Bài giảng toán rời rạc chương 3 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Tập hợp

09/13/16

1 of 63


Khái niệm
•

Định nghĩa: Một tập hợp là một bộ sưu tập các vật mà ta còn gọi là các phần
tử của tập hợp đó

•

Ký hiệu:

– các chữ in: A, B, C, ..., X, Y, Z, ... để chỉ các tập
hợp
– các chữ nhỏ: a, b, c, ..., x, y, z, ... để chỉ các phần
tử
– ký hiệu x ∈ A để chỉ x là một phần tử của tập hợp
A
– ký hiệu x ∉ A để chỉ x không là một phần tử của
tập hợp A

09/13/16

2 of 63

Biểu diễn một tập hợp
•

Liệt kê

– Các phần tử được chọn tùy ý giữa hai dấu {}.
– không có 2 phần tử trùng nhau.
– Các phần tử không có trật tự.

•

Ví dụ:

– A = {1, 2, 3, 4}
– N = {0, 1, 2, 3, ...}
– Z = {0, ±1, ±2, ...}

09/13/16

3 of 63


Biểu diễn một tập hợp
•

Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp sẽ được mô tả như là một bộ sưu tập gồm
tất cả các phần tử x thỏa mãn tính chất đặc trưng p(x):

•

Ví dụ:

– Tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + 3 = 0} chính là tập
hợp A = {1, 3}
– Tập hợp các số hữu tỉ được mô tả như sau:

09/13/16

4 of 63


Tập hợp rỗng
•
•

Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào
Ví dụ:

– tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + 5 = 0}
– tập hợp B = {x ∈ Z | 2x – 1 = 0}

09/13/16

5 of 63


Tập hợp con và tập hợp bằng nhau
•

A là tập hợp con của B,

– Ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A
– Nếu mọi phần tử của A đều là các phần tử của B:
– A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B.

•

A không chứa trong B: A⊄B hay

09/13/16

6 of 63


Tập hợp con và tập hợp bằng nhau
•

A bằng B,

– Ký hiệu A = B
– Nếu A là tập hợp con của B và ngược lại
– A = B ⇔ (A ⊂ B) và (B ⊂ A).
⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) và (∀x ∈ B, x ∈ A).

•

Ký hiệu A ≠ B để chỉ A không bằng B.

09/13/16

7 of 63


Tập hợp con và tập hợp bằng nhau
•
•

X ⊆ Y ⇔ (∀x)( x ∈X → x ∈Y).
Ví dụ:

– A = {x ∈ R | x2 – 4x + 3 = 0}
– B = {x ∈ R | x(x –1)(x – 3) = 0}
– C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3}
A ⊂ B, B ≠ C, C ⊂ D ?
B ⊄ A, D ⊄ C ?

09/13/16

8 of 63


Tập hợp các tập hợp con
•

Cho tập hợp X. Tập hợp tất cả các tập hợp con của X được ký hiệu là P(X).
P(X) = {A | A ⊂ X}

•

Nếu tập hợp X có đúng n phần tử thì tập hợp tất cả các tập hợp con P(X) của X sẽ

•

Ví dụ: cho X= {a,b,c}

có đúng 2n phần tử

P(X) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}

09/13/16

9 of 63


TẬP CÁC TẬP CON
Tìm tập tất cả tập con của X = {a, b, c} ?.
Tập con 0 phần tử : ∅.
Tập con 1 phần tử : a → {a}, b → {b}, c → {c}.
Tập con 2 phần tử : a, b → {a, b}, a, c → {a, c},
b, c → {b, c}.
Tập con 3 phần tử : a, b, c → {a, b, c}.
Vậy 2X = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

09/13/16

10 of 63


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HỢP
Hội : ( ∪ )

A ∪ B ↔ (∀x)( x ∈A hay x ∈B).
Giao : ( ∩ )
A ∩ B ↔ (∀x)( x ∈A và x ∈B).
Hiệu :( − )
A − B ↔ (∀x)( x ∈A và x ∉B).

09/13/16

11 of 63


CÁC TOÁN TỬ CỦA TẬP HỢP
Bù :
Với A là một tập con của X, phần bù của A trong X, ký hiệu bởi
hay CX(A) (đọc là “phần bù của A (trong X)”) là tập hợp
X\A

A = {x ∈ X | x ∉ A}
∀x ∈ X, x ∈ A ⇔ x ∉ A
∀x ∈ X, x ∉ A ⇔ x ∈ A

Phép hiệu đối xứng: A ΔB là tập hợp tất cả các
phần tử (của X) thuộc A nhưng không thuộc B
hay thuộc B nhưng không thuộc A
AΔB = {x ∈ X | (x ∈ A và x ∉ B) hay (x ∈ A và x ∉ B) }
09/13/16

12 of 63

TÍNH CHẤT CủA CÁC PHÉP TOÁN

09/13/16

13 of 63


TÍNH CHẤT CủA CÁC PHÉP TOÁN

09/13/16

14 of 63


TÍCH DESCARTES
•
•

Cho hai tập hợp A và B.

•

Ký hiệu: A × B

Tích Descartes của A và B là tập hợp tất cả các cặp (x, y) có thứ tự x trước, y
sau, trong đó x thuộc A và y thuộc B.

A × B = {(x, y) | x ∈ A và y ∈ B}
(x, y) ∈ A × B ⇔ x ∈ A và y ∈ B
(x, y) ∉ A × B ⇔ x ∉ A hay y ∉ B

09/13/16

15 of 63


TÍCH DESCARTES
•

Ví dụ: Cho A = {a, b} và B = {1, 2, 3}

– A × B = {(a, 1); (a, 2); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (b, 3)}
– B × A = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

•

Ký hiệu A2 để chỉ tích Descartes A × A
A2 = {(x, y) | x ∈ A và y ∈ A}

09/13/16

16 of 63


Tích Descartes của nhiều tập hợp
•
•

Cho n tập hợp A , A , …, A (n > 1)
1 2

n

•

A = A = . . . = A = A thì tập hợp tích A xA x … xA viết là An
1
2
n
1 2
n

Tích Descartes của n tập hợp A , A , …, A , được ký hiệu bởi A xA x …
1 2
n
1 2
xA , là tập hợp gồm tất cả các bộ n phần tử (a , a , …, a ) với a ∈A với mọi
n
1 2
n
i
i
i = 1, …, n.

09/13/16

17 of 63


Ánh xạ
•

•

Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng.
Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y là phép tương ứng sao cho bởi phép
tương ứng nầy mỗi phần tử x của X sẽ có một phần tử duy nhất y của Y tương ứng
mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x

f :X →Y
xa y
• Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng
nhau khi ta có:
∀x ∈ X : f(x) = g(x)
09/13/16

18 of 63


Cách xác định một ánh xạ
•
•
•

liệt kê tất cả các ảnh của từng phần tử của X
một công thức để xác định ảnh f(x) của mỗi phần tử x
đưa ra một thủ tục xác định để tính ra (hay tìm ra) được phần tử f(x) ứng với
mỗi phần tử x ∈ X

– f : N  N xác định bởi f(n) = 2(n+1).
– g : { 0,1} 2 { 0,1} cho bởi
g(0,0) = g(0,1) = 1 và g(1,0) = g(1,1) = 0.

09/13/16

19 of 63


Ảnh của tập hợp
•
•
•

Cho f là một ánh xạ từ X vào Y
Giả sử A là một tập hợp con của X
Ảnh của tập A qua ánh xạ f, ký hiệu bởi f(A), là tập hợp con của Y gồm tất cả
những phần tử y sao cho y là ảnh của ít nhất một phần tử x thuộc A.
f(A) = { f(a) : a ∈A }

09/13/16

20 of 63


Ảnh ngược (hay tạo ảnh) của một
tập hợp
•
•
•

Cho f là một ánh xạ từ X vào Y
Giả sử B là một tập hợp con của Y

Ảnh ngược của tập B bởi ánh xạ f, ký hiểu là f-1(B), là tập hợp con của X gồm
tất cả những phần tử x sao cho f(x) thuộc B
f-1(B) = { x ∈ X : f(x) ∈ B }

•

Trong trường hợp tập B chỉ có một phần tử y thì ảnh ngược của B sẽ được
viết tắt là f-1(y).

09/13/16

21 of 63


•
•
•

Cho ánh xạ f : Z  N xác định bởi f(n) = n2+1
A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3}
B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}

f(A) = { 1, 5, 10}
f-1(B) = { -1, 0, 1}

09/13/16

22 of 63

Ánh xạ hợp
•

Cho 2 ánh xạ

–f:XY
– g : Y Z

•

Ánh xạ hợp h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h:X → Z
x a h( x ) = g ( f ( x ) )

• Ta viết h = g o f.
09/13/16

23 of 63


Đơn ánh
•

Ánh xạ f : X Y được gọi là một đơn ánh khi các ảnh của 2 phần tử khác

•

với mọi x và x' thuộc X ta có:

nhau tùy ý thì khác nhau

– x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x')
– Hay f(x) = f(x') ⇒ x = x'

09/13/16

24 of 63


Toàn ánh
•

Ánh xạ f : X  Y được gọi là một toàn ánh khi mọi phần tử của Y đều là ảnh
của ít nhất một phần tử x thuộc X, nghĩa là
f(X) = Y

09/13/16

25 of 63