bai tap dai so to hop co loi giai hay

Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

CHUYÊN ĐỀ 2: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Đại số tổ hợp
1.1.1. Quy tắc cộng:
Có n1 cách chọn đối tượng A1.
n2 cách chọn đối tượng A2.
A 1 ∩ A2 = ∅
⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.
1.1.2. Quy tắc nhân:
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng
A2 .
⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.
1.1.3. Hoán vị:
− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
− Số hoán vị: Pn = n!.
1.1.4. Chỉnh hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
n!
k
− Số các chỉnh hợp: An =
(n − k )!
1.1.5. Tổ hợp:
− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử.
n!
k

− Số các tổ hợp: Cn =
k !(n − k )!
k
n −k
k −1
k
k
− Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn
1.1.6. Nhị thức Newton
n

(a + b) = ∑ Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + ... + Cnnb n
n

k =0

k n −k k
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b
n
0
1
2 2
n n
− Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + ... + x Cn
1.2. Xác suất

1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển: P ( A ) =
+ 0 ≤ P(A) ≤ 1

ΩA

Ω

+ P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 0

1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc:
a) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:
1


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

c) Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
2. Các dạng toán
2.1. Bài toán đếm:
Ví dụ 1. Cho tập A = { 1; 2;3;4;5;6;7}
a) Có bao nhiêu số tự nhienegoomf 5 chữ số đôi 1 khác nhau lấy từ tập A
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau.
Lời giải
a) Gọi số cần tìm là : n = abcde
Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử
A75 = 2520
b) Gọi số cần tìm là : n = abcdef
+ n là số chẵn thì f ∈ {2;4;6} ⇒ có 3 cách chọn f
+ 5 số còn lại là A65

Theo quy tắc nhân: 3. A65 =2160 (số)
Ví dụ 2. Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5;6} , Từ tập A có thể lập được:
a) bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau
b) bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho các chữ số này đều là số lẻ
c) bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho các chữ này đều là số chẵn
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : n = abcde
Cách 1 :
+ a có 6 cách chọn
+ 4 số còn lại A64 =360
Theo quy tắc nhân: 6. A64 =2160
Cách 2: chọn 5 số bất kỳ trong tập A: A75 = 2520
+ Chọn số có 5 chữ số mà chữ số đầu có chữ số 0: A64 = 360
Vậy có: A75 − A64 = 2520 − 360 = 2160
b) Gọi số cần tìm là : n = abcde
+ n là số lẻ thì e ∈ {1;3;5} ⇒ có 3 cách chọn e
+ a có 5 cách chọn
+ 3 số còn lại A53 = 60
Theo quy tắc nhân: 3.5.60=900
c) Gọi số cần tìm là : n = abcde
2


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

+ n là số chẵn thì e ∈ {0;2;4;6}
TH1 : e=0 ⇒ e có 1 cách chọn
+ 4 số còn lại: A64 = 360

Theo quy tắc nhân: 1.360=360
TH2: e ≠ 0 ⇒ e có 3 cách chọn
+ a có 5 cách chọn
+ 3 số còn lại A53 = 60
Theo quy tắc nhân: 3.5.60=90
Kl: vậy có tất cả: 360+900=1260
Ví dụ 3. Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ
số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Lời giải
Gọi số cần tìm là abcde ( a ≠ 0 )
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: A52 cách
3 vị trí còn lại có A43 cách
Suy ra có A52 A43 số
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có A43 cách
Suy ra có 4.A43 số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là: A52 A43 − 4. A43 = 384
Ví dụ 4. Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6}. Hỏi có bao nhiêu tập con chứa 2 phần tử của tập A
Lời giải
Tập con chứa 2 phần tử của tập A là : C62 =15
Ví dụ 5. Một bộ bài có 52 quân 2 màu
a) Có bao nhiêu cách rút ra 6 quân bài trong đó có 3 quân píc, 1 quân chuồn và 2 quân cơ
b) Có mấy cách rút ra 5 quân bài trong đó có 2 con đỏ và 3 con đen?
Lời giải
3
a) + Lấy 3 con pic trong 13 con : C13
1
+ Lấy 1 con chuồn trong 13 con C13

