Bài 6 các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0984856098

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
biểu thức
I. Phương pháp.
1. Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất.
+ M ≥ M (M  R) vậy Min

=
Ví dụ1:

= (x – 2)2 + 7 ≥ 7 vậy Min

= 7 khi x = 2

Ví dụ 2:

= x2 + 3x + 1 = (x + )2 

≥ 

Vậy Min

= 

khi x +

= M

x = 

=0

2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất.
= N 

≤ N (N  R) vậy Max

Ví dụ 1:

= 15 – (x – 5)2 ≤ 15 vậy Max

Ví dụ:

= x2 + 4x + 2014 = (x2  4x + 4) + 2018

= 15 khi x – 5 = 0

= N
x=5

= 2018  (x – 2)2 ≤ 2018
= 2018 khi x – 2 = 0

Vậy Max

x=2

3. Bất đẳng thức côsi chỉ áp dụng cho những số dương:

 Xét: (



)2 ≥ 0 (với a, b là hai số dương)

a + b  2

≥ 0

a + b≥ 2

(Cô si) Dấu “ = ” xảy ra

Ví dụ: Cho số a dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a +

a=b

+1

Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a ta có: a +
P=a +

+1≥ 4 + 1 =5

≥2

dấu “=” xảy ra khi a =

= 2.2 = 4
a=2

Vậy PMin = 5 khi a = 2

II. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Cho biểu thức P =





đk: x ≥ 0, x ≠ 1

Hướng dẫn
1


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0984856098

 Rút gọn P = x 

 )2 +

+ 1= (

≥

 Theo điều kiện : x ≥ 0
 Giá trị nhỏ nhất của P = khi x =
Bài 2: Cho biểu thức P = (



+



):(

1)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Hướng dẫn
Do điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1

≥ 3 thì

≥1

≤

do đó Min P = 1 khi x = 0. Vậy với x = 0 thì BMin = 1 .


Bài 3: Cho biểu thức A =



đk: x ≥ 0, x ≠ 4, 9

=

= 1 

a) Rút gọn biểu thức A >
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

Hướng dẫn
 Rút gọn A =

> 0 với x ≥ 0

>

 Do điều kiện x ≥ 0

+1 ≥ 1

1 

–

≤ 4

>0

x>9

≥ 4



≥ 1  4 = 3 do đó Min B = 3 khi x = 0

Vậy với x = 0 thì BMin = 3
Bài 4: Cho biểu thức M = (





1):(



)

a) Rút gọn M
b) Tìm x để 5M là số chính phương.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Hướng dẫn
 Rút gọn M =
 Giá trị lớn nhất của M:
Do điều kiện x ≥ 0
 Để 5M

≥2

≤

do đó Max B =

khi x = 0

là số chính phương khi và chỉ khi thương của nó là các số

chính phương ( khi căn bậc hai của số đó ra số tự nhiên)
2


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

 Vậy

0984856098

+ 2 là Ư(25)

+ 2 = 1, 25

Bài 5: Cho biểu thức B =

với x > 0

a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Hướng dẫn:

B =
Giá trị nhỏ nhất của
Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương ta có:
Như vậy

. Dấu bằng xảy ra khi

Vậy

khi x = 1
với x ≥ 0, x ≠ 1

Bài 6: Cho P =
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn
Rút gọn P:
P =
Tìm giá trị nhỏ nhất của P:
P

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có:

–

Vậy Pmin =
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy

.

+3=

khi x = 4

Bài 7: Cho biểu thức N =

với x ≥ 0

a) Rút gon N.
b) Tìm giá trị lớn nhất N
3


Thầy giáo biên soạn: Nguyễn Sỹ Diệm

0984856098

Hướng dẫn
Xét x > 0

N =

Áp dụng bất đẳng thức cô si :
Do đó: N =
Vậy

. Dấu “ =” xảy ra khi x = 1
khi x = 1

Bài 8: Cho biểu thức P =

:

a) Tính giá trị của P biết x = 6  2

.

b) Tìm giá trị lớn nhất của:
Bài 9: Cho biểu thức A =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=A9
Hướng dẫn:
Rút gọn biểu thức A =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = A  9 x
P =
Xét x > 0.
Áp dụng bất đẳng thức cô si :
Do đó: P =

Dấu “ =” xảy ra khi x =
Dấu “ =” xảy ra

khi x =
Vậy

khi x =

4