Bài tập Đại Số Tuyến Tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (231.35 KB, 28 trang )
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH, GIẢI TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1 Cho các ma trận:
A =
3 1
0 −3
5 2
B =
4 1
7 −2
−1 5
C =
3 0
6 −5
1 4
Tính:
a. A + B −C
b. 2A −5B + C
c. A + 2B −3C
Bài 2 Cho các ma trận:
A =
0 1 −1
0 0 1
1 −1 0
B =
−1 1 0
2 0 1
0 0 −1
Thực hiện các phép toán sau:
a. Tính (A + B)
t
, A
t
+ B
t
và đưa ra nhận xét.
b. Tính AB, BA và đưa ra nhận xét.
c. Tính
A
2
, B
2
,
(
AB
)
2
và cho nhận xét.
d. Tính (AB)
t
, B
t
A
t
và cho nhận xét.
Bài 3 Cho các ma trận:
A =
4 3
−
7
2 0 1
B =
2 −1 5
4 3 −3
Tìm ma trận X sao cho:
a. A −2X = B
b. 3B −X = A
Bài 4 Tìm hai ma trận A ̸= 0 và B ̸= 0 sao cho AB = 0. Kết quả này cho ta kết luận gì?
Bài 5 Cho đa thức f(x) = x
2
− 5x + 1 và ma trận: A =
1 −1
2 0
. Tính f(A).
Bài 6 Cho A và B là hai ma trận vuông thỏa mãn AB = BA. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. (AB)
2
= A
2
B
2
.
b. A
2
− B
2
= (A −B)(A + B).
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
c. (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
.
d. (A − B)
2
= A
2
− 2AB + B
2
.
Bài 7 Tính lũy thừa A
n
bậc n ≥ 1 của các ma trận sau:
a. A =
1 1
0 1
b. A =
0 1
−1 0
Bài 8 Trong các ma trận sau ma trận nào là ma trận chéo, ma trận tam giác, ma trận đối xứng, phản
đối xứng?
a. A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
b. B =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
c. C =
1 1 0
1 0 0
0 0 1
c. C =
0 1 0
−1 0 −1
0 1 0
Bài 9 Cho hai ma trận A và B sau:
A =
1 0 0
0 −5 0
0 0 7
B =
−3 0 0
0 1 0
0 0 −2
Tính AB và BA và đưa ra nhận xét.
Bài 10 Cho hai ma trận A và B sau:
A =
−1 0 2
0 −5 −1
0 0 1
B =
3 1 0
0 1 0
0 0 −2
Tính AB và BA và đưa ra nhận xét.
Bài 11 Tìm hạng của các ma trận sau
a. A =
1 −4 8
0 −2 4
0 0 12
b. B =
1 2 −3 1 3
0 1 3 4 5
0 2 3 1 8
c. C =
1 −1 3
2 −1 3
3 1 3
d. D =
1 4 3 6
0 1 1 1
0 0 0 −1
Bài 12 Tìm hạng của các ma trận sau
a. A =
2 −1 3 −2 4
4 −2 5 1 7
2 −1 1 8 2
b. B =
1 3 5 −1
2 −1 −3 4
5 1 −1 7
7 7 9 1
c. C =
3 −1 3 2 5
5 −3 2 3 4
1 −3 −5 0 −7
7 −5 1 4 1
d. D =
4 3 −5 2 3
8 6 −7 4 2
4 3 −8 2 7
4 3 1 2 −5
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 2
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 13 Tìm x để hạng của ma trận sau bằng 2:
A =
2 3 1
1 −2 0
4 x 2
.
Bài 14 Tính các định thức sau bằng định nghĩa:
1.
2 −3 1 4
0 3 −1 5
0 0 −4 10
0 0 0 −7
. 2.
0 1 2 0
1 0 1 0
3 1 4 1
1 5 0 0
,
3.
1 0 2 a
2 0 b 0
3 c 4 5
d 0 0 0
, 4.
a 3 0 5
0 b 0 2
1 2 c 3
0 0 0 d
.
Bài 15 Tính các định thức sau:
1.
0 1 −1 1
1 2 3 −1
0 4 3 2
1 −1 1 2
, 2.
0 0 2 0
0 1 5 −1
2 3 7 3
1 0 4 −2
,
3.
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
, 4.
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
,
5.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
, 6.
0 1 1 1
1 0 a b
1 a 0 c
1 b c 0
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 3
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 16 Tính các định thức sau:
1.
1 −1 3
−2 5 7
−1 1 2
, 2.
3 6 0
−1 2 2
6 6 4
,
3.
1 1 1 1
2 3 4 5
4 9 16 25
8 27 64 125
, 4.
1 5 −2 3
0 2 7 1
2 10 −1 5
−3 −15 −6 13
,
5.
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
, 6.
a 3 3 3 3
3 a 3 3 3
3 3 a 3 3
3 3 3 a 3
3 3 3 3 a
,
Bài 17 1. Cho m =
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
. Tính các định thức sau:
a.
c
1
c
2
c
3
b
1
b
2
b
3
a
1
a
2
a
3
, b.
a
1
b
2
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
.
2. Chứng minh rằng:
b + c c + a a + b
b
1
+ c
1
c
1
+ a
1
a
1
+ b
1
b
2
+ c
2
c
2
+ a
2
a
2
+ b
2
= 2
a b c
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
.
Bài 18 Giải các phương trình sau:
1.
1 −x 2
x
2
1 + 2x
= 0.
2.
1 x x
2
x
3
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
= 0.
3.
x
2
+ 1 2 2 2
2 x
2
+ 1 2 2
2 2 x
2
+ 1 2
2 2 2 x
2
+ 1
= 0.
4.
x + 1 2 3 4
1 x + 2 3 4
1 2 x + 3 4
1 2 3 x + 4
= 0.
Bài 19 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
A =
3 2
4 3
B =
1 1 −1
2 −1 2
3 0 1
C =
1 −1 3
5 1 2
1 4 −1
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 4
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
D =
1 3 −5 7
0 1 2 −3
0 0 2 1
0 0 0 3
E =
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Bài 20 a. Khi nào một ma trận chéo, ma trận tam giác khả nghịch?
b. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau và cho nhận xét:
1.
1 3 −1
0 −2 1
0 0 4
2.
1 0 0
0 −2 0
0 0 4
Bài 21 Giải các phương trình ma trận sau:
a. X
1 1 −1
2 1 0
1 −1 1
=
1 −1 3
4 3 2
1 −2 5
b.
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
X =
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
Bài 22 Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n
1. Cho det(A) = 2, hãy tính det(A
3
) và det(A
5
).
2. Cho biết A khả nghịch và det(A) = 5, tính det(A
−1
).
3. Cho det(A) = 4 và B
3
= A, tính det(B).
4. Cho det(A) = 6, tính det(A
2
A
t
A).
Bài 23 Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm:
a.
2x
1
+ 3x
2
= 5
3x
1
+ x
2
= 4
x
1
+ x
2
= 2
b.
x
1
− x
2
+ x
3
− 2x
4
= 1
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= 2
5x
1
− 5x
2
+ 8x
3
− 7x
4
= 3
c.
2x
1
+ 2x
2
− 3x
3
− 4x
4
= 1
2x
1
− x
2
+ x
3
− 3x
4
= 3
d.
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
− 4x
4
= 1
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
− x
4
= 2
x
1
+ 3x
2
− x
3
+ 2x
4
= 1
4x
1
− 4x
2
− 3x
3
− 3x
4
= −7
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 5
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
e.