2
+ Lấy 2 con cơ trong 13 con C13
3
1
2
Theo quy tắc nhân : C13
. C13
. C13
=290004
2
3
b) Số cách rút ra 2 con đỏ và 3 con đen là : C26
.C26
= 845000

3


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Tập con chứa 2 phần tử của tập A là : C62 =15
Ví dụ 6. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng
a) Có bao nhiêu cách lấy 6 viên bi bất kỳ
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó có 2 màu xanh và 4 vàng.
c) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh.
Lời giải
6
a) C12

= 924

b) Số cách lấy 6 viên bi trong đó 2 xanh, 4 vàng là : C52 .C74 = 350
6
c) + chọn 6 viên bi bất kỳ : C12
= 924

+ 6 viên bi lấy ra không có viên nào màu xanh : C76 = 7
Vậy có tất cả : 924-7=917 (cách)
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt
hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Lời giải
Từ giả thiết bài toán ta thấy có C52 = 10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số
0 đứng đầu) và C53 =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có C52 . C53 = 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả C52 . C53 .5! = 12000 số.
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C41 .C53 .4! = 960 .
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 8. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối
10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
Lời giải
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C126
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: C76
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là: C96
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là: C86
Số cách chọn thoả mãn đề bài là: C126 − C76 − C96 − C86 = 805 (cách)
Ví dụ 10. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n
điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho
là 439.
Lời giải

Nếu n ≤ 2 thì n + 6 ≤ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó
không vượt qua C83 = 56 < 439 (loại). Vậy n ≥ 3
Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên
cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
4


Trường THPT Sóc Sơn
Cn3+6 − C33 − Cn3 =

GV: Nguyễn Thị Hương

( n + 4 ) ( n + 5 ) ( n + 6 ) − 1 − ( n − 2 ) ( n − 1) n = 439

6
6
⇔ (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540
⇔ n2 + 4n – 140 = 0
Từ đó tìm được n = 10.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tập A = {1;2;3;4;5...;9}
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số đôi 1 khác nhau? (ĐS: 33600)
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho có đúng 3
chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn? (ĐS:1440)
c) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
đầu lẻ, chữ số cuối chẵn? (ĐS:16800)
d) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao
cho chữ số đầu và cuối đều chẵn? (ĐS: 2520)
Bài 2: Từ các số {1;2;3;4;5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có các chữ số
khác nhau? (ĐS: 325)

Bài 3: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;7;8;9}. Từ tập A có thể lập được:
a) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau >50.000 (ĐS:3360)
b) Có 5 chữ số khác nhau và là số chẵn? (ĐS:3000)
Bài 4:
a) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
(ĐS:952)
b) Từ 9 số {0;1;2;3;4;5;6;7;8} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 7 chữ số
khác nhau? (ĐS:90720)
Bài 5: Trong một lô hàng có 10 quạt bàn và 5 quạt trần
a) Có bao nhiêu cách lấy 5 quạt trong đó có 3 quạt trong đó có 3 quạt bàn (ĐS:1200)
b) Có bao nhiêu cách lấy 4 quạt trong đó có ít nhất 2 quạt bàn. (ĐS:1260)
Bài 6: Lớp học có 8 nam và 12 nữ
a) Chọn ra 6 học sinh sao cho có đủ nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn (ĐS:37808)
b) Chọn từ đó ra 10 học sinh sao cho có ít nhất là 2 học sinh nam (ĐS: 182930)
Bài 7: Trong 1 lớp 11A5 có 8 nam và 4 nữ. Cô giáo muốn chọn 3 học sinh để làm trực nhật
lớp học trong đó phải có ít nhất là 1 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (ĐS: 216)
Bài 8: Một lớp học có 30 người trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 em
trong lớp để trực tuần sao cho trong 3 em đó luôn có 1 cán bộ lớp. (ĐS:1135)
Bài 9: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi.
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên bi? (ĐS: 28 cách)
b) Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên bi trắng? (ĐS: 10 cách)
c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh? (ĐS: 15 cách)
Bài 10: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi.
d) Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên bi? (ĐS: 56 cách)
e) Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên bi trắng? (ĐS: 20 cách)
f) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh? (ĐS: 30 cách)
5


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Bài 11: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
bi.
a) Có bao nhiêu cách lấy được 4 viên bi? (ĐS: 3060 cách)
b) Có bao nhiêu cách lấy được 4 viên bi có đủ cả 3 màu? (ĐS: 1575 cách)
Bài 12: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. (ĐS: 805)
2.2. Nhị thức Newton:
2.2.1 Phương trình – Hệ phương trình - Bất phương trình chứa Pn , Ank , Cnk
a) Kiến thức củng cố:
Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2)...1 (n ≥ 1)
Ank =

n!
(n − k )!

