cac quy trình giai bai tap hinh hoc khong gian

LỜI CẢM TẠ
˜¯™

Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cân Thơ, với
những kiến thức thu được từ quý thầy, cô đã giúp em tự tin thực hiện luận văn
tốt nghiệp.
Hoàn thành luận văn này, em kính gởi lời chúc sức khỏe và lời cảm ơn
chân thành nhất đến quý thầy cô bộ môn Toán, thầy cô khoa Sư phạm và tất cả
những thầy cô của trường Đại học Cần Thơ đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt
những tri thức quý báu cho em trong suốt thời gian em học tại trường, đó là
hành trang vô giá để em bước vào đời. Đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Sáng,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian nghiên cứu, thực hiện đề
tài.
Xin cảm ơn Bùi Khắc Phú, giáo viên trường THPT Trần Đại Nghĩa đã
có những ý kiến đóng góp và tạo điều kiện thuận lợi cho em nghiên cứu đề tài
trong suốt thời gian thực tập sư phạm.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế mặc dù bản thân đã có nhiều cố
gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong những
ý kiến đóng góp của quý thầy, cô để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin cảm ơn tất cả những người thân và bạn bè đã động viên, giúp đỡ em
trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Cuối cùng xin gởi đến quý thầy cô, những người thân yêu và bạn bè lời
chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công và thành công hơn nữa trong lĩnh vực
hoạt động của mình.
Cần thơ, 05/2013


MỤC LỤC.........................................................................................
PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................................
1. Lí do chọn đề tài
...................................................................................................................

2. Mục đích nghiên cứu
..................................................................................................................

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
...................................................................................................................
4. Phương pháp nghiên cứu
...................................................................................................................
5. Đối tượng nghiên cứu
...................................................................................................................
6. Phạm vi nghiên cứu
...................................................................................................................
7. Cẩu trúc và nội dung luận văn
...................................................................................................................

8. Một số từ ngữ được viết tắt trong đề tài
............................................................................................................

PHẦN NỘI DUNG...........................................................................
Chương 1: Thuật toán và quy trình tựa thuật toán.....................................
1.1 Qui trình.............................................................................................................
1.2 Thuật toán .........................................................................................................
1.2.1 Khái niệm về thuật toán........................................................................
1.2.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán
1.2.3 Phương thức thuật toán (Algôrít) trong dạy học................................
1.2.4 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán............................................................
1.3 Tựa thuật toán...................................................................................................


1.3.1 Quan niệm về qui tắc tựa thuật toán
1.3.2 Các đặc điểm của một qui tắc tựa thuật toán

1.4 Kết luận chương 1........................................................................................

Chương 2: Cơ sở lí luận của dạy học giải bài tập toán................................
2.1 Bài toán là gi?...............................................................................................
2.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
2.2.1 Mục đích
2.2.2 Vai trò
2.2.3 Ý nghĩa
2.3 Vị trí và chức năng của bài tập toán học
2.3.1 Vị trí.......................................................................................................
2.3.2 Chức năng của bài tập toán.................................................................
a. Chức năng dạy học
........................................................................................................
b. Chức năng giáo dục
........................................................................................................
c. Chức năng phát triển
........................................................................................................
d. Chức năng kiểm tra
........................................................................................................
2.4 Cách tiếp cận một bài toán..........................................................................
2.4.1

Nhận biết câu hỏi hay bài toán.........................................................

2.4.2

Tìm hiểu những ý tưởng liên quan...................................................

2.4.3

Giới hạn bài toán...............................................................................

2.4.4

Tìm chiến lược...................................................................................

2.4.5

Dùng các tài liệu tham khảo..........................................................


2.5 Giải bài toán là gì?
2.6 Yêu cầu đối với lời giải bài toán
2.6.1 Lời giải không có sai lầm....................................................................
2.6.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác ...................................................
2.6.3 Lời giải phải đầy đủ ...........................................................................
2.7 Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài toán
........................................................................................................................
2.7.1 Tìm hiểu nội dung của bài toán
2.7.2 Xây dựng chương trình giải ..............................................................

