Bài 3 sử dụng hằng đẳng thức và phương pháp tách để tính giá trị biểu thức

Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Sử dụng hằng đẳng thức và phương pháp tách
để tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
1) A =

A=


2) A =

4) B =

B = (4 +


+

5) M =

+



).(



B =




.(

)

) (4 

)





A=

M=

+ 2) 

B=

6) B =
7)

 2).(

A =(

 1).

3) B = (

+

+3

)

A =
Hướng dẫn

M=



.(

) = (

8)
9)

+



)(

) =2

D=
A=

D=


10) B =

11) P = (

+



2)(



A =



+ 2)

M=



Hướng dẫn
B=
B=



=
=

1


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

M =

=

0989552911







=



12) A = (2 +



=

)( 2 





=

)(3 +

= 1

)

Hướng dẫn
A =
A

= 10

13) B =
14) M =

15) M =

19

A =
.

.




N =


16)
17) B =

Hướng dẫn
 Đặt a = 2016 ta có:

=
2

= a +a +1
Áp dụng: B = 20162 + 2016 + 1

Bài 2: Các dạng bài toán phân tích tử số có thừa số chung với mẫu số:
1) Tính giá trị của P =

=3 +

2) Tính giá trị của B =

=



3) Rút gọn biểu thức sau: B =
4) Rút gọn biểu thức sau: B =
5) Tính giá trị của A =

và N =


= 1+
= 2 +
2


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

6) Thu gọn biểu thức: A =
7) Thu gọn biểu thức: B =
8) Rút gọn biểu thức: H =

Bài 3: Rút gọn bằng phương pháp bình phương hai vế.
1. Cho x1 = 3 + 5 và x2 = 3 - 5 Hãy tính: A = x1 . x2; B = x12 + x 22

2. Tính giá trị của biểu thức P =
3.

+

Tính giá trị của N =

với x =

;y =

+
Hướng dẫn

 Cách 1:
Đặt

ta có:

B = x + y
B =
 Cách 2: bình phương hai vế:
N2 = (

)2 = 6

+

B =

Bài tập luyện tập:
a) B =

–

+

M=

b) A = 40 2  57  40 2  57
c) N =



B =

+

d) Tính giá trị của B =

+

=
2 3
2  2 3



+

= 2

2 3
2  2 3

Hướng dẫn
Ta có:

=
=

=

=
=

=
3


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm
2 3
2 3

Vậy B =
=
2  2 3
2  2 3

B2 =

0989552911

+

= 2

e) Tính giá trị của N =

B =

+
Hướng dẫn

Đặt

ta có:

B = x + y
3B

4 = 0
B =

f) Tính giá trị của N =
+
Bài 4: Các bài toán thêm số vào biểu thức để rút gọn:


a)





+

Hướng dẫn


)



=

] 



=


=

= 0

Bài 5: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: xy +
Tính S = x

)

=

+y
Hướng dẫn

Từ giả thiết: xy +

=

x2y2 + 2xy

+ (1 + x2)(1 + y2) = 2017

x2 + y2 + 2x2y2+ 2xy
Ta có: S = x
S2 = (x

= 2016

+y
+y

)2

S2 = x2(1 + y2) + 2xy

+ y2(1 + x2)

S2 = x2(1 + y2) + 2xy

+ y2(1 + x2)
4


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

S2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy

= 2016

S=



Bài 5: Cho hai số a, b là hai số thỏa mãn:



= 12
= 1

Tính tổng a + b.
Hướng dẫn
Ta có:
= 1

(1) (gt)

= 1

(2)

= 1
Lấy (1) trừ (2) suy ra:

(3)
=

Lấy (1) cộng (3) suy ra:

(4)
=

(5)

Lấy (4) cộng với (5) theo từng vế rồi rút gọn ta được: a + b = 0
Bài 6: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức sau:
= 2016
Tính: x + y
Hướng dẫn
Ta có:
= 2016

Lấy (1) cộng (2) suy ra:

(1) (gt)

= 2016

(2)

= 2016

(3)

= 

(4)

= 

Lấy (1) cộng (3) suy ra:

(5)

Lấy (4) cộng với (5) theo từng vế rồi rút gọn ta được:
x + y = (x + y)

2(x + y) = 0

x + y = 0

Bài 7: Cho x, y là các số thỏa mãn:

= 2017

Tính: x3 + y3
Bài 8: Cho hai số x, y là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện:
= 2018
Tìm giá trị của biểu thức:
M = xy +

– 2017

+ 2017

y2 + 7
5


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

5

4

3

Bài 9: Cho biểu thức A = (4x + 4x – 5x + 5x – 2)

2016

+ 2016. Tính giá trị của biểu

thức A biết x =
Hướng dẫn
Ta có: x =

=

x2 =

=

x3 =

x4 =

x5 =

Do đó: 4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2
=

–

= 1

Vậy A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2016 + 2016 = (1)2016 + 2016 = 2017
Bài 10: Cho a, b là hai số thỏa mãn: a2 + 2b2 + 2ab  4b + 4 = 0. Tính giá trij của
với a ≠ b.

biêur thức: M =

Hướng dẫn

Phương trình có dạng:

+

= 0

 Cách giải: ta cho từng
Từ giả thiết: a2 + 2b2 + 2ab  4b + 4 = 0
a2 + 2ab + b2 + b2  4b + 4 = 0




M =

thay vào biểu thức M ta được:

=  21.

=

Bài 11: Tìm x, y thỏa mãn : 5x – 2

(a + b)2 + (b – 2)2 = 0

(2 + y) + y2 + 1 = 0
Hướng dẫn

Điều kiện : x ≥ 0. Ta có
5x – 2

(

(2 + y) + y2 + 1 = 0
 1)2 + (y 

(4x – 4

+ 1) + (y2  2y

+ x) = 0



)2 = 0



Bài 12: Giải phương trình:
+

+

=
6


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

Hướng dẫn
Đặt a =

,

b =

,

c =

Với a, b, c > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành:
+

+



+



+

=


+


+


+



=


+

+

+



+



+

= 0

= 0

(  )2 + (  )2 + (  )2 = 0




Bài 13: Cho x, y > 0 thỏa mãn: 1 + x + y =

1 + x + y =

+

+

2 + 2x + 2y =

+

+

2 + 2x + 2y 





(x 
(

+

S = x2015 + y2016
Hướng dẫn

Tính giá trị biểu thức:
Từ giả thiết:

+



+ y) + (x 
)2 + (

 1)2 + (

= 0
+ 1) + (y 

+ 1) = 0

 1)2 = 0

Do đó: S = x2015 + y2016 = 12015 + 12016 = 2
Bài 14:

Cho:

x2 + 2y2 + z2  2xy  2yz + zx – 3x – z + 5 = 0.

Tính giá trị của biểu thức: S = x3 + y7 + z2018
Hướng dẫn

.

Ta có: x2 + 2y2 + z2  2xy  2yz + zx – 3x – z + 5 = 0
2x2 + 4y2 + 2z2 – 4xy – 4yz + 2xz – 6x – 2z + 10 = 0
4y2 – 4(x + z)y + (x2 + 2xz + z2) + x2 + z2 – 6x – 2z + 10 = 0
(2y – x – z)2 + (x – 3)2 + (z – 1)2 = 0

7


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0989552911

S = 33 + 27 + 12018 = 156
Bài 15: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
4x2 + 2y2 + 2z2  4xy  4xz + 2yz  6y  10 z + 34 = 0
Tính giá trị của biểu thức: A = (x – 5)2016 + (y – 3)2017 + (z – 4)2018
Hướng dẫn
Ta có: 4x2 + 2y2 + 2z2  4xy  4xz + 2yz  6y  10 z + 34 = 0
(4x2 + y2 + z2  4xy  4xz + 2yz) + (y2 – 6y + 9) + (z2 – 10z + 25) = 0
(2x – y – z)2 + (y  3)2 + (z – 5)2 = 0
Vậy A = (4 – 5)2016 + (3 – 3)2017 + (5 – 4)2018 = 2
Bài 16: Cho a, b, c là ba số thực khác không thỏa mãn:

Hãy tính giá trị biểu thức:
Từ giả thiết:

Q =

+

+

Hướng dẫn
a2(b +c) + b2(a +c) + c2(a +b) + 2abc = 0
a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 2abc = 0
(a2b + b2a) + (c2b + c2a) + (b2c + a2c + 2abc) = 0
ab(a + b) + c2(a + b) + c(a2 + 2ab + b2) = 0
ab(a + b) + c2(a + b) + c(a + b)2 = 0
(a + b)(ab + c2 + ca + cb) = 0
(a + b)(a + c)(b + c) = 0

Xét trường hợp 1: a = b ta có:
Như vậy ta có: Q =

+

+

Tương tự các trường hợp còn lại:
Kết luận: Q =

+

+

= 1

Q =

+

+

= 1

= 1

8