Cnk = Cnn−k

(0 ≤ n ≤ 1)

Cnk =

n!
k !(n − k )!

(0 ≤ n ≤ 1)

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1

b) Bài tập
Ví dụ 1: giải các phương trình sau:
a) Cn3 = 5Cn1

n
n+2
n+1
C14
+ C14
= 2C14

Lời giải
a) ĐK: n ≥ 3 (n ∈ ¥ )
n!
n!
n!
n!
Cn3 = 5Cn1 ⇔
= 5.
⇔
= 5.
3!(n − 3)!
( n − 1)!
6(n − 3)!
( n − 1)(n − 2)(n − 3)!
1
5
⇔ =
⇔ (n − 1)(n − 2) = 30 ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0

6 (n − 1)(n − 2)
 n = 7 (n)
⇔
 n = −4 (l)
Vậy nghiệm của phương trình là: n =7
b) ĐK: 0 ≤ n ≤ 12 (n ∈ ¥ )
14!
14!
2.14!
n
n+ 2
n +1
C14
+ C14
= 2C14
⇔
+
=
n !(14 − n)! ( n + 2)!(12 − n)! ( n + 1)!(13 − n)!
14!
14!
2.14!
⇔
+
=
n !(14 − n)(13 − n)(12 − n)! ( n + 2)( n + 1) n!(12 − n)! ( n + 1) n!(13 − n)(12 − n)!
1
1
2
⇔

+
=
c)
(14 − n)(13 − n) ( n + 2)( n + 1) ( n + 1)(13 − n)
⇔ (n + 2)(n + 1) + (14 − n)(13 − n) = 2(n + 2)(14 − n)
⇔ 4n 2 − 48n + 128 = 0
 n = 4 ( n)
⇔
 n = 8 (n)
Vậy nghiệm của phương trình là: n =4 hoặc n=8
6


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

 2 Axy + 5C xy = 90
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  y
y
5 Ax − 2C x = 80

(*)

Lời giải
ĐK: x ≥ y ( x, y ∈ ¥ )
 X = Axy
Đặt 
y Hệ phương trình (*) trở thành
 Y = Cx

 Axy = 20
 2 X + 5Y = 90  X = 20
⇔
⇔


 y
5 X − 2Y = 80 Y = 10
 C x = 10

 x!
 x!
= 20
 x ! = 20( x − y )!

 ( x − y )! = 20
 A = 20
 ( x − y )!


⇔
⇔
⇔
x!

x
!
x
!

 C = 10


 y !( x − y )! = 10
= 10
= 10

 y !( x − y )!
 y !( x − y )!

(1)

y
x
y
x

Thế (1) vào (2) ta được :

(2)

20( x − y )!
= 10 ⇔ y ! = 2 ⇔ y = 2 thay vào (2)
y !( x − y )!

x = 5
x ! = 20( x − 2)!⇔ x( x − 1) = 20 ⇔ x 2 − x − 20 = 0 ⇔ 
 x = −4
Vậy nghiệm của hệ là: (x;y)=(5;2)

(n)
(l)

Cn2+1 3
≥ n
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
Cn2 10

Lời giải:

ĐK: n ≥ 2

(n ∈ ¥ )

Cn2+1
3
(n + 1)!
3
n!
(n + 1) n!
3
n!
≥ n⇔
≥ n.
⇔
≥ n.
2
10
2!(n − 1)! 10 2!( n − 2)!
2!( n − 1)(n − 2)! 10 2!( n − 2)!

