Luận văn đa thức tâm trên đại số các ma trận và ứng dụng trên các đại số khác

Đa thức tâm trên đại số các ma trận và
ứng dụng trên các đại số khác

Nguyễn Thị Hồng

ĐHSP Tp.HCM, 2004


MỞ ĐẦU
Người ta đã đưa ra khái niệm "Một đa thức f(x1,… , xn) được gọi
là đa thức tâm trên A nếu f không là một đồng nhất thức trong A
nhưng giao hoán tử [f(x1,…, xn ),xn+1] là một đồng nhất thức trong A".
Dựa vào đònh nghóa và từ cách xây dựng đồng nhất thức của Wagner
2

thì f (x1, x2)= (x1 x2 - x2 x1 ) là một đa thức tâm trên đại số các ma trận M2(K).
Trong một thời gian dài bài toán đặt ra là xây dựng các đa thức tâm
cho Mn(K), với n >2 để từ đó tìm ra đồng nhất thức thỏa mãn cho các đại số ma
trận Mn(K). Vấn đề này đã được giải quyết một cách cặn kẻ bởi Formanek .

Luận văn này trình bày hệ thống lại phương pháp xây
dựng đa thức tâm trên M n(K) của Formanek và một số ứng
dụng – áp dụng của đa thức tâm trên các đại số khác.
Luận văn gồm 03 chương :
*Chương I : Các vấn đề cơ sở

Trong phần này chủ yếu trình bày một số khái niệm,đònh
lý, bổ đề ( có và không có chứng minh ) làm cơ sở cho
chương II và chương III như : ma trận, đại số đơn tâm , đại số
nguyên tố ,đồng nhất thức , PI đại số ,..., các đònh lý quan
trọng của Pi Đại số như Đònh lý Kaplanski, Wederburn....

*Chương II : Đa thức tâm trên Đại số các ma trận cấp n trên
vành giao hoán có đơn vò
Trong chương này nêu lên đònh nghóa của đa thức tâm,
một số khái niệm dùng làm cơ sở cho việc xây dựng đa
thức tâm trên Mn(K).Phần trọng tâm của chương này là
cách xây dựng đa thức Formanek , từ đó xây dựng được
đa thức tâm cho Mn(K) với n > 2 qua đònh lý Formanek.


*Chương III : Một số áp dụng – ứng dụng của đa thức tâm trong
lý thuyết các PI Đại số
Trong phần này nêu 2 ứng dụng và áp dụng của đa
thức tâm vào việc chứng minh một số kết qủa
trên đại số đơn tâm và đại số nguyên tố

Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các Thầy, Cô Tổ Đại Số
của Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, Trường Đại học Khoa Tự
nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường
ĐHSP cùng tất cả các bạn học viên Cao học Đại số đã nhiệt tình
giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá học.

Tôi xin đặc biệt tri ân PGS. TS Bùi Tường Trí đã tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt qúa trình thực hiện luận văn này.
Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh
khỏi sai sót, kính mong được sự thông cảm và góp ý xây dựng.
Trân trọng cám ơn.

Học viên NGUYỄN THỊ
HỒNG Cao học Đại số

Khoá 12 (2001-2004)
Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh


CHƯƠNG I
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1- Ma trận
1.1.1- Đònh nghóa :
Một ma trận cấp mxn trên K là một hệ thống gồm mn
số aij thuộc một trøng K được đánh số theo hai chỉ số i, j (
với i =1, m và j = 1, n ) được sắp thành một bảng chữ nhật:
....
a 11a 12 a1n
....

A=

a 21a 22

a2n

......................

a a
m1

...
m 2

a

gồm m dòng , n cột , ký hiệu A=( aij)mxn

mn

Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn ký hiệu là M m,n(K) Khi
m = n ta có ma trận vuông cấp n , ký hiệu A = ( aij)n . Tập hợp
tất cả các ma trận vuông cấp n , ký hiệu là Mn(K).

Đối với ma trận vuông A = ( aij)n , các phần tử có hai chỉ
số bằng nhau a11,… , ann nằm trên một đường chéo mà
ta gọi là đường chéo chính của A. Đường chéo còn lại
của hình vuông gọi là đường chéo phụ của A.

1.1.2- Ma trận chéo cấp n
Là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.

A=

a10.....0
0 a
.....0
2

.............
0
0.....

a

n

1.1.3 – M a trận đơn vò cấp n (Ký hiệu I n )


Là ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử
trên đường chéo chính đều bằng 1

1).Ma trận a-λI
n là

In =

10.....0
01.....0
..........

00.....1

1.1.4 – Giá trò riêng
Cho ma trận a∈ Mn(K), số λ được gọi là giá trò riêng
n

của a nếu tồn tại vectơ x = (x1,…, xn) ∈ K \ {0} sao cho


x
a

.

1

x

2

1

x

2

.

.

.
.

.
x

=λ

x

n

x
Vectơ x gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trò
n

riêng λ . Để thuận tiện có thể viết ax =λx
1.1.5 – Vết của một ma trận vuông a cấp n
Là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó , ký hiệu

Tr(a)
1.1.6- Ma trận đặc trưng
Cho a là ma trận vuông cấp n
trên K (n ≥ ma trận đặc trưng của a.
Tính toán trực tiếp đònh thức của ma trận (a- λ I

n

)

là một đa thức bậc n của biến λ với hệ số trên K
gọi là đa thức đặc trưng của ma trận a, ký hiệu là
χa(λ) (hoặc χ(λ) nếu không có sự hiểu lầm)
n n

χa(λ)=det(a - λ I n)=(-1) λ + (-1)

n-1

tr(a) λ

n-1

+….+det a

Phương trình χa(λ)=0 là phương trình đặc trưng của a.


1.1.7 – Đònh lý Hamilton – Caley
Mọi ma trận vuông đều là nghiệm của đa thức
đặc trưng của nó. ∀ a∈Mn(K) , χa(a)=0
n n

⇔ (-1) a + (-1)

n-1

tr(a) a

n-1

+….+det aIn = 0

1.2 - Đa thức
1.2.1 - Đa thức đối xứng
1.2.1.1- Đa thức f ( x1,…, xn ) được gọi là đối xứng
nếu với mọi hoán vò σ của {1,…,n } ta có
f ( x1,…, xn ) = f (x σ (1) ,…, x σ (n) )
Các đa thức đối xứng cơ bản :

σ 1 = x1 + x2+…. + xn
σ 2 = x1 x2 + x1 x3+…. + xn-1xn

σ 3 = x1 x2 x3 + x1x2 x4+…. + xn-2 xn-1xn
………..
σn

=

x1 x2 x3 ….xn-2 xn-1xn

Mọi đa thức đối xứng f ( x 1,…, xn ) thuộc A[x1,.,xn ]
trong đó A là một miền nguyên đều có thể biểu
diễn duy nhất dưới dạng một đa thức Q(σ 1,…, σ n) của
các đa thức đối xứng cơ bản với hệ tử trong A.
1.2.2 - Đa thức tách
Một đa thức P của K[X] gọi là đa thức phân rã trên K khi
và chỉ khi tồn tại λ ∈ K\ {0}, n ∈N* ; x1,….xn ∈ K sao cho
n

P= λ ∏( X − xi) ( các xi không nhất thiết phải khác nhau )
i =1

1.2.3– Đa thức tối tiểu
Cho a∈Mn(K). Khi đo ùtập hợp J= { f(λ) ∈ K [λ] / f (a) = 0}
là một ideal chính khác 0 của K [λ]. Phần tử sinh của J với hệ số


cao nhất bằng 1 được gọi là đa thức tối tiểu của
ma trận a, ký hiệu pa(λ).
-Nhận xét : Đa thức tối tiểu pa(λ) là ước trong K[λ]
của mọi đa thức g(λ) ∈K[λ] nhận a là nghiệm.
1.2.4- Dạng song tuyến tính

Với K là trường có đặc số khác 2 (tức là 2.1K
≠ 0K), E là một K- khơng gian vectơ
Ta gọi mọi ánh xạ ϕ : E x E → K sao cho :
(i) ∀α∈K , ∀ (x,x',y)∈ E3 , ϕ(αx+x',y)= αϕ(x,y)
+ϕ(x',y) (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ nhất )
(ii) ∀β∈K , ∀ (x,y,y')∈ E3 , ϕ(x,βy+y')= βϕ (x,y) +
ϕ(x,y') (ϕ là tuyến tính đối với vị trí thứ hai )
là dạng song tuyến tính trên E x E
1.3 - Một số đònh nghóa và kết qủa
- M là một R -Mun trung thành nếu Mr = (0) thì r = 0.
- M được gọi là R- mun bất khả quy nếu MR ≠ (0) và
nếu các modun con của M chỉ là (0) và M.
- Nếu M là một R-mun bất khả quy thì C(M) là một
thể(Bổ đề Schur)
- Vành R được gọi là nửa đơn nếu J(R) = (0)
- Một vành R được gọi là nguyên thủy nếu nó có
một modun bất khả quy trung thành.
- Một vành được gọi là vành Artin nếu mọi tập con
khác rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu.
1.4- Đại số đơn tâm
1.4.1 – Đònh nghóa


2

Một vành R được g là đơn nếu R ≠(0) và R
không có ideal thật sự nào ngoài (0) và chính nó.

K,

va


1.4.2 – Đònh nghóa
A là một đại số trên vành
K nếu : -A là một K-modun

-A là vành
- ∀ k∈K , ∀ a,b ∈ A :
k(ab)=(ka)b=a(kb) 1.4.3– Đònh nghóa
Một đại số A được gọi là đơn tâm trên trường K
nếu A là một đại số đơn có tâm đẳng cấu với K.
(Ta có thể xem như C=K.1) 1.4.4 –Đònh nghóa
Nếu A là một đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên K. Khi đó
F/K (với F là một trường chứa K hay F là trường mở rộng
của K) được gọi là một trường tách được đối với A nếu :
F

A = F ⊗K A ≅
Mn(K) 1.4.5 – Đònh lý
- Bao đóng đại số K của K là trường tách được.
- Nếu A ≅ Mr (Δ) với là một thể và F là trường con
tối đại của , thì F là trường tách được.
Chứng minh :
Với mọi trường F / K thì AF là đại số trên F . Nếu A là đơn tâm
hữu hạn chiều trên F thì AF là đơn tâm hữu hạn chiều với :
F

[A : F ] = [A: K ]
F

Theo đònh lý Wedderburn thì :A ≅ Mn ( ) trong đó là đại
số có phép chia trên F.
Nếu F = K là đại số hữu hạn chiều có phép
chia trên F là thì :


)
≅
K
M n(
trong đó
là trường tách được.

A

K

K

Trong phát biểu thứ hai ta cần đến đònh lý Kaplanski –Atmitsur .
Ta biết nếu A là đại số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính
trên V/ , với là đại số có phép chia và F là trường con tối đại
K

của

thì :

A’= FLA là đại số dày đặc các phép biến đổi trên V/ F .

Áp dụng vào trường hợp đặc biệt A là đơn tâm hữu hạn chiều , ta
có thể lấy V là hữu hạn chiều trên

và là hữu hạn chiều trên K.

Theo bổ đề thì :
A’= FLA ≅ F ⊗K A
Cũng thế ta đã biết A là đại số đầy đủ các phép biến đổi tuyến
tính trên V/F. Vậy là nếu :
[V : F ]= n ⇒ F ⊗K A ≅ Mn(F)
Suy ra F là trường tách được .

Từ kết qủa này ta suy ra hệ qủa sau
Hệ qủa : Số chiều của đại số đơn tâm hữu hạn
chiều là một số chính phương.
1.5 – Đònh lý Wedderburn – Artin :
Giả sử R là một vành đơn Artin, khi đó R đẳng cấu với D n (là
vành của tất cả các ma trận vuông nxn trên thể D). Hơn thế nữa n là
duy nhất. Ngược lại, đối với mọi thể D, Dn là một vành Artin đơn.

1.6 – Khái niệm dày đặc
1.6.1- Đònh nghóa
AM = { aM / a ∈ A} là một đại số dày đặc của các phép biến
đổi tuyến tính trong M trên ∆ nếu:cho trước một tập hữu hạn các


vectơ x1,..,xn thuộc M độc lập tuyến tính trên ∆ và các
vectơ tương ứng bất kỳ y1,…., yn đều tồn tại a ∈ A sao cho

axi = yi với 1 ≤ i ≤

n 1.6.2 – Đònh nghóa
Một tập các phép biến đổi tuyến tính của không gian
vectơ được gọi là dày đặc nếu nó có tính chất đã đề
cập ở 1.6.1 :cho bất kỳ dãy hữu hạn các vectơ độc lập
tuyến tính {xi} và {yi}với 1≤ i≤n thì tồn tại a thuộc A sao cho :

axi = yi với 1 ≤ i ≤ n
1.6.3- Đònh lý dày đặc
Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-modun bất
khả quy trung thành. Nếu = C(M ) thì R là vành dày
đặc các phép biến đổi tuyến tính của không gian
vectơ M trên thể ( nói tắt : R dày đặc trên M )
(Ý nghóa : R dày đặc trong Hom (M,M) và nếu dim M
là hữu hạn thì R đẳng cấu với Hom (M,M))
Chứng minh:
Trước hết ta có nhận xét : để chứng minh tính dày đặc của R
trên M hay R dày đặc trong Hom (M,M) ta chỉ cần chứng minh
rằng nếu V là không gian con hữu hạn chiều của M trên và m
∈M, m ∉ V thì tồn tại r ∈ R sao cho Vr = (0) nhưng mr ≠ 0 ( nghóa là r
linh hoá toàn bộ V mà không linh hoá m). Thật vậy, nếu điều
kiện trên thỏa thì suy ra mrR ≠ (0)và mrR là modun con của M
trên R, vì M bất khả quy ⇒ mrR = M . Do đó ta tìm được s ∈ R sao
cho mrs là bất kỳ phần tử nào của M ( mrs chạy khắp M ).
Lưu ý : Vrs = (0). Giả sử v 1, v2,…, vn ∈ M là hệ độc lập tuyến tính
trên và w1, w2,…, wn ∈ M tuỳ ý . Gọi Vi là không gian của M


trên sinh bởi các vj với i ≠ j . Vì i∉Vi và hệ { vi}độclập
tuyến tính nên tồn tại ti∈ R sao cho viti =wi, Viti = (0).

Nếu đặt t = t1+…+tn ∈R thì ta có vit = wi (i =1,2,…,n).Theo
đònh nghóa R dày đặc trên M.
Để chứng minh đònh lý ta chứng minh nhận xét trên
bằng quy nạp theo số chiều của khônggian vectơ V trên .

*Nếu dim V = (0) ⇔ V = (0)
∀ m ∈M, m ∉V ⇒ m ≠ 0 ⇒ mR ≠ (0) ( vì M bất khả quy )
(Nếu ∀ m ∈M, m ≠ 0 ⇒ mR = (0) thì MR = (0) vô lý với
tính chất bất khả quy của M )
⇒ ∃ r ∈ R : mr ≠ 0 và V r = (0) : nhận xét đúng.
*Giả sử mệnh đề đã đúng với các khơng gian có số chiều ≤
dim(V) . Ta chứng minh nhận xét đúng với khơng gian có số chiều = số
chiều của V. Giả sử V=V0 + ωΔ trong đó dim(V0 )= dim V -1 và
ω ≠ V0 ( ω là ideal chính sinh bởi phần tử ω ). Theo giả thiết
quy nạp thì với A(V0) = {x ∈V / V0x=(0)} thì ∀ m ≠ V0, ∃r ∈ A(V0)
sao cho mr ≠ 0. Mặt khác, nếu mA(V0) = (0) thì m ∈ V0.
Tập hợp A(V0) là ideal phải của vành R và do ω ∉V0 nên ω
A(V0) ≠ (0) là modun con của M ⇒ ω A(V0)=M . Giả sử rằng lấy
m ∈M, m ∉V có tính chất là bất kỳ khi nào Vr = (0) thì mr = 0.Ta
cần chứng minh rằng điều này không thể xảy ra bằng phản
chứng . Giả sử ∃m ∈M, m ∉V mà Vr = (0) thì mr = 0.

Xét tương ứng τ : M → M
x → xτ = ma
trong đó a được xác đònh bởi x = ωa với a ∈
A(V0). Ta có đònh nghóa của τ là đúng đắn.


Thật vậy,giả sử x =ωa với a ∈ A(V0) và giả sử x =ωa1 với a1∈
A(V0) ⇒ ω(a- a1)=0 suy ra (a-a1)linh hoá ω và do đó linh hoá toàn

bộ V. Theo giả thiết phản chứng suy ra(a- a 1 )cũng linh hoá m
hay m(a - a1 )= 0⇒ ma =m a1 .Vậy đònh nghóa trên là đúng đắn.
Ta chứng minh rằng τ giao hoán được với r,∀r∈R.

Rõ ràng τ∈E(M). Hơn nữa, nếu x = ωa với a ∈ A(V0)thì
∀ r ∈ R, vì ar ∈ A(V0), xr =(ωa)r =ω (ar) do đó (xr)τ = m(ar)
= (ma)r = (xτ)r . Điều này dẫn đến τ∈ =C(M).
Với ∀a∈A (V0), ma= (ωa)τ = (ωτ)a suy ra (m -ωτ)a
= 0. Theo giả thiết quy nạp thì m -ωτ ∈ V0
Do đó m ∈ V0+ωτ ⊂ V0+ωΔ =V . Vô
lý . Đònh lý đã được chứng minh.

1.6.5- Đònh lý
Một đại số nguyên thủy thì đẳng cấu với một đại
số dày đặc của các phép biến đổi tuyến tính trong
một không gian vectơ trên một đại số chia được.
1.7 – PI Đại số
Để đònh nghóa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số
và của một PI đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong một tập sinh

đếm được trên vành giao hoán có đơn vò K.
Giả sử X là vò nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử
x1,x2,… thì X là tập 1,

i 2. i 3

x x x
.

.......

của các đơn thức phân biệt

x

i1

ir

Hai đơn thức bằng nhau

x i 1. i 2 . i
x x

3.......

xi

r

=

3

xj xj

.

.

1

.......

xj x j

⇔ ( r=s và i1 = j1 ……)

s

2

Phép nhân được đònh nghóa sao cho 1 là phần tử đơn vò và

(

i 1. i 2 . i 3....... x i

xx x

)(
r

3.......

xj x j
xj xj
.

.

s

)=

i 1. i 2 . i 3....... x i

x x

r

x j x j xj x
.

.

3.......

j

s


1

2

x

12

Xét K[x] là đại số vò nhóm của X trên K .
K[x] vừa có cấu trúc vành vừa cócấu trúc modun ⇒ K[x] được
gọi là một đại số tự do với tập đếm được các phần tử sinh x i .
Tính chất cơ bản của K[x] là nếu A là một đại số bất kỳ trên K
và δ là ánh xạ từ X → A thì tồn tại duy nhất đồng cấu η từ K[x] → A sao

cho biểu đồ sau giao hoán

i

X
δ

K[X]
η
A

Nếu f ∈ K[x], f ∈ K[x1 ,…, xm ] đại số con sinh bởi tập con hữu
hạn x1,x2,…xm với m nào đó. Ta viết f = f(x 1,x2,…xm ) ảnh của đa
thức này dưới đồng cấu K[x] → A biến xi → ai ( 1 ≤ i < ∞ ) được ký

hiệu f(a1, a2,….,am) , ∀ ai ∈ A
1.7.1- Một số đònh nghóa
1.7.1.1-Một đơn thức

xx

.....

x

g là có mặt trong f nếu nó

i1 i2

ir

có hệ số khác 0 trong biểu diễn của f theo cơ sở của
X. 1.7.1.2-Một đa thức f được gọi là tuyến tính theo xi ,
nếu mọi đơn thức có trong f đều là bậc nhất theo xi.

1.7.1.3-Một đa thức f được g là đa tuyến tính nếu f
là tuyến tính đối với mọi xi có mặt trong f.
*Nếu f là đa tuyến tính
thì ** f có dạng :

f=

∑α π 1π 2...π m x π 1 x π 2

.....xπ

m

π

với

α

π 1...π m

∈ K và π là một phép thế của Sm.

**f(x1,x2,,xj-1,xj+ xm+1, xj+1,…, xm)=f(x1,x2,…,xj-1,xj ,xj+1,…, xm) +f
(x1, x2,…, xj-1, xm+1, xj+1,…, xm)


** f (x1, x2,…, xj-1, βxj, xj+1,…, xm)= βf (x1,…, xm) ∀ β ∈ K Những tính
chất này dẫn đến nếu { ui } là tập sinh của đại

số A như là một K- module thì f là đồng nhất thức
trên A khi và chỉ khi :

f(

,

ui ui
1

,…,

)= 0

ui

2

m

với mọi sự lựa chọn các ui j trong { ui }
1.7.1.5-Một đa thức f (x1, x2,…,xm) được gọi là thay
phiên nếu f (x1, x2,…, xi-1, xi, xj+1,…, xj-1, xi , xj+1…….)=
0 với mọi sự lựa chọn i** Nếu là đa tuyến tính và thay phiên, thì f là
đồng nhất thức khi và chỉ khi

f(

,

ui ui
1

,…,
2

ui

)= 0

m

đối với tất cả cách chọn các ui j trong một tập sinh{ui } của K.

Do đó nếu A có một module hữu hạn sinh { u 1,….,
un } thì mọi đa thức đa tuyến tính thay phiên có bậc

m > n là đồng nhất thức của A.
1.7.1.6 –f là đa thức chính quy chặt nếu f ≠ 0 và các hệ
số khác 0 của f là đơn vò hoặc khả nghòch trong K.

1.7.1.7 – Đa thức chuẩn
+Định nghĩa
Đa thức Sk+1(x1, x2,…, xk+1)=

∑ ( sgπ )

.....xπ
x

π

1

x

π

k

2

π

trong đó tổng được lấy trến nhóm đối xứng và Sgπ là
dấu của phép hoán vò π , được gọi là đa thức chuẩn bậc k.

+Đa thức chuẩn có các tính chất sau
*Sk+1(x1, x2,…, xk+1)= x1Sk+1(x2,…, xk+1)- x2Sk+1(x1 ,x3,…, xk+1)
+…..+ (-1)k xk+1Sk+1(x1 ,…, xk)

Do đó nếu Sk là đồng nhất thức trên đại số thì
Sk+1cũng là đồng nhất thức trên đại số đó.
* Sk( x π 1 x π 2.....xπ k ) = Sg(π)Sk(x1, x2,…, xk)
* Nếu i1 ,….., ir phân biệt và i ≤ j ≤ k , 0 < r < k và S’ là tổng
các hạng tử của Sk(x1, x2,…, xk) có xi1 , xi2 , ….., xin là thừa

số trái thì :
S’= ± i1…..ir Sk-r ( x i .....xi )
r +1

k

Như vậy Sk-r sẽ là đồng nhất thức trên mọi K – đại số hữu

hạn sinh với tập sinh có số phần tử bé hơn k.
2

Vì Mn(K) được sinh ra bởi n ma trận đơn vò eij (coi như là K
module ) do đó S n2 +1 là đồng nhất thức là đồng nhất thức trên

Mn(K) . Sau này ta biết S2n cũng là đồng nhất thức trên

Mn(K).
1.7.2- Đồng nhất thức
1.7.2.1- f là một đồng nhất thức của A

nếu f (a1, a2,…., am) = 0 , ∀ ai ∈ A

1.7.2.2 –Đa thức f được gọi là đồng nhất thức thật
sự nếu f là đồng nhất thức của A và tồn tại một
hệ số của f không linh hoá A .
Nhận xét :
-Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thật sự
của A tương đương với f là đồng nhất thức trên A và f ≠ 0


-Nếu f là một đồng nhất thức mà trong nó có một
hệ số là 1 hoặc -1 thì f là đồng nhất thức thật sự.
1.7.2.3 - f gọi là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại số
A, nếu f là đồng nhất thức trên A và f là chính quy chặt.

Nếu f là đồng nhất thức chính quy chặt trên đại
số A thì nó cũng là đồng nhất thức chính quy chặt
trên đại số con của đại số con của đại số A và
điều này còn đúng đối với mọi ảnh đồng cấu.
1.7.3- Đònh nghóa PI – đại số
Một đại số A trên vành giao hoán có đơn vò K được gọi là PI
đại số hay đại số với đồng nhất thức đa thức nếu tồn tại một đa
thức f(a1, a2,….,am) ∈ K[x] là đồng nhất thức thực sự của A.

Ví dụ :
1.7.3.1 – Mọi đại số giao hoán đều là PI đại số vì
thỏa mãn đồng nhất thức :
f = x1x2 – x2x1
1.7.3.2 - M2(K) là một PI đại số vì thỏa mãn đồng nhất thức

Wargner như sau :
2

f(x1,x2,x3 )= (x1x2-x2x1) x3 - x3 (x1x2-x2x1)

2

1.7.3.3 - Trong F [x1,x2,…,xn ] đồng nhất thức chuẩn n biến là
n

f (x1, x2,…xn) = Sn (x1, x2,…xn) =

∑
j=1

∑ ( −1)sgσ x σ (1)...xσ ( n)
σ∈Sym ( n)

Chú ý : tổng này có n! đơn thức ; Sym(n) là nhóm đối
xứng bậc n ( Sym(n) =n!) ; σ chạy khắp trong Sym(n); (-1) sgσ
bằng 1 hoặc -1 tuỳ thuộc vào ohép thế chẵn hay lẻ.

Ví dụ :


+f(x1,x2) = s2 (x1,x2) = x1x2 - x2x1
+f (x1,x2,x3) = s3(x1,x2,x3)= x1x2x3 – x1x3x2 - x2x1x3 +
x2x3x1 + x3x1x2 –x3x2x1
Như vậy tất cả các đơn thức bậc 1 theo từng biến và nếu ta
đổi chỗ 2 biến của đơn thức nào thì đơn thức đó đổi dấu.

Giả sử ta có đại số A và các biến x1= a , x2 = a,x3 = b .
Khi đó s3(a,a,b) = - s3 (a,a,b) ( do đổi chỗ x1, x2 cho nhau)

Suy ra s3(a,a,b) = 0 . Do đó đồng nhất thức chuẩn
có 2 biến giống nhau thì bằng 0
+Bổ đề : Nếu A là đại số n chiều trên trường F thì A
thỏa mãn đồng nhất thức chuẩn Sn+1 (x1, x2,…,xn+1)

Chứng minh :
Từ đònh nghóa ta thấy Sn+1 (x1, x2,…,xn+1) là đa tuyến tính đối
với các biến và nếu có 2 biến nhận cùng giá trò thì sẽ
triệt tiêu. Giả sử {u1,u2 ,….,un } là một cơ sở của A trên F

và nếu a1, a2,…,an+1∈A do tính đa tuyến tính của Sn+1
(x1, x2,…,xn+1) nên ∀ ai ∈A ta có
n

a=
i

S

n2 +1

∑ kijuj
j =1

Do đó nếu ta thay xi bởi ai thì Sn+1( a1,a2,…., an+1) = 0 thì ta suy
ra Sn+1( a1,a2,…., an+1) là đồng nhất thức chuẩn của A
+Hệ qủa : Fn thỏa mãn đồng nhất thức

Chứng minh
2

Vì Fn là đại số n chiều nên

S

2

n +1

n2 +1

(x1,x2,…, x

)=0

S

(x ,x ,…,
n2 +1

1

2

x

n2 +1

)


nghóa là Fn thỏa mãn đồng nhất thức

S

n2 +1

(x1,x2,…, xn2 +1 ) 1.7.3.4 –
(A được gọi là một đại số có bậc bò chặn trên F nếu
tồn tại một số nguyên n sao cho với a ∈A, tồn tại một
đa thức xn+ α1xn-1+....+α n ∈F [x] nhận a là nghiệm).
Nếu A là đại số có bậc bò chặn trên F thì A là một PI đại số .

Chứng minh
Giả sử đối với mỗi phần tử b thuộc A đều tồn
n

n-1

tại một đa thức f có dạng x + α1x

+....+αn ∈ F[x]

nhận b là nghiệm nghóa là f(b) =0 với n cố đònh.
∀a∈A , ta có [ f(b), a] =0
αi∈F nên nó giao hoán được với a
n

[f(b),a]= [b ,a]+ α1 [b

n-1

,a]+...+ αn [b,a] =

0 Lấy giao hoán tử lần nữa
n

[[b ,a],[b,a]]+ α1 [[b

n-1

,a],[b,a]]+...+ αn [[b,a],[b,a]] =0

Tiếp tục như vậy cho đến khi mất hết toàn bộ αi , cuối
cùng ta có [[bn,a],[b,a]] = 0 không phụ thuộc vào αi

Suy ra A là một PI đại số.
P.I đại số tồn tại rất phong phú . Tuy nhiên có những
đại số không phải là Pi đại số .
Điều này thể hiện bằng các bổ đề sau :

**Bổ đề 1
Nếu d là một số nguyên và f là một đa thức khác
không trong đại số tự do F [x 1,x2,…,xd] thì tồn tại một
số n sao cho Fn không thỏa mãn f.
**Bổ đề 2

F n không thỏa mãn các đồng nhất thức có bậc < 2n
Chứng minh
Nếu Fn thỏa mãn đồng nhất thức có bậc < 2n thì theo bổ đề (
nếu A thỏa mãn một đồng nhất thức bậc d thì nó sẽ thỏa mãn
một đồng nhất thức đa tuyến tính có bậc nhỏ hơn hay bằng d) nó
thỏa mãn một đồng nhất thức đa tuyến tính có bậc < 2n.

Ta giả thiết rằng nó thuần nhất đẳng cấp ( bậc của
các đơn thức là như nhau) . Có thể viết
f = x1x2...xd +

∑

α∈

ασ xσ(1).... xσ(d) (σ ≠ 1)

Sd

f thỏa mãn trên Fn , hệ số thuộc trường F , khác 0
nên có nghòch phải.
Ta có thể thế x1, x2,...,xd bằng một dãy các ma trận
vuông cấp n mà tại đó f ≠ 0.
Xét eij là các ma trận đơn vò . Ta thay thế
x1 = e11, x2 = e12, x3= e22, x4 = e23, x5 = e33.......
Nếu d chẵn xd = e(d/2)(d/2+1)
d/2 +1 < 2n/ 2 +1 = n+1 ⇒ d/ 2+1 ≤ n
Nếu d lẻ xd = e(d+1/2 )(d+1 / 2)
d+1/2 < 2n+1/ 2 = n+1/ 2
Vì d < 2n nên khi thay như thế thì đơn thức đầu tiên

x1x2...xd ≠ 0 và hơn thế nữa xσ(1).... xσ(d) = 0 nếu σ ≠ 1 do
cách chọn x làm nên. Do đó
f(e11, e12,e22,.....) = e11, e12,e22,..... ≠ 0
Do vậy, Fn không thỏa mãn f

**Bổ đề 3
Mn(K) không có đồng nhất thức thực sự có bậc d < 2n
Chứng minh


Trước hết ta có nhận xét : với 0< n ∈ N ta có dãy e11, e22,…,enn
có n phần tử và dãy e12, e23,…,e (n-1) n có (n -1) phần tử.

∑

α ≠1∈S

d

ασ xσ (1) xσ (2)….. xσ (d) = 0

và do f là đồng nhất thức trên M n(K)
nên suy ra : f (e11,e12,e22,e23,…) = α e1k = 0 với
k nào đó mà k ≤ n . Suy ra
α eij = α (ei1e1kekj ) = ei1 (α e1k )ekj = 0 với ∀ i,j
Nên α Mn(K) = 0 (!) mâu thuẫn với giả thiết.

Mâu thuẫn này cho ta điều
phải chứng minh **Bổ đề 4

Khi đó tập {e11, e12,e22,e23,e33,e34,…,e(n-1)n, enn } sẽ có (2n-1)
phần tử trong đó eij là ma trận có phần tử ở hàng I cột j
bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0 thuộc Mn(K).
Ta chứng minh bổ đề bằng phương pháp phản chứng như sau :
Giả sử Mn(K) thỏa mãn một đồng nhất thức thật sự f có bậc d < 2n.

Theo bổ đề 1.8.3 ta có thể xem f là đồng nhất thức thực sự đa
tuyến tính. Do đó ta có thể viết f dưới dạng :
f = α x1x2…xd +

∑

ασ xσ

(1)

xσ

(1)…..

xσ

(1)

Sd

α ≠1∈

với α Mn(K) ≠ 0 (1)

Do d <2n và theo nhận xét trên ta chọn được tập gồm d
ma trận vuông cấp n thuộc Mn(K) :
{e11,e12,e22,e23,….} ⊆ { e11, e12,e22,e23,…, e(n -1) n,enn}
Từ (1) ⇒ nếu σ (i) ≠ 1 thì eσ (1) eσ (2) ….eσ
(d)

= 0. Khi đó ta cũng có


Giả sử F là một trường trên K và V là không gian vectơ
vô hạn chiều trên F thì đại số các phép biến đổi tuyến
tính End F V không thỏa mãn đồng nhất thức thật sự .
Chứng minh
Gọi f là đồng nhất thực trên End

F

V có bậc là d.

Với bất kỳ phần tử x ∈ V, ta xét M là không gian con
hữu hạn chiều của V chứa x sao cho 2[M:F] > d
Đặt M ‘ = V/M và ta xác đònh đại số con B (không có đơn
vò) của EndFV như sau
B = { ϕ ∈ End F V / ∀ m ∈M , ϕ(m) ∈M và ∀ m’ ∈ M’, ϕ (m’) = 0
} Theo đònh lý Weddeburn ta có B ≅ Mn(F) trong đó n = [ M:
F].

Mặt khác do f là đồng nhất thức trên End

F

V có bậc

là d nên f là đồng nhất thức trên B có bậc là d.
Suy ra f là đồng nhất thức trên Mn(F) có bậc là
d < 2n. Từ kết qủa của bổ đề 1.7.4 ta suy ra

nếu α là hệ số bất kỳ của f thì ta có
α Mn(F) = 0 ⇒ α B = 0 ⇒ (αϕ) (x) = 0
⇒ ϕ (αx) = 0 ⇒ (α1)x=0 ∀ x ∈ V.
Do đó α (End F V) = 0.
Vậy f không là đồng nhất thức thật sự của End

F

V.

1.8 - Đònh lý Kaplansky – Amisur – Levitzky
Giả sử A là đại số nguyên thủy có một đồng nhất thức thực sự
bậc d thì tâm C của A là một trường , A là đơn và [A : C ] ≤ [ d/2 ]

2

1.9 - Đònh lý Amitsur – Levitzky
Đa thức chuẩn tắc S2n là một đồng nhất thức của Mn(K)