2.7.3 Thực hiện chương trình giải..............................................................
2.7.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.........................................................
2.8 Những điểm cần chú ý trong việc dạy học giải bài tập toán.....................
2.8.1

Tạo không khí hứng thú trong giờ học giải bài tập

2.8.2

Xây dựng và duy trì động cơ của học sinh

2.8.3

Giúp cho học sinh cách thức làm tăng sự hiểu biết về các tình

huống của bài toán
2.8.4

Chú ý tính linh hoạt trong giải toán.................................................

2.8.5

Nhấn mạnh đến phương pháp giải hơn là đáp số............................

2.9 Kết luận chương 2........................................................................................

Chương 3: Tóm tắt lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp
11 nâng cao.......................................................................................................
Chương 4: Xây dựng qui trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình
học không gian.................................................................................................
4.1 Một số quy trình cụ thể.....................................................................................
4.1.1 Quy trình I: Xác định góc giữa hai đường thẳng.....................................


4.1.2 Quy trình II: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
4.1.3 Quy trình III: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.................
4.1.4 Quy trình IV: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ......
4.1.5 Quy trình V: Xác định góc giữa mặt phẳng..............................................
4.1.6 Quy trình VI: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng...........

4.1.7 Quy trình VII: Tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.........
4.1.8 Quy trình VIII: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau......
4.1.9 Quy trình IX: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song..................................................................................................................
4.1.10 Quy trình X: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song..............
4.2. Tác dụng của việc giảng dạy qui trình............................................................
4.3. Kết luận chương 4............................................................................................

Chương V: Một số bài tập hình học không gian chọn lọc...........................
Chương VI: Thực nghiệm sư phạm...............................................................
6.1 Mục đích và nội dung thực nghiệm sư phạm.............................................
6.1.1 Mục đích thực nghiệm ........................................................................
6.1.2 Nội dung thực nghiệm..........................................................................
6.2 Tường thuật hai tiết dạy thực nghiệm........................................................
6.2.1 Dạy học bài hàm số liên tục.................................................................
6.2.2 Dạy học bài đường thẳng vuông góc với mặt phẳng..........................

6.3 Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học thực nghiệm .......................
6.3.1 Thuận lợi ..............................................................................................
6.3.2 Khó khăn..............................................................................................
6.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm.....................................................................


6.5 Một số mẫu giáo án......................................................................................

PHẦN KẾT LUẬN..........................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................
PHỤ LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là một mảng kiến thức rất khó. Với học sinh, khi
đứng trước những khái niệm mới, những dạng toán hoàn toàn xa lạ các em
không thể tiếp thu một cách trọn vẹn khiến việc ghi nhớ cũng như làm bài
tập gặp vô vàng những khó khăn.
"Môn toán là một môn học "công cụ" cung cấp những kiến thức, kỹ
năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con
người lao động mới làm chủ tập thể". Hơn nữa, mỗi một môn học đều có
một đặc thù riêng và chúng đòi hỏi người giáo viên cần nhận ra những đặc
điểm đó để tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp. Trong đó, toán học là
một môn học gắn liền với các quy trình, vì thế bên cạnh việc rèn luyện tính


tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo cho học sinh, chúng ta cần rèn luyện
cho học sinh các thao tác, cách thức giải quyết vấn đề theo một qui trình
nhất định.
Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán là một điều kiện để rèn luyện
kỹ năng tính toán, nó không những cần thiết cho việc học hiệu quả nội dung
môn toán mà còn giúp học sinh học hiệu quả những môn học khác.
Từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường trung học phổ thông, sau đó với tư
cách là một giáo sinh kiến tập sư phạm, qua tìm hiểu em biết được việc giải
bài toán hình học không gian đối với học sinh tương đối khó. Yêu cầu trước
hết đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu sắc nội dung định nghĩa, định lý từ đó
làm cơ sở để xây dựng cho mình những thuật toán để giải bài tập.
Là một giáo viên tương lai, em hiểu mình cần phải trao dồi và rèn luyện
trình độ chuyên môn sâu cũng như bồi dưỡng nâng cao lý luận dạy học, tím
ra phương pháp học tốt phục vụ cho sự nghiệp trồng người sau này.
Những lí do trên đã thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
"Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học

không gian".
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hệ thống lại các một số phương pháp giải toán hình không gian cũng như
các thao tác thuật toán. Từ đó rút ra cách phân tích và giải bài toán hình học
không gian.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nhắc lại các kiến thức về thuật toán và quy trình tựa thuật toán.

