3: Tìm cực trị của của hàm số sau:
y = 3x2 – 8x3
Bài tập rèn luyện: Tìm cực trị của các hàm số cho ở chủ đề 1.
Dạng 2: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đạt cực đại (hay cực tiểu) tại điểm x = x 0.
Phương pháp 1:
B1: Tính đạo hàm f ' ( x ) ;
B2: Giải PT ẩn m: f ' ( x0 ) = 0 , tìm giá trị m;

B3: Thử lại xem giá trị m vừa tìm được có thoả mãn không và kết luận.
Bài tập mẫu 1: Tìm m để hàm số
B3: Thử lại: Thế m = 1 vao hàm số ban đầu ta có hs
1 3
1
y = x − x 2 + (m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
y = x 3 − x 2 + 2 . Ta có BBT của hàm số trên như sau:
3
3
'
2
Giải:
B1: f ( x ) = x − 2 x + m − 1
B2: Giải PT:
f ' ( x0 ) = 0 ⇔ f ' (2) = 0 ⇔ 22 − 2.2 + m − 1 = 0
⇔ m −1 = 0 ⇔ m = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Kết luận: m = 1.
.
Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số
B3: Thử lại: Thế m = ……… vào hàm số ban đầu ta có
1
y = mx 3 − (m − 1) x 2 + x + 2 đạt cực đại tại x = -1.
y=…………………… Ta có BBT của hàm số trên như
3
sau:
'
Giải:
B1: f ( x ) = .........
……………………………………………………………
B2: Giải PT:

……………………………………………………………
f ' ( x0 ) = 0 ⇔ f ' (−1) = 0 ⇔ …………………………… ……………………………………………………………
………………………………………………………… Kết luận:……………………………………………
Phương pháp 2:
B1: Tính đạo hàm f ' ( x ) , f '' ( x ) ;
Năm học 2016 – 2017

Tr 3


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

 f ' ( x0 ) = 0
 f ' ( x0 ) = 0
x
=
x
⇔
x
=
x
⇔
B2: Hàm số đạt cực đại tại
(I); (hàm số đạt cực tiểu tại
(II));



0
0
 f ''( x0 ) < 0
 f ''( x0 ) > 0
B3: Giải hệ BPT (I), (II) ẩn m, tìm giá trị m.
'
Bài tập mẫu 1: Tìm m để hs
 f ' (2) = 0
22 − 2.2 + m − 1 = 0
 f ( x0 ) = 0
⇔
⇔
⇔



1 3
y = x − x 2 + (m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
 f ''( x0 ) > 0
 f ''(2) > 0
2.2 − 2 > 0(true)
3
2
⇔ 2 − 2.2 + m − 1 = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1
Giải:
B1: f ' ( x ) = x 2 − 2 x + m − 1 ; f '' ( x ) = 2 x − 2 ;
B2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2:
Bài tập mẫu 2: Tìm m để hàm số
B2: Hàm số đạt cực đại tại x = -1
1 3

 f ' ( −1) = 0
y = mx − (m − 1) x 2 + x + 2 đạt cực đại tại x = -1.
⇔ ……..

3
f ''(−1) < 0

Giải:
B1: f ' ( x ) = ......... ……
……………………………………
f '' ( x ) = ……………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Bài tập rèn luyện:
1
1. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 5mx − 1 đạt cực đại tại x = 1.
3
2. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − 2 x 2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1 . (TN 2011)
3. Tìm m để hàm số y = x 4 − 3mx 2 + 1 đạt cực tiểu tại x = -2.
4. Tìm a, b để hàm số y = ax 3 + x 2 − 5 x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu f(1) = 2.
5. Tìm a, b để hàm số y = x 3 − 2 x 2 + ax + b đạt cực đại tại x = 1/3 và giá trị cực đại f(1/3) = -4.
Dạng 3: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d )
Phương pháp
Ví dụ:
* Đạo hàm y’ = 3ax 2 + 2bx + c .
Ví dụ: Định m để hàm số y = x 3 + (m − 1) x 2 + x − 2 có
* Hàm số có cực đại, cực tiểu  pt : y ' = 0 có 2 nghiệm cực đại, cực tiểu.
Giải
a ≠ 0

2
phân biệt 
Đạo hàm: y ' = 3x + 2(m − 1) x + 1

∆ y ' > 0

Để hàm số có cực đại và cực tiểu  pt : y ' = 0 có 2
nghiệm phân biệt ∆ ' = m 2 − 2m − 2 > 0

⇔ m < 1 − 3 or m > 1 + 3
Bài tập rèn luyện:

1 3
x + (m − 1) x 2 + (3m 2 − 4m + 1) x + m . Xác định m để :
3
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu;
(Đáp số: 0 < m < 1 )
b. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ .
(Đáp số: m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 )
3
2
2. Cho hàm số : y = (m + 2) x + 3x + mx − 5 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
3. Cho hàm số : y = mx 3 − 3 x 2 + (2m − 2) x − 2 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số : y = x 4 − 2(m − 1) x 2 + m . Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
1. Cho hàm số y =

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b].
Phương pháp:
B3: Tính các giá trị f(a); f(b) và f(xi);

B1: Hs liên tục trên [a;b]. Tính đạo hàm f ' ( x ) ;
B4: Kết luận: Giá trị nào lớn nhất trong các giá trị trên là
B2: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 trên khoảng (a ; b), giả gtln; giá trị nào nhỏ nhất là gtnn.
sử có các nghiệm x1, x2, …, xn;

Năm học 2016 – 2017

Tr 4


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Bài tập mẫu 1: Tìm gtln, gtnn của hàm số sau trên
1
đoạn [2; 5]: y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 .
3
Giải:
B1: Hs liên tục trên [2;5] và f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
B2: Giải phương trình
'
2
f ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1(l ); x = 3( n ) ;
B3: Tính các giá trị
Bài tập mẫu 2: Tìm gtln, gtnn của hàm số sau:
1 3
2
y = x − 3 x + 5 x + 2 trên đoạn [-1 ; 3].
3
Giải:

B1: Hs liên tục trên [-1;3] và đạo hàm f ' ( x ) = ................
B2: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ ................. …………
………………………………………………………….

Giải tích

1
5
f (2) = .23 − 2.22 + 3.2 + 1 =
3
3
1 3
23
f (5) = .5 − 2.52 + 3.5 + 1 =
3
3
1
f (3) = .33 − 2.32 + 3.3 + 1 = 1
3
B4: Kl: Gtln bằng 23/3 khi x = 5; gtnn bằng 1 khi x = 3.
B3: Tính các giá trị
f(-1) = …………………………………………………..
f(3) = ……………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
B4: Kết luận:……………………………………………..
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nếu có của hàm số y = f(x) trên miền D ( D là tập xác định hoặc

D là một khoảng hoặc D là một nửa khoảng).
Phương pháp:
B1: Xác định D;
B4: Lập BBT trên miền D;
'
B5: Dựa vào BBT kết luận gtln, gtnn nếu có.
B2: Tính đạo hàm f ( x ) ;
B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 ;
Bài tập mẫu 1: Tìm gtln, gtnn nếu có của hàm số sau
1
trên đoạn [2; 5): y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 .
3
Giải:
B1: D = [2 ; 5);
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
B3: Giải phương trình (trên D)
'
2
f ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1(l ); x = 3( n ) ;
B4: Bảng biến thiên ( trên D)

Bài tập mẫu 2: Tìm gtln, gtnn nếu có hàm số:
1 3
2
y = x − 3 x + 5 x + 2 trên đoạn (-1 ; 3].
3
Giải:
B1: D = …..
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = ................
B3: Giải phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ ................. …………

…………………………………………………………
………………………………………………..…….
Bài tập mẫu 3: Tìm gtln, gtnn nếu có của hàm số:
y = 4 − x2 .
Giải:
…………………………………………………………
……………………………………………………

1
5
f (2) = .23 − 2.22 + 3.2 + 1 =
3
3
1 3
f (3) = .3 − 2.32 + 3.3 + 1 = 1
3
B5: Kết luận: Giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 3; không có
giá trị lớn nhất ( vì f(2) < f(5)=23/3).
B4: BBT
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
………..
……………………………………………………………
………………………………………………
B5: Kết luận:……………………………………………..
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……....................................................................................
............................................................................................

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Bài tập rèn luyện:
Năm học 2016 – 2017

Tr 5


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 trên đoạn [ 0; 2] (TN THPT 2007).
1 − 3x
trên đoạn [0 ; 1].
x+2
1 − 3x − x 2
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
trên đoạn [-1 ; 1].
x−2
1 − 3x
4. Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y =
nửa khoảng (-1 ; 1].
x−2
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 trên đoạn [ 0; 2] (TN THPT 2008 – lần 1).
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

6. Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y = − x 4 + 8 x 2 + 2 nửa khoảng [-3 ; 3).
7. Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y = 2sin 2 x + 2sin x − 1 .
8. Tìm GTLN, GTNN nếu có của hàm số y = 2cos 2 x + 2sin x .

x − m2 + m
trên đoạn [ 0;1] bằng −2 . (TN THPT 2012).
x +1
10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 trên đoạn [ 0;3] (TN BT năm 2012).
4
11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) = x + trên đoạn [ 1;3] (THPT Quốc Gia-2015).
x
9
12. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x +
trên đoạn [ −1; 2] (TN Bổ túc 2013).
x+2
13*. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 2 − ln(1 − 2x) trên đoạn [ −2;0] (TN THPT 2009).
9. Tìm các giá trị m để GTNN của hàm số f ( x ) =

14*. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = (3 − x)e x trên đoạn [ −3;3] .
15*. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x − e 2x trên đoạn [ −1;0] .

16*. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 2 + 3 − x ln x trên đoạn [ 1; 2] (TN THPT 2013).
CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
Bài toán: Tìm tiệm cận của hàm số y = f(x).
Phương pháp:
B1: Tìm tập xác định của hàm số;
f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0 thì đường
* Nếu limx →+∞
x →−∞
B2: * Nếu limx →fx0( x) = +∞ hoặc limx →fx0( x) = −∞ hoặc

lim f ( x) = +∞ …, thì đường thẳng x = x là tiệm cận
0
x → x+
0

đứng (TCĐ) của đồ thị;

thẳng y = y0 là tiệm cận ngang (TCN);

[ f ( x) − (ax + b)] = 0 hoặc
* Nếu xlim
→+∞

lim [ f ( x) − ( ax + b) ] = 0 thì đường thẳng y = ax + b là

x →−∞

tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị.
P( x)
Dạng cơ bản: Tìm tiệm cận của hàm số y =
, trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Q( x)
Phương pháp:
B1: Tìm TXĐ: D = R \ { xi } , xi là các nghiệm của Q(x);
f ( x) = y0
* Nếu bậc của P(x) = bậc Q(x) thì tính limx →±∞
B2: Tìm TCĐ: Tính các giới hạn limx →fx(i x) = +∞ hoặc
=> đường thẳng y = y0 là TCN của đồ thị;
lim f ( x) = −∞ hoặc lim f ( x) = +∞ … Từ đó suy ra
* Nếu bậc của P(x) > bậc Q(x) một bậc thì thực hiện

x → xi
x → xi+
R( x)
đường thẳng x = xi là tiệm cận đứng của đồ thị;
phép chia hai đa thức để viết được f ( x) = ax + b +
.
Q ( x)
B3: Tìm TCN và TCX:
R( x)
f ( x) = 0
* Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) thì tính limx →±∞
f ( x) − ( ax + b) ] = lim
=0
[
Tính xlim
→±∞
x →±∞ Q ( x )
=> đường thẳng y = 0 là TCN của đồ thị;
=> đường thẳng y = ax + b là TCX của đồ thị.

Năm học 2016 – 2017

Tr 6


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Bài tập mẫu 1: Tìm tiệm cận của hàm số y =
Giải:

B1: TXĐ: D = R \ { 3} ;
B2: Tìm TCĐ: lim f ( x) = lim+
+

x →3

x →3

Giải tích

2x −1
.
x−3

2x −1
= +∞ và
x−3

B3: Tìm TCN: (do bậc của P(x) = bậc Q(x) = 1 nên chỉ
có TCN mà không có tiệm cận xiên)
2x −1
lim f ( x) = lim
=2
x →±∞ x − 3
x →±∞
=> đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị.

lim f ( x) = −∞
x → 3−

=> đường thẳng x = 3 là TCĐ của đồ thị;
Bài tập mẫu 2: Tìm tiệm cận của hàm số
x +1
y= 2
.
x − 3x + 2
Giải:
B1: D = R \ { 1 ; 2} , vì x = 1; x = 2 là nghiệm của mẫu;
x +1
= ……......
B2: Tìm TCĐ: lim f ( x) = lim+ 2
+
x →1 x − 3 x + 2
x →1
…………………………………………………………
………………………………………………………….
lim f ( x) = ………………
x →1−

=> đường thẳng x = 1 là TCĐ của đồ thị;
Bài tập mẫu 3: Tìm tiệm cận của hàm số
x 2 − 3x + 3
1
.
y=
= x−2+
x −1
x −1
Giải:……………………………………………………

lim f ( x) = ………………………………………………
x → 2+

……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
lim f ( x) = ………………………………………………
x → 2−

…………….…………………………………………..
=> đường thẳng x = 2 là TCĐ của đồ thị;
B3: Tìm TCN: (do bậc của P(x) < bậc Q(x) nên chỉ có
TCN mà không có tiệm cận xiên)
lim f ( x) = ………………………………………………
x →±∞

……………….…………………………………………
=> đường thẳng y = …………... là TCN của đồ thị.
……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Bài tập rèn luyện: Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
3x − 2
x−2
x2 − 6 x + 6
1. y =
2. y =
3. y = 2

x +1
x − 6x + 5
x−2

CHỦ ĐỀ 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x).
Phương pháp:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số;
B2: Tính giới hạn và tìm tiệm cận;
B3: Xét sự biến thiên;

B4: Tìm cực trị của hàm số;
B5: Điểm đặc biệt;
B6: Vẽ đồ thị.

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Phương pháp:
B1: TXĐ: D = R;
a > 0; lim y = +∞; lim y = −∞
x →+∞
x →−∞
B2: Giới hạn:
a < 0; lim y = −∞; lim y = +∞
x →+∞

x →−∞

Đồ thị không có tiệm cận;
B3: Xét sự biến thiên

Tính y’, giải PT y’ = 0; lập BBT; nêu các khoảng đồng
biến, nghịch biến;
Bài tập mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
1
hàm số sau: y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 .
3
Giải:
B1: Tập xác định: D = R;
y = +∞; lim y = −∞
B2: Giới hạn: a > 0; xlim
→+∞
x →−∞
B3: Sự biến thiên: f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
Giải phương trình
Năm học 2016 – 2017

B4: Dựa vào BBT nêu cực trị;
B5: Điểm đặc biệt: - Tìm giao với Ox: cho y = 0 =>x=…
- Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = d
- Cho thêm một đến hai điểm
Nêu các điểm đồ thị đi qua;
B6: Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng.
B4: Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại f(1) = 7/3;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu f(3) = 1.
B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = 1
x = 4 => y = 7/3
Các điểm đi qua A(0 ; 1), B(4 ; 7/3).
B6: Vẽ đồ thị:

Tr 7


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12
'
2
f ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1; x = 3 ;

Giải tích

Bảng biến thiên

Hàm số tăng trên các khoảng (−∞;1);(3; +∞) ; hàm số
giảm trên khoảng (1;3) ;

Đồ thị nhận điểm uốn I( 2;5/3) làm tâm đối xứng
Bài tập mẫu 2: Xét chiều biến thiên của hàm số sau:
1 3
2
y = x − 3x + 5 x + 2 .
3
Giải:
B1: Tập xác định D = ……………… ;
y = ......; lim y = .......
B2: Giới hạn: xlim
→+∞
x →−∞
B3: Sự biến thiên:……………………………………

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………….
…………………………………………………………
……
Hàm số tăng trên các khoảng………………………..;
Hàm số giảm trên các khoảng…………………………;
B4: Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại ……., giá trị cực đại ……….....;
Hàm số đạt cực tiểu tại ……., giá trị cực tiểu……...….;

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = ………………………..
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Các điểm đi qua …………………………………………
B6: Vẽ đồ thị:

Đồ thị nhận điểm uốn I( ….;….) làm tâm đối xứng

Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1
5
1. y = x 3 + 3x 2 − 4
2. y = x 3 − x 2 − 3 x −
3. y = − x 3 + 3 x 2 − 1
4. y = x 3 − 3x + 1 .
3

3
ax + b
Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số nhất biến y =
cx + d
Phương pháp:
B4: Không có cực trị;
B1: TXĐ: D = R \ { − d / c} ;
B5: Điểm đặc biệt:
a
a
- Tìm giao với Ox: cho y = 0, tìm x = -b/a;
B2: Giới hạn và tiệm cận: lim y = ⇒ y = là TCN
x →±∞
c
c
- Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = b/d;
lim + y = +∞ or − ∞; lim − y = +∞ or − ∞
Các điểm đi qua A(-b/a ; 0), B(0 ; b/d);
x→( − d / c )
x →( − d / c )
B6:
Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận giao điểm của hai
⇒ x = − d / c là TCĐ;
tiệm cận làm tâm đối xứng
B3: Xét sự biến thiên
Tính y’, xét dấu y’; lập BBT; nêu các khoảng đồng biến
(nghịch biến);
Bài tập mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2x + 2
hàm số sau: y =

.
x −1
Giải:
B1: Tập xác định: D = R \ { 1} ;
B2: Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 2; lim y = 2 => đường thẳng y = 2 là TCN
x →+∞
x →−∞
Năm học 2016 – 2017

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = -2
y = 0 => x = -1
Các điểm đi qua A(0 ; -2), B(-1 ; 0);
B6: Vẽ đồ thị:

Tr 8


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

lim y = +∞; lim− y = −∞ => đường thẳng x = 1 là TCĐ;
x →1

x →1+

'
B3: Sự biến thiên: f ( x ) =

−4
( x −1)2

< 0, ∀x ∈ D

;

Bảng biến thiên

Hàm số giảm trên các khoảng (−∞;1) ; (1; +∞) ;
B4: Hàm số không có cực trị;

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(1 ; 2) làm
tâm đối xứng.
Bài tập mẫu 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2x + 1
hàm số: y =
.
x−2
Giải:
B1: Tập xác định: D = .............. ;
B2: Giới hạn và tiệm cận:
lim y = ......; lim y = ....... => đt y = …….. là TCN
x →+∞
x →−∞

B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = ………………………
…………………… y = 0 => x = ………………………
Các điểm đi qua …………………………………………

B6: Vẽ đồ thị:

lim y = .......; lim− y = ....... => đt x = ……... là TCĐ;
x→2

x → 2+

B3: Sự biến thiên: f ' ( x ) = ............... ….
………………………………………………………….
Bảng biến thiên

Hàm số ………... trên các khoảng…………………….;
B4: Hàm số không có cực trị;

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận I(….; …)
làm tâm đối xứng.
Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
x +1
x +1
2x + 1
−x + 3
1. y =
2. y =
3. y =
4. y =
.
x −1
x−2
2− x
x +1

Dạng 3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c
Phương pháp:
B1: TXĐ: D = R ;
B4: Nêu cực trị;
B5: Điểm đặc biệt:
a
>
0;
lim
y
=
+∞
,
a
<
0;
lim
y
=
−∞
B2: Giới hạn:
;
x →±∞
x →±∞
- Tìm giao với Oy: cho x = 0 =>y = c; (bỏ vì điểm này
B3: Xét sự biến thiên
trùng với điểm cực trị)
Tính y’, xét dấu y’; lập BBT; nêu các khoảng đồng biến - Tìm giao với Ox: cho y = 0, tìm x = ;
(nghịch biến);
Các điểm đi qua A(0 ; c),………………………….;

Bài tập mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số sau: y = x 4 − 2 x 2 − 1 .
Giải:
B1: Tập xác định: D = R ;
y = +∞ ;
B2: Giới hạn: xlim
→±∞
Năm học 2016 – 2017

B6: Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị nhận trục Oy làm TĐX.
B5: Điểm đặc biệt:
y = 0 => x 4 − 2 x 2 − 1 = 0
⇔ x = 1+ 2 , x = − 1+ 2
Điểm đi qua B( 1 + 2 ; 0), C( − 1 + 2 ;0);
B6: Vẽ đồ thị:
Tr 9


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12
B3: Sự biến thiên: f ' ( x ) = 4 x3 − 4 x ;
'
3
3
2
f ( x ) = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x ( x − 1) = 0
 x =0

⇔
 x 2 =1

Giải tích

 x =0⇒ y =−1

 x =±1⇒ y =−2

Bảng biến thiên

Hàm số giảm trên các khoảng (−∞; −1), (0;1) ; và tăng
trên các khoảng (−1;0), (1; +∞) ;
B4: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = -1; hàm số đạt
cực tiểu tại x = -1, x = 1, f(-1) = -2, f(1) = -2;
Bài tập mẫu 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số sau: y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .
Giải:
B1: Tập xác định D = ....... ;
y = ....... ;
B2: Giới hạn: xlim
→±∞
B3: Sự biến thiên: f ' ( x ) = ................
'
f ( x ) = 0 ⇔ .... …………………………………………

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………….
Bảng biến thiên
…………………………………………………………

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Hàm số giảm trên các khoảng……………………….;
và tăng trên các khoảng………………………………

Nhận xét: Đồ thị nhận trục Oy làm TĐX.
B5: Điểm đặc biệt: x = 0 => y = …………..
y = 0 => …………………………...
………………………………………………………….
……………………………………………………………
……………………………………………
Điểm đi qua………………………………………………
B6: Vẽ đồ thị:

Nhận xét:…………….

Bài tập rèn luyện: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1. y = x 4 − 3x 2 + 2
2. y = − x 4 + 2 x 2 − 2
3. y = − x 4 − 2 x 2 + 3

4. y = x 4 − 4 x 2 + 3

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Dạng 1: Viết PTTT với đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0).
Phương pháp:
B1: Xác định x0, y0;

B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) ;

Bài tập mẫu 1: Viết PTTT với đồ thị của hàm số
1
y = x3 − 2 x 2 + 3x + 1 tại điểm M0(0 ; 1).
3
Giải:
B1: x0 = 0, y0 = 1;
Năm học 2016 – 2017
10

B3: Tính k = f ' ( x0 ) ;
B4: PTTT có dạng: y = k(x – x0) + y0.
B3: Tính k = f ' ( x0 ) = f ' (0) = 0 2 − 4.0 + 3 = 3 ;
B4: PTTT có dạng:
y = k(x – x0) + y0 = 3(x – 0) + 1 = 3x + 1;

Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12
B2: Tính đạo hàm f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;

Bài tập mẫu 2: Viết PTTT với đồ thị của hàm số
y = 3x 4 − 3x 2 + 2 tại điểm có hoành độ x0 = -1.
Giải:
B1: Thế x0 = -1 vào hàm số ban đầu ta có
y0 = 3.(−1) 4 − 3(−1) 2 + 2 = 2 ;
'

Giải tích

Vậy tiếp tuyến là: y = 3x + 1.

B3: Tính k = f ' ( x0 ) = f ' ( −1) = 12.( −1)3 − 6.( −1) = −6 ;
B4: PTTT có dạng:
y = k(x – x0) + y0 = -6(x – -1) + 2 = -6x – 6 +2 = -6x – 4;
Vậy tiếp tuyến là: y = -6x – 4.

3

B2: Tính đạo hàm f ( x ) = 12 x − 6 x ;
Bài tập mẫu 3: Viết PTTT với đồ thị của hàm số
2x + 1
y=
x−2
a) Tại điểm M0(3 ; 7);
b) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;
c) Tại giao điểm của đồ thị với trục tung;
d) Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành;
e) Tại điểm có tung độ bằng 1.

……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

………………………………………………………….

B1: Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm. Tính đạo hàm
'
f ( x) ;

B4: Với x0, y0. Khi đó, pttt có dạng:
y = k(x – x0) + y0.

B2: Giải PT: f ' ( x0 ) = k tìm x0;
B3: Thế x0 tìm được vào hàm số ban đầu tìm y0;
Bài tập mẫu 1: Lập PTTT với đồ thị hàm số
B4: Với x0 = 2, y0 = 5/3, k = -1
PTTT có dạng:
1 3
y = x − 2 x 2 + 3x + 1
y = k(x – x0) + y0 = -1(x – 2) + 5/3 = -x + 2 + 5/3
3
= -x + 11/3;
biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1.
Giải: B1: Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm. Tính đạo Vậy tiếp tuyến là: y = -x + 11/3.
hàm f ' ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ;
B2: Giải PT:
'
2
2
f ( x0 ) = k = −1 ⇔ x0 − 4 x0 + 3 = −1 ⇔ x0 − 4 x0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2

B3: Thế x0 = 2 vào hàm số ban đầu ta có y0 = 5/3
Bài tập mẫu 2: Viết PTTT với đồ thị của hàm số

B4: Với x0 = ……., y0 = ……….., k = ……….
PTTT có dạng:
2x −1
y=
biết:
y = k(x – x0) + y0 = ……………………………………..
x +1
……………………………………………………………
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 3x + 1;
……………………………………………………………
1
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = − x + 2 ……………………………………………………………
3
……………………………………………………………
Giải:
……………………………………………………………
a)B1: Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm. Tính đạo hàm ……………………………………………………………
'
f ( x ) = ... ……………………..;
……………………………………………………………
1
B2: Giải PT:
b) Chú ý: k .( − ) = −1 ⇒ k = 3 . Do đó bài giải tương tự
'
3
f ( x0 ) = k = 3 ⇔ ........ …………………………………
câu a).
…………………………………………………………
…………………………………………………………
B3: Thế x0 vào hàm số ban đầu để tìm y0

…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

Năm học 2016 – 2017
11

Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Bài tập mẫu 3: Viết PTTT với đồ thị của hàm số
2x + 1
y=
biết:
x−2
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 20;
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4/5x + 3.

