Sự phụ thuộc đuôi và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ DUNG

SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ, tôi đã nhận được sự giúp đỡ,
tạo điều kiện của nhiều cá nhân, tập thể.
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Trần
Trọng Nguyên đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô giáo trong khoa Toán,
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cũng như các thầy cô giáo đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2014–2016 đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến
thức cho tôi trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo
điều kiện, động viên để tôi hoàn thành nhiệm vụ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn, tuy nhiên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng

góp của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Dung


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Trần Trọng Nguyên,
luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài “Sự phụ
thuộc đuôi và ứng dụng trong đo lƣờng rủi ro tài chính” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Dung


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Đóng góp của đề tài....................................................................................... 2
Chương 1 ........................................................................................................... 3
CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI ............ 3

1.1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................... 3
1.1.1. Mẫu ngẫu nhiên ....................................................................................... 3
1.1.2. Một số phân phối cơ bản ......................................................................... 3
1.1.3. Phương pháp bình phương nhỏ nhất trong phân tích hồi quy ................ 4
1.1.4. Các khái niệm quan trọng trong lý thuyết cực trị nhiều chiều................ 5
1.1.4.1. Phân phối giá trị cực trị nhiều chiều .................................................... 5
1.1.4.2. Phân phối Pareto tổng quát .................................................................. 7
1.1.4.3. Hàm sống sót ........................................................................................ 9
1.2. Copula ........................................................................................................ 9
1.2.1. Copula và copula sống sót .................................................................... 10
1.2.2. Copula thực nghiệm .............................................................................. 10
1.3.1. Sự phụ thuộc nhiều chiều ...................................................................... 11
1.3.2. Các biến ngẫu nhiên liên kết ................................................................. 13
1.3.3. Sự phụ thuộc đuôi ................................................................................. 14
Chương 2 ......................................................................................................... 17
ƯỚC LƯỢNG HỆ SỐ PHỤ THUỘC ĐUÔI ................................................. 17
2.1. Ước lượng theo Poon, Rockinger và Tawn ............................................. 17


2.1.1. Nền tảng lý thuyết ................................................................................. 17
2.1.2. Phân tích ước lượng phi tham số  và  ........................................... 22
2.2. Ước lượng theo Sornette và Malevergne ................................................. 24
2.2.1. Ước lượng phi tham số theo Sornette và Malevergne .......................... 24
Chương 3 ......................................................................................................... 30
ỨNG DỤNG SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI
CHÍNH ............................................................................................................ 30
3.1. Nghiên cứu sự phụ thuộc bằng phương pháp xấp xỉ theo Poon, Rockinger
và Tawn ........................................................................................................... 32
3.2. Nghiên cứu sự phụ thuộc bằng phương pháp xấp xỉ theo Sornette và
Malevergne ...................................................................................................... 34

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 42


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thị trường tài chính luôn có sức hút mạnh đối với các nhà đầu tư bởi
những lợi nhuận khổng lồ mà nó mang lại. Tuy nhiên, những tổn thất từ thị
trường này cũng không hề nhỏ. Chính vì vậy, để giảm thiểu tổn thất và đảm
bảo an toàn cho các tổ chức tài chính thì việc quản lý rủi ro tài chính là vấn đề
rất quan trọng.
Muốn quản lý rủi ro tài chính tốt ta cần nhận diện, đo lường và dự
phòng các rủi ro có thể xảy ra. Có nhiều loại rủi ro khác nhau: rủi ro tín dụng,
rủi ro thị trường, rủi ro hệ thống, rủi ro đạo đức, ... nhưng rủi ro thị trường
được các nhà đầu tư quan tâm hơn cả. Để đo lường rủi ro thị trường người ta
thường sử dụng các độ rủi ro: giá trị rủi ro (VaR) và mức tổn thất kỳ vọng
(ES) với giả thiết phân phối chuẩn. Nhưng thực tế ta vẫn gặp những biến động
bất thường (biến cố hiếm) mà các mô hình đo lường rủi ro không còn đúng
dẫn đến nhưng tổn thất lớn, điển hình như sự kiện "ngày thứ hai đen tối" năm
1987, vụ phá sản của ngân hàng Baring (Anh) (năm 1995), khủng hoảng tài
chính Đông Nam Á (từ năm 1996-1999), khủng hoảng tài chính và suy giảm
kinh tế toàn cầu năm 2008,… Khi đó các chuỗi dữ liệu thường không có phân
phối chuẩn mà thay vào đó là phân phối đuôi dầy.
Nghiên cứu về sự phụ thuộc đuôi của các biến ngẫu nhiên sẽ là một
phương pháp hiệu quả để ước lượng rủi ro khi gặp các biến cố hiếm. Người
đầu tiên đưa ra lý thuyết này là Sibuya (1960), ông nghiên cứu hệ số phụ
thuộc đuôi giữa hai tài sản được xác định là xác suất mà một trong hai tài sản

phải chịu tổn thất lớn, giả định các tài sản khác cũng chịu tổn thất mức độ lớn.
Với mục đích tìm hiểu lại vấn đề và bổ sung một số ứng dụng thực tiễn
trong đo lường rủi ro tài chính, tôi đã chọn đề tài luận văn "Sự phụ thuộc
đuôi và ứng dụng trong đo lƣờng rủi ro tài chính".