Cn
2

n
≤
−
n +1 3
3n 2 − 13n − 10
⇔
≥ n⇔
≤0⇔
3

n − 1 10
10(n − 1)
1 ≤ n ≤ 5
Kết hợp với điều kiện ta được 2 ≤ n ≤ 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài1. Giải các phương trình

(n ∈ ¥ )

5
2
14
− x = x
x
C5 C6 C7

1

2
3
2
1) C x + 6.C x + 6.C x = 9 x − 14 x ;

x−2
x −1
x
2) C5 + C5 + C5 = 25 ( Đs: x=7) 3)

4) C xo + C xx −1 + C xx − 2 = 79

5) Ax3 + C xx − 2 = 14 x (TNTHPT - 98 - 99)

6)

C xx++83 = 5 Ax3+6

8) C 1x

+ C x2

+ C x3

7) C 1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x (ĐHNN - 99- 00)

7x
=
2

2
2
11) Px Ax + 72 = 6 ( Ax + 2 Px )

9)

Axy++11.Px − y
Px −1

= 72

10)

1
C 1x

−

1
C x2+1

=

Bài 2.Giải hệ phương trình
y−2

y −1

5C x = 3C x
 2 Axy + 5C xy = 90

1)  y
(Đs:x=5,y=2) ; 2) 
y
5 Ax − 2Cx = 80
C xy = C xy −1
7

 2 Axy + 5Cxy = 90
3)  y
y
5 Ax − 2Cx = 80

7
6C 1x + 4


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

4
3
Bài 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình: Cn −1 − Cn −1 −

5 2
An −2 = 0 (Đs: n=11)
4

Bài 4. Giải các bất phương trình
7

3
n −1
1) An +1 + Cn +1 < 14 ( n + 1) (Đs: − < n < 4
2

2)

An4
24
≤
3
n −4
3) An +1 − Cn
23 (Đs: 1 ≤ n ≤ 5 )
5)

An4+ 4
143
<
( n + 2 ) ! 4 Pn

4
3
4) C x −1 − C x −1 −

1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10 (Đs: x ≤ 4 )
2
x

( Đs: −9,5 < n < 2,5

5 2
Ax −2 ≤ 0 (Đs: 5 ≤ x ≤ 11 );
4

6) Ax3 + 5 Ax2 ≤ 21x (ĐHQGHN - 98- 99)

1 2
2 6 3
7) A2 x − Ax ≤ C x + 10
2
x

An4+1
<14 Pn
9)
Cnn−−13
x = 3; x = 4 )

8)

Cnn−−13
1
<
An4+1 14 P3

10)

1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ C x3 + 10
2
x

(Đs:

2.2.2 Ứng dụng khai triển nhị thức niuton
a) củng cố kiến thức
Nhị thức Newton
n

(a + b) n = ∑ Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + ... + Cnnb n
k =0

k n −k k
− Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b
n
0
1
2 2
n n
− Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + ... + x Cn
n
0
1
2
n
• Cho x=1 ta được 2 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn

0
1
2
n
n
• Cho x=-1 ta được 0 = Cn − Cn + Cn − ... + (−1) Cn
b) Bài tập
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

b) C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024

a) Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn = 243
Lời giải
a) ta có (1 + x) n = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + ... + x nCnn

cho x = 2 ta được:
3n = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn ⇔ Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn = 243
⇔ 3n = 243 ⇔ n = 5
b) ta có (1 + x) 2 n+1 = C20n +1 + xC21n+1 + x 2 C22n+1 + ... + x 2 n+1C22nn++11
Thay x=1 ta được: 22 n+1 = C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + ... + C22nn++11 (1)
Thay x=-1 ta được: 0 = C20n+1 − C21n+1 + C22n+1 − ... + C22nn++11
Lấy (1)-(2) ta được 2

2 n +1

= 2(C

1
2 n +1

+C

3
2 n +1

+C

5
2 n +1

8

(2)
2 n +1
2 n +1

+ ... + C

)


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

22 n+1 = 2(C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 ) ⇔ 22 n = C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + ... + C22nn++11
22 n = 1024 = 1010 ⇔ 2n = 10 ⇔ n = 5
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2-3x)10
Lời giải
Theo công thức số hạng tổng quát Tk +1 = C10k 210− k (−3x ) k = C10k 210− k (−3)k x k

Theo đề: x k = x 7 ⇒ k = 7
Vậy hệ số chứa x7 là: T8 = −C107 2337
n

1 

Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2.x +
÷ , biết rằng
x

An2 − Cnn+−11 = 4n + 6
Lời giải
Giải phương trình An2 − Cnn+−11 = 4n + 6 ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n ∈ N.
Phương trình tương đương với n(n − 1) −

(n + 1)!
n(n + 1)
= 4n + 6 ⇔ n(n − 1) −
= 4n + 6
2!( n − 1)!
2

⇔ n2 – 11n – 12 = 0 ⇔ n = - 1 (Loại) v n = 12.
12

1 

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x +
÷ .
x


k

k
12

12 − k

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = C (2 x)
k

Hay Tk+ 1 = C k ( 2 x ) 12−k .x − 2 = C k .212−k.x
12
12

24−3 k
2

 1 

÷ ; k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 12
 x

.

k ∈ N , 0 ≤ k ≤ 12
⇔ k = 8.
Số hạng này không chứa x khi 
24
−

3
k
=
0

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C128 24 = 7920
Ví dụ 4. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49 .
Lời giải
Điều kiện n ≥ 4
n

2
k 2 k n−k
Ta có ( x + 2 ) = ∑ Cn x 2
n

k =0

Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2n− 4
Hệ số của số hạng chứa x8 là Cn4 2n− 4
Ta có: An3 − 8Cn2 + Cn1 = 49
⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7
9


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Nên hệ số của x8 là C74 23 = 280
Ví dụ 5. Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ 4) . Biết rằng số tập con 4 phần tử của A bằng 20 lần
số tập con 2 phần tử của A.
a) Tìm n
b) Tìm k ∈ {1;2;3....n} sao cho số tập con k phần tử của tập A là lớn nhất
Lời giải
a) + Số tập con gồm 4 phần tử của A : Cn4
+Số tập con gồm 2 phần tử của A : Cn2
2
Theo đề: Cn4 =20 Cn ⇔

⇔

n!
n!
= 20
4!( n − 4)!
2!( n − 2)!

 n = 18 (n)
1
20
=
⇔ n 2 − 5n − 234 = 0 ⇔ 
12 (n − 2)(n − 3)
 n = −13 (l)
k
b) Số tập con k phần tử của tập A là: C18

Ta lập tỉ số:

k +1
18
k
18

Tk +1 C
=
Tk
C

•

18!
(k + 1)!( 17 − k ) !
k !( 18 − k ) ! 18 − k
18!
=
=
.
=
18!
(k + 1)!( 17 − k ) !
18!
k +1
k !( 18 − k ) !

Tk +1
18 − k
≥1⇔
≥ 1 ⇔ k ≤ 8,5

Tk
k +1

1
⇔ C180 < C18
< C182 < ... < C189

Tk +1
18 − k
<1⇔
< 1 ⇔ k > 8,5
Tk
k +1

⇔ C189 > C1810 > C1811 > ... > C1818
Vậy số tập con 9 phần tử là: C189 là lớn nhất
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
10

1

Bài 1: Trong khai triển  x + ÷ ( x ≠ 0) . Hãy tìm
x

a) Hệ số của x 4 (ĐS : C103 )
b) Hệ số không chứa x (ĐS : C105 )
Bài 2. Tìm hệ số của số hạng:
21

10


1 
1

a) chứa x trong khai triển  x + ÷ b) chứa x43 trong khai triển  x 5 +
÷
3 2
x

x 


4

n

n +1
n
 1

a) chứa x8 trong khai triển  3 + x 5 ÷ biết Cn + 4 − Cn +3 = 7 ( n + 3)
x

10


x
d) chứa x y trong khai triển  xy + ÷
y


6

2

40

1 

e) chứa x trong khai triển  x + 2 ÷
x 

31

10


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Bài 3.Tìm số hạng không chứa x trong Khai triển
7

1 

a)  3 x + 4 ÷
x


n

−28


n
n −1
n −2
b)  x 3 x + x 15 ÷ biết : Cn + Cn + Cn = 79


n


1 
c) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển  x 3 x +
÷ bằng 79 .
15 28
x


n


3 
Bài 4 Cho khai triển  x 3 +
÷ .Biết tổng của ba số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631
3 2
x 

0

1
2
.Tìm hệ số của số hạng có chứa x5 Cn + 3Cn + 9Cn = 631
n

1

Bài 5.Biết trong khai triển  x − ÷ Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng đứng giữa
3

trong khai triển

Bài 6. Biết tổng các hệ số : a) trong khai triển ( 1 + x 2 ) bằng 1024 .Tìm hệ số của x12
n

b) trong khai triển ( 1 + 2 x ) bằng 6561.Tìm hệ số của x4
n

Bài 7.Trong k.triển

(

3

xy 2 + xy

)

12

.Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số

nguyên dương
Bài 8.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển a )

(

3+ 3 2

Bài 9.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triển a)

(

)

19

b)

3+ 45

)

(

124

3+ 3 7
b)

(

4

)

125

7−33

)

64

n

−x
 x2−1

3
1
Bài 10. Cho khai triển :  2 + 2 3 ÷ /Biết Cn = 5Cn và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tìm x và n



 1 3
+
Bài 11 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
 x

10


x ÷ với x > 0.


Bài 12: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng của khai triển
40
101
30
30
1 2 
a) ( 1 + x )
b) ( 1 + 2x ) .
b)  + x ÷
c) ( 1 + 2x )
3 3 
HD:
101!
k
k !. ( 101 − k ) !
T
C
k
=
a)Hệ số của số hạng tổng quát Tk +1 = Cn 0 ≤ k ≤ 101 ,Xét k +1 = 101
;
k −1
101!
Tk

C101
( k − 1) !( 102 − k ) !
Tk +1 102 − k
51
=
≥ 1 ⇔ 0 ≤ k ≤ 51 ; k=51 C101
)
Tk
k
Bài 13: Cho khai triển ( 1 + 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
n

Và các hệ số a0 , a1 , a2 , an thỏa mãn a0 +
a) Tìm n
(ĐS: n = 12)
b) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

(n ∈ ¥ *)

a
a1 a2
+ 2 + ... + nn = 4096
2 2
2
(ĐS: a8=1267)
11


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

c)
2.3. Xác suất:
Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần
a) Xây dựng không gian mẫu của phép thử đó.
b) Tính xác suất của biến cố sau:
A: '' Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp ''
B: '' Kết quả của 3 lần gieo là như nhau ''
C: '' Có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp ''
D: '' Ít nhất 1 lần xuất hiên mặt sấp ''
Lời giải
a) Ω = {SSS , SSN , SNN , SNS , NNN , NNS , NSN , NSS }
b) Ω A = {SSS , SSN , SNN , SNS }
P( A) =

ΩA
Ω

=

4 1
=
8 2

Ω B = {SSS , NNN }
P( B) =

ΩB
Ω

=

2 1
=
8 4

ΩC = {SSN , SNS ; NSS }
P(C ) =

ΩC
Ω

=

3
8

Ω D = Ω \ {NNN }
P( D) =

ΩD
Ω

=

7
8

Ví dụ 2. Gieo một con súc sắc cân đối và đòng chất 2 lần. Tính xác suất sao cho

a) Tổng số chấm của hai lần gieo là 6
b) Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 1 chấm
Lời giải
Ω = {(a, b), 1 ≤ b, c ≤ 6} ⇒ Ω = 36
a) Gọi A là biến cố ' Tổng số chấm của 2 lần gieo là 6 ''
Ω A = {(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1)} ⇒ Ω A = 5
⇒ P ( A) =

ΩA
Ω

=

5
36

b) Gọi B là biến cố ' ít nhất 1 lần xuất hiện mặt một chấm ''
Ω B = {(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} ⇒ Ω B = 11
⇒ P (B) =

ΩB
Ω

=

11
36

12

Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Ví dụ 3. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho
2 người đó.
a) Cả hai đều là nữ.
b) Không có nữ nào cả.
c) có ít nhất là một nữ
d) có đúng 1 người nữ
Lời giải
Các kết quả đồng khả năng C102 = 45
a) Gọi A là biến cố “ Chọn cả hai đều là nữ”
3
1
Ω A = C32 = 3 ⇒ P ( A) =
=
45 15
b) Gọi B là biến cố “ không có nữ nào”
21 7
Ω B = C72 = 21 ⇒ P ( B ) =
=
45 15
c) Gọi C là biến cố “ Có ít nhất 1 nữ”
24 8
ΩC = C31C71 + C32 = 24 ⇒ P(C) =
=
45 15
d) Gọi D là biến cố “ Có đúng 1 nữ”

21 7
ΩC = C31C71 = 21 ⇒ P( D) =
=
45 15
Ví dụ 3. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy
ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải
4
Số phần tử của không gian mẫu là Ω = C16 = 1820 .
Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu
vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C41C53
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C41C52C71
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C41C51C72
1 3
1 1 2
1 2 1
Khi đó Ω B = C4C5 + C4C7C5 + C4C7 C5 = 740 .