2x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
− 3x
4
+ x
5
= 10
x
1
+ x
2
− x
3
− 5x
4
+ 7x
5
= 1
x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
− 8x
5
= 2
4x
3
+ x
4
− x
5
= 3
Bài 24 Tìm điều kiện của các tham số a, b, c để hệ sau có nghiệm
a.
ax
1
+ x
2
+ x
3
= 1
x
1
+ ax
2
+ x
3
= 1
x
1
+ x
2
+ ax
3
= 1
b.
x
1
+ ax
2
+ a
2
x
3
= a
3
x
1
+ bx
2
+ b
2
x
3
= b
3
x
1
+ cx
2
+ c
2
x
3
= c
3
Bài 25 Giải các hệ phương trình sau:
a.
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
− x
4
− x
5
= 7
2x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
− 2x
4
− 2x
5
= 8
b.
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 1
4x
1
+ 6x
2
− 5x
3
= 2
6x
1
+ 9x
2
− 4x
3
= 2
c.
3x
1
+ x
2
− 2x
3
+ x
4
− x
5
= 1
2x
1
− x
2
+ 7x
3
− 3x
4
+ 5x
5
= 2
x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ 5x
4
− 7x
5
= 3
3x
1
− 2x
2
+ 7x
3
− 5x
4
+ 8x
5
= 3
d.
x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 0
2x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
− 3x
4
= 0
7x
3
− 5x
4
= −1
3x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
− 2x
4
= 3
e.
x
1
+ x
2
= 1
x
1
+ x
2
+ x
3
= 4
x
2
+ x
3
+ x
4
= −3
x
3
+ x
4
+ x
5
= 2
x
4
+ x
5
= −1
Bài 26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a:
a.
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= −1
7x
1
+ 6x
2
+ 5x
3
= a
5x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
= 2
b.
ax
1
+ x
2
+ x
3
= 0
x
1
+ ax
2
+ x
3
= 2
x
1
+ x
2
+ ax
3
= −3
c.
x − 2y + 3z + t = 2
2x − 2y + 7z + t = 3
x − 2y + (a + 3)z + 2t = 4
(a −3)x − (2a −6)y − 9z + (a
2
− 6)t = 3a −13
d.
2x + 3y + z + 2t = 3
4x + 6y + 3z + 4t = 5
6x + 9y + 5z + 6t = 7
8x + 12y + 7z + at = 9
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 6
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 27 Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ hơn hay bằng 4 thỏa mãn:
f(−1) = 3, f (1) = −3, f
′
(1) = −3, f
(2)
(1) = 12, f
(3)
(1) = 42.
Bài 28 Tìm đa thức f(x) bậc 2 thỏa mãn: f(1) = −1, f (−1) = 9, f(2) = −3.
Bài 29 Tìm đa thức f(x) bậc 3 thỏa mãn: f(−1) = 0, f (1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 16.
Bài 30 Giải các hệ sau bằng cách áp dụng công thức nghiệm Cramer:
a.
2x − 2y − z = −1
y + z = 1
−x + y + z = −1
b.
3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 11
Bài 31 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm không tầm thường:
a.
ax − 3y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 2y − 2z = 0
b.
(1 −a)x + 2y = 0
2x + (4 −a)y = 0
Bài 32 Hãy biểu diễn vectơ ε thành tổ hợp tuyến tính của α, β, γ.
a. ε = (1, 2, 0), α = (1, 2, −3), β = (2, 5, −1), γ = (0, 1, 2).
b. ε = (0, 0, 0), α = (2, 3, 3), β = (4, 9, 1), γ = (1, 3, −1).
Bài 33 Tìm số thực r để hệ các véctơ sau phụ thuộc tuyến tính trong R
3
:
α = (r,
−1
2
,
−1
2
), β = (
−1
2
, r,
−1
2
), γ = (
−1
2
,
−1
2
, r).
Bài 34 Hãy xác định r sao cho ε là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
a. ε = (9, 12, r), α = (3, 4, 2), β = (6, 8, 7).
b. ε = (7, −2, r), α = (2, 3, 5), β = (3, 7, 8).
c. ε = (4, −1, −3), α = (2, −3, r), β = (−1, 4, 2).
d. ε = (5, 3, r), α = (1, 2, 3), β = (−1, 0, 1), γ = (1, 2, 0).
e. ε = (1, 3, 5), α = (3, 2, 5), β = (2, 4, 7), γ = (5, 6, r).
Bài 35 Các hệ vectơ sau có phải là cơ sở của không gian vectơ R
3
không?
a. α
1
= (0, 0, 1), α
2
= (0, 1, 1), α
3
= (1, 1, 1).
b. β
1
= (4, 1, −5), β
2
= (−3, 2, 1), β
3
= (−2, 5, −3).
Bài 36 Với giá trị nào của x thì hệ vectơ α
1
= (x, 1, 0), α
2
= (1, x, 1), α
3
= (0, 1, x) lập thành cơ
sở của không gian vectơ R
3
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 7
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 37 Cho hai hệ vectơ:
(1) α
1
= (0, 1, 0, 2), α
2
= (1, 1, 0, 1), α
3
= (1, 2, 0, 1), α
4
= (−1, 0, 2, 1),
(2) β
1
= (1, 0, 2, −1), β
2
= (0, 3, 0, 2), β
3
= (0, 1, 3, 1), β
4
= (0, −1, 0, 1)
trong không gian vectơ R
4
.
a. Chứng minh rằng chúng là hai cơ sở của R
4
.
b. Tìm tọa độ của α = (2, 0, 4, 0) đối với từng cơ sở trên.
Bài 38 Trong R − không gian vectơ R
4
, tính hạng của các hệ vectơ sau:
a. α
1
= (1, 2, 1, 3), α
2
= (0, −1, 1, 3), α
3
= (0, 0, 2, 6), α
4
= (8, 7, 3, 9).
b. α
1
= (−1, 4, 8, 12), α
2
= (2, 1, 3, 1), α
3
= (−2, 8, 16, 24), α
4
= (1, 1, 2, 3).
c. α
1
= (0, 0, 0, 0), α
2
= (1, 0, −1, 3), α
3
= (
√
3
3
, 0, −
√
3
3
,
√
3).
d. α
1
= (0, −3, 12, 3), α
2
= (3
√
2, −
√
2
2
, 2
√
2,
√
2
2
), α
3
= (6, −1, 4, 1).
Bài 39 Cho hai hệ véc tơ trong không gian véc tơ R
4
sau:
α
1
= (0, 1, 0, 2), α
2
= (1, 1, 0, 1), α
3
= (1, 2, 0, 1), α
4
= (−1, 0, 2, 1) (1)
β
1
= (1, 0, 2, −1), β
2
= (0, 3, 0, 2), β
3
= (0, 1, 3, 1), β
4
= (0, −1, 0, 1) (2)
a. Chứng minh (1) và (2) là hai cơ sở của R
4
.
b. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2).
c. Tìm tọa độ của α = (2, 0, 4, 0) đối với cơ sở (2).
d. Tìm tọa độ của α đối với cơ sở (1).
Bài 40 Trong các ánh xạ sau đây ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính:
a. f : R
3
→ R
2
, f(x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
, −x
3
)
b. f : R
2
→ R
3
, f(x
1
, x
2
) = (x
2
, x
1
+ 2x
2
, −x
1
)
c. f : R
3
→ R
2
, f(x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
− x
3
, x
3
+ x
2
+ 1)
d. f : R
2
→ R
2
, f(x
1
, x
2
) = (x
1
x
2
, x
1
+ x
2
)
e. f : R → R
3
, f(x) = (x
2
, x, 0)
f. f : R
3
→ R
2
, f(x, y, z) = (2xy, 6x + y −z)
Bài 41 Tìm ma trận đối với các cơ sở chính tắc của các ánh xạ tuyến tính sau:
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 8
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. f : R
2
→ R f(x, y) = x + y.
b. f : R
3
→ R f(x, y, z) = 2x −3y + z.
c. f : R
3
→ R
2
f(x, y, z) = (2x −y, x + y −2z).
d. f : R
3
→ R
3
f(x, y) = (2x + z, x − z, y).
e. f : R
3
→ R
3
f(x, y, z) = (x, 0, 0).