2

2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa các biến ngẫu nhiên ở đuôi của
phân phối và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính.
• Xây dựng code Matlab để mô phỏng các ước lượng hệ số phụ thuộc
đuôi.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên ở đuôi của phân
phối thông qua việc đánh giá các xác suất.
• Vận dụng sự phụ thuộc đuôi trong đo lường rủi ro của một số tài sản
tài chính đang niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
• Sử dụng các hàm nối copula trong đo lường rủi ro.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
• Khái niệm, tính chất sự phụ thuộc đuôi, phương pháp ước lượng sự
phụ thuộc đuôi.
• Hàm nối copula.
• Ứng dụng ước lượng sự phụ thuộc đuôi cho 9 cổ phiếu trên thị trường
chứng khoán Việt Nam.
• Dữ liệu nghiên cứu được lấy từ các trang web chính thức của Sở Giao
Dịch Chứng Khoán Thành Phố Hồ Chí Minh và Hà Nội.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
• Đọc sách và nghiên cứu tài liệu, tham khảo các bài báo, các giáo trình
liên quan đến rủi ro tài chính và sự phụ thuộc đuôi.

• Nghiên cứu và thực nghiệm một số phần mềm hỗ trợ để đo lường
sự phụ thuộc đuôi.
6. Đóng góp của đề tài
Thử nghiệm, sử dụng sự phụ thuộc đuôi để ước lượng rủi ro cho chuỗi
dữ liệu trong thị trường tài chính.


3

Chƣơng 1
CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỰ PHỤ THUỘC ĐUÔI
Chương 1 chúng ta trình bày các khái niệm trong lý thuyết giá trị cực
trị nhiều chiều, khái niệm copula và copula sống sót, tìm hiểu về hệ số phụ
thuộc đuôi được sử dụng cho việc ước lượng hệ số phụ thuộc đuôi ở chương
sau.
1.1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.1. Mẫu ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Giả sử ta có một biến ngẫu nhiên X (gọi là biến ngẫu
nhiên gốc) tuân theo quy luật phân phối xác suất nào đó (gọi là quy luật phân
bố gốc). Khi đó các biến ngẫu nhiên X1,X2,…,Xn được gọi là một mẫu ngẫu
nhiên n chiều (X1,X2,…,Xn) về biến ngẫu nhiên gốc X nếu chúng:
i. Độc lập với nhau,
ii. Tuân theo cùng một quy luật phân phối xác suất như phân bố gốc.
1.1.2. Một số phân phối cơ bản
Trên không gian xác suất (Ω, F, P) cho biến ngẫu nhiên X và x 

n

.

Khi đó ta có một số khái niệm cơ bản sau:
• Hàm phân phối đồng thời
Định nghĩa 1.2. Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên

X  (X1 ,X 2 ,...,X n ) được định nghĩa như sau:
F  x   P  X1  x1; X 2  x 2 ;..., X n  x n 
n

 P  (Xi  x i )  ,
 i 1


• Các hàm phân phối biên
Hàm phân phối xác suất của biến Xi là

(  xi   , i  1, , n).


4

Fi ( xi )  P[( X 1  )( X 2  )...( X i  xi )...( X n  )]
 lim F ( x1 , x2 ,..., xn )
x j 
j i

 P( X i  xi ) .
• Phân phối chuẩn
Định nghĩa 1.3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo quy luật phân
phối chuẩn (hay phân phối Gauss) với hai tham số (, 2 ) được kí hiệu là
X ~ N (, 2 ) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

1
f ( x) 
e
 2

( x   )2
2 2

,(  x  ).

• Phân phối đều
Định nghĩa 1.4. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo quy luật phân
phối đều trên [a;b], kí hiệu là X ~ U(a; b) nếu hàm mật độ xác suất của nó có
dạng:
 1
, x [a; b]

f (x)   b  a

0 ,x [a; b]

.

• Phân phối mũ
Định nghĩa 1.5. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo quy luật phân
phối mũ với tham số   0 , kí hiệu X~ Exp (  ) nếu hàm mật độ xác suất của
nó có dạng:

 e   x

f ( x)  
 0

,x0
.
,x0

1.1.3. Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất trong phân tích hồi quy


5

Trong tiểu mục này chúng ta chỉ đưa ra phương pháp bình phương nhỏ
nhất trong phân tích hồi quy đối với mô hình hồi quy tuyến tính
Xét mô hình hồi quy tuyến tính có dạng:
y  f ( x)  ax  b  

trong đó  xk , yk k 1 là một mẫu ngẫu nhiên quan sát về y, x ;  là đại lượng
n

ngẫu nhiên nào đó; a và b được gọi là các hệ số hồi quy, được xác định sao
n

cho tổng bình phương sai số bằng E    yk  axk  b    cực tiểu. Dễ thấy
2

k 1

tổng trên đạt cực tiểu tại a và b được xác định:
n

a

x  y
k 1

k

k 1

n

k

 n xk yk
k 1

2

,



2
  xk   n xk
k 1
 k 1 
n

n

b

n

n

n

n

n

xk  xk yk   x  yk

k 1
k 1
k 1
k 1
2
k

2

n
 n

x

n

xk2
 k 

k 1
 k 1 

.

1.1.4. Các khái niệm quan trọng trong lý thuyết cực trị nhiều chiều
Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) là một nhánh của thống kê nói về các sự
kiện cực đoan (còn gọi là các biến cố hiếm). Đây là những biến cố có tác
động mạnh mà xảy ra với xác suất thấp. L‎‎ý thuyết giá trị cực trị là một công
cụ giúp ta mô tả, ước lượng các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế,
xã hội,.... Trong tiểu mục này, chúng ta giới thiệu một số khái niệm cơ bản
của phân phối giá trị cực trị nhiều chiều (EVT nhiều chiều) để cung cấp một
cái nhìn tổng quan về lĩnh vực này.
1.1.4.1. Phân phối giá trị cực trị nhiều chiều


6

Cho X1,X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
hàm phân phối là F và x* là điểm phải của F, với x* = sup{x: F(x)<1}, x* có
thể là vô hạn
P
Khi đó, max(X1,X2,…,Xn) 
 x* khi n   ,tức là

P(max(X1, X2 , ,Xn )  x)  P( X1  x, X 2  x,..., X n  x)  F n ( x)
hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x  x* và 1 nếu x  x*

Giả sử tồn tại dãy hằng số an  0 và bn thực ( n  1,2,... ) sao cho:

max( X 1 , X 2 ,..., X n )  bn
có giới hạn là một phân phối không suy biến khi
an
n   , nghĩa là:

lim F n (an x  bn )  G( x).

(1.1)

n

Các hàm phân phối G(x) có thể xảy ra trong giới hạn (1.1) được gọi là
hàm phân phối giá trị cực trị. Lớp các hàm phân phối F ban đầu thỏa mãn
(1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là miền hấp dẫn của G,



1
1
với lim 

.

x [1-F(a x+b )]
ln
G
(
x

)
n
n


Định lý 1.1. (Fisher, Tippet(1928) và Gnedenko(1943)) Lớp các hàm phân
phối cực trị là G (ax  b) với a  0, b  , ở đây:


1

G ( x)  exp((1   x) ) , 1   x  0 .


(1.2)

Trong đó,  là một số thực khác 0 và được gọi là chỉ số cực trị; trường hợp
x
  0 thì vế phải của (1.2) được coi là hàm số exp(e ), x  .

Định nghĩa 1.6. Cho X1,X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối với hàm phân phối F. Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu
chọn được dãy an  0 và bn thực ( n  1,2,... ) sao cho:


7

 max( X1, X 2 ,..., X n )  bn

P

 x   P( X1  x), x.
an



Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.2), ta có các kết quả sau:
•   0, sử dụng hàm G (

x 1
1
), đặt    0 :





e  x

 ( x)  

0



,x  0
,
,x  0

Lớp phân phối này gọi là phân phối Frechet.
x

•   0, G0 ( x)  exp(e ), x  . Phân phối này gọi là phân phối Gumbell.

•   0, sử dụng hàm G (

1 x



) , đặt   

1



 0:

e (  x ) , x  0
 ( x)  
,
,x  0
1


Lớp phân phối này gọi là phân phối Weibull.
1.1.4.2. Phân phối Pareto tổng quát
Định nghĩa 1.7. Xét hàm phân phối vượt ngưỡng Fu với các giá trị của X lớn
hơn u:
Fu ( y )  P( X  u  y | X  u ),0  y  xF  u , với u là ngưỡng cho trước,

y  x  u là giá trị vượt quá ngưỡng u và xF  x*  sup{x : F ( x)  1} .

Khi đó với ngưỡng u đủ lớn thì hàm phân phối vượt ngưỡng Fu ( y ) sẽ xấp xỉ
phân phối G , ( y) , trong đó
1

 

1  (1   y) ,   0
G , ( y )  
.
y



 0

1  e ,


8

G , ( y) được gọi là phân phối Pareto tổng quát, kí hiệu là GPD, tham số 
đặc trưng cho đuôi của GPD gọi là chỉ số đuôi.
Ta có liên hệ giữa phân phối Pareto và phân phối cực trị EV:
W(x)  1  log G( x) , nếu log G ( x)  1

Khi đó các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối
cực trị EV là:

 0
x

1  e

• Phân phối mũ GP0 : W0 (x)  

,x0
.
,x0

 0

1  x

• Phân phối GP1 ,  0 : W1, (x)  

• Phân phối

, x 1
.
, x 1

,x 0
1

GP2 ,   0 : W2, (x)  1  (  x)  ,  1  x  0 .
0
, x  1


Ta có các hàm mật độ tương ứng là:
• Mật độ mũ (GP0 ) : w0  e x , x  0 .

• Pareto (GP1 ),  0 : w1, (x)   x(1 ) , x  1 .
• Beta (GP2 ),  0 : w 2, (x)   ( x)(1 ) , 1  x  0.
Định nghĩa1.8. Nếu X là một biến ngẫu nhiên có phân phối
Pareto ( GP1 ), thì xác suất để X lớn hơn một giá trị x nào đó tức là hàm sống
sót (hay được gọi là hàm đuôi) được cho bởi:

 xm 

F ( x)  P  X  x    x 
1


x  xm
x  xm

.


9

trong đó xm là giá trị dương nhỏ nhất của X, và  là tham số dương. Phân
phối Pareto ( GP1 ) được đặc trưng bởi một tham số vô hướng xm và một tham
số hình dạng  (được gọi là chỉ số đuôi). Khi phân phối này được sử dụng
vào mô hình phân phối tài sản, thì tham số  được gọi là chỉ số Pareto.
Từ định nghĩa 1.8 ta đưa ra được khái niệm phân phối đuôi dày như sau:
Định nghĩa 1.9. Phân phối của một biến ngẫu nhiên X với hàm phân
phối F được gọi là có phân phối đuôi dày nếu:

lim e x P  X  x    với mọi   0 ,
x

hoặc ta có thể viết theo hàm phân phối đuôi với F (x)  P[X > x] :
x
lim
e
F (x)   với mọi   0 .
x 

1.1.4.3. Hàm sống sót
Hàm sống sót F liên kết với lý thuyết cực trị nhiều chiều xác định bởi:
F  P  X 1  x1 ,..., X n  xn .

(1.3)

Trong trường hợp một chiều n  1 thì F  1  F  x  . Tuy nhiên điều
này không đúng trong trường hợp EVT nhiều chiều.
1.2. Copula
Copula là các hàm liên kết hoặc nối các phân phối biên duyên một chiều
với các hàm phân phối nhiều chiều. Chính vì vậy mà trong đo lường rủi ro
giữa hai hay nhiều tài sản, copula thường được sử dụng như một công cụ quan
trọng khi nghiên cứu sự tương quan giữa các thị trường, đo lường rủi ro của
danh mục các tài sản.
Khái niệm copula được Abe Sklar đưa vào xác suất thống kê từ năm
1959, nhưng chỉ trong khoảng 2 thập kỷ trở lại đây lý thuyết copula mới phát
triển mạnh, do nhu cầu ứng dụng trong quản lý rủi ro tài chính.


10

Để đơn giản, đối với tất cả các định nghĩa sau chúng ta sẽ chỉ tập trung

vào trường hợp hai biến.
1.2.1. Copula và copula sống sót
Hàm phân phối hai biến FX ,Y của hai biến ngẫu nhiên X và Y với các
phân phối biên Fx . và Fy . có thể được viết dưới dạng:
FX ,Y  x, y   P  X  x, Y  y 

(1.4)

 C  FX  x  , FY  y   .

trong đó C .,. xác định trên 0, 1  0, 1 được gọi là copula của hai biến
ngẫu nhiên X và Y , và xác định duy nhất nếu các biến ngẫu nhiên có phân
phối biên liên tục. Hơn nữa, copula là bất biến đối với các phép biến đổi tăng
ngặt của các biến ngẫu nhiên (đã được chứng minh trong tài liệu [14] (2006)),
do đó nó là một độ đo thực hoặc là một thang đo bất biến sự phụ thuộc. Ta kí
hiệu hàm sống sót đồng thời P  X  x, Y  y  bởi FX ,Y  x, y  khi đó ta có thể
viết:

FX ,Y  x, y   1  FX  x   FY  y   FX ,Y  x, y 

(1.5)

 C FX  x  , FY  y .

trong đó C .,. xác định trên 0,1  0,1 được gọi là copula sống sót của hai
biến ngẫu nhiên X và Y .
1.2.2. Copula thực nghiệm
Nếu không biết hàm phân phối FX ,Y của hai biến ngẫu nhiên X và Y
và các hàm phân phối biên FX . và FY . , chúng ta có thể tính toán copula
thực nghiệm bằng cách đếm số các cặp mà thỏa mãn các ràng buộc cho trước.

Cho

 R , S  là hạng của mẫu ngẫu nhiên  X
k

k

thực nghiệm tương ứng được xác định như sau:

k

, Yk  , khi đó copula


11

Cn  FX  x   u, FY  y   v  

1 n  Rk
Sk

I
 u và
 v .

n k 1  n  1
n 1 

(1.6)

trong đó u, v0,1 và I là hàm chỉ tiêu.
Một số họ copula quan trọng như họ copula Elliptic, copula
Archimede,…có thể tham khảo trong [14] (2006).

1.3. Khái niệm và tính chất của hệ số phụ thuộc đuôi
1.3.1. Sự phụ thuộc nhiều chiều
Trong trường hợp nhiều chiều các khái niệm sự phụ thuộc trở nên khó
khăn và phức tạp. Dưới đây ta sẽ đưa ra một số khái niệm cơ bản để đo sự phụ
thuộc giữa các biến ngẫu nhiên.
Để đo sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên người ta thường sử dụng
sự tương quan tuyến tính. Tuy nhiên thực tế việc đo lường rủi ro bằng phương
pháp đó không cho ta những ước lượng rủi ro chính xác cao. Do đó, sự phụ
thuộc vào cấu trúc các biến ngẫu nhiên được biểu diễn bởi các copula lại cung
cấp cho ta một phương pháp tối ưu để nghiên cứu và liên kết phép đo sự phụ
thuộc giữa các biến ngẫu nhiên để đưa ra các ước lượng rủi ro với độ chính
xác cao nhất.
• Tƣơng quan tuyến tính
Định nghĩa 1.10. Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y với phương sai hữu hạn.
Khi đó hệ số tương quan (tuyến tính) giữa X và Y được biểu thị bởi công
thức:

r

Cov( X , Y )
Var( X ). Var(Y )

Với Cov( X ,Y )  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) là hiệp phương sai giữa X và Y ,
Var( X ),Var(Y ) kí hiệu là phương sai của X và Y .

12

• Sự phụ thuộc dƣơng
Giả sử rằng X   X1,..., X n  là vecto dòng ngẫu nhiên. Khi đó X được
gọi là PLOD (sự phụ thuộc dương dưới) nếu với mọi x   x1,..., xn  

n

,

n

P  X  x   P  X i  x i .

(1.7)

i 1

và X

được gọi là PUOD (sự phụ thuộc dương trên) nếu với mọi

x   x1,..., xn  

n

,
n

P  X  x   P  X i  xi .

(1.8)

i 1

Tổng quát,

x   x1,..., xn  

n

X

được gọi là phụ thuộc dương nếu với mọi

thì cả (1.7) và (1.8) đều thỏa mãn.

Định nghĩa cho NLOD (sự phụ thuộc âm dưới), NUOD (sự phụ thuộc
âm trên), và tổng quát NOD (sự phụ thuộc âm) có thể được giới thiệu bằng
cách đổi chiều các bất đẳng thức.
Nếu X có phân phối đồng thời F với các biên duyên Fi , i  1,..., n. thì
phương trình (1.7) tương đương với :

F  x1,..., xn   F1  x1 ...Fn  xn  ,
với mọi x 

n

(1.9)

và phương trình (1.8) tương đương với :
F  x1 ,..., xn   F1  x1 ...Fn  xn  , x  R n .

(1.10)

• Sự phụ thuộc góc phần tƣ
Sự phụ thuộc góc phần tư được xác định bởi sự phụ thuộc góc phần tư
dương (PQD) và sự phụ thuộc góc phần tư âm (NQD) là một khái niệm về sự
phụ thuộc của hai biến và với n  2 các khái niệm PUOD (sự phụ thuộc
dương trên) và PLOD (sự phụ thuộc dương dưới) tương đương với PQD. Cho
X và Y là cặp biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối đồng thời FX ,Y và


13

biên FX và FY . Hai biến X và Y được gọi là phụ thuộc góc phần tư dương
(PQD) nếu:

 x, y  

2

: FX ,Y  FX  x .FY  y .

(1.11)

và là sự phụ thuộc góc phần tư âm (NQD) nếu

 x, y  

2

: FX ,Y  FX  x .FY  y  .

(1.12)

ở đó các tính chất của sự phụ thuộc góc phần tư là bất biến dưới các phép biến
đổi tăng ngặt. Hai biến ngẫu nhiên X và Y là PQD nếu Cov  f  X  , g  Y  
dương với mọi hàm tăng f và g mà kỳ vọng E  f  X   , E  g Y   , và
E  f  X .g Y   đều tồn tại.

1.3.2. Các biến ngẫu nhiên liên kết
Các biến ngẫu nhiên X 1 ,..., X n được gọi là liên kết dương nếu với mỗi
cặp a và b các hàm thực không giảm xác định trên

n

thì

Cov  a  X 1 ,..., X n  , b  X 1,..., X n    0.

(1.13)

Nếu các biến ngẫu nhiên X 1 ,..., X n có các phân phối giá trị cực trị nhiều chiều
thì chúng được liên kết.
Một phân phối giá trị cực trị nhiều chiều G thỏa mãn điều kiện:
n

G  x1 ,..., xn    Gi ( xi ), x 

n

.

(1.14)

i 1

Các dạng của giới hạn phân phối nhiều chiều tương ứng với các trường
hợp của sự độc lập tiệm cận toàn phần:
n

G  x1 ,..., xn    Gi ( xi ).

(1.15)

i 1

và sự phụ thuộc tiệm cận toàn phần:

G  x1 ,..., xn   min G1  x1  ,..., Gn  xn .

(1.16)


14

giữa các thành phần cực đại với mọi x 

n

. Để hiểu thêm về sự phụ thuộc

tiệm cận toàn phần và sự độc lập tiệm cận toàn phần chúng ta có thể tham
khảo trong tài lệu tham khảo [4] (2000) và [8] (1983).
Các biến ngẫu nhiên độc lập từng cặp mà có phân phối đồng thời giá trị
cực trị nhiều chiều thì độc lập tương hỗ. Vì vậy việc nghiên cứu sự độc lập
tiệm cận có thể được giới hạn trong trường hợp hai biến.
Sự độc lập tiệm cận toàn phần chỉ xảy ra nếu phương trình (1.1) thỏa
mãn, và tồn tại x 

n

sao cho 0  G j  x j   1 với j  1,..., n và

n
Fj n  an , j x j  bn , j  
 G j  x j .

Hơn nữa phương trình (1.15) chỉ xảy ra với mọi x 

(1.17)
n

nếu:

Gi là phân phối Gumbel chuẩn hoặc
Gi là phân phối Frechet hoặc
Gi là phân phối Weibull.
Tương tự với các điều kiện thỏa mãn cho trường hợp phụ thuộc tiệm

cận toàn phần. Sự phụ thuộc tiệm cận chỉ xảy ra nếu phương trình (1.1) thỏa
mãn, và tồn tại x 

n

sao cho 0  G1  x1   ...  Gn  xn   1 và

n 
F n  a1  b1.x1 ,..., an  bn .xn  
 G1  x1  .

(1.18)

1.3.3. Sự phụ thuộc đuôi
Nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi của các biến ngẫu nhiên được coi là một
phương pháp hiệu quả để ước lượng rủi ro khi gặp các biến cố hiếm. Người
đầu tiên đưa ra lý ‎thuyết này là Sibuya trong tài liệu [17] (1960) và được phát
triển lên bởi Ledford và Tawn trong [10] (1960), ông nghiên cứu hệ số phụ
thuộc đuôi giữa hai tài sản X và Y, được xác định là giới hạn của xác suất để
tài sản X chịu lỗ lớn (hoặc lãi lớn) với giả sử rằng tài sản Y cũng phải chịu lỗ


15

lớn (hoặc lãi lớn), xác suất này xác định từ các đuôi cực trị của phân phối lợi
suất của hai tài sản.
Cụ thể hơn các hệ số phụ thuộc đuôi cho biết mức độ phụ thuộc của giá
2 cổ phiếu A và B trong điều kiện thị trường có biến động bất thường. Hệ số
phụ thuộc đuôi trên cho biết sau một phiên giao dịch khả năng để xảy ra tình
huống giá cổ phiếu B sẽ tăng mạnh (hoặc giảm mạnh) vượt qua một biên độ

lớn nào đấy khi biết rằng giá cổ phiếu A đã tăng mạnh (hoặc giảm mạnh) vượt
trên mức biên độ lớn nào đó.
Định nghĩa 1.11. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm
phân phối Fi và F j . Khi đó hệ số phụ thuộc đuôi trên ij được xác định bởi:

ij  lim P X  Fi 1  u  | Y  Fj 1 u ,
u 1

(1.19)

tồn tại với ij   0;1 , Fi 1 (u), Fj1 (u) lần lượt biểu diễn các điểm phân vị của
tài sản X và Y tại u.
• Nếu ij   0;1 thì X và Y là phụ thuộc tiệm cận ở đuôi trên.
• Nếu ij  0 thì X và Y là độc lập tiệm cận ở đuôi trên.
Vì hệ số phụ thuộc đuôi có thể được biểu diễn theo copula của X và Y nên ta
có một định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.11 được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.12. Nếu tồn tại một copula C hai chiều mà

C  u, u 
1  2u  C  u, u 
tồn tại, khi đó C có sự phụ thuộc

lim
u 1 1  u
u 1
1 u

ij  lim

đuôi trên nếu ij   0;1 , và không có sự phụ thuộc đuôi trên nếu ij  0 .

Hoàn toàn tương tự, ta có định nghĩa về sự phụ thuộc đuôi dưới.
Định nghĩa1.13. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm
phân phối Fi và F j . Khi đó hệ số phụ thuộc đuôi dưới ij được xác định bởi:

ij  lim P X  Fi 1  u  | Y  Fj 1  u ,
u 0

(1.20)


16

tồn tại với ij   0;1
• Nếu ij   0;1 thì X và Y là phụ thuộc tiệm cận ở đuôi dưới.
• Nếu ij  0 thì X và Y là độc lập tiệm cận ở đuôi dưới.
Một định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.13 được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.14. Nếu tồn tại một copula C hai chiều mà ij  lim
u 0

C  u, u 
u

tồn tại, khi đó C có sự phụ phụ thuộc đuôi dưới nếu ij   0;1 , và không có
sự phụ thuộc đuôi dưới nếu ij  0 .


17

Chƣơng 2
ƢỚC LƢỢNG HỆ SỐ PHỤ THUỘC ĐUÔI

Nhiều khái niệm và cách ước lượng khác nhau đã được phát triển để
tính toán hệ số phụ thuộc đuôi như đã mô tả ở phương trình (1.19) và (1.20).
Chương này chúng ta trình bày và mô tả chi tiết các khái niệm quan trọng
nhất cho việc ước lượng sự phụ thuộc đuôi cũng như phần bù của chúng, và
phân tích việc thực hiện tính toán các hệ số.
2.1. Ƣớc lƣợng theo Poon, Rockinger và Tawn
Trong tiểu mục đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu với một số khái niệm để
ước lượng các độ đo phụ thuộc cho cực trị nhiều chiều đã được giới thiệu bởi
Poon, Rockinger, và Tawn xuất bản năm 2004 trong [11] (2004), với một số
giải thích thêm được cung cấp bởi Heffernan, Coles, Heffernan và Tawn,
Ledford. Sau đó ta sẽ đi vào một số chi tiết liên quan đến ước lượng phi tham
số các độ đo của đề tài và phù hợp với các mô hình tham số. Trong tiểu mục
thứ hai, ta sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về việc thực hiện ước lượng phi
tham số cho sự phụ thuộc tiệm cận  và độc lập tiệm cận  .
2.1.1. Nền tảng lý thuyết
Trong tiểu mục này, chúng ta sẽ được cung cấp một cái nhìn tổng quan
về các khái niệm và các ước lượng khác nhau để mô tả sự phụ thuộc tiệm cận
và độc lập tiệm cận trong trường hợp hai biến.
Các độ đo độc lập cho cực trị nhiều chiều
Để giảm bớt các thông tin chứa trong copula C cho một tham số duy
nhất, hai độ đo của sự phụ thuộc cực trị χ và  đã được giới thiệu trong tài
liệu tham khảo [13] (1999). Cả hai biến đều cần phải kiểm tra xem là phụ
thuộc tiệm cận hay độc lập tiệm cận. Đầu tiên lợi suất của hai biến X và Y


18

được chuyển sang các hàm biên duyên Frechet S và T bởi lợi suất tài sản rủi
ro có phân phối đuôi dày:

S  1/ log  FX  x  

T  1/ log  FY  y  .

(2.2)

trong đó FX và FY là các hàm phân phối biên của X và Y . Các hàm S và T
có cấu trúc phụ thuộc như X và Y và cùng trên một thang chung, có nghĩa là
các biến cố có dạng S  s và T  s với s lớn, tương ứng với các biến cố cực
trị của mỗi biến. Sự phụ thuộc tiệm cận  được cho bởi:

  lim P T  s | S  s 
s 

P T  s, S  s 
,
s 
PS  s

 lim

(2.3)

hoặc biểu diễn theo copula C :
1  2u  C  u , u 
u 1
1 u
1  C  u, u 
 lim 2 
u 1

1 u
log C  u , u 
 lim 2 
,
u 1
log u

  lim

(2.4)

với 0    1, χ bằng với hệ số phụ thuộc đuôi trên được cho bởi phương
trình (1.20). Như đã đề cập ở chương trước, S và T là phụ thuộc tiệm cận nếu
χ>0, và là phụ thuộc hoàn hảo nếu χ=1. Nếu χ=0, thì S và T độc lập tiệm cận.
Phần bù  được phát triển bởi Ledford và Tawn (1996) đã chỉ ra sự
phụ thuộc cực trị của các biến độc lập tiệm cận, nghĩa là với χ=0:

  lim
s 

2log  P  S  s  

log  S  s, T  s 

2log 1  u 
 1,
s  log C u , u
 

 lim

1

(2.5)

(2.6)


19

trong đó 1    1 , và  là một độ đo tỉ số mà tại đó P T  t \ S  s  xấp xỉ
bằng không. Trường hợp phụ thuộc hoàn hảo   1, trường hợp độc lập

  0 . Do đó, các giá trị của   0 chỉ ra rằng S và T là liên kết dương, và
  0 chỉ ra rằng S và T liên kết âm. Đối với cấu trúc phụ thuộc chuẩn của
hai biến,    , được kí hiệu là hệ số tương quan. Các ví dụ khác được liệt kê
trong tài liệu của Heffernan [7] (2000).
Trước khi đưa ra kết luận về sự phụ thuộc tiệm cận dựa trên  , điều
quan trọng để kiểm tra nếu   1. Đối với các biến phụ thuộc tiệm cận,   1
có bậc phụ thuộc xác định bởi   0 và đối các biến độc lập tiệm cận,   0
với bậc phụ thuộc xác định bởi  .
Ƣớc lƣợng phi tham số của  và 
Đuôi của một biến đuôi dày Y trên một ngưỡng k được xác định bởi:

P Y  y   L  y . y  với y  k .

(2.7)

trong đó L  y  là hàm biến thiên chậm của y , nghĩa là
L  k. y 

 1 với mọi y  0.
k  L  k 

lim

(2.8)

Khi đó chỉ số đuôi  được ước lượng bởi ước lượng Hill:
1

1 k Y 
    ln j , N  ,
 k j 1 Yk , N 

(2.9)

và L  y  được coi như là hằng số với y  k được ước lượng bởi:

L y 


k
.Yk , N  ,
N

(2.10)


20

với Y1, N  Y2, N  ...  YN , N kí hiệu cho thống kê mẫu được sắp thứ tự của N biến
độc lập và cùng phân phối của vecto lợi suất thị trường Y và k là giá trị của
ngưỡng biểu thị cho giá trị cực trị nhỏ nhất mà vẫn tính đến đuôi của phân phối.
Ledford và Tawn trong tài liệu tham khảo [10] (1996) đã mô tả sự biến
đổi đuôi đồng thời bởi hằng số  kí hiệu cho hệ số phụ thuộc đuôi và hàm
biến thiên chậm L  s  và được thiết lập dưới các điều kiện yếu:

P  S  s,T  s  L  s .s 1/ khi s  ,

(2.11)

với 0    1. Từ sự biểu diễn trong tài liệu [13] (1999) ta suy ra:

  2  1,

(2.12)

c nÕu   1 vµ L  s   c  0 khis  


  0 nÕu   1 vµ L  s   0
khi s   .


0 nÕu   1

(2.13)

  1 tướng ứng với   1 và lợi nhuận   lim L  s  . Do đó ước lượng  và
s 

lim L  s  cung cấp cơ sở cho việc ước lượng  và  .
s 

Theo giả thiết cho trường hợp hai biến, đặt Z  min S ,T  :
P  Z  z   P  min  S,T   z 
 P  S  z,T  z 
 L  z .z 1/ 

(2.14)
víi z  Z k,N .

với ngưỡng k nào đó đủ lớn.
Bởi vì  là chỉ số đuôi của một biến Z nên nó có thể được ước lượng bởi
phương trình (2.9) theo ước lượng Hill bằng cách hạn chế trên nửa khoảng

 0,1

và lim L  s  có thể được ước lượng bằng cách sử dụng phương trình
s 