Xác suất của biến cố B là P ( B ) =

ΩB
740 37
=
=
.
Ω 1820 91

Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân

bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).
Lời giải
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C525 = 2598960
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài
thuộc 1 bộ là: 13. C43 = 52
13


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân
52
13
=
.
2598960 649740
Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:
0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.
Lời giải
bài thuộc 1 bộ là:

Giả sử abcde ∈E ⇒ a ≠ 0 ⇒có 7 cách chon a;
&
Chọn bcde có A 7 4 ⇒ n( E ) = 7 A 7 4 = 5880

e = 5
⇒ n(Ω) = 5880; abcde ∈ E và abcdeM5 ⇔ 
⇒ Trong E có : A 7 4 + 6A 36 = 1560

e = 0
Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560
1560 13
P( A) =
=
5880 49
Ví dụ 4. Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3
chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có
chữ số 5.
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 5.4.3 = 60
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là
60 − 24 = 36 .
Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết
lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng
xác suất ta có:
1
1
1
C 1 C36
C24
C24
13
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 36
+
=
.
1
1
1

1
C60C60 C60C60 25
Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là
13 12
=
.
25 25
Ví dụ 5. Một khẩu cao xạ A,B,C,D cùng bắn đọc lập vào 1 mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng
P = 1− P ( A ∪ B) = 1−

1
2
4
5
của khẩu pháo tương ứng P(A) = , P ( B ) = , P (C ) = , P( D ) = . Tính xác suất để mục
2
3
5
7
tiêu trúng đạn.
Lời giải
Gọi H là xác suất: “Mục tiêu trúng đạn”
H : “Mục tiêu không trúng đạn”
1 1 1 2
1
P( H ) = P( A.B.C..D) = P( A).P( B).P(C ).P ( D) = . . . =
2 3 5 7 105
1
104
⇒ P ( H ) = 1 − P( H ) = 1 −

=
105 105
14


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

Ví dụ 6. T Một hộp chứa các quả cầu. Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh. Hộp 2
chứa 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất :
a) Cả hai quả đều đỏ
b) Cả hai quả cùng màu
c) Cả hai quả khác màu
Lời giải
Không gian mẫu của hộp 1: Ω = C51 = 5
1
= 10
Không gian mẫu của hộp 2: Ω = C10

Gọi A:“Lấy được quả đỏ từ hộp 1”
A : “Lấy được quả xanh từ hộp 1”
B:“Lấy được quả đỏ từ hộp 2”
B : “Lấy được quả xanh từ hộp 2”
C:“Lấy được cả 2 quả đỏ”
3 4
6
a) P(C ) = P( A.B ) = P( A).P ( B ) = . =
5 10 25
b) Gọi D:“Cả hai quả cùng màu”

6 2 6 12
P(D) = P( A.B) ∪ P( A.B) = P( A).P( B ) =
+ . =
25 5 10 25
c) Gọi D : “ 2 quả khác màu”
12 13
P( D) = 1 − P ( D) = 1 −
=
25 25
Ví dụ 7. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là
0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác
suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Lời giải
Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi
đậu.
Ta có: B = A1 ∪ (A1A 2 ) ∪ (A1 A 2 A 3 )
Suy ra: P(B) = P(A1 ) + P(A1A 2 ) + P(A1 A 2 A 3 )
P(A1 ) = 0, 9

Trong đó: P(A1A 2 ) = P(A1 ).P(A 2 / A1 ) = 0,1.0, 7

P(A1 A 2 A 3 ) = P(A1 ).P(A 2 / A1 ).P(A 3 / A1 A 2 ) = 0,1.0,3.0,3
Vậy: P(B) = 0,9 + 0,1.0, 7 + 0,1.0,3.0,3 = 0,979

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Kết quả {a,b} của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần trong đó b là số
chấm xuất hiện trong lần gieo đầu. c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ 2 được thay
vào phương trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 (1) . Tính xác suất để :

15

Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

17
)
36
1
b) Phương trình (1) có nghiệm kép
(ĐS : P(B) = )
18
19
c) Phương trình (1) có nghiệm
(ĐS : P(C) =
)
36
Bài 2 : Cho một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy
ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được
7
a) 3 viên bi màu đỏ
(ĐS: P ( A) =
)
44
21
b) 3 viên bi trong đó có 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu xanh
(ĐS: P (B) =
)
44

7
c) ít nhất là 2 viên bi màu đỏ
(ĐS: P (C) =
)
11
Bài 3 : Có 100 vé số trong đó 10 vé trúng thưởng, một người mua 5 vé. Tính xác suất :
(ĐS : P( A) =

a) Phương trình (1) vô nghiệm

a) Có 3 é trúng thưởng
b) Có 5 vé trúng thưởng

(ĐS : P( A) =
(ĐS : P(B) =

3
2
C10
.C90
5
C100
5
C10
5
C100

)

)

(ĐS : P(C) = 1 −

c) Có ít nhất một vé trúng thưởng

5
C90
5
C100

)

Bài 4 : Một học sinh thi môn xác suất chỉ học thuộc 20 trên 25 câu hỏi. Khi đi thi học sinh
đó phải trả lời 4 câu hỏi. Tính xác suất để học sinh đó.
a) Trả lời được cả 4 câu hỏi

(ĐS : P( A) =

b) Trả lời được 2 câu hỏi trong 4 câu
c) Không trả lời được câu nào.
d) Trả lời được ít nhất 1 câu

4
C20
20
C25

)

(ĐS : P( B) =

(ĐS : P(C ) =

2
C20
.C52
20
C25

C54
20
C25

)

)

(ĐS : 1 − P (C ) = 1 −

C54
20
C25

)

Bài 5 : Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ.
1. Tính xác suất :
1
a) Lấy được cả 3 viên đỏ. (ĐS : P(A) =
)
560

143
b) Lấy được 3 viên không đỏ
(ĐS : P(B) =
)
280

16


Trường THPT Sóc Sơn

GV: Nguyễn Thị Hương

c) Lấy được 1 viên trắng, 1 viên đen, 1 viên đỏ. (ĐS : P(C) =

9
)
40

2. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất :
21
)
65
27
b) Lấy được đúng 2 viên bi trắng
(ĐS : P(B) =
)
65
121
c) Lấy được ít nhất 1 viên bi trắng

(ĐS : P(C) =
)
130
3. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất để lấy được 5 viên trắng, 3 viên đen, 2 vên đỏ
45
(ĐS : P(D) =
)
286
Bài 6 : Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu
nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất.
2
a) 3 quyển lấy ra thuộc 3 môn khác nhau (ĐS : P(A) = )
7
1
b) Cả 3 quyển đều toán
(ĐS : P(B) = )
21
37
c) Lấy ít nhất được một quyển toán
(ĐS : P(C) =
)
42
Bài 7 : Từ một hộp đựng 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số ghi
trên thẻ với nhau. Tính xác suất để :
5
a) Tích nhân được là một số lẻ
(ĐS : P(A) = )
18
13
b) Tích nhân được là một số chẵn

(ĐS : P(B) = )
18
Bài 8 : Cho tập hợp {1 ;2 ;3… ;11}.
1. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập đã cho. Tính xác suất để :
7
a) Tổng 3 số được chọn là 12
(ĐS : P(A) =
)
165
16
b) Tổng 3 số được chọn là số lẻ
(ĐS : P(B) = )
33
2. Chọn ngẫu nhiên 6 số từ tập đã cho. Tính xác suất để tổng của nó là số lẻ. (ĐS :
a) Lấy được đúng 1 viên bi trắng

P(A) =

(ĐS : P(A) =

118
)
231

Bài 9. Từ các chữ số của tập T = { 0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có
ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít
nhất một số chia hết cho 5

17