Giải tích

……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Bài tập rèn luyện:

1
1. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 1 . Lập PTTT biết:
3
a) Tại điểm A(2 ; 5/3);
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 2016;
2x − 3
2. Cho hàm số y =
. Lập PTTT biết:
x +1
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 5x + 2;
2x − 3
3. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Lập PTTT:
x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung;
c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 5;

b) Tại điểm có hoành độ bằng 3;
d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 3x + 2016.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -4/5x + 3;

b) Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành;
d) Biết tiếp tuyến ssong với đường thẳng -5x + y – 10 = 0.

CHỦ ĐỀ 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C ’). Tìm các giao điểm của hai đồ thị (C) và (C’).
Phương pháp:
B1: Thiết lập PT hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (*);
B4: Kết luận: Mỗi cặp (x ; y) tìm được là một giao

B2: Giải PT (*) tìm x;
điểm.
B3: Thế x tìm được vào hàm số y = f(x) hoặc y = g(x)
Chú ý: PT (*) có bao nhiêu nghiệm thì sẽ có bấy nhiêu
để tính y;
giao điểm.
Bài tập mẫu 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai
hàm số y = x 2 + 3x + 1 , y = 2 x + 1
Giải:
B1: PT hoành độ giao điểm x 2 + 3 x + 1 = 2 x + 1 (*);
B2: Giải PT (*):

(*) ⇔ x 2 + 3 x + 1 − 2 x − 1 = 0
x = 0
⇔ x2 + x = 0 ⇔ 
 x = −1
B3: Thế x =0 vào hs y = 2x + 1, ta có y = 2.0 + 1 = 1;
Thế x = -1 vào hs y = 2x + 1, ta có y = 2.(-1) + 1 = -1;
B4: Kết luận: Có hai giao điểm A(0 ; 1), B(-1 ; -1).

Bài tập mẫu 2: Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai
hàm số y = x 3 + 3x 2 − 2 x + 1 , y = x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1
Giải:
B1: PT hoành độ giao điểm…………………………...
………………………………………………………….
B2: Giải PT:…………………………………………….
………………………………………………………….

……………………………………………………………
……………………………………………………………

…………………………………………………………...
B3: ……………………………………………………….
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………....
B4: Kết luận:……………………………………………..

Bài tập mẫu 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai
3x − 3
hàm số y =
, y = x −1
x +1
Giải:
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………
……………………………………………………

……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………………………………………

Năm học 2016 – 2017
12

Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

Bài tập rèn luyện:
1. Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sô y = x 3 + 3x 2 − 4 và y = x 3 + 4 x 2 − 5 x + 2 .
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sô y = x 4 + 5 x 2 − 4 và y = x 2 + 1 .
x 2 − 3x + 2
và y = x 2 − 1 .
x +1
3x + 2
4. Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sô y =
và y = x − 3 .
x−2
Dạng 2: Biện luận theo m số nghiệm của PT f(x) = m (**), trong đó hàm số y = f(x) có đồ thị (C) đã khảo sát
và vẽ đồ thị.
3. Tìm giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sô y =

Phương pháp: Số nghiệm của PT (**) chính bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị (C) của hàm số
y = f(x). Cần chú ý rằng đường thẳng y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. Do đó nếu đường
thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại bao nhiêu điểm thì PT (**) sẽ có bấy nhiêu nghiệm và ngược lại.
Bài tập mẫu 1: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1

y = x3 − 2 x 2 + 3 x + 1 ;
3
b) Tuỳ theo m hãy biện luận số nghiệm của PT
1 3
x − 2 x 2 + 3x + 1 = m ; (1)
3
c) Tìm các giá trị của m để PT (1) có ba nghiệm phân
biệt.
Giải:
a) Đã khảo sát và vẽ. Ta có đồ thị như sau:

b) Số nghiệm của PT (1) chính bằng số giao điểm
của đồ thị (C) với đường thẳng y = m. Do đó ta biện
luận như sau:
+) m < 1 hoặc m > 7/3: PT có 1 nghiệm;
+) m = 1 hoặc m = 7/3: PT có 2 nghiệm;
+) 1 < m < 7/3: PT có ba nghiệm.
c) Để PT (1) có 3 nghiệm phân biệt thì 1 < m < 7/3.

Hình vẽ minh hoạ y = m cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt

Bài tập mẫu 2: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y = x4 − 2x2 − 1 ;
b) Tuỳ theo m hãy biện luận số nghiệm của PT
x 4 − 2 x 2 − 1 = m ; (2)
c) Tìm các giá trị của m để PT (2) có bốn nghiệm phân
biệt.
Giải:
a) Đã khảo sát và vẽ. Ta có đồ thị như sau:

b) Số nghiệm của PT (2) chính bằng số giao điểm
của đồ thị (C) với đường thẳng y = m. Do đó ta biện
luận như sau:
+)………………………….: PT có 1 nghiệm;
+) ………………………....: PT có hai nghiệm;
+) …………………………: PT có ba nghiệm;
+)………………………….: PT có bốn nghiệm;
+)………………………….: PT vô nghiệm.

c) ……………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
Năm học 2016 – 2017
13

Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

………………………………………………………
…………………..

Bài tập mẫu 3: a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y = − x4 + 2x2 + 1 ;
b) Tuỳ theo m, hãy biện luận số nghiệm của PT
− x 4 + 2 x 2 + 1 = m − 1 ; (3)
c) Tìm các giá trị của m để PT (3) có hai nghiệm phân
biệt.
Giải: a) Đồ thị

……....................................................................................
............................................................................................
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Bài tập rèn luyện:
1. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
b. Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của PT: x 3 + 3 x 2 − 4 = m ; c. Tìm m để PT trên có 3 nghiệm phân biệt.

2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 2 ;
b. Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của PT: x 4 − 3x 2 + 2 − m = 0 ;
c. Tìm m để PT trên có 4 nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ;
b. Tìm m để PT: x 4 + 2 x 2 − 3 = 1 − m có 2 nghiệm phân biệt.
ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM ( PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ).
Bài 1: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4 có đồ thị (C);
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C);
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1 .
Bài 2. Cho hàm số y =

1 3
x − x 2 có đồ thị (C)
3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C);
Bài 3: Cho hàm số y =

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0) .

2x + 1
có đồ thị (C)
x +1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2*. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C);
Bài 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C);
2*. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Bài 5: Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C);
2. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x − m 2 + m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai diểm
cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 6: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C);
2*. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = −2, x = −1 .
Bài 7: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 , gọi đồ thị của hàm số là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 8: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −2 .
Năm học 2016 – 2017
14

Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

Bài 9: Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x 3 + 3x 2 − 1 = m .
Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) Cho hàm số y =

3x − 2
, gọi đồ thị của hàm số là (C)

x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2.
Bài 11: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;
2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = 4 .
Bài 12: Cho hàm số y =

2x + 1
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
x−2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5.
Bài 13: Cho hàm số y =

2x + 1
2x − 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho;
2. Viết pttt của đồ thị (C) tại các giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2 .
Bài 14: Cho hàm số y = f ( x) =

1 4
x − 2x2
4

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho;
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết f ''( x 0 ) = −1 .

BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ
Các qui tắc:

( u + v ) ' = u '+ v '

( ku ) ' = k .u '

(u.v) ' = u ' v + uv '

 u  u ' v − uv '
 ÷=
v2
v

'

Bảng đạo hàm:
(c)’ = 0
(x)’ = 1
(xn)’ = nxn-1

(un)’ = nun-1.u’

( x) ' = 21x

( u ) ' = 2u 'u

'

1
1
 ÷=− 2
x
 x

'

Hàm số hợp

u'
1
 ÷=− 2
u
u

( sin x ) ' = cos x
( cos x ) ' = − sin x

( sin u ) ' = u 'cos u
( cos u ) ' = −u 'sin u

1
cos 2 x
1
( cot x ) ' = − 2
sin x

( tan u ) ' =

( tan x ) ' =

Năm học 2016 – 2017
15

1'
cos 2 u
u'
( cot u ) ' = − 2
sin u
Tr


Một số ứng dụng của đạo hàm – Khảo sát hàm số
12

Giải tích

'

ad − cb
 ax + b 
Ghi nhớ: 
÷=
2
 cx + d  (cx + d )

Năm học 2016 – 2017
16

Tr