Đề thi (đề xuất) trại hè hùng vương lần thứ XII năm 2016 toán 10 chuyên thái NGuyên

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII

ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)

 x + 2 y 2 + 1 − y 2 + y + 1 = 0 ( 1)


2
4
( x + y ) ( x + 4 y + y ) + 3 y = 0 ( 2 )
Câu 1(4 điểm): Giải hệ phương trình
Câu 2(4 điểm): Đường tròn (J) bàng tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại A′ và
phần kéo dài của AB, AC tại C ′, B′ . Gọi (O) và (I) lần lượt làcác đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác ABC. D là trung điểm B′C ′ . Chứng minh rằng D thuộc đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì A′ thuộc đường thẳng IO.
Câu 3(4 điểm): Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
a b c c+a a +b b+c
+ + ≥
+
+
.
b c a c+b a+c b+a
Câu 4(4 điểm): Trên bảng có bốn số 3, 4, 5, 6. Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai
2
2

2
2
số x, y có trên bảng và thay bằng x + y + x + y và x + y − x + y . Hỏi sau một

số hữu hạn bước thực hiện, trên bảng có thể xuất hiện một số nhỏ hơn 1 được không?
n2 − 1
Câu 5(4 điểm): Cho số nguyên dương n sao cho 3
là tích của hai số tự nhiên
liên tiếp. Chứng minh rằng n là tổng của hai số chính phương liên tiếp.
------------------- HẾT ------------------Người ra đề

Lê Xuân Nam
(ĐT : 0915 72 55 77)


HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN. LỚP 10
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếuđúng cho điểm tối da theo thang
điểmđãđịnh.
Câ
u

Nội dung

Điểm

2
Điều kiện xác định x + 2 y + 1 ≥ 0 .
2
a

=
x
+
y
,
b
=
y
, b ≥ 0 . Ta có phương trình (2) trở thành
Đặt

 a = −b
a 2 + 4ab + 3b 2 = 0 ⇔ ( a + b ) ( a + 3b ) = 0 ⇔ 
 a = −3b
2
2
x
+
y
=
−
y
⇔
x
=
−
y
− y ( 3)
a
=

−
b
+) Với
ta có

1,0

1,5

Thế (3) vào (1) ta được
1

y 2 − y + 1 − y 2 + y + 1 = 0 ⇔ ( y 2 − y + 1) − y 2 − y + 1 − 2 = 0


1 + 13
⇒ x = −4 − 13
y =
 y 2 − y + 1 = −1
2
2
⇔
⇔ y − y−3=0⇔ 

 y2 − y + 1 = 2
1 − 13

⇒ x = −4 + 13
y =


2
Cả hai giá trị này của x đều thỏa mãn điều kiện xác định.
2
2
+) Với a = −3b ta có x + y = −3 y ⇔ x = −3 y − y ( 4 ) .
Thế (4) vào (1) ta được phương trình
− y 2 − y + 1 − y 2 + y + 1 = 0 ⇔ y = −1 ⇒ x = −2

(thỏa mãn điều kiện

xác định).
Kết luận: Hệ phương trình có ba nghiệm là

1 + 13  
1 − 13 
 −4 − 13;
÷,  −4 + 13;
÷, ( −2; −1)
2
2



.
GọiD là tâm đường tròn đi qua B, C, I, J ⇒ D là trung điểm IJ.
JA′ ⊥ BC , OD ⊥ BC ⇒ OD / / JA′ .
2

1,5

1,0

Ta cần chứng minh bán kính đường tròn (J) gấp đôi bán kính của 1,0
A
ra sin = JD = ID = BD.
2
đườngtròn ngoại tiếp tam giácABC. Ta có:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABD có:
1,0
A
A
A
1
BD = 2 R sin ⇒ ra sin = 2 R sin ⇒ ra = 2 R ⇒ OD = JA′
2
2
2
2
1,0
1
⇒ O′D = JA′ ⇒ O′ ≡ O
2
Nếu OD cắt IA′ tại O′ thì O′ là trung điểm IA′
.


3

a + c 1 + xy
1− x

a
b
c
=
= x+
= x, = y , = z
1+ y .
c
a
Đặt b
. Ta có b + c 1 + y
b+a
1− y b + c
1− z
1,5
= y+
;
=z+
1+ z b + a
1+ x .
Tương tự ta có c + a
Khi đó bài toán trở thành
Cho x, y, z là ba số số thực dương thỏa mãn xyz = 1 . Chứng minh rằng
x −1 y −1 z −1
+
+
≥ 0 ⇔ x 2 z + z 2 y + y 2 x + x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z + 3 ( *)
y +1 z +1 x +1
2
2

2
1,5
x
z
+
z
y
+
y
x ≥ 3.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x +y +z
2

2

2

( x + y + z)
≥

2

≥ 3 xyz ( x + y + z ) = x + y + z

3
Ta lại có
.
Từ đó bất đẳng thức (*) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 1,0
khi a = b = c.

4

5

2
2
2
2
a
=
x
+
y
+
x
+
y
,
b
=
x
+
y
−
x
+
y
Đặt
. Ta có

1 1
1
1
x+ y 1 1
+ =
+
=
= +
a b x + y + x2 + y2 x + y − x2 + y 2
xy
x y

2,0

.
Như vậy, qua mỗi phép biến đổi, tổng nghịch đảo các số trên bảng không
2,0
1 1 1 1 19
+ + + =
<1
thay đổi. Vì ban đầu có 3 4 5 6 20
nên qua một số hữu hạn
bước thực hiện phép biến đổi ta không thể nhận được một số nhỏ hơn 1
trên bảng.
n2 − 1
= a ( a + 1) , ( a ∈ ¥ )
1,0
Giả sử ta có 3
.
Khi đó

2
n 2 = 3a 2 + 3a + 1 ⇒ 4n 2 − 1 = 12a 2 + 12a + 3 ⇒ ( 2n − 1) ( 2n + 1) = 3 ( 2a + 1)
Vì 2n − 1 và 2n + 1 là hai số lẻ liên tiếp nên ta có hai trường hợp:
2
1,5
2n − 1 = 3 p
2
2
⇒
q
=
3
p
+
2

2
Trường hợp 1: 2n + 1 = q
.
Vô lý vì một số chính phương chia 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
2
2n − 1 = p

1,0
2
2
n
+
1
=

3
q


Trường hợp 2:


Khi đó p phải là số lẻ.
2
2
2
p
=
2
k
+
1,
k
∈
¥
⇒
2
n
=
2
k
+
1
+
1

⇒
n
=
k
+
k
+
1
(
)
(
)
Giả sử
, là điều
phải chứng minh.