Bài 42 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
→ R
2
xác định bởi f(x
1
, x
2
, x
3
) = (2x
1
, x
2
− x
3
).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính
b. Chứng minh rằng hệ véc tơ sau là cơ sở của R
3
: ε
1
= (1, 1, 1), ε
2
= (0, 1, 2), ε
3
= (0, 0, 1).
c. Chứng minh rằng α
1
= (1, 2), α
2
= (1, 1) là một cơ sở của R
2
.
d. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với hai cơ sở (ε) của R
3
và (α) của R
2
.
Bài 43 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau đây:
a. A =
3 0 0
0 2 0
0 0 −2
b. B =
−1 1 2
0 −2 3
0 0 5
c. C =
2 1
1 4
d. D =
3 −2 0
−2 3 0
0 0 5
e. E =
2 1 0
3 2 0
0 0 4
f. F =
4 2 2
2 4 2
2 2 4
Bài 44 Cho các dạng toàn phương sau:
a. q = 3x
2
− 4xy + 7y
2
b. q = x
2
+ 7xy − 3y
2
c. q = 8xy − x
2
− 31y
2
d. q = 3x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ 5x
2
2
+ 4x
2
3
− 2x
2
x
3
f. q = −x
2
+ 4xy − 6xz − 4y
2
− 5z
2
a. Kiểm tra tính xác định âm dương của các dạng toàn phương trên bằng cách sử dụng dấu hiệu định
thức.
b. Kiểm tra tính xác định âm dương của các dạng toàn phương trên bằng cách sử dụng giá trị riêng.
c. Hãy so sánh hai phương pháp kiểm tra tính xác định dương, âm của dạng toàn phương bằng dấu
hiệu định thức, giá trị riêng và rút ra nhận xét.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 9
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
PHẦN GIẢI TÍCH
Bài 45 Tìm giá cân bằng
¯
P và lượng cân bằng
¯
Q của các mô hình thị trường sau:
a.
Q
d
= 24 −2P
Q
s
= −5 + 7P
b.
Q
d
= 30 −2P
Q
s
= −6 + 5P
c.
Q
d
= 51 −3P
Q
s
= 6P − 10
Bài 46 Tìm giá cân bằng
¯
P và lượng cân bằng
¯
Q của các mô hình thị trường sau:
a.
Q
d
= 4 −P
2
Q
s
= 4P − 1
b.
Q
d
= 3 −P
2
Q
s
= 6P − 4
c.
Q
d
= 8 −P
2
Q
s
= P
2
− 2
Bài 47 Cho hàm cung và hàm cầu của mô hình thị trường hai hàng hóa có dạng:
Q
d
1
= 18 − 3P
1
+ P
2
Q
s
1
= −2 + 4P
1
Q
d
2
= 12 + P
1
− 2P
2
Q
s
2
= −2 + 3P
2
Tìm các giá cân bằng
¯
P
i
và lượng cân bằng
¯
Q
i
, với i = 1, 2.
Bài 48 Cho mô hình thu nhập quốc dân có dạng
Y = C + I
0
+ G
0
C = a + b(Y − T ) (a > 0, 0 < b < 1)
T = d + tY (d > 0, 0 < t < 1)
a. Tìm các biến nội sinh, ngoại sinh và tham số của mô hình.
b. Tìm nghiệm cân bằng
¯
Y ,
¯
T và
¯
C của mô hình.
Bài 49 Cho mô hình thu nhập quốc dân có dạng
Y = C + I
0
+ G
C = a + b(Y − T
0
) (a > 0, 0 < b < 1)
G = gY (0 < g < 1)
a. Tìm các biến nội sinh, ngoại sinh và tham số của mô hình.
b. Nêu ý nghĩa của tham số g.
c. Tìm thu nhập quốc dân cân bằng
¯
Y của mô hình và đưa những điều kiện ràng buộc cho các tham
số để tồn tại nghiệm.
Bài 50 Cho mô hình thị trường máy lạnh trong đó Q
d
là lượng cầu, Q
s
là lượng cung, P là giá, M
0
nhiệt độ trung bình trong ba tháng hè, T
0
thuế đánh vào linh kiện nhập khẩu.
Q
d
= 4 − P
2
+ M
0
Q
s
= −1 + P −
√
T
0
Q
d
= Q
s
a. Xác định biến nội sinh, biến ngoại sinh, tham số, hằng số trong mô hình trên.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 10
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
b. Giá bán máy lạnh trên thị trường là bao nhiêu nếu M
0
= 34, T
0
= 9.
Bài 51 Tìm nghiệm cân bằng
¯
Y và
¯
C của mô hình sau
Y = C + I
0
+ G
0
C = 25 + 6Y
1/2
I
0
= 16
G
0
= 14
Bài 52 Cho các hàm số sau:
a. f (x) = 18x b. f (x) = cx
3
c. f (x) = −5x
−2
d. f (u) =
3
4
u
4/3
e. f (u) = 6u
1/3
f. f(u) = 7u
−5/7
a. Tính đạo hàm của các hàm số trên.
b. Tính các giá trị f
′
(1) và f
′
(2) của các hàm số trên.
Bài 53 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. (9x
2
− 2)(3x + 1) b. (3x + 11)(6x
2
− 5x) c. x
2
(4x + 6)
d. (ax −b)(cx + d) e. x
3
(2 −3x)(1 + x) f. (x
2
− 7)(3x
3
− 5)
−2
Bài 54 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a.
x
2
+ 3
x
b.
4x
x + 5
c.
x
4
+ 3x
2
+ 5
x
2
− 1
d.
ax
2
+ b
cx + d
Bài 55 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. y = (3x
2
− 13)
3
b. y = (8x
3
− 5)
9
c. y =
4
x
3
x
2
+ 3
c. y = ln(3x
4
− x
3
) d. y = e
x
2
+1
x
e. y = e
x
3
. log
2
x
2
x + 1
Bài 56 Cho hàm tổng chi phí C = Q
3
− 5Q
2
+ 14Q + 75. Hãy viết hàm chi phí biến đổi V C, tìm
đạo hàm của hàm V C và đưa ra nhận xét.
Bài 57 Cho hàm chi phí trung bình, AC = Q
2
−4Q + 214 +
50
Q
, tìm hàm MC và F C. Nêu ý nghĩa
của giá trị MC tại mức Q = 5.
Bài 58 Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 −2Q.
a. Tìm hàm tổng doanh thu R và hàm doanh thu cận biên MR.
b. Vẽ đường AR và MR trên cùng một hệ trục tọa độ và đưa ra kết luận về độ dốc của chúng.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 11
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
c. Hãng này là hãng cạnh tranh hoàn hảo hay độc quyền?
Bài 59 Chứng minh trong trường hợp tổng quát rằng: Mỗi đường trung bình tuyến tính sẽ tương ứng
với đường cận biên có cùng điểm cắt trên trục tung nhưng có độ dốc gấp đôi đường trung bình.
Bài 60 Cho hàm chi phí trung bình AC = Q
2
− 3Q + 5 +
4
Q
, tìm hàm chi phí cận biên MC, nêu ý
nghĩa kinh tế của giá trị MC tại mức Q = 6, so sánh AC và MC.
Bài 61 a. Cho f(x) = x
2
+ 2x + 1 xác định trên miền x > 0. Chỉ ra rằng f(x) có hàm ngược và tính
đạo hàm của hàm ngược đó.
b. Cho f(x) = x
2
− 2x + 1. Chứng tỏ rằng f(x) không có hàm ngược trên miền x > 0 nhưng có
hàm ngược trên một miền khác. Tìm hàm ngược của f(x) trong miền vừa tìm được và tính đạo
hàm trên miền tương ứng của các hàm ngược vừa tìm được.