-

Nhắc lại mục đích, vai trò, ý nghĩa, vị trí và chức năng của bài tập toán.

-

Tìm hiểu về phương pháp dạy học tìm tòi lời giải bài toán.

-

Tóm tắt một số lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11
nâng cao.


-

Xây dựng một số quy trình tựa thuật toán cụ thể để giải các bài tập hình
học không gian.

-

Hệ thống và một số bài tập điển hình theo chủ đề thể tích khối đa diện.

-

Đề xuất một số giáo án sử dụng việc xây dựng quy trình thuật toán trong
dạy học.

-

Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

4. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu lí luận dạy học toán, đặc biệt là thuật toán và
quy trình tựa thuật toán.

-

Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa, sách bài tập và một số sách tham
khảo.

-

Phần thực nghiệm đã sử dụng phương pháp trực quan, điều tra và vận
dụng lí thuyết vào dạy học cụ thể. Tổng kết kinh nghiệm, đánh giá thống
kê kết quả đạt được trong quá trình thực nghiệm.
5. Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh thông qua việc xây dựng
một số quy trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình học không gian.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập.
Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 và tham khảo các sách bài tập khác.
7. Cẩu trúc và nội dung luận văn (gồm 3 phần)
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương I: Thuật toán và quy trình tựa thuật toán
Chương II: Cơ sở lí luận của dạy học giải bài tập toán
Chương III: Tóm tắt lí thuyết hình học không gian sách giáo khoa lớp 11
nâng cao.


Chương IV: Xây dựng qui trình tựa thuật toán để giải các bài tập hình
học không gian.
Chương V: Một số bài tập hình học không gian chọn lọc
Chương VI: Thực nghiệm sư phạm.
Phần kết luận
8. Một số từ ngữ được viết tắt trong đề tài
SGK: sách giáo khoa
THPT: trung học phổ thông
mp: mặt phẳng
HS: học sinh
GV: giáo viên

Chương I:
THUẬT TOÁN VÀ QUI TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN
=========˜¯™========

1.1 Qui trình
Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó.
Ví dụ: Quy trình bốn bước của Polia để giải một bài toán, quy trình giải bài
toán bằng cách lập phương trình,...
Mỗi quy trình có thể chia thành các bước. Mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định. Mỗi hoạt động có thể có nhiều thao tác.


Ví dụ: Hoạt động "Tìm hiểu nội dung bài toán" có các thao tác: Vẽ hình, chọn
kí hiệu, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán,...

1.2 Thuật toán
1.2.1 Khái niệm về thuật toán
Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến
phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những qui tắc xác định mô tả qui trình
giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán và khái niệm này
đã được dùng từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm Toán học.
Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu
như một qui tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người hay máy
thực hiện được một số hữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải
một lớp bài toán nhất định. Như vậy thuật toán là một phương pháp thể hiện lời
giải vấn đề bài toán.
Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu
giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
Thuật toán dẫn từ dữ kiện ban đầu đến kết quả cần tìm qua một số hữu
hạn bước (phép toán).
Ở trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như
cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn
nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải phương trình bậc

hai dưới dạng chuẩn….
Khái niệm thuật toán gắn liền chặt chẽ với tư duy thuật toán. Vì thế người
thầy
giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các qui tắc, phương pháp có tính
chất thuật toán trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng :
tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại
máy tính.
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì
những


lý do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động
hóa trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc
phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh
thấy được nền tảng tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức,
thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho chuyển
giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong
khi giải bài bằng máy tính điện tử (MTĐT). Thật vậy, thiết kế thuật toán là
một khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho
học sinh thực hiện tốt khâu đó.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà
trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học
sinh lãnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho các phép tính trên
những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v.
Thứ tư, tư duy thật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ
chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … và hình thành những phẩm
chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói
quen tự kiểm tra…

Tư duy thuật toán quan hệ chặc chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày
ở trên. Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
(1)

Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với

thuật toán cho trước.
(2)

Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được

thực hiện theo một trình tự xác định.
(3)
(4)

Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động.
Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ

thành một hoạt động trên một lớp đối tượng.
(5)

So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công

việc và phát hiện thuật toán tối ưu.


Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần
sau thể hiện khả năng xây dựng thực toán.
Việc phát triển tư duy thuật toán có thể thực hiện cả khi trực tiếp dạy
những nội dung Tin học lẫn khi dạy học những nội dung lĩnh vực khác, kể cả

những nội dung truyền thống của giáo dục phổ thông. Mặt thứ nhất là rõ ràng
và tường minh khi đã có chủ trương đưa tin học vào nhà trường. Mặt thứ hai –
mặt phát triển tư duy thuật toán trong dạy học những nội dung ngoài tin học –
dễ bị lãng quên bỏ qua. Vì vậy mục này chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong
môn Toán để tránh điều đáng tiếc đó.
Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu
diễn thuật toán … đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong
nhà trường phổ thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư
duy thuật toán, chuẩn bị cho việc học tập về MTĐT và làm việc với công cụ
này.Tuy nhiên, trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một
cách tường minh vào trong chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư
duy thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng (1) – (5)
đã liệt kê những thành tố của phương thức tư duy này.
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác
định phù hợp với thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số qui tắc toán học
thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối hoặc
ngôn ngữ phỏng trình nếu học sinh đã học những ngôn ngữ này, rồi yêu cầu họ
thực hiện những qui tắc ấy thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến
hành các bước trong mỗi qui tắc.
Ví dụ thuật toán giải phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0
• Thuật toán
Bước 1: Xác định hệ số a, b, c .
Bước 2: Xét hệ số a :
+ Nếu a = 0 chuyển sang bước 7.
+ Nếu a ≠ 0 chuyển sang bước 3.
Bước 3: Tính ∆ = b 2 − 4ac .


+ Nếu ∆ < 0 chuyển sang bước 4.
+ Nếu ∆ = 0 chuyển sang bước 5.

+ Nếu ∆ > 0 chuyển sang bước 6.
Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm. Kết thúc.
Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép.
x1 = x2 = −

b
2a

Kết thúc
Bước 6: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

−b + ∆
,
2a

x2 =

−b − ∆
2a

Kết thúc
Bước 7: Phương trình trở về phương trình bậc nhất
Cách làm trên cũng là đồng thời tập cho học sinh biết phân tích một hoạt
động thành những thao tác thành phần theo tình tự xác định.Cần rèn luyện cho
học sinh hoạt động này ngay cả đối với những quy tắc thể hiện phần nào
nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặc chẽ của khái niệm thuật toán
trong toán học, chẳng hạn qui tắc trong xác định góc giữa một đường thẳng và
một mặt.
Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng ;

Bước 2: Xác định góc của đường thẳng với hình chiếu của nó ;
Qui tắc này tỏa ra rất hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán : "Một hình
chóp SABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy. Đáy ABC là
tam giac cân tại đỉnh A , trung tuyến AD = a . Cạnh SB tạo với đáy một góc
α và tạo với mặt phẳng SAD góc β . Xác định góc α và β …"(trích Hướng

dẫn ôn tập môn toán, Bộ giáo dục). Theo các bước trên thì việc xác định góc
α không có gì khó khăn, còn với góc β , chắc chắn xác định được hình chiếu
·
của SB trên ( SAD) chính là SD , do đó góc SBD
=β


Một số ví dụ khác là qui tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các
bước:
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ;
Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với
giao tuyến tại một điểm;
Bước 3 : Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm..
Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc
bước kia đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được xác
định góc theo trình tự trên là cần thiết và sẽ đạt được kết quả.Hơn nữa cũng
theo trình tự ấy, học sinh còn biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng,
ngắn gọn, góp phần khắc phục nhược điềm về cách diễn đạt vốn vẫn là một
trong những khó khăn đáng kể của học sinh trong học tập môn toán.
Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá
trình, cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng
lời lẽ của mình. Giáo viên theo dõi tính chính xác, xác định của những phát
biểu như vậy để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn
ra trên những đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối

tượng, có thể hướng dẫn họ đi từ giải phương trình bậc hai cụ thể tới giải
phương trình bậc hai tổng quát dạng ax 2 + bx + c = 0 .
Cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sánh những thuật
toán khác nhau ( thực hiện cùng một công việc ) và phát hiện thuật toán tối
ưu, ít nhất về tiết kiệm thao tác. Đó cũng là yếu tố tư duy thuật toán trong
những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính điện tử.
1.2.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán
a) Tính xác định
Mỗi bước của thuật toán cần phải được mô tả một cách chính xác, chỉ rõ một
cách hiểu duy nhất. Hiển nhiên, đây là một đòi hỏi quan trọng. Bởi vì nếu một
bước có thể hiểu theo nhiều cách nhau, thì cùng một dữ liệu vào, những người
thực hiện thuật toán khác nhau có thể dẫn đến kết quả khác nhau.
b) Tính khả thi


Tất cả các phép toán có mặt trong các bước của thuật toán phải đủ đơn
giản. Điều đó có nghĩa là các phép toán phải sao cho có ít nhất về nguyên tắc
có thể thực hiện được bởi con đường bằng giấy trắng và bút chì trong khoảng
thời gian hữu hạn bước thực hiện.
Các chỉ dẫn trong thuật toán phải có khả năng thực hiện được trong một
thời gian hữu hạn. Ví dụ sau đây không thể là mô tả một thuật toán: gán cho x
giá trị 1 nếu bài toán tô màu giải được và cho giá trị 0 nếu bài toán tô màu
không giải được (Bài toán tô màu khẳng định không cần dùng quá 4 màu để tô
các nước trong bản đồ đề hai nước có biên giới chung phải có màu khác nhau.
Người ta kiểm chứng trên thực tế thì đúng nhưng chưa tìm được chứng minh
cho bài toán này)
c) Tính dừng
Với mọi bộ dữ liệu vào thỏa mãn các điều kiện của dữ liệu vào (tức là được lấy
ra từ các tập của dữ liệu vào) thuật toán phải dừng lại sau một số hữu hạn bước
thực hiện.

Việc thực hiện các bước theo một thuật toán phải dừng sau một số hữu hạn
bước. Thuật toán Euclid tìm UCLN thoả mãn tính dừng vì sau mỗi bước ta thấy
tổng a+b giảm thực sự nhưng không được nhỏ hơn 2. Vì vậy quá trình trên nhất
định phải dừng sau một số hữu hạn bước.
Tính xác định, tính khả thi, tính dừng là những tính chất đặc trưng của thuật
toán, bên cạnh đó thuật toán còn có một số tính chất sau:
 Tính phổ dụng
Thuật toán phải được áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ
không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp của bài toán chứ không chỉ
được áp dụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Tuy nhiên, không phải
thuật toán nào cũng đảm bảo được yêu cầu đó. Đôi khi người ta chỉ xây dựng
thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi.
Tính phổ dụng có nghĩa là một thuật toán có thể được áp dụng với một lớp các
bài toán với input thay đổi chứ không chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể.
Thuật toán Euclid nói trên có thể áp dụng cho bất kỳ cặp hai số tự nhiên.


 Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh
bạch, các câu lệch được sắp xếp theo thứ tự nhất định.
 Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên
nhiều máy tính vẫn phải cho kết quả nhau.
 Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng
nhận được các đại lượng vào (Dữ liệu vào – Input), các dữ liệu vào
thường lấy từ một tập xác định cho trước. Sau khi kết thúc một thuật
toán bao giờ cũng cho ta một số đại lượng ra (Dữ liệu ra – Output).
 Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa trên theo những tiêu
chuẩn: Số các phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu…
Tùy vào yêu cầu sử dụng mà người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng
thuật toán.
 Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ

cấp phải được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất,
nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiên cùng một thao tác
trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả. Vì thế khi thực hiện
thuật toán, chúng ta không cần hiểu ý nghĩa của những thao tác. Nhờ
tính chất này mà chúng ta có thể sử dụng thiết bị tự động để thực hiện
thuật.
1.2.3 Phương thức thuật toán (Algôrít) trong dạy học
Phương pháp Algôrít được mang tên nhà toán học người Ảrập thời
Trung cổ là Algôríthm, người đầu tiên sáng chế ra một công trình thuật toán
trên bàn tính trong đó phân đoạn sự tính toán thành từng khâu, từng bước hợp lí
theo một hệ thống lôgic chặt chẽ mà sau này gọi là những quy trình v.v...
Công trình đó chìm lắng dần theo thời gian, mãi đến đầu thế kỉ XX khi
khoa học - công nghệ có sự phát triển mạnh mẽ; Algôrít được coi là một
phương pháp tư duy và đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực khoa học, đặc biệt là
công nghệ tin học (Algôrít là công cụ chủ yếu để phân đoạn, chia nhánh lập
trình trong các phần mềm của máy vi tính).


Đến giữa thế kỉ XX, một số nhà giáo dục ở các nước tiên tiến đã vận
dụng Algôrít như là một phương pháp có hiệu quả nhằm thu thập thông tin, xử
lí thông tin để giải quyết các vấn đề phức tạp trong dạy học.
Như vậy, phương pháp Algôrít trong dạy học là tổng hợp cách thức thiết
kế và thi công một hệ thống các thao tác hợp lí theo một trình tự lôgic chặt chẽ
nhằm đạt kết quả tối ưu các nhiệm vụ dạy học.
Đặc điểm của phương pháp Algôrít là tiến trình bài học được chia nhỏ
thành các giai đoạn, các bước, các công đoạn giúp người học có thể dễ dàng
thực hiện các nhiệm vụ dạy học.
Để giải quyết một nhiệm vụ học tập, người học phải thiết kế và thi công
một quy trình hợp lí; nghĩa là phải "Algôrít hóa" nội dung và các thao tác hoạt
động trí tuệ. Nghệ thuật dạy học là phải thiết kế được các Algôrít tối ưu (không

phức tạp, ít thao tác, có bước đi hợp lí, vừa sức nhưng phát triển tối đa trí tuệ
của người học ...)
Trong quá trình giáo dục - đào tạo, phương pháp Algôrít được ứng dụng
phổ biến trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học, trong dạy học, trong tự học
và cả trong cuộc sống đời thường. Trong dạy học, để phát triển ở mức độ cao
năng lực và phẩm chất trí tuệ cho người học, vấn đề quan trọng là phải có
phương pháp tư duy, tư duy có sắc sảo, năng động, sáng tạo thì tài năng mới
bộc lộ và phát triển. Vì thế, nghệ thuật dạy học là phải biết cách dạy phương
pháp tư duy, tự duy một cách thông minh, độc lập, sáng tạo. Phương pháp
Algôrít góp phần quan trọng nhằm thực hiện nhiệm vụ đó.
Tuy nhiên, để thiết kế và thi công, để có thể "Algôrít hóa" một bài học
theo quy trình hợp lí, có hiệu quả, đòi hỏi giáo viên phải có trình độ chuyên
môn và nghiệp vụ sư phạm cao để tổ chức và thiết kế Algôrít bài giảng hợp lí
và học sinh phải học tập tích cực để có thể thi công nhanh, đúng như quy trình
và ờ mức độ cao hơn là có thể tự thiết kế và thi công quy trình tự học, tự làm
việc có hiệu quả của cá nhân.
1.2.4 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán
Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập
và có vẻ xa lạ. Tuy nhiên, sự bắt trước hay học hỏi của con người từ thời xưa


đến nay chính là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp
với một phương pháp tổng quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong
công việc. Người ta đã dạy nhau nấu một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp
bằng cách chỉ cụ thể bước 1 làm gì, bước 2 phải làm như thế nào,…chính là
thực hiện thuật toán, sự thành thạo có được là do làm nhiều lần theo một công
thức có sẵn. Từ đó cho thấy sự cần thiết phải có thuật toán và rèn luyện việc
thực hiện thuật toán trong đời sống.
Trong quá trình toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc
hơn, quan trọng hơn. Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài

toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách
toàn diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống. Học tập với
thuật toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương;
phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình
thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình
huống sảy ra trong học tập môn toán và cả đời sống.
1.3 Tựa thuật toán
1.3.1 Quan niệm về qui tắc tựa thuật toán
Viết theo Nguyễn Bá Kim, phương pháp dạy học toán, NXB Đại học sư phạm,
2002).
Qui tắc tựa thuật toán là những qui tắc trong đó không yêu cầu mọi chỉ dẫn đều
phải thỏa mãn hai điều kiện:
+ Chủ thể phải biết một qui tắc chính xác để thực hiện các chỉ dẫn đó.
+ Kết quả thực hiện chỉ dẫn phải duy nhất.
Như vậy, trong một qui tắc tựa thuật toán, đối với mỗi chỉ dẫn chủ thể dễ dàng
tìm được một cách nhưng không nhất thiết phải biết một qui tắc chính xác để
thực hiện chỉ dẫn đó và kết quả đạt được cũng có thể không duy nhất.
Tùy theo yêu cầu chỉ cần đến mức như vậy nhưng những qui tắc tựa thuật toán
cũng mang nhiều đặc điểm của thuật toán và có ích trong quá trình và giải toán.
Những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt
chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là qui trình tựa thuật toán.


Một qui trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà qui trình đó chỉ
tương tự như một thuật toán, Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước
để giải quyết một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết
quả duy nhất còn qui trình tựa thuật đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư
duy thì vấn đề đặt ra được giải quyết. Đối với một thuật toán thì cho dù người
hay máy tính thực hiện đều mang lại một kết quả duy nhất. Nhưng đối với một
qui trình tựa thuật toán thì vấn đề có khác hơn, đó là mày không thực hiện được

qui trình này. Trong chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được
học những qui trình tựa thuật toán như giải bài toán bằng cách lập phương
trình, qui trình xác định vectơ tổng của hai vectơ cho trước. qui trình khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số,…
Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a
và b cho trước như sau:
Qui trình 1
Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a
Bước 2: Xác định hình chiếu a ' của a trên mp (Q)
Bước 3: Xác định giao điểm N của a ' với b
Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c ⊥ (Q)
Qui trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán về
xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Tuy nhiên, khi vận dụng các qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh
hoạt của tư duy thì vần đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất.
Qui trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán "Cho hình lập
phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng AB và CC ' ". Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm
đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau mà không cần đến qui
trình đã nêu.
Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh những qui
trình để giải một lớp các bài toán.


Sau đây là một qui trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cho trước.
Qui trình 2:
Bước 1: Xac định mặt phẳng ( P) vuông góc với đường thẳng a
Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp ( P)
Bước 3: Xác định hình chiếu b ' của b lên mp ( P)

Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b
Bước 5: Xác định N ∈ b sao cho NH // a
Bươc 6: Xác định M ∈ a sao cho MN // OH
Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b
Nếu sau bước 3 của qui trình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trường hợp
nào thì b ' // b ? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b ? Thì ta có một
qui trình khác gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau a và b cho trước.
Qui trình 3:
Bước 1: Xác định mp ( P) chứa b và vuông góc với a
Bước 2: Xác định giao điểm M của a với mp ( P)
Bước 3: Xác định hình chiếu N của M lên b
Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b
Từ qui trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là khá rõ ràng. Tuy nhiên việc áp
dụng vào các bài toán cụ thể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn: Nên xác định mp
( P ) chứa b và song song với a hay chứa a và song song với b ? Bằng cách

nào để tìm hình chiếu của b trên mp ( P) ?...Trong những trường hợp đó cần sự
giúp đỡ của giáo viên, đặc biệt là tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy của
người làm toán.


Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 . Trong đó d1 , d 2 là hai
đường thẳng chéo nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương.
Ví dụ 2: Đối với bài toán kết hợp phương pháp dự đoán và qui nạp toán
học, với qui trình thực hiện như sau:
Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể.
Bước 2: Dùng phương pháp qui luật toán học để khẳng định tính đúng

đắn của kết quả đã dự đoán.
Bài tập vận dụng:
1) Tính tổng S n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
2) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y = sin x
1.3.2 Các đặc điểm của một qui tắc tựa thuật toán
Mỗi qui trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếp
theo một trình tự xác định. Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ
thể, có bước là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là một gợi ý định hướng suy
nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn
trường hợp. Thực hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt
trong tư duy thì kết quả là vấn đề đặt ra chưa được giải quyết.
Ví dụ 1: Qui trình giải bất phương trình phân thức
Giải bất phương trình phân thức dạng:
P ( x) H ( x )
P ( x) H ( x )
>
<
hoặc
có thể thực hiện theo các bước sau:
Q( x) G ( x)
Q( x) G ( x)

