Bài tập đại số tuyến tính

Bài tập đại số tuyến tính
Chương V:

MA TRẬN

§1: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1: Cho hai không gian véc tơ V và W có cơ sở lần lượt là {1,2,3}, {1,2,3,4} và ánh xạ
tuyến tính f: V→ W xác định bởi:
f(1) = -21 + 52 - 3
f(2) = 41 + 2 - 34
f(3) =

7 2 + 43

a ) Ma trận của f đối với hai cơ sở đã cho:
A=
b) Cho = 32 + 3. Tìm ảnh f()
f() = f(32 + 3) = 3f(2) + f(3) = 3(41 + 2 - 34) + (72 + 43)
= 121 + 102 + 43 - 94
Bài 2: Cho ánh xạ tuyến tính f: R 3 → R2 xác địng kki: f(1) = (-2, 3), f(2) = (0, 5),
f(3) = (7, -1), trong đó {1,2,3} là cơ sở chính tắc của R3
a ) Tìm ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc của hai không gian.
Ta có: f(1) = (-2, 3) = -21 + 32
f(2) = (0, 5) =

52

f(3) = (7, -1) = 71 - 12
=>

A = là ma trận của f đối với các cơ sở chính tắc của hai không gian

b ) = (5, -1, 1) => f() = ?
giả sử (a1, a2, a3 )

R3

f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)
= a1(-21 + 32 ) + a2(52 ) + a3(71 - 2) =(-2a1 + 7a3, 3a1 + 5a2 – a3)
=> f() = f(5, -1, 1) = (-3, 9)
Bài 3:
Cho ánh xạ f: R3 → R2


f(a1, a2, a3) = (a1+ a3, -3a3)
a ) Tìm ma trận của f đối với hai cơ sở chính tắc () và (ξ) của hai không gian
f(1) = f(1, 0, 0) = (1, 0) = 1
f(2) = f(0, 1, 0) = (0, 0) =
f(3) = f(0, 0, 1) = (1, -3) = 1 - 32
=> A =
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở (’) gồm các véctơ
của R3 và cơ sở chính tắc (ξ) của R2
f(1) = f(1, 1, 0) = (1, 0) =

1

= (1, 1, 0), 2 = (0, 1, 1), 3 = (1, 0, 1)

1

f(2) = f(0, 1, 1) = (1, -3) = 1 - 32

f(3) = f(1, 0, 1) = (2, -3) = 1 - 32
=> A =
Bài 4:
Cho f: R3 → R3 có ma trận
A = xác định ánh xạ tuyến tính f và tìm f(3, -2, 0) đối với cơ sở chính tắc.
Giải:
Từ ma trận A ta có: f(1) = 1 + 3
f(2) = 1 + 2 +23
f(3) = -22 + 3
g/s: (a1, a2, a3 )

R3

f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)
= a1(1 + 3 ) + a2(1 + 2 +23) + a3(-22 + 3)
= (a1 + 2a2, a2- 2a3, a1 + 2a2 – a3)
=> f(3, -2, 0) = ( -1, -2, -1)
Bài 5:
A =là ma trận của axtt f: V → W với cơ sở {1,2,3} V,
{1,2} W, =(-1, 2, 3)

V => f() = ?


Giải:
Từ ma trận A ta có: f(1) = 31
f(2) = - 1 + 42
f(3) = 51 + 2
g/s: (a1, a2, a3 )

V

=> f(a1, a2, a3 ) = f(a11 + a22 + a33 ) = a1f(1) + a2 f(2) + a3 f(3)
= a1(31 ) + a2(- 1 + 42) + a3(51 + 2)
= (3a1 – a2 + 5a3)1 + (4a2 + a3)2
=> f( -1, 2, 3) = 101 + 112
Vậy tọa độ của f() = (10, 11)
Bài 7:
§2: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
Bài 8:
A=

a, A+B=
A+B - C=
b, 2A – 7B
2A = =
7B = 7=


2A – 7B =

c, 3A+5B – 2C
3A = 3 =
5B = 5
2C =2 =




3A+5B – 2C =

Bài 9:
Bài 10:
Bài 11:
Nếu A là mt (m,m) thì B là mt (n,m) thì A+ tB xác định và tA – B xác
định.
Bài 12:
A= ,
f(A) = ,

B=
g(B) =

2g = 2 =


F – 2g = 2

Bài 13:
a,
C11= -3.10 + 4(-2) = -38
C12 = (-3)5 + 4.7 = 13
C21 = 11.10 + 6(-2) = 98
C22 = 11.5 + 6.7 = 97
=> =
b,
=
=
c,
=

=
d, (a1,a2,a3,a4
= (a1x1 a2x2 a3x3 a4x4)

Bài 14:
A=,
=
Bài 15:
Bài 16:
A=
Tìm mt X sao cho: AX = I
Vì mt I là mt đơn vị nên I là một mt vuông mà mt A có kiểu (2,3)
Nếu theo giả thiết : AX = I => I có dạng (2,2) => X có dạng (3,2)
Vậy có vô số mt X có dạng (3,2) : X =
Bài 17:
G/s: A là mt vuông , f(x)= a0 + a1x1
Bài 19: