Luận văn một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2


NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2016LỜI

CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành
luận văn này.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt
nghiệp.


Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương phấp
giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” do tôi tự
làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.


Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả


3

Nguyễn Thị Thu Hà

Mỏ đầu

5

5

5

7
8

Mục lục

3

7

99

10

11

11
12
14
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1 Khống gian metric

Một số kiến thức về Giải tích hàm

2 PHƯỜNG PHẤP GĨẲĨ TÍCH GIẢI XÁP xì PHƯỜNG
TRÌNH VĨ-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM
2.1
2.2
9


3

3 PHƯỜNG PHẤP GĨẲĨ SỐ PHƯỜNG TRÌNH VĨ-TÍCH

10


PHẦN TUYẾN TÍNH FREDHOLM
32

3.1 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính

Fredholml......................................................................................

3.2 Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán .
Kết luận
Tài liệu tham khảo

32

34
47


48


Mở đầu
Lí do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành
khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân.
Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và các ngành khoa học
ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói
trên gặp nhiều khó khăn. Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình đó.

Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm có thể giải bằng các phương pháp khác nhau. Trong đó, phương
pháp giải tích cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được dưới dạng bảng số.
Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm Maple trong tính toán.


Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất
Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đề tầỉ“Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phẫn tuyến
tính Fredholm” để thực hiện luận văn của mình.

Mục đích nghiên cứu

Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng
Maple trong tính toán.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm.


Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

- Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

- Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài.

Dự kiến đóng góp


Hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Predholm và ứng dụng của phương
pháp đó vào giải các phương trình cụ thể. Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Một số kiến thức về Giải tích hàm

Mục này nhắc lại một số kết quả về giải tích hàm, được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5].

Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý

Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ


d X

XX

—ỳ K,

thỏa mãn các điều kiện sau đây
(i) d(x,y) ^ 0,Vx,y e X;
(ii) d(x,y) = 0 X = y\
(hi) d(x,y) = d(y,x),Vx,y e X;

(iv) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y ) , V s , í / G X ;

Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian
metric được gọi là điểm của không gian ấy. số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (x n ) , n = 1,2,... trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a € X
nếu


lim d(a, x n ) = 0.
ra—> oo

Khi đó ta kí hiệu lim x n = a hoặc x n !-»■ a khi ĨỈ4 oo

n—> 00

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại
một số n 0 sao cho với mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có
d{x n , x m) < £.

Nói cách khác ta có
lim d(x n ,x m ) = 0.

n,m—>00

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần
tử trong X.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ fx —>• Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại
một số a với 0 < a < 1 sao cho với mọi x,x' € X ta đều có
d{f{x),f{x')) < ad(x,x’),

và a được gọi là hệ số co của /.

Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh xạ liên tục đều.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và f : X —>• X là một ánh xạ co
của X vào chính nó. Khi đó t ồn tại một và chỉ một điểm X * e X sao cho f ( x * ) = X * . Hơn nữa X * ỉà giới hạn
của dãy (xn) được xây dựng như sau
xữ tùy ý thuộc X, X n+1 — f ( x n ) , n > 0 và tốc độ hội tụ được đánh giá theo cônq thức


d (xn, X*) < --------d (x1: x0),

1—a
trong đó a là hệ số co của f.
Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = K hoặc c)

Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu ||.|| trong X là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện

(i) ||x|| > 0 với mọi l ẽ X ;


(ii) ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 0 [9 là kí hiệu phần tử không);

(iii) \ \ Ằ x \ \ = ỊAỊ ỊỊa^ll với mọi số À € p và với mọi X € X;

(iv) IIX + yII < ||x|| + \\yII với mọi x,y E X.

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X e X.

Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian
định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p là thực hoặc phức).
Định lý 1.1.2. Giả s ử X ỉ à một không gian định chuẩn. Với mọi X G X đặt
d ( x , y ) = \\x - yII .
Khi đó d là một metric trên X.


Định nghĩa 1.1.8. Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x 0 e X nếu lim II — íEoll = 0. Khi
đó ta kí hiệu
n—>00

lim x n — x 0 hay x n —> x 0 (n —> oo).
n—>OQ

Định nghĩa 1.1.9. Dãy (:rn) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản nếu

lim II— x m II = 0.

n.m—> oc

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Ba- nach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Không gian Cịab] và các tính chất


Định nghĩa 1.1.11. C[a 6] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], —oo < a < b <
+oo.
Các tính chất

(i) Không gian Cịa 6] là không gian metric.

Vz, y € C ịaM, d (x, y) = max \x (t) -y{t) I.
a
(ii) Không gian C[ a 6] là không gian định chuẩn.

||x|| = max \x (t)|.
ã<ỉ
(iii) Không gian Cịa 6] là không gian Banach.


(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong Cị a b -ị. Cho nên Cị a 6] là không gian tách được.

Định nghĩa 1.1.12. Không gian C^6Ị gồm tất cả các hàm X (t) xác định trên đoạn [ữ, 6] và có đạo hàm liên tục đến
cấp n, với chuẩn được xác định bởi

INI = max {|z(í)|, |íc,(t)|,..., \x n (t)\}
a

+ 00

bMột số kiến thức về giải tích

1.1

Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng Xì a n{x — x 0 ) n

n=0

trong đó x ữ , a 0 , dị, a2,... là những số thực.

Điểm x ữ được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn
luôn hội tụ tại điểm X = x ữ .

25

+

00