Bài 62 Cho các hàm số sau:
a. f (x) = −x
6
+ 6 (x > 0) b. f (x) = 2x
5
+ 2x
3
+ x
a. Chứng minh rằng các hàm số trên tồn tại hàm ngược f
−1
trên mỗi miền cho tương ứng.
b. Tính giá trị của từng hàm ngược f
−1
(5) và đạo hàm từng hàm ngược (f
−1
)
′
(5).
Bài 63 Chứng minh rằng hàm chi phí C = Q
3
+ 2Q + 5 có hàm ngược với mọi Q > 0, gọi hàm
ngược đó z = z(C), tính z(8) và z
′
(8).
Bài 64 Cho các hàm số sau:
a. y = −x(x
2
+ 3) b. y = (x − 8)(7x + 5)
c. y =
x
x
2
+ 1
a. Tính vi phân dy của các hàm số trên.
b. Tìm hệ số co giãn ε
yx
của các hàm số trên.
c. Tính các giá trị ε
yx
(1) và nêu ý nghĩa của các giá trị này.
Bài 65 Cho hàm tiêu dùng C = a + bY (với a > 0, 0 < b < 1).
a. Tìm hàm cận biên và hàm trung bình của hàm tiêu dùng trên.
b. Tìm hệ số co giãn ε
CY
của tiêu dùng theo thu nhập và xác định dấu của nó với Y > 0.
c. Chứng tỏ rằng hàm tiêu dùng trên ít co giãn tại mọi mức thu nhập dương.
Bài 66 Cho hàm cầu có dạng Q = 40 −2P .
a. Tìm hệ số co giãn của cầu theo giá.
b. Với những giá trị nào của P thì hàm cầu là kém co giãn?
Bài 67 Cho hàm cầu có dạng Q = Q(P ) = AP
−β
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 12
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Tìm hàm cầu ngược P = P (Q).
b. Tính hệ số co giãn ε
QP
và ε
P Q
. Hai hệ số co giãn này liên hệ với nhau như thế nào?
Bài 68 Cho hàm cầu của một loại hàng hóa có dạng Q = 56 − P − P
2
. Tính hệ số co dãn của hàm
cầu trên tại mức P = 5 và nêu ý nghĩa của nó. Với giá trị nào của P thì hàm cầu ít co dãn.
Bài 69 Tìm đạo hàm cấp hai và cấp ba của các hàm sau đây:
a. y = ax
2
+ bx + c b. y = 6x
4
− 3x −4
c. y =
2x
1 −x
(x ̸= 1) d. y =
1 + x
1 −x
(x ̸= 1)
Bài 70 Cho các hàm số sau:
a. y = −2x
2
+ 4x
b. y = x
3
− 6x + 4
c. y = −x
3
+ 3x
2
− 3x
d. y = e
−x
(x
2
+ 1)
e. y =
x
2
+ 3x + 3
x + 1
f. y = x −
√
x
2
+ x + 2
g. y = Ke
√
x−rx
h. y = K2
√
t
e
−rt
a. Tìm các giá trị dừng của các hàm số trên và kiểm tra xem giá trị dừng nào là giá trị cực đại hay cực
tiểu của các hàm số đó
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm trên miền xác định của nó.
Bài 71 Cho T = Φ(x) là hàm tổng (chẳng hạn là hàm tổng sản phẩm hay tổng chi phí)
a. Viết biểu thức của hàm cận biên M và hàm trung bình A.
b. Chứng minh rằng khi A đạt cực trị thì M và A nhận cùng giá trị.
c. Tính chất tổng quát nào của kết trên gợi ý cho ta khi vẽ đường cận biên và đường trung bình trên
cùng một hệ trục tọa độ.
d. Có thể kết luận gì về hệ số co giãn của hàm tổng T tại điểm mà A đạt cực trị.
Bài 72 Cho hàm số y = a −
b
c + x
(a > 0, b > 0, c > 0; x 0). Hãy xác định hình dáng tổng quát
của đồ thị hàm số bằng cách xét
a. Đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số.
b. Điểm cắt với trục tung, giới hạn của y khi x dần tới vô cùng.
c. Nếu hàm số trên là hàm tiêu dùng thì các hệ số phải thỏa mãn điều kiện gì để có tính hợp lý trong
kinh tế.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 13
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 73 Ông Dương muốn làm một bồn hoa hình chữ nhật có một cạnh dọc theo bờ tường của căn nhà
còn ba cạnh còn lại được căng bằng lưới sắt với tổng chiều dài bằng 4m. Hỏi ông Dương phải xác
định chiều dài L và chiều rộng W bằng bao nhiêu để bồn hoa có diện tích lớn nhất?
Bài 74 Nếu biểu thức C = C(Q) = aQ
3
+ bQ
2
+ cQ + d có hệ số b = 0 hoặc b > 0 thì đường chi
phí cận biên có hình dạng như thế nào?
Bài 75 Hãy chứng minh các khẳng định sau về hình dạng của các đường chi phí:
a. Trừ AF C và C, tất cả các đường chí còn lại đều có dạng chữ U (do bị chi phối bởi quy luật hiệu
suất giảm dần của các nhân tố sản xuất).
b. MC cắt AC và AV C tại các điểm cực tiểu của chúng.
c. Khoảng cách theo chiều dọc của AV C và AC giảm dần khi mức sản lượng tăng lên.
d. Nếu M C đạt cực tiểu tại mức sản lượng Q
1
và AC đạt cực tiểu tại mức sản lượng Q
2
thì Q
1
< Q
2
.
e. Đường AV C luôn đạt giá trị cực tiểu tại mức sản lượng thấp hơn so với AC.
Bài 76 Cho hàm cầu và hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp có dạng
C =
1
3
Q
3
− 7Q
2
+ 111Q + 50,
Q = 100 −P.
a. Hàm tổng chi phí có thỏa mãn những điều kiện về hệ số của hàm tổng chi phí bậc ba không?
b. Viết hàm tổng doanh thu R theo Q.
c. Tính hàm lợi nhuận Π theo Q.
d. Tìm mức sản lượng đầu ra Q để đạt được lợi nhuận tối đa và tính giá trị lợi nhuận đó.
Bài 77 Hàm lợi nhuận bậc hai Π(Q) = hQ
2
+ jQ + k được sử dụng để phản ánh sự tiêu dùng như
sau:
a. Nếu không có hàng hóa nào được sản xuất thì lợi nhuận sẽ âm (bởi vì có chi phí cố định).
b. Hàm lợi nhuận là lõm.
c. Lợi nhuận tối đa đạt được tại mức sản lượng Q dương.
Hãy xét xem những hệ số của hàm lợi nhuận phải thỏa mãn điều kiện gì?
Bài 78 Giả sử rằng doanh nghiệp có hàm chi phí có dạng C(Q) = 5Q
4
+ 120. Tìm hàm chi phí cận
biên MC và hàm chi phí trung bình. Tìm mức sản lượng Q để chi phí trung bình là nhỏ nhất. Nếu
P = 160 thì mức sản lượng làm tối đa hóa lợi nhuận Q bằng bao nhiêu?