1) Đưa bất phương trình về dạng:
P ( x)G ( x) − Q( x) H ( x)
> 0 hoặc
Q( x)G ( x)

P ( x)G ( x) − Q( x) H ( x)
<0
Q( x)G ( x)

Xét dấu biểu thức ở vế trái (xét dấu tử, mẫu, kết hợp bằng một bảng xét dấu)
2) Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình


Ví dụ 2: Qui trình chứng minh một mệnh đề toán học có chứa tham số n
(n ∈ ¥ ) bằng phương pháp qui nạp toán học cần hướng dẫn học sinh chứng

minh hai phần:
1) Chứng minh mệnh đề đúng nới n = 1
2) Gỉa sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥ 1) , chứng minh mệnh đề đúng với
n = k +1 .

Trong dạy học toán trung học phổ thông cần rèn luyện cho học sinh biết
phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần theo một trình tự xác
định ngay cả đối với những dạng toán thuộc loại qui trình tựa thuật toán.
Trong chương trình toán trung học phổ thông có nhiều loại toán có
phương pháp giải nhất định, hoặc cò thể nêu trình tự các bước giải. Đối với
những loại toán đó giáo viên cần hướng dẫn để cho học sinh xây dựng phương
pháp giải theo trình tự từng bước có tính chất thuật toán. Khi học sinh đã thành
thạo phương pháp chung cần chú ý rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo khi vận
dụng.
1.4 Kết luận chương 1
Chương đầu tiên của luận văn đề cập khái niệm thuật toán và qui trình tựa thuật
toán, vị trí và ý nghĩa của thuật toán giúp cho học sinh có thể giải được những
bài toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một
cách toàn diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống. Học
tập với thuật toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ
cương; phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,
hình thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt , nhạy bén và giải quyết triệt để

mọi tình huống sảy ra trong học tập môn toán và cả đời sống.


Chương II:
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
=========˜¯™========

2.1 Bài toán là gì?
•

Ở trường trung học phổ thông bài toán vừa là mục đích, vừa là nội dung,

vừa là phương pháp hiệu nghiệm. Nó vừa cung cấp kiến thức cho học sinh và


cả con đường giành lấy kiến thức mà còn mang lại niềm vui sướng cho sự phát
hiện. Ngoài ra nó còn giữ vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu đào
tạo, trong việc hình thành nhân cách của học sinh. Vì vậy, bài toán đặt ra sự
cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới
mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt ngay.
•

Đôi khi bài toán còn được nhìn nhận với một phương diện khác. Chẳng

hạn, bài toán là hệ thông tin xác định bao gồm những điều kiện và những yêu
cầu luôn luôn không phù hợp, mâu thuẫn với nhau, dẫn đến nhu cầu phải khắc
phục bằng cách biến đổi chúng.
2.2 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông
Polya cho rằng ”Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn so với
một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích

hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên
nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà
quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó là phải nắm
vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán ? đó là biết giải toán”
[25, tr. 82].
2.2.1 Mục đích
Một trong những mục đích dạy toán ở trường trung học phổ thông là:
Phát triển ở học sinh những phẩm chất và năng lực trí tuệ, giúp hoc sinh biến
những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản
thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực
hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.
Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống
những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với
thực tiễn và có năng lực vận dụng những kiến thức đó vào những tình huống cụ
thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa hoc
khác.
2.2.2 Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ hiện
đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học học tốt các môn khoa học


khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói
“Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp
của toán học” [5, tr.5].
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như:
phân tích, tồng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những
phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính
kỉ luật, khoa học, sáng tạo…
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.

Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác
nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội
dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,...
Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức
năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc
thực hiện các mục đích dạy học.
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và
tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập
cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công
khai.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là bài tập
có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với
mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học
được thể hiện cả trên 3 bình diện này.
Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá
mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt