LY THUYET HE NHIEU HAT

NGUYN VN TRUNG : 0915192169

Lí THUYT H NHIU HT
Chng 1:

Tớnh cht chung ca h nhiu ht

0- Khỏi nim v h nhiu ht
0.1- Nhiu : N 2 : Vn k thut : s bin ; tng tỏc ; thay i v cht
0.2- Nhiu (N >>1) : khụng lm thay i cht
0.3- Nhiu (N >> 1) : lm thay i cht
0.4- H nhiu ht T=0K.
0.5- H kớn.
0.6- H T 0K.
Quan h gia C hc v Vt lý thng kờ (bao gm c c in v lng t)
1- H ht ng nht:
1.1- Nguyờn lý khụng phõn bit cỏc ht ng nht trong c hc lng t
1.2- Hm súng ca h cỏc ht ng nht
1.2.1- Tớnh i xng ca hm súng
(1.1)
Pij (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = (q1, .., qj , .., qi , .., qN)

+ (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = + (q1, .., qj , .., qi , .., qN)
- (q1,.., qi , .., qj , .., qN) = - - (q1, .., qj , .., qi , .., qN)
1.2.2- Đặc điểm của tính đối xứng của hàm sóng
1.2.2.1- Tính đối xứng là nh nhau đối với tất cả các cặp biến :
1.2.2.2- Tính đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào spin :
Spin nguyên (0 ; 1 ; 2 ; .....)
Spin bán nguyên (1/2 ; 3/2 ; 5/2 ; .....)
1.2.2.3- Tính đối xứng của hàm sóng là vĩnh cửu :
1.2.3- Dạng của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất không tơng tác

pi (qi ) = ni (ri ) ( si ) ; q i = ( ri , s i ) ; pi = (ni , )
*
pi (qi ) pk (qi ).dqi =

(1.2)
(1.3)

(1.4)



*
*
d
r

(
r
)

(
s
)

(
r

i

ni
i

i
nk
i ) ( si ) = ni , nk = pi pk

Si

(1.5)


dri = dxi dy i dz i .

+ (q1 , q2 ,....., q N ) = c p (q1 ) p (q2 )....... p (q N )
(q)

1

2

N

(1.6a)

p1 (q1 ) p1 (q 2 ) ....... p1 (q N )
(q1 , q 2 ,....., q N ) =

1 p2 (q1 ) p2 (q 2 ) ....... p2 (q N )
N ! .......................................................

pN (q1 ) pN (q 2 ) ....... pN (q N )

(1.7a)

Định thức Slater chứa đựng Nguyên lý loại trừ Pauli .
2- Các đại lợng bảo toàn của hệ nhiều hạt.
2.1-Hamiltonian của hệ nhiều hạt.

N


H = ( 2 / 2) ( i / mi ) + V (r1 , r2 ,...., rN )

(2.1a)

i =1

1 2
1


1
2




H = ( / 2) 2
ri r + r 2 sin sin i + r 2 sin 2 2 + V (r , , )
i =1 ri ri

i
i
i
i
i
i
i
( r (r1 , r2 ,....., rN ) ; (1 , 2 ,....., N ) ; (1 , 2 ,....., N ) )
2

N

2.2- Bảo toàn động lợng của hệ nhiều hạt.

(2.1b)


N 
ˆ
P = −i ∑ ∇ k

(2.2)

k =1

N 
N 




rˆ& 1 rˆ
rˆ 1 rˆ
rˆ
r
r
P = ( PH − HP) = ( PV − VP ) = − ∑ (∇ kV − V ∇ k ) = − ∑ ∇ k V = ∑ Fk = Fint + Fext = Fext
ih
ih
k =1
k =1
k =1
N

Do ®ã:




Fint = ∑ Fi = ∑ ∑ Fij = 0 . Nõu: F = 0
ext
i

i

j

2.3- B¶o toµn m« men ®éng lîng cña hÖ nhiÒu h¹t.
N
ˆ N ˆ
L = ∑ k ; Lˆ z = − i ∑ ˆkz ; thay ˆkz = − i ∂ / ∂ϕ k ,

k =1

k =1

N ∂
Lˆ z = − i ∑
k =1∂ϕ k

N
N
ˆ
L = 1 ( Lˆ H − HLˆ ) = − ∑ ∂V = ∑ M
z
z
z
kz
i
k =1 ∂ϕ k
k =1
N

∑M
k =1

kz

(2.4)
(2.5a)

= M z , int + M z , ext = M z

(2.5b)

CM : M z , int = 0
Víi .........
Lz vµ L2 b¶o toµn.
3- BiÓu diÔn t¬ng t¸c

∂Φ S (t )
= HΦ S (t )
∂t
Φ S (t ) = [exp(−iHt /  )] Φ H
Fˆ (t ) = e iH t /  Fˆ e − iH t / 

BiÓu diÔn Shrodinger :
BiÓu diÔn Heisenberg :

i

(3.1)

H

(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)

S

Φ H = [exp(iHt /  )] Φ S (t )
H = H + Vˆ

BiÓu diÔn t¬ng t¸c :

0

Fˆi (t ) = e iH 0 t /  FˆS e − iH 0 t / 

(3.6)

Φ i (t ) = [exp(iH 0 t /  )] Φ S (t )
∂ Φ i (t )
i
= Vˆi (t )Φ i (t )
∂t
Vˆ (t ) = e iH 0 t /  Vˆ e −iH 0 t / 

(3.7)

i

(3.8)
(3.9)

S

t

Φ i (t ) = Φ i (t 0 ) − (i /  ) ∫ Vˆi (t ' ) Φ i (t ' )dt '

(3.10)

Φ i (t ) = Φ i( 0 ) (t ) + Φ i(1) (t ) + Φ i( 2 ) (t ) + .......
Φ i (t ) = Sˆ (t , t 0 )Φ i (t 0 )

(3.11)
(3.16)

t0

t

t1

t

Sˆ (t , t 0 ) =1 − (i /  ) ∫ Vˆi (t1 ) dt1 − (1 /  ) 2 ∫ Vˆi (t1 ) dt1 ∫ Vˆi (t 2 ) dt 2 + ...... +
t0

t0

t0

t

t1

t n −1

t0

t0

t0

+ (−i /  ) ∫ Vˆi (t1 ) dt1 ∫ Vˆi (t 2 ) dt 2 .... ∫ Vˆi (t n ) dt n + .........
n

Coi :

t


ˆ
ˆ
S (t , t 0 ) = T exp(−i /  ) ∫ Vˆi (t ' ) dt '


t0
Sˆ (t 2 , t1 ) Sˆ (t1 , t 0 ) = Sˆ (t 2 , t 0 ) ; t 2 > t1 > t 0
Ký hiÖu :
(3.20)
V (tV ) = 0
Sˆ (t ) = Sˆ (t , tV )

⇒ Sˆ (t2 , t1 ) = Sˆ (t2 ) Sˆ −1 (t1 )

(3.21)

(3.17)
(3.18)
(3.19)

(2.3)


Trong ú : i (t ) = S (t ) i (tV ) (3.22)
; thay t = tV ==> i (tV ) = H

Từ (3.2) : S (t ) = [exp(iHt / )] H .

i (t ) = [exp(iH 0 t / )]. [exp( iHt / )] H
(t ) = S (t )
i

(3.23)

H

Fi (t ) = S (t ) FH (t ) S 1 (t )
M = 0H* T [ A H (t ) B H (t ' ) C H (t ' ' )....] 0H

Giả thiết

(3.24)
(3.25)

t > t > t > ..........
M = S () T [ A i (t ) B i (t ' ) C i (t ' ' )....S ()] 0H

0*
H

M=

Cuối cùng :

Chng 2 :

1

(3.26)

S () 0H = e i 0H
0* T [ A (t ) B (t ' ) C (t ' ' )....S ()] 0
H

i

i

i

(3.27)

H

(3.28)

0H* S () 0H

Mt s phng phỏp gii bi toỏn h nhiu ht

4- Phơng pháp tách chuyển động khối tâm của hệ :
4.1- Đặc điểm của thế tơng tác:

N


H = ( 2 / 2) ( i / mi ) + V (r1 , r2 ,...., rN )

(4.1a)






V (r1 , r2 ,...., rN ) = V (r1 r2 , r1 r3 ,......, rN 1 rN )

(4.1b)

i =1

Sự phụ thuộc này dẫn đến kết
quả là ..

Décartes r ( x, y, z ) Jacobi ( , , ) :
2 = [ (m1 x1 + m2 x2 ) : (m1 + m2 )] x3 ; ...................
1 = (m1 x1 : m1 ) x 2 ;

k
k

k = m j x j : m j xk +1 , với k = 1 , 2 , ....... , N 1
j =1
j =1


N =
mi xi : mi
N

i =1

N

i =1

(4.2a)
(4.2b)



Tơng tự cho các toạ độ i và i .

trong đó :
và :

r , i =

2
xi2

N

N

i =1

i =1

( r, i / mi ) = ( , i / ài )

Có thể chứng minh đợc :
+

2
yi2

+

2
zi2

; , i =

k

( àk ) 1 =( m j ) 1 + ( mk +1 ) 1

j =1

2
i2

+

2
i2

(4.3a)
+

2

khi k = 1 , 2 , ........, N 1

N

à N = mi
Khi đó

(4.3b)

i2

(4.3c)
(4.3d)

i =1

N





H (r1 , r2 ,...., rN ) = ( 2 / 2) ( r, i / mi ) + V (r1 , r2 ,...., rN )
i =1

N




= H ' ( 1 , 2 ,...., N ) = ( 2 / 2) ( , i / à i ) + V ' ( 1 , 2 ,...., N )
i =1

(4.4)







r ==> r + a ;
H (r ) = H (r + a ) , ==> V (r ) =V (r + a ) :

V (r1 , r2 , .., rN ) = V ( x1 + a x , y1 + a y , z1 + a z , x 2 + a x , y 2 + a y , z 2 + a z , .., x N + a x , y N + a y , z N + a z )
= V ' ( 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , .., N + a x , N + a y , N + a z )

V '( 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ,.., N + ax , N + a y , N + az ) = V ' ( 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , .., N , N , N ) ,


N




H ' ( 1 , 2 ,...., N ) = ( 2 / 2) ( , i / ài ) + V ' ( 1 , 2 ,...., N 1 )

Kết quả là

(4.5)

i =1

4.2- Phơng trình Shrodinger
cho

hệ đãtách
chuyển
động khối tâm:
( 1 , 2 , ..., N ) = ( 1 , 2 ,..., N 1 ) G ( N )
(4.6)
N

[ ( 2 / 2) ( , i / à i ) + V ' ( 1 , 2 ,...., N 1 )] ( 1 , 2 ,....., N )G ( N ) = E ( 1 , 2 ,....., N )G ( N )
i =1

N 1
2


1
[ ( 2 / 2) ( , i / à i ) + V ' ( 1 , 2 ,...., N 1 )] [ , N / à N ] G = E

2G
i =1

[ ( 2 / 2)

N 1

( , i / à i ) +
i =1

V ' ( 1 , 2 ,...., N 1 )] ( 1 , 2 ,...., N 1 ) = E1 ( 1 , 2 ,...., N 1 )



2
[ , N / à N ] G ( N ) = E2 G ( N )
2

i =1

(4.8c)

(5.1)


2

H i (ri ) =
i + ui (ri )
2mi

i, j

(4.8a)
(4.8b)

Với
E1 + E2 = E
Ví dụ : Xét hệ gồm 2 hạt (N =2): Bai tp

5- Phơng pháp trờng trung bình
5.1- ý tởng của phơng pháp trờng trung bình
H = E
N


H = H i ( ri ) + (1 / 2) Vi j ( ri , r j )

(4.7)

(5.2)




2
H 'i (ri ) =
i + ui (ri ) + Vef (ri )
2mi
i =1
N



= (r1 , r2 , .... , rN ) = pi ( ri )

N
r
H = H 'i (ri ) với

(5.3)
(5.4)

i =1

[

N

2




i + ui ( ri ) + Vef ( ri )]pi ( ri ) =ipi ( ri )
2mi

i = E

(5.5)

Q[ ] = [ H E ] dq

(5.6)

i =1
*


dq = dqi , còn q i = ( ri , s i ) ;

N

i =1

......dq =

N



dr ........

(5.7)

i

i =1

Si

Q[ ] = *[ H E ] dq = 0
5.2- Thế hiệu dụng Vef đối với hệ các hạt boson

(5.8)

N


*
*

(
q
)

(
q
)
[
pi i pk k H i (ri ) + (1 / 2) Vi j (ri , rj ) E ] dq
i =1

i k

i, j

N



+ * [ H i ( ri ) + (1 / 2)Vi j ( ri , rj ) E ] pi ( qi ) p k (qk ) dq = 0 ,
i =1

dq

k

(5.9)

i k

i, j

N


*p (q k ) *p (q i ) [ H i (ri ) + (1 / 2)Vi j (ri , r j ) E ] dq i
k

i k

i

i =1

i k

i, j

N



+ dqk p k (qk ) pi (qi ) [ H i* (ri ) + (1 / 2) Vij* (ri , rj ) E ] * dqi = 0
i =1

ik

N
r

r r
p*i (qi )[ H i (ri ) + (1/ 2) Vi j (ri , rj ) E ] dqi = 0
ik

i =1

i, j

(5.10)

ik

i, j

ik

(5.11)


∑

'

'
'
 
Vi j (ri , r j ) = 2∑ V ik + ∑ Vij

∫∏ϕ

c1 =

i≠ k

*
pi

(5.12)

i≠k
j ≠k

i

i, j


(qi ) [∑ H i (ri )]∏ ϕ pi (q i ) ∏ dqi
i≠ k

i≠ k

(5.13a)

i≠ k

 
c 2 = ∫ ∏ϕ *pi (qi ) [(1 / 2)∑ ' Vij (ri , r j )]∏ϕ pi (qi ) ∏dqi
i ≠k
j ≠k

i ≠k

i ≠k

(5.13b)

i ≠k


 
Vef (rk ) = ∫ ∏ ϕ *pi (qi ) [∑ ' Vik ( ri , rk )]∏ ϕ pi ( qi ) ∏ dqi

∫∏ϕ
∫ ∏ϕ
i≠k

i≠k

i≠k

(5.14)

i ≠k

*
pi




(qi ) [∑ H i (ri )]ψ ∏ dqi = [c1 + H k (rk )] ϕ pk (qk )

(5.15a)

*
pi



(qi ) [(1 / 2)∑ ' Vij (ri )]ψ ∏ dqi = [c 2 + Vef (rk )]ϕ pk (q k )

(5.15b)

i≠k

∫∏ϕ

i ≠k

i

i≠k

i

i≠k

i, j

(qi ) E ψ ∏ dqi = E ϕ p k (qk )

*
pi

(5.15c)

i≠ k



[ H k (rk ) + V ef (rk )] ϕ pk (q k ) = ε k ϕ pk (q k )

(5.17a)

εk = E – c1 – c2
5.3- ThÕ hiÖu dông ®èi víi hÖ c¸c h¹t fermion

1

ψ (q1 , q 2 ) =

2

(5.17b)

[ϕ 1 (q1 )ϕ 2 (q 2 ) − ϕ 1 (q 2 )ϕ 2 (q1 )]

(1.7b)

∫ [δϕ (q )ϕ (q ) − δϕ (q )ϕ (q )] ( H + H + V − E ) [ϕ (q )ϕ (q ) − ϕ (q )ϕ (q )] dq dq

(5.18)
+ ∫ [ϕ (q )ϕ (q ) − ϕ (q )ϕ (q )] ( H + H + V − E ) [δϕ (q )ϕ (q ) − δϕ (q )ϕ (q )] dq dq = 0
∫ δϕ (q )ϕ (q ) ( H + H + V − E ) ϕ (q )ϕ (q ) dq dq =
= ∫ δϕ (q )ϕ (q ) ( H + H + V − E ) ϕ (q )ϕ (q ) dq dq
*
*
∫ ϕ (q 2 )ϕ (q1 ) ( H 1 + H 2 + V12 − E ) δϕ (q 2 )ϕ (q1 ) dq1dq 2 = ∫ φ (q )φ (q ) ( H + H + V − E ) δφ (q )φ
*
*
∫ δϕ (q1 )ϕ (q2 )V12ϕ (q2 )ϕ (q1 ) dq1dq2 = ∫ δϕ (q )ϕ (q )V ϕ (q )ϕ (q ) dq dq
∫ ϕ (q )ϕ (q )V δϕ (q )ϕ (q ) dq dq = ∫ ϕ (q )ϕ (q ) V δϕ (q )ϕ (q ) dq dq
*

*

1

1

*

2

2

*

*

1

1

*

2

1

*

2

2

*

1

2

1

2

12

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

12

1

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

*

2

1

1

2

*

1

2

12

2

1

1

2

1

2

*

1

1

2

2

1

2

12

1

1

2

2

1

2

*

1

2

1

2

2

*

1

1

2

*

2

2

12

∫δϕ

*

1

2

1

1

2

1

2

2

2

12

1

1

2

(q2 ) dq1dq2

*

2

1

2

*

1

*

1

1

*

1

1

2

1

*

12

1

1

2

2

1

2

*

2

1

2

1

12

1

1

2

2

1

2

( q1 )ϕ *2 (q 2 ) ( H 1 + H 2 − E ) ϕ1 (q 2 )ϕ 2 ( q1 )dq1 dq 2 = 0

∫δ ϕ (q )ϕ (q ) ( H + H − E )ϕ (q )ϕ (q ) dq dq = 0

*
*
∫ϕ (q1 )ϕ (q2 ) ( H 1 + H 2 − E ) δ ϕ (q2 )ϕ (q1 )dq1dq2 = 0
*

1

*

2

1

∫ϕ

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

(q 2 )ϕ 2 (q1 ) ( H 1 + H 2 − E ) δ ϕ 1 (q1 )ϕ 2 (q 2 ) dq1 dq 2 = 0

*

*

1

∫ δϕ (q )ϕ (q ) ( H + H + V − E ) ϕ (q )ϕ (q ) dq dq − ∫ δφ (q1 )φ (q2 )V12φ (q2 )φ (q1 ) dq1dq2 +
+ ∫ ϕ * (q1 )ϕ * (q 2 ) ( H 1 + H 2 + V12 − E ) δϕ (q1 )ϕ (q 2 ) dq1 dq 2 − ∫ ϕ (q )ϕ (q ) V δϕ (q )ϕ (q )]dq dq = 0
vµ ∫ dq1δϕ * (q1 ){[ ∫ ϕ * (q 2 ) ( H 1 + H 2 + V12 − E ) ϕ (q 2 ) dq 2 ]ϕ (q1 ) − ∫ φ (q ) V φ (q )φ (q ) dq } +
+ ∫ dq1δϕ (q1 ){[ ∫ ϕ (q 2 ) ( H 1* + H 2* + V12* − E )ϕ * (q 2 ) dq 2 ]ϕ * (q1 ) − ∫ ϕ (q 2 ) V12* ϕ * (q 2 )ϕ * (q1 ) dq 2 } = 0
*

*

1

1

2

2

1

2

12

1

1

2

2

1

2

*

*

1

2

*

1

2

1

1

2

1

2

*

2

2

1

12

1

1

2

2

1

2

*

1

1

2

2

2

2

1

1

r
⇒[ H1 +Vef 1 (r1 )]φ1 (q1 ) = ε1φ1 (q1 )

trong ®ã ε 1 = E − ε 02 , H 2ϕ ( q 2 ) =ε 02ϕ ( q 2 )
2

2

2

2

1

2

12

1

2

2

1

2

(5.19a)

2

(q1 ) *



Vef 1 ( r1 ) = *2 ( q2 )V12 (r1 , r2 ) 2 (q 2 ) dq2 2
2 (q2 )V12 (r1 , r2 ) 1 (q 2 ) dq2

(q1 )
1
[ H 2 + Vef (r2 )] 2 (q2 ) = 2 2 (q2 )
2 = E 01
H 11 ( q1 ) = 011 (q1 )
;
1 (q 2 ) *



*
Vef (r2 ) = 1 (q1 ) V12 (r1 , r2 ) 1 (q1 ) dq1
1 (q1 ) V12 (r1 , r2 ) 2 (q1 ) dq1

2 (q 2 )
j (qi ) *




Vefi (ri ) = ' *pi (q j ) Vij (ri , r j ) p j (q j ) dq j '
p j (q j ) Vij (ri , r j ) pi (q j ) dq j

i (qi )
j
j
6- Phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai.
6.1- ý tởng của phơng pháp
(q1 , q2 ,....., q N ) = c p (q1 ) p (q2 )....... p (q N )
1

(q)

2

N

6.2- Toán tử sinh hạt, toán tử huỷ hạt và toán tử số hạt cho hệ hạt boson:
a i ....., N ...... = N i ....., N 1......
i

a i+ ....., N
a i+ a i ..., N

i

....

= N i a i+ ..., N

i

1....

......

N i + 1 ....., N

=

= N i N i ..., N

i

= N i ..., N

....

i

N i ..., N

chúng ta đợc :

i

....

= N i ..., N

i

(6.6)

....

a i a k+ a k+ a i = ik
a i a k a k ai = 0 và ai+ a k+ a k+ a i+ = 0
6.3- Toán tử sinh hạt, toán tử huỷ hạt và toán tử số hạt cho hệ hạt fermion:
Ni = 0 hoặc 1 :
a i ...., N = 0,... = 0 ; a i ...., N =1,... = ...., N = 0,...
i

i

(6.7)
(6.8)

i

a i+ ...., N i = 0,...

=0 ;

(6.1)

(6.5)

Do đó :

a i+ ...., N i =1,...

(5.20c)

(6.4)

....

N i = ai+ a i

Ký hiệu

(5.20b)

(6.3)

+1......

i

(5.19b)

(6.2)

i

i

(5.20a)

= ...., N

i

=1,...

a i ...., Ni ,... = N i ...., Ni 1,... ; a i ...., N i + 1,... = 1 N i ...., Ni ,...

(6.9)

a i+ ...., Ni ,... = 1 N i ...., Ni +1,... ; ai+ ...., Ni 1,... = N i ...., Ni ,...

(6.10)

N i ..., N

i

,...

= a i+ a i ..., N

i

,...

= N i a i+ ..., N

i

1,...

= N i ..., N

N i = a i+ ai
a k a i+ + a i+ a k = ik
a i a k + a k a i = 0 và a i+ a k+ + a k+ a i+ = 0
6.4- Hamilton trong phơng pháp lợng tử hoá lần thứ hai
H = H a + Va , b + Va , b, c + ........
a

a,b
2

a , b, c

i

,...

(6.11a)
(6.11b)
(6.12)
(6.13)
(6.14)



a + u (ra )
2 ma
< H a > = i Ni

(6.15)

i = < i H a i > = i* (qa ) H a i (qa )dqa

(6.17)

Ha =

a

i

(6.16)


∑ H a = ∑ ε i Nˆ i = ∑ ε i aˆi+ aˆi
a

i

(6.18)

i

Vik = ∫ ϕ i* (q a ) V ( q a , q b ) ϕ k (qb )dq a dqb

Vik => VikNk => VikNkNi =>
< ∑ Va , b > =
a,b

1

∑Vik N i N k
2 i, k
H =

∑ ε aˆ
i

+
i

aˆ i +

i

H =

∑ (H

) aˆ i+ aˆ k +

a i ,k

i ,k

(6.19)

1
∑Vik N i N k
2 i ,k

⇒ ∑ Va ,b =
a ,b

1
1
Vik Nˆ i Nˆ k = ∑ Vik aˆi+ aˆi aˆk+ aˆk
∑
2 i,k
2 i,k

1
∑Vik aˆ i+ aˆ i aˆ k+ aˆ k + .....
2 i ,k

1
(Va ,b ) ik ,m aˆ i+ aˆ aˆ k+ aˆ m
∑
2 i ,k ,,m

(6.22)
(6.23a)

( H a ) i ,k = ε i ,k = ∫ ϕ i* (q a ) H aϕ k (q a )dq a

Trong ®ã:

Vik ,m = ∫∫ ϕ i* (q a ) ϕ k* (qb ) V (q a , q b )ϕ  (q a )ϕ m (q b )dq a dq b
ψˆ (q a ) = ∑ ϕ i ( q a )aˆ i
i

ψˆ + (q a ) = ∑ ϕ i* (q a )aˆ i+
i

ψˆ ( q a )ψˆ + ( qb ' ) ψˆ + (q a ' )ψˆ (qb ) = δ (q a − qb ' )δ ab
ψˆ (q a )ψˆ (q a ' ) ψˆ (q a ' )ψˆ (q a ) = 0
ψˆ + (q a )ψˆ + (q a ' ) ψˆ + (q a ' )ψˆ + (q a ) = 0
Fˆ (1) = ∑ fˆ (q a )
a

⇒ Fˆ (1) = ∫ψˆ + ( qa ) fˆ (qa )ψˆ (qa )dqa
H = ∫ψˆ + (q a ) H aψˆ ( q a )dq a +

1
ψˆ + (q a )ψˆ + (qb )V (q a , qb )ψˆ ( qb )ψˆ (q a )dq a dqb
∫∫
2

(6.21)

(6.23b)
(6.23c)
(6.24a)
(6.24b)
(6.25a)
(6.25b)
(6.25c)
(6.26)
(6.27)
(6.28)

Chương 3: Hamiltonian và phương trình Shrodinger cho một số hệ nhiều hạt
7- Phương trình Shrodinger cho hệ các electron và các ion trong tinh thể
7.1- Phương trình Shrodinger
tổng quátcho hệ các electron và các ion



H Φ (r , R ) = E Φ( r , R)

H =−∑
i

 


∆ ri − ∑
∆ RJ + V (r , R)
2m
J 2M J
2

(7.1)

2


 
 
V (r , R ) = V1 (r , R ) + V2 ( R )
 


 
V1 ( r , R) = Ve −e (r ) + Ve − I (r , R )


V2 ( R ) = V I − I ( R )

(7.4)
(7.5)
(7.6)

7.2- Gần đúng đoạn nhiệt và các phương trình Shrodinger cho hệ các electron và cho hệ các ion

 
 
Φ ( r , R ) = Φ 1 ( r , R )Φ 2 ( R )

(7.7)

r
r
r

h2
r r
r r
 
 
2
∆ RrJ − V2 ( R )]Φ1 (r , R)Φ 2 ( R ) = EΦ1 (r , R )Φ 2 ( R )

[ −∑
∆ ri + V1 (r , R )] Φ 1 ( r , R )Φ 2 ( R ) −[∑
J 2M J
i 2m
2



 
 

∂
1

1
2
 [ −∑
∆ ri + V1 (r , R)] Φ 1 (r , R) +
∆ RJ + V2 ( R)]Φ 2 ( R) = E
Φ 1 (r , R) ≈ 0 ,
  [ −∑
Φ 1 (r , R)
Φ 2 ( R) J 2M J
∂X Jα
i 2m

[

]

[ −∑
i




2
∆ ri + V1 (r )] Φ 1 (r ) = ε Φ 1 (r )
2m


2
∆ RJ
J 2M J
W = E − Ee
[ −∑


 
V1 (r ) = V1 (r , R )




+ V2 ( R) + Vef ( R )] Φ 2 ( R) = W Φ 2 ( R)

Với :
(7.13)
8- Trạng thái và năng lượng của electron trong mạng tinh thể
 2

 


∑i − 2m ∆ ri + V1ef (ri ) Φ1 (r ) = ε Φ1 (r )





2
[−
∆ ri + V1ef (ri )]φ ni (ri ) = ε i φ ni ( ri )
2m


(ε = ∑ ε i ) ; V (r ) = V (r ) + V (r , R ) + V (r , R )
1ef
i
ef − e i
i−I
i
I
i− J
i
J

(8.1a)

(8.1b)
(8.2)

i

 
Vi − I (ri , R I ) = −

 
Vi − J (ri , R ) = − ∑

zI e2
 
4πε 0 ri − R I

J ≠I

zJ e2
 
4πε 0 ri − R J

8.1- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết mạnh
Nguyên tử cô lập
Tinh thể
f

ℓ=3

7N

d

ℓ=2

5N

4s
3p

ℓ=1

p

3N

a)
b)
s
Hình
1N
ℓ=08.1 : Các mức năng lượng của electron
Hình 8.2 : Hiện tượng chồng miền
a) trong nguyên tử cô lập
b) trong tinh thể
8.2- Phương trình Shrodinger cho electron trong trường hợp liên kết yếu

φ (r ) * 

 
 
 
 

'
* 
' nj i
Vef − e (ri ) = ∑ ∫ φ nj (r j ) Vij (ri , r j )φ nj (r j ) dr j − δ αβ ∑
(8.5)
 ∫ φ nj (r j ) Vij (ri , r j )φ ni (r j ) dr j
j
j φ ni ( ri )

 



υ k (r + a ) = υ k (r )
φ k (r ) = υ k (r ) exp (ik r )
(8.6)
;
(8.7)



2 
(8.1b)
[−
∆ r + Vef −e (ri )]φ ni (ri ) = ε i φ ni ( ri )
2m i
Vi
Mô hình Kronig-Penney :
Vef −e ( X J + a ) = Vi ( X J )
(8.8)

Vef −e ( X J ) = λ ∑ δ ( X J − na )

V0
b

n

λ = lim (cV0 ) = const
c →0
V0 →∞

c
x

O

a


Hình 8.3
Sơ đồ thế năng của mô hình Kronig-Penney
9- Dao động mạng tinh thể
9.1- Phương trình Shrodinger cho cácdao động
mạng tinh thể trong biểu diễn toạ độ

V J ( R ) = V2 ( R ) + Vef ( R)
(9.1)

u n = (u n , x , u n , y , u n , z ) = độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng ở nút mạng thứ n



V J ( R) = V J (u ) = V J (0) + ∑ (∂V J / ∂u n ,α ) 0 u n ,α +

+ (1 / 2)

∑α β(∂ V

n ,α

2

J

/ ∂u n ,α ∂u n ', β ) 0 u n ,α u n ', β +

∑α (β∂γ V

+ (1 / 6)

n , n ', ,

3

J

/ ∂u n ,α ∂u n ', β ∂u n '',γ ) 0 u n,α u n ', β u n '',γ + .....

n , n ', n '', , ,

(∂V J / ∂u n ,α ) 0 = 0

9.2- Phương trình Shrodinger cho các phonon trong biểu diễn lượng tử hoá lần thứ hai

VJ ( R ) = ∑ An ,n ' xn xn '

(9.4)

n,n '

[


V J ( R ) = ∑ An x n2
n

]

(9.5)

H ph = ∑ pˆ /(2 M n ) + M nω xˆ / 2 = ∑ H n
n

trong đó

2
n

2
n

2
n

(9.6)
(9.7)
(9.8a)
(9.8b)
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.13)
(9.16)

n

H n = pˆ /(2 M n ) + M nω xˆ / 2
2
n

2
n

2
n

Aˆ = Mω / 2 xˆ − i (1 / 2 Mω ) pˆ
Aˆ = Mω / 2 xˆ + i (1 / 2 Mω ) pˆ
ˆ =
Aˆ Aˆ + − Aˆ + A
+

H = H n = ( ω / 2 ) + ω Aˆ + Aˆ
H φ E = Eφ E
ˆ
ˆ
=> HAφ E = ( E −  ω )Aφ E ; HAˆ +φ E = ( E +  ω )Aˆ +φ E
Aˆ φ0 = 0
==> E0 =  ω / 2

Từ (9.13)

Cn

==>

1
E n = ( + n)  ω
;
2
C nφ n = ( Aˆ + ) n φ 0

==>
2

n = 0 , 1, 2 , 3 ,.......

(9.22)

= < ( Aˆ + ) n φ 0 ( Aˆ + ) n φ0 > = < φ0 Aˆ n ( Aˆ + ) n φ 0 >

Aˆ n ( Aˆ + ) n = Aˆ n −1 n  ( Aˆ + ) n −1 + Aˆ n −1 ( Aˆ + ) n Aˆ
2
2
C = n < φ Aˆ n −1 ( Aˆ + ) n −1 φ > = n C
= n! n C
n

(9.21)

0

n −1

0

(9.23)
2
0

2

C0 = 1 ; do đó C n = n! n và C n = n! n
n

Cuối cùng :
Aˆ φ0 = 0 =>
∞

1  Aˆ + 
φn =

φ0
n!   
[ Mω / 2 x +  (1 / 2 Mω )(∂ / ∂x ) ]φ 0 ( x) = 0

φ0 ( x) = C . exp[−mω x 2 / ( 2 ) ]

 mω 
∫−∞ φ0 ( x) dx = 1 ==> C =  π  
2

1/ 4

(9.24)
(9.25)
(9.26)

 mω  1 / 4
. exp[− mω x 2 / ( 2 ) ]
π 

, do đó φ0 ( x) = 

(9.27)


10- Hamiltonian cho hệ các spin
10.1- Trường hợp hệ các electron linh động
M = − g µB

N↑ − N↓

(10.1)

V
N↑ + N↓ = N
H = H1 + H 2

N

H1 = − ∑
i =1

2
∆ r
2m i

H 2 = − δ αβ

H2 =

∑V

1ef

(10.2)
(10.3a)
(10.3b)
(10.3c)



(ri )

i

φ
(
r
)
 
 
1
nj i
* 
 ∫ φ nj (r j ) Vij (ri , r j )φ ni (r j ) dr j
∑
2 i , j =1 φ ni (ri )

N

(10.3d)

i≠ j

E =<ψ H ψ >

(10.4)

ϕ p1 (q1 ) ϕ p1 (q 2 ) ....... ϕ p1 (q N )
1 ϕ p2 (q1 ) ϕ p2 (q 2 ) ....... ϕ p2 (q N )
N ! .......................................................

ϕ p N (q1 ) ϕ p N (q 2 ) ....... ϕ pN (q N )


1
ϕ p j (q j ) = φ k (r j ).χ α ( s j ) =
exp (ik j r j ).χ α ( s j )
j
V
2
N

E d = < ψ H 1 ψ > = ∫ ψ * (q1 , q 2 ,..., q N )∑ (− ∆ r )ψ (q1 , q 2 ,..., q N ) dq1 , dq 2 ,..., dq N
2m
i =1

ψ = ψ (q1 , q 2 ,....., q N ) =

(10.5)

(10.6)
(10.7)

i

∫ ......dq



∫ dr ∑ ......

=

i

(10.8a)

i

Si


dri = dxi dy i dz i

Ed = < ψ H1 ψ > =

N

∑
j =1

2

 k

2
j

2m

 2k 2

k < k F 2m

=2∑



V

3

V 2
Ed =
8mπ 3

(10.9)


dk = dk x dk y dk z

∑ ....... = 8π ∫ dk .......

k

(10.8b)

 V 2
k
d
k
=

∫
2mπ 2
ki < k F
2

kF

4
∫ k dk =
0

V 2 k F5
10mπ 2

(10.10)

kF
 V
Vk F3
V
2
N = 2 ∑1 = 3 ∫ dk = 3 4π ∫ k dk =
4π
4π
3π 2
k 0

(10.11)

V 2 k F5 3 2 N k F2 3
 2 k F2
=
=
N
ε
ε
=
(
Trong
đó:
)
F
F
10m
5
2m
10mπ 2
k↑ F
 V
V k ↑3F
V
2
N ↑ = ∑ 1 = 3 ∫ dk = 3 4π ∫ k dk =
8π
8π
6π 2
k < k↑ F
0
Ed =

N↓ =

∑

k < k↓ F

1=

(10.14a)

V k ↓3F

(10.14b)

6π 2

N = N↑ + N↓ =

Vk ↑3F
6π

2

+

Vk ↓3F
6π

2

Vk F3
= 2
3π

Et = < ψ H 2 ψ >

k ↑3F
2

+

k ↓3F
2

= k F3

(10.16)


1
H2 = −
2V



N

∑ ∫ exp [− i(k

i , j =1
i≠ j

j

  
  
− k i )(r j − ri )]Vij (ri , r j ) dr j

e2
 
4πε 0 ri − r j
  
 
1 N
1
H2 = −
exp
[
−
i
(
k
∑
j − k i ) r ]Vij ( r ) dr = −
∫
2V i , j =1
2V

(10.17)

 
Vi , j (ri , r j ) =

i≠ j

 
V (k j − k i ) =

Et = H 2 = −

e2  V 
Et = −


Vε 0  8π 3 

2

∫ ∫

k < k F k '< k F

e2
 
ε 0 k j − ki

(10.18)
N

∑

i , j =1
i≠ j

 
V (k j − k i )

(10.20)

2

e2
1
∑
 2
Vε 0 k ,k '< kF k − k '

(10.21)

 
2
dk ' dk
e
k 
 V 
  2 = − 2  3  ∫ k F F ( ) dk
kF
4π ε 0  8π  k < k F
k − k'

1− x2 1+ x
F ( x) =1 +
ln
2x
1− x
Et = − N

(10.24)

me 4
4πε 0  2
Ry = 2
a0 =
(10.25)
;
2 (4πε 0 ) 2
me 2
3
3
Et = − N ↑
k ↑F a0 R y − N ↓
k a0 R y
2π
2π ↓ F
3
3
E d = N ↑ ( k ↑ F a 0 ) 2 R y + N ↓ (k ↓ F a 0 ) 2 R y
5
5
3

3
3
3
E = E d + Et = N ↑ [ (k ↑ F a 0 ) 2 −
(k ↑ F a 0 )]RY + N ↓ [ (k ↓ F a 0 ) 2 −
(k a 0 )]RY
5
2π
5
2π ↓ F
3
3
N ↑ = N ↓ = N / 2 , k ↑ F = k ↓ F = k F : E N = E dN + E tN = N [ (k F a 0 ) 2 −
(k F a 0 )]RY
5
2π
N ↑ = N và N ↓ = 0 , k ↑ F = 21 / 3 k F ; k ↓F = 0 .

EM < EN

(10.22)
(10.23)

3
k F a0 R y
2π

3
3 1/ 3
E M = E dM + EtM = N [ .2 2 / 3 (k F a 0 ) 2 −

. 2 ( k F a 0 )]RY
5
2π
5
1
= 0,352125 (10.32) <==>
<==> k F a 0 <
1/ 3
2π 2 + 1

(10.19)

(10.26)
(10.27)
(10.28)
(10.29)
(10.30)

(10.31)
Et > Ed

(10.33)

Ý nghĩa của điều kiện (10.32)
H=

∑
σ

,k

 k 2 + 
e2
a k ,σ a k ,σ −
2m
2Vε 0

10.2- Mô hìmh Heisenberg

∑
σ

, k , k '< k F

1
+
+
  2 a k,σ a k,σ a k',σ a k',σ
k − k'

 
 
H φ (r1 , r2 ) = E φ (r1 , r2 )
 
H = H 1 + H 2 + V (r1 , r2 )

(10.34)
(10.35)
(10.36a)

2 2
e2
1
e2
1
Hi = −
∇i −
 −
 ,


2m
4πε 0 ri − R1 4πε 0 ri − R2

i =1, 2

(10.36b)

 
e2
1
V (r1 , r2 ) =
 
4πε 0 r1 − r2
   
 
 
ψ (r1 , r2 , s1 , s 2 ) = φ (r1 , r2 ) χ ( s1 , s 2 )

(10.36c)
(10.37)
(10.38)

a = s1 , ↑ ⊗ s 2 , ↑ ; b = s1 , ↑ ⊗ s 2 , ↓ ; c = s1 , ↓ ⊗ s 2 , ↑ ; d = s1 , ↓ ⊗ s 2 , ↓
  
S = s1 + s 2 , s1 = s 2 = (1 / 2)

χ (S , S z ) =

∑C

s1 z + s 2 z = S z

s1 s2 S
s1 z s2 z S z

(10.39)

s1 , s1z ⊗ s 2 , s 2 z

(10.40a)

s s S

1 2
( Với C s1 z s2 z S là các hệ số Clebsch-Gordan, và s1z , s 2 z = ±(1 / 2) ).

χ (0,0) = (1 / 2)[ (1 / 2) , ↑ ⊗ (1 / 2) , ↓ − (1 / 2) , ↓ ⊗ (1 / 2) , ↑ ]

(10.40b)

χ (1,0) = (1 / 2)[ (1 / 2) , ↑ ⊗ (1 / 2) , ↓ + (1 / 2) , ↓ ⊗ (1 / 2) , ↑ ]

(10.40c)

χ (1,1) = (1 / 2) , ↑ ⊗ (1 / 2) , ↑

(10.40d)

χ (1,−1) = (1 / 2) , ↓ ⊗ (1 / 2) , ↓
 
 
E s = φ s (r1 , r2 ) H φ s (r1 , r2 )
 
 
Et = φ a (r1 , r2 ) H φ a (r1 , r2 )

 
 

S 2 = ( s1 + s 2 ) 2 = s12 + s 22 + 2 s1 s 2

H e − spin = [( E s + 3Et ) / 4 ] − J 12 s1 s 2

(10.40e)
(10.41a)
(10.41b)
(10.42)
(10.43)

(10.44)
(10.45)

J 12 = E s − Et

H e − spin = − J 12 s1 s 2

H spin = − ∑ J ij si s j

(10.46)

i≠ j

10.3- Mô hình Hubbard

H = Hh + H p
Hh =

(10.47)

∑σ t
'

xy

aˆ

+
y ,σ

aˆ x , σ

(10.48)

x, y,

H p = ∑ U x Nˆ x , ↑ Nˆ x , ↓

(10.49)

x

Nˆ x , σ = aˆ x+, σ aˆ x , σ

cˆ i , σ = ∑ ϕ i , σ ( x) aˆ x , σ

aˆ x ⇒ cˆi

Hh =

∑

x, y ,σ

x

'

t x y ∑ ϕ i , σ ( y ) cˆ

x, y

x, y

+
i ,σ

ϕ

*
j ,σ

( x) cˆ j , σ =

i, j

ε i j = ∑ ' t x yϕ i , σ ( y ) ϕ *j , σ ( x)

ε i j = ∑ ' t x yϕ i ,σ ( y ) ϕ *j ,σ ( x) ~

aˆ x , σ = ∑ ϕ *i , σ ( x) cˆi , σ

∑ε

i , j ,σ

i

ij

cˆ

+
i ,σ

cˆ j , σ

ϕ i , σ ( x) ≡ ϕ k , σ ( x) ~ exp (ikx)

∑ exp [i k ( x + 1)].exp (− i k ' x) ~ ∑ exp[i (k − k ') x ~ δ (k − k ') = δ
x

H h = ∑ ε i cˆi+, σ cˆi , σ
i, σ

x

εi =ε ii

(10.52)

ij


Hp =

∑λ

i , m j

i , j , , m

cˆi+↑ cˆ+↓ cˆm↓ cˆ j ↑

(10.53)

λ i , m j = ∑ U x ϕ *j ↑ ( x) ϕ m* ↓ ( x) ϕ ↓ ( x) ϕ i↑ ( x)

(10.54)

x

H = ∑ ε i cˆi+,σ cˆi ,σ +
i, σ

∑λ

i , m j

i , j ,, m

11- Phương trình Shrodinger cho cặp Cooper
11.1- Trạng thái liên kết hai electron trong lý thuyết BCS
 
Cặp Cooper
S +S =0
1

2

Hψ = Eψ
H = H 0 +V
 
H 0ϕ k = ε kϕ k
p =k

(10.47b)

 
p1; + p2 = 0

ψ =∑
a ϕ 
 k k

( H 0 + V − E ) ∑ ak'ϕ k' = 0
k '> k F

cˆi+↑ cˆ+↓ cˆm↓ cˆ j ↑

(ε k − E ) ak +

k

∑ ak'Vkk' =V0 = ϕ *Vϕ  dr
kk ' ∫ k
k'
k '>
k

− V0 < 0 khi ε F < ε k ; ε k ' F< ε F +  ω D
V kk' = 
 , ε  ngoa `i khoa ? ng
V0 tre ^ n 
k a =
k'0
ak =
(ε k − E )0akkhi
− V0 ε∑
∑a
k'

(ε k − E ) k '>kF k '
k '> k F

−

1
1
=∑
V0 k >kF ( E − ε k )

1
1
=∑
V0 k >kF ( E − ε k )

−

(11.11)

ε k > ε F , E > 0
Trạng thái liên kết

0

εC

εF

ε lk = ε F − ε C
E =ε C < ε F
(11.12)
1
1
=∑
V0 k >kF (ε k − EC )

g (ε ) ≈ g (ε F )
1
g (ε F )V0

= ln

kTC ≈ ε lk

− 1 / V0

1 ε F +  ωD g (ε ) dε
= ∫

V0
(ε − EC )
εF

ε lk +  ω D
ε lk

εF + ωD
E

λ = g (ε F )V0

ε F +  ωD
ε − EC +  ω D
1
dε
= g (ε F ) ∫
= g (ε F ) ln F
V0
(ε − EC )
ε F − EC
εF

TC ≈ ( ω D / k ) exp(−1 / λ )

ε lk = ε F − ε C

ε lk =  ω D exp(−1 / λ )

11.2- Toỏn t hai ht v trng thỏi chõn khụng ca h siờu dn
ck+ = a k+ a +k ; ck = a ka k

H =
( k / 2) (a k+ a k + a +k a k ) + (1 / 2)
V a + a + a a

kk ' k k k ' k '
k

k ,k '

nk n k = 0 = 0 ; nk nk =1 = nk =1

n k = n k = nk n k

ck+ ck = a k+ a +ka ka k = a k+ a ka +ka k = n kn k = n k = n k
H =
k ck+ ck + (1 / 2)
V c + c

kk ' k k '
k

k ,k '

(0) = u (0) + v c (0) = (u k + vkck+ ) k (0)

k

k

+

k k
2

k


k


k
2

k

u +v =1
(0) =
(u k + vkck+ ) k (0)

k

v : ck (0) = 0
ck (0) = ck
[uk' + vk'ck+' ] nk =0 = a k ak [uk' + vk'ak+' a+k' ] n = 0 =

k

=

[u


k' k
k ' k


k'

k'
+
+


k ' k ' k '

+ v a a


k'
+
+


k k k

] nk =0 . .a k a k [u k + v a a

] nk =0 [u k + vka +k a k+ ] nk =0

a k a ku k nk =0 v ka +k a k+ nk =0 = u kvka k a k nk =0 [ a k+ a +k nk =0 ] =
= u kv ka k a k [a k+ a +k nk =0 ] nk =0 = u kvka k a k a k+ a +k nk =0 nk =0
u kvka k a k a k+ a +k nk =0 nk =0

a kakvkak+ a+k k (0)v ka+kak+ k (0) ~ vka ka k+ k (0)a k+ vka ka +ka +k k (0) = 0

Phơng pháp hàm Green lợng tử

Chng 4:

ý tởng của phơng pháp
12- Phơng pháp hàm Green lợng tử ở nhiệt độ T=0K
12.1- Định nghĩa hm Green lợng tử ở nhiệt độ T= 0K

G ( x, x' ) = i T[ H ( x) H+ ( x' )]
< T[ i ( x) i+ ( x' ) S ( )] >
G ( x, x' ) = i
< S ( ) >

(12.1a)
(12.1b)

r
i lim G ( x, x ')dr = a i+ a i = N
t ' t + 0
r r
r ' r

Vì :

i


G ( x, x' )
N = n(r )dr => n( x) = i tlim
't+ 0
r ' r


FH(1) (t ) = i [ lim f ( x)G ( x, x ' )]dr
,

t't+ 0
r ' r

12.2- Hm Green cho hệ hạt fermion
iG ( x, x' ) = T [e i H t / S (q )e i H t / e i H t '/ S+ (q ' )e i H t '/ ] =


= T [e i E0 ( t t ') / i (r ) k* (r ' ) a i e i H ( t t ') / a k+ ]
i

k



iG ( x, x' ) = T [e i E0 ( t t ') / i (r ) i* (r ' ) a i e i H ( t t ') / a i+ ]
i

(12.2)
(12.3)


  

d4p
i [ p ( r − r ') −ω t ]
G ( x − x' ) = ∫
G
(
p
,
ω
)
e
(2π ) 4


1
ψˆ H (r , t ) =
V

aˆ pe
aˆ +p e

−i

−i

∑


∑e


ε 0 ( p '') aˆ +p ''aˆ p '' t / 


ε 0 ( p '') aˆ +p ''aˆ p '' t / 

p ''


1
ψˆ H (r , t ) =
V
G

(0)


p

p ''

∑



i pr /

=e

=e

(12.4)

e i H 0 t /  aˆ p e −i H 0 t / 


−i  




−i  




; d 4 p = dpdω





 





ε 0 ( p '') aˆ +p ''aˆ p '' + ε 0 ( p )  t / 
∑



p ''





 





ε 0 ( p '') aˆ +p ''aˆ p ''  − ε 0 ( p )  t / 
∑






p ''

aˆ p

aˆ +p



∑ e i[ p r −ε 0 ( p ) t ] /  aˆ p

p

 ψˆ H ( x)ψˆ H+ ( x' ) , t > t '

( x, x' ) = − i Tˆ[ψˆ H ( x)ψˆ ( x' )] = − i 
+
− ψˆ H ( x' )ψˆ H ( x ) , t ' > t
+
H

  

1 − N p , t > t '
−i
i[ p ( r − r ') −ε 0 ( p ) ( t −t ' )] /  
e

∑
V p
− N p , t ' > t


1 , p < p 0
+
N p = aˆ p aˆ p = 

0 , p > p 0


1 − N p , t > 0
−i
G ( 0 ) ( x ) = ∑ e i [ p r −ε 0 ( p ) t ] /  
V p
− N p , t > 0
∞
∞
r
rr
1 − N pr , t > 0
i [ω −ε 0 ( p )/ h] t 
(0) r
(0)
− i [( pr / h) −ω t ] r
G ( p , ω ) = ∫ ∫ G ( x )e
dr dt = −i ∫ dt e

 − N pr , t < 0
−∞
−∞

G ( 0 ) ( x, x ' ) =

∞

= − iθ ( p − p0 ) ∫ dt e


i [ω −ε 0 ( p ) /  ] t

0

∞

∞

1 , z > 0
)
0 , z < 0



+ iθ ( p0 − p) ∫ dt e −i [ω −ε 0 ( p ) /  ] t ( Với: θ ( z ) = 
0

∞

1
ds
F (s)
⇒ ∫ F (s)
=∫
ds − iπ F (0)

δ → +0
δ → + 0 s + iδ
s + iδ
s
0
0
1
θ ( p − p0 )
θ ( p0 − p)

G ( 0 ) ( p, ω ) =
+
=
r


hω − ε 0 ( p ) + iδ sign ( p − p0 )
 ω − ε 0 ( p ) + iδ  ω − ε 0 ( p ) − iδ
12.3- Hàm Green phonon

∫e

ist

dt = lim ∫ e ist −δ t dt = i lim

D( x, x' ) = − i < Tˆ[φˆH ( x)φˆH ( x' )] >




ˆ 

k   i[ k r−ω0 ( k) t ]
ˆ k ( r , t )e
ˆ k+ (r , t )e −i[ k r −ω0 ( k ) t ]
u (r , t ) = ∑
u
+
u

k k


 
ρ [uˆ i (r , t ), uˆ j (r ' , t )] = −i δ (r − r ' )δ ij

bˆk = 2 ρω 0 (k ) /  uˆ k

bˆk+ = 2 ρω 0 ( k ) /  uˆ k+

{

=

}


2
K = [u (r , t )] dr
2

1
E = < H >= 2 < K > = =
2












kk '
i [ k r 0 ( k ) t ] i [ k ' r 0 ( k ') t ]
+ i [ k r 0 ( k ) t ] i [ k ' r 0 ( k ') t ]
+







0 ( k ) 0 ( k ' ) bk bk ' e
e
+ b k bk ' e

e


k , k ' kk '

{



b + + b + b >] = (k ) [ N + (1 / 2)]
E = ( / 2)

(
k
)
[
<
b
0
0
k k'
k k'
k

k

H ( x) =

1
V

D ( 0 ) ( x) =

r
D (0) (k , ) =



D

(0)

( x) e

k

{






0 (k ) / 2 bk e i[ k r 0 ( k ) t ] + bk+ e i[ k r 0 ( k ) t ]



k

i

2V

rr
i [ k r t ]



k


H =


(
k
) [ N k + (1 / 2)]
0


}

{






i[ k r 0 ( k ) t ]
i[ k r 0 ( k ) t ]

(
k
)

(
t
)
e
+

(

t
)
e
0
k

}

r
r
ei[ 0 ( k )]t , t > 0
i0 (k )
r
dr dt =
dt ei[ +0 ( kr )]t , t < 0
2

i 0 ( k )
i [ 0 ( k ) ] t
i [ +0 ( k ) ] t
=
+ dt e
dt e

2
0
0



r


0 (k )
02 (k )
1
1
r


D (k , ) =

=
2 0 (k ) + i + 0 (k ) i 2 02 (k ) + i
(0)

12.4- Định lý Wick

(H0)* T [ A (q1 , t1 ) B (q2 , t2 ) C (q3 , t3 ).... X (qm1 , tm1 )Y (qm , tm )] (H0 )

( q n , t ) + (q n , t n ) ==> < T[ (q n , t ) + (q n , t n )] >
< T [ A (q1 , t1 ) B (q 2 , t 2 ) C (q3 , t 3 ) D (q 4 , t 4 ).... X (q m 1 , t m 1 )Y (q m , t m )] > =
= < T[ A (q1 , t1 ) B ( q2 , t2 )] >< T[C (q3 , t3 ) D (q4 , t4 )] > ...... < T [ X (qm 1 , tm 1 )Y (qm , tm )] >
< T[ A (q , t )C (q , t )] >< T[ B (q , t ) D (q , t )] > ...... < T [ X ( q , t )Y (q , t )] > .....
1

1

3

3

2

2

4

m 1

4

m 1

m

m

< T[ ( x) + ( x' ) S ()] >
G ( x, x ' ) = i
< S () >




t1

S () =1 (i / ) V (t1 ) dt1 (1 / ) 2 V (t1 ) dt1 V (t 2 ) dt 2 + ...... +








t1

t n 1

+ (i / ) n V (t1 ) dt1 V (t 2 ) dt 2 .... V (t n ) dt n + .........


V (t ) = g + ( x) ( x)( x ) dr
g2 =

G (1) ( x, x ' ) =

2 2
p0 m

(g / )
dx1 < T[ ( x) + ( x ' ) + ( x1 ) ( x1 )( x1 )] >


< S ( ) >

< T[ ( x ) + ( x' )] >< T[ + ( x1 ) ( x1 )] >< [ ( x1 )] > ...... < [ ( x1 )] > = 0
< [ ( x1 )] > = 0
G (1) ( x, x ' ) = 0.
Dễ dàng chứng tỏ rằng tất cả các bậc lẻ của gia số hàm Green G ( 2 n+1) ( x, x' ) cũng bằng không.

}

G

( 2)

i( g / ) 2
( x, x ' ) =
dx1 dx 2 < T[ ( x ) + ( x' ) + ( x1 ) ( x1 ) ( x1 ) + ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 )] >



< S ( ) >
< T[ ( x ) + ( x' ) S ()] > = < T[ ( x) + ( x' ) S ()] > k < S () >
G ( x, x' ) = i < T[ ( x) + ( x' ) S ()] >

(12.1c)
=> Hàm Green G ( x, x' ) có thể biểu thị qua các hàm Green của hệ các hạt không tơng tác G ( 0 ) ( x, x' ) .
13- Phơng pháp hàm Green lợng tử ở nhiệt độ T 0K. Khụng hc vỡ trong mụn Phng phỏp hm
Green cú mt chng vờ hm Green nhit T 0K
14- Gin Feynman.
14.1- Gin Feynman trong trng hp T=0K
14.1.1- Nhng quy tc ch yu ca ky thut gin
< T[ ( x) + ( x' ) S ()] >
k

G ( x, x ' ) = i

< S () >

1
S () = S (,) =1 (i / ) V (t1 ) dt1 2 V (t1 ) dt1 V (t 2 ) dt 2 + ...... +
2



(i ) n
+
n ! n











V (t1 ) dt1 V (t 2 ) dt 2 .... V (t n ) dt n + .....


n

t

i
( i )
.... dt1....dt n < T [ ( x) + ( x ') V (t1 ).....V (t n )] >

n

< S () > n = 0 n ! h





1
VS = + ( r1 ) + (r2 ) U S (r1 r2 ) (r2 ) (r1 ) dr1 dr2
2

( x1 x 2 ) = U (r1 r2 ) (t1 t 2 )
Ky hiu:
1
+
+
4
4
V (t1 ) dt1 = 2 ( x1 ) ( x2 ) ( x1 x2 ) ( x2 ) ( x1 ) d x1 d x2
Khi : n=1.
1
G (1) =
d 4 x1 d 4 x 2 < T [ ( x) + ( x' ) + ( x1 ) + ( x 2 ) ( x 2 ) ( x1 )] > ( x1 x 2 )

2 < S ( ) >


G ( x, x ') =

< T[ ( x) + ( x' ) + ( x1 ) + ( x 2 ) ( x 2 ) ( x1 )] > = < T[ ( x ) + ( x1 )] > < T [+ ( x2 ) ( x2 )] > < T [ ( x1 ) + ( x ')] >
< T[ ( x) + ( x1 )] > < T [ + ( x 2 ) ( x1 )] > < T [ ( x 2 ) + ( x ' )] > +
+ < T[ ( x ) + ( x 2 )] > < T [ + ( x1 ) ( x1 )] > < T [ ( x 2 ) + ( x' )] >
< T[ ( x) + ( x )] > < T [ + ( x ) ( x )] > < T [ ( x ) + ( x ' )] > +






2



1



2

1

+ < T[ ( x) + ( x ' )] > < T [ + ( x1 ) ( x1 )] > < T [ + ( x 2 ) ( x 2 )] >
+ < T[ ( x) + ( x ' )] > < T [ + ( x ) ( x )] > < T [ + ( x ) ( x )] >


Thay G

(0)





1



2



2



1

:

(0)
(0)

i G(0) ( x, x1 ) G(0) ( x2 , x2 ) G(0) ( x1 , x ') i G( 0 ) ( x, x1 ) G( 0 ) ( x1 , x 2 ) G( 0) ( x 2 , x' ) + i G
( x, x 2 ) G( 0) ( x1 , x1 ) G
( x 2 , x' )
(0)
( 0)
i G
( x, x 2 ) G( 0 ) ( x 2 , x1 ) G( 0 ) ( x1 , x' ) i G
( x, x ' ) G( 0 ) ( x1 , x1 ) G( 0 ) ( x 2 , x 2 ) +
(0)
+ i G
( x, x' ) G( 0 ) ( x 2 , x1 ) G( 0 ) ( x1 , x 2 )

Gin Feynman: G (1) phự hp vi 6 gin trờn hỡnh 14.1


x2
a)

a’)

b)

x

x’

x1

x

x1

x2

x1

x’

b’)

x

x1 x
2

c)

x’

x2

x1

d)

x

x

x2

x

x’

x1

x2

x’

Hình 14.1

Giản đồ liên kết:

x

x’

x

a)

x’
b)

Hình 14.2
n ∞

( −i )

< T [ψˆ ( x)ψˆ ( x ') Sˆ (∞ )] > = ∑
n
n = 0 n !
∞

+

∞

∫ .... ∫ dt ....dt
1

−∞

n

< T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t n )] > =

−∞

∞ n 
( −i )
=∑∑
A( n, m) ∫ .... ∫ dt1 ....dt m < T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] > k .
n
n = 0 m = 0  n !
−∞
−∞
∞
∞


. ∫ .... ∫ dt m +1 ....dt n < T [ Vˆ (t m+1 ).....Vˆ (t n )] > 
−∞
−∞

n!
A(n, m) =
.
m ! ( n − m) !
∞

n

∞

∞ n 
( −i ) m
< T [ψˆ ( x)ψˆ ( x' ) Sˆ (∞)] > = = ∑ ∑ 
m
n = 0 m = 0  m !

+

∞

∞

∫ .... ∫ dt ....dt
1

−∞

m

< T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] > k .

−∞

∞
∞

( −i ) n − m
.
....
dt m +1 ....dt n < T [ Vˆ (t m +1 ).....Vˆ (t n )] > 
n−m ∫
∫
( n − m) !
−∞
−∞


(−i ) m
m
m = 0 m !
∞

=∑

∞

∞

−∞

−∞

+
∫ .... ∫ dt1 ....dt m < T [ψˆ ( x)ψˆ ( x' )Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] > k .

( −i ) k
.∑
k
k = 0 k !
∞

Vì

∞

∞

−∞

−∞

∞

∞

∫ ...... ∫ dt

−∞

m +1

....dt m + k < T [ Vˆ (t m +1 ).....Vˆ (t m + k )] >

∫ ...... ∫ dt m+1 ....dt m+ k < T [ Vˆ (t m+1 ).....Vˆ (t m+ k )] > =
∞

( −i )

k ∞

∞

∑ k ! ∫ ...... ∫ dt
k =0

k

−∞

−∞

m +1

(14.7)

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∫ ...... ∫ dt1 ....dt k < T [Vˆ (t1 ).....Vˆ (t k )] >

....dt m + k < T [ Vˆ (t m +1 ).....Vˆ (t m + k )] > =< Sˆ (∞) >

(14.8a)

x’


∞

∞

(− i ) m
.... ∫ dt1 ....dt m < T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Vˆ (t1 ).....Vˆ (t m )] > k = < T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Sˆ (∞ )] > k
∑
m ∫
m
!


m= 0
−∞
−∞
< T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Sˆ (∞ )] > = < T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Sˆ (∞ )] > k < Sˆ (∞ ) >
G ( x, x' ) = − i < T [ψˆ ( x)ψˆ + ( x' ) Sˆ (∞)] >
∞

k

(14.8b)
(14.9)
(14.10)

14.1.2- Kỹ thuật giản đồ trong không gian tọa độ.
Xét Tương tác hai hạt:

b)

a)

d)

c)

i)

h)
e)

đ)

k)

g)
Hình14.3

a)
b)
c)

− ∫ d 4 x1d 4 x 2 d 4 x3 d 4 x 4 Gα(0γ 1) ( x − x1 )Gγ(10γ)2 ( x1 − x 2 )Gγ(20β) ( x2 − x' )Gγ(30γ)3 (0)Gγ(40γ)4 (0)V ( x1 − x3 )V ( x2 − x 4 )

− ∫ d 4 x1d 4 x2 d 4 x3 d 4 x4 Gα(0γ 1) ( x − x1 )Gγ(10γ)2 ( x1 − x2 )Gγ(30γ)3 ( x2 − x3 )Gγ(40γ)4 ( x2 − x4 )Gγ(40β) ( x4 − x' )V ( x1 − x2 )V ( x3 − x4 )

∫d

4

x1 d 4 x 2 d 4 x3 d 4 x 4 Gα( 0γ 1) ( x − x1 )Gγ(10γ)2 ( x1 − x 2 )Gγ(30γ)3 ( x 2 − x3 )Gγ(30β) ( x3 − x' )Gγ(04γ) 4 (0)V ( x1 − x 4 )V ( x 2 − x3 )

∫
đ) ∫ d x d x d x d x G ( x − x )G ( x − x' )G ( x
e) − ∫ d x d x d x d x G ( x − x )G ( x − x' )G
g) ∫ d x d x d x d x G ( x − x )G ( x − x )G

d) d x1 d x 2 d x 3 d x 4 Gαγ 1 ( x − x1 )Gγ 1γ 2 ( x1 − x 2 )Gγ 3γ 3 ( x 2 − x 3 )Gγ 3 β ( x 3 − x' )Gγ 4γ 4 (0)V ( x1 − x 2 )V ( x 3 − x 4 )
4

4

4

4

4

1

4

4

3

4

4

2

4

3

4

1

( 0)
αγ 1

4

4

1

( 0)

4

2

4

4

4

4

2

3

4

( 0)

(0)

γ 1β

1

(0)
αγ 1

(0)
αγ 1

(0)
γ 2γ 3

1

(0)
γ 1β

1

(0)
γ 1γ 2

1

1

1

(0)

2

(0)

(0)

− x3 )Gγ(30γ)4 ( x3 − x 4 )Gγ( 04γ) 2 ( x 4 − x 2 )V ( x1 − x 2 )V ( x3 − x 4 )

(0)
γ 2γ 3

( x 2 − x 3 )Gγ(30γ)2 ( x 3 − x 2 )Gγ( 04γ) 4 (0)V ( x1 − x 2 )V ( x 3 − x 4 )

(0)
γ 3γ 3

( x 2 − x 3 )Gγ(30β) ( x3 − x' )Gγ( 04γ) 4 (0)V ( x1 − x3 )V ( x 2 − x 4 )

2

4
4
4
4
(0)
(0)
(0)
(0)
( 0)

h) − ∫ d x1 d x 2 d x3 d x 4 Gαγ 1 ( x − x1 )Gγ 1γ 2 ( x1 − x 2 )Gγ 3γ 3 ( x 2 − x3 )Gγ 4γ 4 ( x3 − x 4 )Gγ 4 β ( x 4 − x' )V ( x1 − x 4 )V ( x 2 − x3 )

∫

i) − d x1 d x 2 d x 3 d x 4 Gα γ 1 ( x − x1 )Gγ 1γ 2 ( x1 − x 2 )Gγ 3γ 3 ( x 2 − x 3 )Gγ 4γ 4 ( x 3 − x 4 )Gγ 4 β ( x 4 − x' )V ( x1 − x 3 )V ( x 2 − x 4 )

∫

4

4

4

4

(0)

(0)

(0)

( 0)

(0)

k) d x1 d x 2 d x3 d x 4 Gαγ 1 ( x − x1 )Gγ 1γ 2 ( x1 − x 2 )Gγ 2 β ( x 2 − x' )Gγ 3γ 4 ( x3 − x 4 )Gγ 4γ 3 ( x 4 − x3 )V ( x1 − x3 )V ( x 2 − x 4 )
4

4

4

4

(0)

(0)

(0)

(0)

( 0)

ˆ (t ) dt = 1 ψˆ + ( x )ψˆ + ( x ) ℑ( x − x )ψˆ ( x )ψˆ ( x ) dx dx =
V
∫ 1 1 2 ∫∫ α 1 β 2 1 2 β 2 α 1 1 2


1
....∫ ψˆ γ+1 ( x1 )ψˆ γ+2 ( x 2 ) ℑ( x1 − x 2 ) δ ( x1 − x3 )δ ( x 2 − x 4 )δ γ 1γ 3 δ γ 2γ 4ψˆ γ 4 ( x 4 )ψˆ γ 3 ( x3 ) dx1 dx 2 dx3 dx 4 =
∫
2
1
= − ∫ ....∫ ψˆ γ+1 ( x1 )ψˆ γ+2 ( x 2 ) ℑ ( x1 − x 2 ) δ ( x1 − x 4 )δ ( x 2 − x3 )δ γ 1γ 4 δ γ 2γ 3 ψˆ γ 4 ( x 4 )ψˆ γ 3 ( x3 )dx1 dx 2 dx3 dx 4 =
2
1
= ∫ ....∫ψˆ γ+1 ( x1 )ψˆ γ+2 ( x 2 ) Γγ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )ψˆ γ 4 ( x 4 )ψˆ γ 3 ( x3 ) dx1 dx 2 dx3 dx 4
4

=

Γ γ(10γ)3

γ 2γ 4

1
...∫ d 4 x1 ....d 4 x 4 Γ γ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x 3 x 4 ) < T [ψˆ α ( x)ψˆ β+ ( x' )ψˆ γ+1 ( x1 )ψˆ γ+2 ( x 2 ) ψˆ γ 4 ( x 4 )ψˆ γ 3 ( x3 )] > =
∫
4

G (1) = −

Γγ(10γ)3

( x1 x 2 , x 3 x 4 ) = ℑ ( x1 − x 2 ) [δ ( x1 − x 3 )δ ( x 2 − x 4 )δ γ 1γ 3 δ γ 2γ 4 − δ ( x1 − x 4 )δ ( x 2 − x3 )δ γ 1γ 4 δ γ 2γ 3 ]

= i ∫ ...∫ d 4 x1 ....d 4 x 4 Γγ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x3 x4 )G ( 0) ( x − x1 )G ( 0) ( x3 − x 2 )G ( 0) ( x4 − x' )
γ 2γ 4

( x1 x 2 , x3 x 4 ) = một hình vuông

Hình
14.4

(14.13) = giản đồ 14.4.
các giản đồ 14.3 a , b , c , d ==> 14.5 a ;
các giản đồ 14.3 đ , e , g , h ==> 14.5 b ;
các giản đồ 14.3 i , k ==> 14.5 c.

c)

b)

a)

Hình14.5

a)

− ∫ ...∫ d 4 x1 ....d 4 x8 Γ γ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )Γ γ(50γ)6 γ 7γ 8 ( x5 x6 , x7 x8 ).

.G ( 0) ( x − x1 )G ( 0) ( x3 − x5 )G (0) ( x7 − x' )G (0) ( x 4 − x 2 )G ( 0) ( x8 − x6 )

b)

− ∫ ...∫ d 4 x1 ....d 4 x8 Γγ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )Γγ(50γ)6 γ 7γ 8 ( x5 x 6 , x 7 x8 ).

.G ( 0 ) ( x − x1 )G ( 0) ( x3 − x' )G ( 0) ( x 4 − x5 )G ( 0) ( x7 − x 2 )G ( 0) ( x8 − x 6 )

c)

−

1
...∫ d 4 x1 ....d 4 x8 Γγ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x 2 , x3 x 4 )Γγ(50γ)6 γ 7γ 8 ( x5 x6 , x7 x8 ).
∫
2

.G ( 0) ( x − x1 )G (0) ( x3 − x5 )G (0) ( x7 − x 2 )G (0) ( x 4 − x6 )G ( 0) ( x8 − x' )

Quy tắc tính phần bổ sung bậc n của hàm Green :
1) Vẽ tất cả các giản đồ liên kết có có cấu trúc tô pô không tương đương nhau;
(0)
2) Mỗi đường cho tương ứng với một hàm Green Gαβ ( xi − x j ) ;
(0)
3) Mỗi tứ giác cho tương ứng với một hàm Γγ γ γ γ ( x1 x 2 , x3 x 4 ) ;
4) Lấy tích phân theo các tọa độ của tất cả các đỉnh và lấy tổng theo các biến spin ;
5) Biểu thức nhận được nhân với hệ số (i)n(1/2)n-(m/2), trong đó m là số giản đồ trong biểu
1 3

2 4


diễn không đối xứng tương ứng với giản đồ đối xứng đang xét. Dấu
của giản đồ cũng tương ứng với dấu trong trường hợp không đối xứng.
Giản đồ bậc ba vẽ trên hình 14.6

Hình 14.6

(i) 3
−
...∫ d 4 x1 ....d 4 x12 Γγ(10γ)2 γ 3γ 4 ( x1 x2 , x3 x4 )Γγ(50γ)6 γ 7γ 8 ( x5 x6 , x7 x8 )Γγ(90γ)10 γ 11γ 12 ( x9 x10 , x11 x12 ).
∫
2
.G ( 0) ( x − x1 )G ( 0) ( x3 − x5 )G (0) ( x7 − x9 )G ( 0) ( x4 − x10 )G (0) ( x12 − x6 )G ( 0) ( x8 − x2 )G ( 0) ( x11 − x' )
14.1.3- Kỹ thuật giản đồ trong không gian xung lượng
Xét Tương tác hai hạt
(1b )
(0)

( 0)
( 0)
Gαβ
( x, x ' ) = −i ∫∫ Gαγ
( x − x1 ) Gγδ
( x1 − x 2 ) Gδβ
( x 2 − x' ) ℑ( x1 − x 2 )d 4 x1 d 4 x 2

d4p
( 0)
Gαβ ( x1 − x2 ) = ∫
Gαβ
( p ) eip ( x1 − x 2 ) / 
4
( 2π )
( 0)

d 4q
ℑ( x1 − x2 ) = ∫
ℑ( q ) eiq ( x1 −x 2 ) / 
4
(2π )
(0)
(0)
Gαβ
( p ) = ∫ Gαβ
( x) e −ipx /  d 4 x


  

p = ( p,  ω ) , q = ( q ,  ω ) , p ( x1 − x 2 ) = p (r1 − r2 ) −  ω (t1 − t 2 ) .

(1b )
Gαβ
( x, x' ) = − i (2π ) −16 ∫ ...∫ d 4 p1d 4 p 2 d 4 p3 d 4 qd 4 x1d 4 x 2 e i[ p1 ( x − x1 )+ p1 ( x1 − x2 )+ p1 ( x2 − x ') + q ( x1 − x2 )] /  .
(0)
(0)
(0)
.Gαγ
( p1 ) Gγδ
( p 2 ) Gδβ
( p 3 ) ℑ( q ) =

= − i (2π  ) −8 ∫ ...∫ d 4 p1d 4 p2 d 4 p3d 4 q ei[ p1 x − p2 x '] /  δ ( p1 − p2 − q)δ ( p2 − p3 + q).

.Gαγ( 0 ) ( p1 ) Gγδ( 0) ( p 2 ) Gδβ( 0 ) ( p 3 )ℑ (q )

= i (2π  ) − 8 ∫ ...∫ d 4 p1d 4 p 2 d 4 p3 d 4 q e i[ p1x − p2 x '] /  δ ( p1 − p 2 − q)δ ( p 2 − p3 + q).
(0)
(0)
(0)
.Gαγ
( p1 ) Gγδ
( p 2 ) Gδβ
( p 3 ) ℑ(q )

(1b )
Gαβ
( p, p ' ) = i ∫ ...∫ d 4 p 2 d 4 q e i[ p1x − p2 x '] /  δ ( p − p 2 − q )δ ( p 2 − p '+ q ).

( 0)
( 0)
( 0)
.Gαγ
( p ) Gγδ
( p 2 ) Gδβ
( p ' )ℑ( q )

(1b )
Gαβ
( p, p ' ) = G (1b ) ( p )δ ( p − p ' ) (2π ) 4 δ αβ

G
G

(1a )

(1b )

d 4q
( p) = i G ( p) ∫
G ( 0 ) ( p − q )ℑ(q )G ( 0 ) ( p )
4
(2π )
(0)

d 4 p1 ( 0)
( p) = − 2i G ( p)ℑ (0) ∫
G ( p1 ) lim eiω t G ( 0 ) ( p)
4

t → +0
(2π )
(0)

a)
p

p1
0
p

b)

q

p

p-q

Hình14.10

p


p1+q1+q 2+q 3
p1+q 2+q 3
q1

p1+q 3

q2

p

p-q1

p1
q1+q2+q 3

q3

p-q1-q 2

p-q4

p-q1-q 2-q 4

q4

p-q1-q 2-q 3-q 4

Hình 14.11

−i

δ αβ
(2π )

20

p

[G ( 0 ) ( p )] 2 ∫ ...∫ d 4 q1 ...d 4 q 4 ℑ(q1 )ℑ(q 2 )ℑ(q3 )ℑ(q 4 )ℑ(q1 + q 2 + q3 ).

.G ( 0) ( p − q1 )G ( 0) ( p − q1 − q 2 )G ( 0) ( p − q1 − q 2 − q 4 )G ( 0) ( p − q1 − q 2 − q 3 − q 4 )G ( 0) ( p − q 4 ).

.∫ d 4 p1 G ( 0) ( p1 )G ( 0) ( p1 + q3 )G ( 0 ) ( p1 + q 2 + q 3 )G ( 0 ) ( p1 + q1 + q 2 + q3 )

14.1.4- Phương trình Dyson

c)

b)

a)

Hình14.
5

G = G ( 0 ) + G (1) + G ( 2 ) + .....

=

+

+

+

+

+

+

+
+

+

+

+

{

=

[

+

+ ….

+

+

+

+

+

+
+

+

+


+

+ …..

+

+

+

+

+ G ΩG

Ω

+

+

[

(0)

=

+

[

+

+

……….

+

Hình 14.16

+

]
]

[

+

}

+
+ …...

]

=

……….

+

+
Ω = Ω1 + Ω 2 + Ω3 + .....

(1)
Ω1 = Ωαβ
( p) = i ∫

==>

]

+ …..

}

+ …..

……….

+

[ …. ] + …..

+

+

]

+

[ …. ] +

[

=

+

+ …..

+

[ …. ] +
[ ….. ]

+

+

+

+

G =G

[

+

+

[

( 0)

]

d 4 p1 ( 0 )
Γαγ ,δβ ( p, p1; p1 , p)Gδγ ( p1 )
(2π ) 4

+ …...

]

+

:
Hình 14.17
8

=>

6

Hình 7.5 c
8 7
5 6

Hình 7.6
1
2

4
3

5
6

Hình 7.17
( 2)
Ω αβ
( p ) = Ω 2 = giản đồ vẽ trên hình 14.18

1 (0)

Γαξ ,ηδ ( p, p1 ; p 2 , p + p1 − p 2 ).
2∫
. Γµγ ,νβ ( p 2 , p + p1 − p 2 ; p1 , p ).

8

1 4

5

7

d 4 p1d 4 p2
(2π )8

7
6

2 3

Hình 7.6

( 2)
Ω αβ
( p) = −

.Gηµ ( p2 )Gνξ ( p1 )Gδγ ( p + p1 − p2 )

8

==>
Hình 14.18
1

(0)
 ):
Thay Ω = Ω (1) + Ω ( 2 ) vào phương trình (14.19) (chú ý G =
 ω − E0 ( p )


d 4 p1 ( 0)
[ ω − E0 ( p )]Gαβ ( p ) − i ∫
Γαξ ,ηγ ( p, p1 ; p1 , p )Gηξ ( p1 )Gγβ ( p ) +
(2π ) 4
1
+ ∫ Γαξ( 0 ),ηδ ( p, p1 ; p 2 , p + p1 − p 2 )Γµγ ,νρ ( p 2 , p + p1 − p 2 ; p1 , p ).
2
d 4 p1 d 4 p 2
.Gηµ ( p 2 )Gνξ ( p1 )Gδγ ( p + p1 − p 2 )
G ρβ ( p ) = δ αβ
(2π ) 8