Bài 79 Một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo chỉ có một biến đầu vào là lao động
L với mức lương trả cho mỗi lao động trên mỗi kỳ là W
0
. Tổng chi phí đầu vào cố định của doanh
nghiệp là F đô la trên mỗi kỳ. Giá của một sản phẩm là P
0
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 14
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Viết hàm sản xuất, hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của doanh nghiệp.
b. Đưa điều kiện trong việc tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
Bài 80 Một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo chỉ có một biến đầu vào là lao động
L với mức lương trả cho mỗi lao động trên mỗi kỳ là W
0
. Tổng chi phí đầu vào cố định của doanh
nghiệp là F đô la trên mỗi kỳ. Giá của một sản phẩm là P
0
và hàm sản xuất có dạng Q = f(L) = L
2/3
.
a. Viết hàm sản phẩm cận biên theo lao động và từ đó chứng tỏ rằng hàm sản xuất thỏa mãn tính chất
sản phẩm cận biên theo lao động giảm dần.
b. Tìm mức lao động để tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
Bài 81 Giả sử rằng trong ngắn hạn một doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo có giá sản
phẩm là P
0
, mức lương trả cho mỗi lao động trên mỗi kì là W
0
, chi phí thuê một đơn vị tư bản là R và
lượng tư bản cố định là K
0
. Hàm sản xuất ngắn hạn của doanh nghiệp Q = f(L) tính theo số lượng
lao động L được cho bởi
Q = f(L) = (1 + L
1/2
)
2
.
a. Viết hàm sản phẩm cận biên theo lao động và từ đó chứng tỏ rằng hàm sản xuất thỏa mãn tính chất
sản phẩm cận biên theo lao động giảm dần.
b. Viết hàm lợi nhuận của doanh nghiệp. Tìm mức lao động để tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.
c. Tìm hàm chi phí của doanh nghiệp C(Q), tính MC(Q) và chỉ ra rằng C(Q) là hàm lồi. Doanh
nghiệp có bao giờ sản xuất tại mức sản lượng Q < 1 không?
Bài 82 Cho hàm doanh thu trung bình có dạng
AR = f (Q) = 8000 −23Q + 1, 1Q
2
− 0, 018Q
3
.
a. Ký hiệu S là độ dốc của đường AR, viết biểu thức của S.
b. Tìm giá trị cực đại S
max
của S bằng cách sử dụng dấu hiệu đạo hàm cấp hai.
c. Từ giá trị của S
max
hãy suy ra rằng đường AR có độ dốc âm.
Bài 83 Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. log
10
1000 b. log
10
0.0001 d. log
5
3125 f. (e
ln 5
)!
e. ln
1
e
3
g. ln e
−4
h. ln e
x
− e
ln x
i. (log
4
e)(log
e
64)
Bài 84 Chuyển các hàm sau sang dạng hàm mũ tự nhiên (cơ số e):
a. y = 8
3t
b. y = 2.7
2t
c. y = 5.5
t
d. y = 2.15
4t
Bài 85 Chuyển các hàm sau sang dạng hàm logarit tự nhiên (cơ số e):
a. y = log
7
x b. y = log
8
3x c. y = 3 log
15
9x d. y = 2 log
10
y
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 15
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 86 Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a. y = e
2t+4
b. y = e
1−7t
c. y = te
t
2
+1
d. y = t
2
e
2−t
2
e. y = 2
ax
2
+bx+c
f. y = 3
2
x
g. y = x2
√
x
h. y = x
2
2
x
Bài 87 Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a. y = ln(8t
5
) b. y = ln(5(t + 1)
2
) c. y = ln[t(1 − t)
8
] d. y = ln
3t
1 + t
e. y = log
2
(x + 3) f. y = log
7
(7x
2
) g. y = x log
2
(8x
2
+ 3) h. y = x
2
log
3
(x.3
x
)
Bài 88 Tìm đạo hàm của các hàm số sau bằng cách sử dụng logarit
a. y =
3x(x + 1)
(x + 2)(x + 3)
b. y = (x
2
+ 3)e
2x
2
+1
c. y = x
x
Bài 89 Giả sử hàm sản xuất trong ngắn hạn cho bởi:
Q = f(L) = L
1
4
e
ln(L
10
)/80−ln(L
−
2
16
)−
1
2
ln(
1
4
)
,
ở đây Q là sản phẩm đầu ra và L là số lao động. Tính hàm sản phẩm cận biên theo lao động và chỉ ra
rằng hàm sản phẩm cận biên theo lao động giảm dần.
Bài 90 Viết các giá trị sau dưới dạng biểu thức mũ.
a. 10$, được tính kép liên tục với lãi suất 5% trong 3 năm.
b. 690$, được tính kép liên tục với lãi suất 4% trong 2 năm.
Bài 91 Tìm tỉ lệ lãi suất kép liên tục trên năm (r) tương đương với tỉ lệ lãi suất kép rời rạc (i) của:
a. 5 phần trăm trên năm, được tính kép hàng năm.
b. 5 phần trăm trên năm, được tính kép nửa năm.
c. 6 phần trăm trên năm, được tính kép nửa năm.
c. 6 phần trăm trên năm, được tính kép một phần tư năm.
Bài 92 Xác định tốc độ tăng của y trong các trường hợp sau:
a. y = Ae
0.02t
b. y = 3e
t
c. y = 2
t
t
2
d. y =
t
3
t
Bài 93 Cho u = f(t) và v = g(t) là các hàm theo thời gian. Chứng minh các tính chất về tốc độ tăng
của các hàm sau:
a. r
uv
= r
u
+ r
v
c. r
u+v
=
u
u + v
r
u
+
v
u + v
r
v
b. r
u/v
= r
u
− r
v
d. r
u−v
=
u
u −v
r
u
−
v
u −v
r
v
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 16
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 94 Cho dân số thế giới tăng theo hàm H = H
0
2
αt
và tiêu dùng tăng theo hàm C = C
0
e
βt
.
a. Tìm tốc độ tăng của dân số, của tiêu dùng và của tiêu dùng trên đầu người.
b. Với điều kiện nào của α, β thì tốc độ tăng trưởng của tiêu dùng lớn hơn tốc độ tăng trưởng của
dân số, nêu ý nghĩa của quan hệ đó.
Bài 95 Một người buôn rượu sở hữu một lượng rượu nhất định. Ông ta có thể đem bán rượu tại thời
điểm hiện tại (t = 0) để được số tiền là K = 50000$ hoặc để lại bán với số tiền cao hơn trong tương
lai. Cho biết giá trị V của rượu tăng theo thời gian bởi hàm V = Ke
√
t/2
. Biết rằng tỉ lệ lãi suất kép
liên tục của ngân hàng là 5% trên năm và chi phí tích trữ rượu bằng 0.
a. Hãy tính xem người buôn rượu nên bán lượng rượu của mình vào thời điểm nào để thu về lợi
nhuận cao nhất.
b. Hãy tính xem người buôn rượu nên bán lượng rượu của mình vào thời điểm nào để thu về lợi
nhuận cao nhất nếu ông ta không muốn giữ rượu của mình quá 20 năm.
Bài 96 Giả sử giá trị của một lượng gỗ (đã được trồng trên một diện tích nhất định) là hàm tăng theo
thời gian V = 2
√
t
, biểu diễn trên đơn vị là 1000$. Hãy tính thời điểm tối ưu để chặt gỗ bán, biết rằng
tỉ lệ lãi suất kép liên tục của ngân hàng là r trên năm và chi phí chăm sóc gỗ bằng 0.
Bài 97 Tìm
∂y
∂x
1
và
∂y
∂x
2
của các hàm sau đây:
a. y = 2x
3
1
− 11x
2
1
x
2
b. y = (2x
2
1
+ 3)(x
3
2
− 2x
1
) c. y = ln(x
4
1
+ x
2
1
x
3
2
)
d. y =
4x
1
+ 3
x
2
+ 2
e. y = x
2
e
x
1
x
2
2
f. y =
x
3
1
e
x
2
1 + 3x
2
1
+ x
4
2
Bài 98 Cho các hàm số sau:
a. f (x, y) = x
2
+ 5xy − y
3
b. f (x, y) = (x
2
− 3y)(x −2)
c. f (x, y) =
2x −3y
x + y
d. f (x, y) =
x
2
− 1
xy
a. Tính các đạo hàm riêng f
′
x
và f
′
y
.
b. Tính các giá trị f
′
x
(1, 2) của các hàm số trên.
Bài 99 Cho hàm cầu của một hàng hóa có dạng
Q
d
= P
−3
P
2
1
P
−5
2
Y
2
trong đó P là giá của hàng hóa đang xét, Y là thu nhập và P
1
, P
2
là giá của hai hàng hóa liên quan
khác.
a. Tính các đạo hàm riêng của Q
d
theo giá P , thu nhập Y , giá hai hàng hóa khác P
1
, P
2
.
b. Tính các hệ số co giãn riêng của cầu Q
d
theo giá P , thu nhập Y , giá hai hàng hóa khác P
1
, P
2
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 17
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
c. Từ kết quả tính được ở câu (a), (b), hãy nhận xét về hàng hóa đang mua và mối liên hệ của hàng
hóa đang mua với hai hàng hóa liên quan được đề cập đến.
Bài 100 Cho hàm sản xuất Q = 96K
0,3
L
0,7
,
a. Tìm hàm sản phẩm cận biên theo vốn MP
K
=
∂Q
∂K
và hàm sản phẩm cận biên theo lao động
MP
L
=
∂Q
∂L
.
b. Hàm MP
K
, M P
L
chỉ phụ thuộc vào K hay phụ thuộc vào cả K và L. Tính M P
K
và MP
L
tại
mức K = 12, L = 20 và nêu ý nghĩa của nó.
c. Tính các hệ số co giãn riêng ε
QK
và ε
QL
.
d. Chứng minh rằng hàm sản xuất đã cho thỏa mãn tính chất sản phẩm cận biên theo lao động giảm
dần và sản phẩm cận biên theo vốn giảm dần.
e. Các hệ số α và β của hàm sản xuất Q = AK
α
L
β
phải thỏa mãn những điều kiện gì để có tính hợp
lí trong kinh tế.
Bài 101 Cho hàm ích lợi cá nhân có dạng
U(x
1
, x
2
) =
x
1
(2x
2
+ 3),
với U(x
1
, x
2
) là hàm tổng ích lợi nhận được khi mua hai hàng hóa với số lượng tương ứng là x
1
, x
2
.
a. Tìm hàm ích lợi cận biên của mỗi mặt hàng.
b. Tính các hệ số co giãn riêng của hàm ích lợi theo từng mặt hàng.
b. Tìm giá trị của hàm ích lợi cận biên và giá trị của hệ số co giãn nếu x
1
= 100, x
2
= 111 và nêu ý
nghĩa của những giá trị vừa tìm được.
Bài 102 Hàm cung của một hàng hóa được xác định bởi: Q = a + bP
2
+ R
1/2
, (a < 0, b > 0, R
là lượng mưa).
a. Hãy tìm các hệ số co giãn riêng ε
QP
và ε
QR
.
b. Hai hệ số co giãn ε
QP
và ε
QR
thay đổi thế nào khi P, R thay đổi và đó có phải là các hàm đơn điệu
không khi giả sử P, R là các số dương.
Bài 103 Việc xuất khẩu trong nước Y ra nước ngoài phụ thuộc vào hai yếu tố: thu nhập ở nước ngoài
X và mức giá trong nước P được cho bởi hàm Y = X
1/2
+ P
−2
. Hãy tìm hệ số co giãn ε
Y X
, ε
Y P
tại
mức X = 30, P = 5, nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
Bài 104 Nhu cầu nhập khẩu của một loại hàng (EM) phụ thuộc vào thu nhập (Y ) và thuế nhập khẩu
(T ) có dạng như sau:
EM = Y
0,1
T
−0,3
a. Hãy xác định hệ số co giãn của nhu cầu nhập khẩu theo thu nhập, theo thuế nhập khẩu và cho
biết ý nghĩa kinh tế của chúng.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 18
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
b. Trong mô hình trên, để hạn chế nhập khẩu nhằm bảo hộ hàng hóa trong nước, nhà nước có thể
có những biện pháp gì?
Bài 105 Cho mô hình thị trường hàng hóa đơn:
Q
d
= a −bP (a, b > 0),
Q
s
= −c + dP (c, d > 0).
a. Hãy tính các đạo hàm so sánh tĩnh của lượng cân bằng trong mô hình thị trường trên.
b. Xét dấu của các đạo hàm này và nêu ý nghĩa và minh họa kết quả bằng cách phân tích đồ thị.
Bài 106 Giả sử rằng sản lượng táo Q
1
và sản lượng mật ong Q
2
liên quan đến lượng mưa R và lượng
ánh sáng mặt trời S bởi mô hình:
Q
1
− Q
2
− 2R
2
+ S
2
= 0
2Q
1
+ Q
2
+ R
3
+ S
3
− 13R
2
− 13S
2
= 0
Ở đây, Q
1
, Q
2
là các biến nội sinh, R, S là các biến ngoại sinh. Hãy tính các đạo hàm so sánh tĩnh
trong mô hình trên và xét dấu các đạo hàm đó.
Bài 107 Cho mô hình thu nhập quốc dân:
Y = C + I
0
+ G
0
, (1)
C = α + β(Y −T ), (α > 0, 0 < β < 1) (2)
T = γ + δY, (γ > 0, 0 < δ < 1) (3)
Hãy tính các đạo hàm so sánh tĩnh
∂Y
∂I
0
,
∂Y
∂α
và
∂Y
∂β
. Xét dấu và nêu ý nghĩa kinh tế của chúng.
Bài 108 Tìm vi phân toàn phần của các hàm sau:
a. z = 3x
2
+ xy −2y
3
b. z = 2x + 9xy + y
2
c. y =
x
1
x
1
+ x
2
d. y =
2x
1
x
2
x
1
+ 2x
2
Bài 109 Cho y = 3x
1
(2x
2
− 1)(x
3
+ 5).
a. Tìm dy bằng cách sử dụng tính chất d(uvw) = vwdu + uwdv + uv dw.
b. Tìm vi phân của y nếu dx
2
= dx
3
= 0.
c. Từ kết quả trên hãy suy ra biểu thức của đạo hàm riêng
∂y
∂x
1
.
Bài 110 Tìm đạo hàm toàn phần
dz
dy
của các hàm sau đây:
a. z = 2x + xy − y
2
, với x = 3y
2
.
b. z = 6x
2
− 3xy + 2y
2
, với x =
1
y
.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 19
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
c. z = (x + y)(x − 2y), với x = 2
3y+1
.
Bài 111 Tìm đạo hàm toàn phần
dz
dt
của các hàm sau đây:
a. z = x
2
− 8xy − y
3
, với x = 3t và y = 1 −t
2
.
b. z = 3u
4
+ vt
2
, với u = 2t
2
và v =
√
t + 1.
c. z = f(x, y, t), với x = 1 + 4t
3
và y = 3 − 2t.
Bài 112 Giả sử rằng từ phương trình F (U, x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0 xác định cho ta hàm lợi ích U =
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
a. Tính các biểu thức
∂U
∂x
2
và
∂x
2
∂x
3
.
b. Xác định dấu của
∂x
2
∂x
3
và nêu ý nghĩa kinh kế của nó.
Bài 113 Trong các phương trình được cho dưới dạng F (y, x) = 0 sau đây phương trình nào tồn tại
hàm ẩn y = f(x) xác định tại lân cận của điểm (y = 3, x = 1)?
a. x
3
− 2x
2
y + 3xy
2
− 22 = 0.
b. 2x
2
+ 4xy − y
4
+ 67 = 0.
Nếu tồn tại, tìm
dy
dx
bằng quy tắc đạo hàm hàm ẩn và tính giá trị của nó tại điểm đã cho.
Bài 114 Có tồn tại hay không hàm ẩn z = f(x, y) của phương trình
x
2
+ 3xy + 2yz + y
2
+ z
2
− 11 = 0
xác định tại lân cận điểm (z = 0, x = 1, y = 2). Nếu có, hãy tìm
∂z
∂x
,
∂z
∂y
và tính các giá trị của chúng
tại điểm đã cho.
Bài 115 Tính y
′
(x) và y
′′
(x) tại điểm x = 0, y = 1 biết rằng x
2
− xy + 2y
2
+ x − y −1 = 0.
Bài 116 Cho phương trình F (x, y, z) = 0 trong đó mỗi một trong ba biến x, y, z là hàm của hai biến
còn lại. Hãy tính giá trị của biểu thức
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
, giả sử rằng các đạo hàm riêng đưa ra là tồn tại.
Bài 117 Tìm đạo hàm của các hàm ẩn z = z(x) và y = y(x) xác định bởi các hệ phương trình tại
điểm tương ứng:
a.
x + y + z = 0
x
2
+ y
2
+ z
2
= 2
tại (0, 1, −1) b.
xy + yz + zx = 0
x
3
+ y
3
+ z
3
= 1
tại (0, 0, 1).
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 20
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 118 Từ mô hình thu nhập quốc dân:
Y −C − I
0
− G
0
= 0
C − α − β(Y − T ) = 0
T − γ − δY = 0
Hãy tìm nhân tử thuế không đánh vào thu nhập và nhân tử tỉ lệ thuế thu nhập bằng quy tắc đạo hàm
hàm ẩn. Hãy so sánh với kết quả đã tìm được ở chương trước.
Bài 119 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng:
Q
d
= D(P, Y
0
) (D
′
P
< 0; D
′
Y
0
> 0);
Q
s
= S(P, T
0
) (S
′
P
> 0; S
′
T
0
< 0),
ở đây Y
0
là thu nhập và T
0
là thuế đánh vào hàng hóa và cho biết tất cả các đạo hàm riêng của D, S là
liên tục.
a. Viết điều kiện cân bằng và kiểm tra các điều kiện cân bằng của định lí hàm ẩn được thỏa mãn.
b. Tìm các đạo hàm
∂
¯
P
∂Y
0
và
∂
¯
P
∂T
0
, xét dấu và nêu ý nghĩa kinh tế của chúng.
c. Tìm
∂
¯
Q
∂Y
0
từ hàm cung và
∂
¯
Q
∂T
0
từ hàm cầu. Hãy giải thích tại sao ta không tìm
∂
¯
Q
∂Y
0
từ hàm cầu và
∂
¯
Q
∂T
0
từ hàm cung?
Bài 120 Hãy giải bài 119 bằng cách áp dụng định lí hàm ẩn cho hệ phương trình.
Bài 121 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng
Q
d
= D(P, t
0
) (D
P
< 0; D
t
0
> 0);
Q
s
= Q
s0
,
ở đây t
0
là sở thích của người tiêu dùng về hàng hóa trên, cho biết rằng các đạo hàm riêng là liên tục.
a. Viết điều kiện cân bằng và kiểm tra xem các điều kiện cân bằng của định lí hàm ẩn cho một phương
trình có thỏa mãn không?
b. Giá cân bằng biến đổi như thế nào theo sở thích của người tiêu dùng.
Bài 122 Cho mô hình thị trường, với X là lượng xuất khẩu.
Q
d
= 15 − P
3
− 2P
Q
s
= 3P − 1 −
√
X.
Tính giá và sản lượng cân bằng tại mức X = 4. Mức giá lượng cân bằng đó sẽ thay đổi như thế nào
khi X tăng.
Bài 123 Cho hàm cung và hàm cầu của một hàng hóa có dạng:
Q
d
= −P
3
+ 2Y
0
Q
s
= P − 5
trong đó Q
d
, Q
s
tương ứng là lượng cầu và lượng cung, P là giá của hàng hóa, Y
0
là thu nhập.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 21
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
a. Viết điều kiện cân bằng và chứng minh các điều kiện của định lí hàm ẩn được thỏa mãn.
b. Tính đạo hàm
d
¯
P
dY
0
, xét dấu và nêu ý nghĩa kinh tế.
Bài 124 Tìm giá trị cực trị của các hàm số sau và xét xem đó là giá trị cực đại hay cực tiểu.
a. z = x
2
+ xy + 2y
2
+ 3.
b. z = −x
2
+ xy −y
2
+ 2x + y.
c. z = e
2x
− 2x + 2y
2
+ 3.
d. z = ax
2
+ by
2
+ c, xét trong cả ba trường hợp: a,b cùng dương, a,b cùng âm và a,b trái dấu.
Bài 125 Cho các hàm số sau:
1. z = x
2
1
+ 3x
2
2
− 3x
1
x
2
+ 4x
2
x
3
+ 6x
2
3
2. z = 29 − (x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
)
3. z = x
1
x
3
+ x
2
1
− x
2
+ x
2
x
3
+ x
2
2
+ 3x
2
3
4. z = e
x
+ e
y
+ e
w
2
− 2e
w
− (x + y)
5. z = e
2x
+ e
−y
+ e
w
2
− (2x + 2e
w
− y)
Với mỗi hàm số trên, hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a. Tìm các giá trị dừng của hàm số.
b. Kiểm tra xem giá trị dừng nào là giá trị cực trị của hàm số.
c. Giá trị cực tiểu (cực đại) nào có thể khẳng định là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của hàm số.
Bài 126 Nếu hàm chi phí của một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa trong thị trường cạnh tranh
hoàn hảo có dạng C = 2Q
2
1
+ 2Q
2
2
. Hãy xét xem:
a. Việc sản xuất hai loại hàng hóa trên có liên quan đến nhau không?
b. Mức sản lượng tối ưu Q
1
và Q
2
bằng bao nhiêu?
c. Tính giá trị của Π
12
và nêu ý nghĩa kinh tế.
Bài 127 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại hàng hóa có hàm cầu và hàm chi phí cho bởi:
Q
1
= 40 − 2P
1
− P
2
Q
2
= 40 − P
1
− P
2
C = Q
2
1
+ 2Q
2
2
+ 10.
a. Hai hàng hóa trên là hàng hóa bổ sung hay thay thế?
b. Tìm mức sản lượng Q
1
và Q
2
để tối đa hóa lợi nhuận và tìm mức lợi nhuận tối đa đó.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 22
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 128 Cho một công ty độc quyền có các hàm doanh thu trung bình riêng tính dựa theo các giá
riêng như sau:
P
1
= 63 − 4Q
1
P
2
= 105 − 5Q
2
P
3
= 75 − 6Q
3
,
và hàm tổng chi phí là C = 20 + 15Q, Q = Q
1
+ Q
2
+ Q
3
.
a. Tìm các mức giá riêng và lượng riêng trong mỗi thị trường để lợi nhuận doanh nghiệp là tối đa.
b. Hãy tính các hệ số co giãn riêng của cầu |ε
d
i
| (i = 1, 2, 3) tại mức giá và lượng tối ưu tìm được ở
câu a Thị trường nào có cầu co giãn lớn nhất, nhỏ nhất?
Bài 129 Nếu hàm chi phí bài tập 128 đổi thành C = 20 + 15Q + Q
2
. Tìm các mức giá riêng và lượng
riêng trong mỗi thị trường để lợi nhuận doanh nghiệp là tối đa.
Bài 130 Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q = 5K
0,7
L
0,2
, trong đó Q là sản lượng,
K là vốn, L là lao động. Biết rằng giá bán sản phẩm là 80, giá thuê mỗi đơn vị vốn là 12, tiền lương
của mỗi lao động là 20.
a. Tìm hàm sản lượng cận biên theo lao động và tư bản. Chứng minh rằng các hàm này dương và
hàm sản lượng cận biên theo lao động và tư bản tương ứng là hàm giảm theo lao động và tư bản.
b. Nếu công ty cùng tăng quy mô sử dụng vốn và lao động lên 30% thì có hiệu quả hay không?
c. Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận là lớn nhất và tính lợi nhuận đó.
Bài 131 Xét các hàm số sau với điều kiện ràng buộc tương ứng:
a. f(x, y) = xy, ràng buộc bởi x + 2y = 2.
b. f(x, y) = xy, ràng buộc bởi x + y = 8.
c. f(x, y) = x −3y −xy, ràng buộc bởi x + y = 6.
d. f(x, y) = 7 −y + x
2
, ràng buộc bởi x + y = 0.
e. f(x, y) = 10x
0,4
y
0,6
, ràng buộc bởi điều kiện 8x + 6y = 15.
f. f(x, y) = x + y với điều kiện x
2
+ 2y
2
= 18.
Hãy thực hiện các yêu cầu sau:
i. Tìm các giá trị dừng của mỗi hàm số.
ii. Tìm các giá trị cực trị của mỗi hàm số.
iii. Tìm các giá trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số.
Bài 132 Hãy xét xem nếu giá trị c trong điều kiện ràng buộc g(x, y) = c tăng thêm 1 thì giá trị cực
trị trong mỗi câu ở bài 131 tăng hay giảm và tăng, giảm bao nhiêu?
Bài 133 Chứng minh rằng nếu hàm Lagrange được viết dưới dạng z = f (x, y) + λ[g(x, y) − c] thì
dz
dc
= −λ. Từ đó hãy lí giải tại sao ta thường chọn viết hàm Lagrange là z = f(x, y) + λ[c −g(x, y)]
chứ không phải là z = f (x, y) + λ[g(x, y) −c].
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 23
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 134 Xét các hàm số sau với điều kiện ràng buộc tương ứng:
a. f(x, y, w) = x + 2y + 3w + xy −yw, ràng buộc bởi x + y + 2w = 0.
b. f(x, y, w) = x
3
+ y
3
+ z
3
, ràng buộc bởi x + y + w = 3.
c. f(x, y, w) = x
2
+ 2xy + yw
2
, ràng buộc bởi 2x + y + w
2
= 24 và x + w = 8.
i. Tìm các giá trị dừng của mỗi hàm số.
ii. Tìm các giá trị cực trị của mỗi hàm số.
iii. Tìm các giá trị giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số.
Bài 135 Ích lợi mà một cá nhân thu được về khi mua hàng hóa thứ nhất và thứ hai với số lượng lần
lượt là x, y cho bởi:
U =
(x + 2)(y + 1)
Cho biết giá mua của từng hàng hóa là P
x
= 4, P
y
= 6 và lượng tiền mà người này dùng để mua hai
hàng hóa là B = 130.
a. Hãy viết hàm Lagrange.
b. Tìm mức mua tối ưu của từng hàng hóa x, y mà người này chọn mua để ích lợi thu được về là cao
nhất.
c. Khi thu nhập B = 131, không giải lại bài toán, hay cho biết lợi ích tối ưu thay đổi như thế nào?
Bài 136 Ích lợi mà một cá nhân thu được về khi mua hàng hóa thứ nhất và thứ hai với số lượng lần
lượt là x, y cho bởi:
U =
(x + 2)(y + 1)
Cho biết giá mua của từng hàng hóa là P
x
, P
y
và lượng tiền mà người này dùng để mua hai hàng hóa
là B.
a. Hãy viết hàm Lagrange.
b. Tìm mức mua tối ưu của từng hàng hóa x, y theo P
x
, P
y
, B mà người này chọn mua để ích lợi thu
được về là cao nhất.
c. Tính các đạo hàm riêng của x, y theo P
x
, P
y
, B. Xét dấu của các đạo hàm riêng này và đưa ra nhận
xét.
Bài 137 Cho hàm sản xuất có dạng Q(K, L) = 100K
0,4
L
0,6
, trong đó K là vốn, L là lao động và
thỏa mãn điều kiện ràng buộc 2K + 5L = 60.
a. Viết hàm Lagrange.
b. Tìm K và L để tối đa hóa sản lượng và tìm mức sản lượng tối đa đó.
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 24
Đại số tuyến tính, Giải tích và Ứng dụng
Bài 138 Một doanh nghiệp sản xuất hai hàng hóa trong thị trường độc quyền. Giả sử nhu cầu thị
trường Q
1
, Q
2
về mỗi loại hàng này phụ thuộc theo giá tương ứng P
1
, P
2
của từng hàng hóa cho bởi:
Q
1
= 1200 − 2P
1
+ P
2
Q
2
= 1440 + P
1
− P
2
.
Hàm tổng chi phí sản xuất C phụ thuộc vào mức sản lượng Q
1
, Q
2
của mỗi loại hàng được cho bởi:
C = C(Q
1
, Q
2
) = 480Q
1
+ 720Q
2
+ 400.
Tìm mức sản lượng và mức giá của mỗi loại hàng sao cho lợi nhuận của doanh nghiệp là cực đại biết
rằng tổng chi phí sản xuất bị hạn chế ở mức C
0
= 331600.
Bài 139 Một doanh nghiệp sản xuất được cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm. Để sản xuất
doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu có đơn giá lần lượt là 10 và 40 đơn vị tiền. Được biết nếu mua
x, y đơn vị nguyên liệu mỗi loại thì sẽ sản xuất được 10
√
xy sản phẩm, ngoài ra giá nguyên liệu cũng
như giá sản phẩm trên thị trường sản phẩm trên thị trường sẽ không thay đổi trong suốt chu kì sản
xuất. Vậy doanh nghiệp này sẽ mua mỗi loại nguyên liệu với số lượng như thế nào để lợi nhuận đạt
cực đại?
Bài 140 Một trung tâm thương mại nhận thấy rằng doanh thu của trung tâm phụ thuộc vào thời lượng
quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên truyền hình (y phút) với hàm doanh thu như sau:
R = 320x −2x
2
− 3xy − 5y
2
+ 540y + 1000.
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên truyền hình là 4 triệu đồng.
Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.
a. Hãy xác định thời gian quảng cáo x, y để doanh thu đạt cực đại.
b. Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng thêm một triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ bằng bao
nhiêu?
Bài 141 Một chiếc hồ bị ô nhiễm bởi hai nguồn chất thải. Sử dụng một biện pháp người ta có thể
đánh giá độ ô nhiễm của nước hồ do từng nguồn chất thải gây ra. Chính quyền đã ngăn chặn dòng
chất thải và sẽ tiếp tục làm sạch hồ bằng ngân sách của địa phương. Người ta tính được rằng với chi
phí C
1
, C
2
thì độ ô nhiễm của hồ do hai nguồn chất thải gây ra sau khi làm sạch là Z
1
, Z
2
xác định
như sau
Z
1
= 478 − 2C
0.5
1
, Z
2
= 600 − 3C
0.5
2
Chính quyền địa phương muốn tổng mức độ ô nhiễm ở mức chấp nhận được là 1000 (hiện tại tổng
mức ô nhiễm đang cao hơn là 1346). Tìm phương pháp với chi phí thấp nhất để thực hiện việc đó.
Bài 142 Tìm các tích phân không xác định sau:
1.
16x
−3
dx
2.
2e
−2x
dx
3.
13e
x
dx
4.
3e
−(2x+7)
dx
5.
9x
8
dx
6.
4x
x
2
+ 1
dx
7.
(3e
x
+
4
x
)dx
8.
4xe
x
2
+3
dx
9.
(x
5
− 3x)dx
Bộ môn Toán - Đại học Thăng Long 25
