Chuyên đề tích phân lượng giác cơ bản

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề tích phân lượng giác
Để học phần này các em cần phải nhớ các nội dung sau : Đó kiến thức nguyên hàm của hàm lượng giác
cơ bản , các công thức lượng giác như hạ bậc …:

1

 sin xdx  cox  C

 sin axdx   a cos ax  C

 cos dx  sin x  C

 cos axdx  a sin ax  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

1

1

dx  tgx  C

 cos

dx  cotgx  C

 sin

2

1
2

ax

dx 

1
tgax  C
a

1
dx   cotgx  C
ax
a

Công thức hạ bậc cần nhớ :
1  cos 2 x
2
1  cos 2 x
sin 2 x 
2
cos 2 x 

1
cos 2 x
1
cot 2 x  1  2
sin x

tg 2 x  1 

3cos x  cos 3x
4
3sin x  sin 3 x
cos 3x  3sin x  4sin 3 x  sin 3 x 
4
cos 3x  4 cos3 x  3cos x  cos3 x 

Công thức tính phân :



b

a

f ( x)dx  F ( x)

b
 F (a)  F (b) (1)
a

Vì vậy công việc tính tích phân quan trọng nhất vẫn là tìm được nguyên hàm của hàm số , còn việc thay
cận a , b vào F(x) như công thức (1) trên rất dễ dạng , chỉ là tính toán mà thôi .
Bai 1 :
Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 1


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC







2
0

sin 2 xdx   2



0





1  cos 2 x
1
cos 2 x
1
1

dx   2 dx   2
dx  x 2  sin 2 x 2 
0
0
2
2
2
2
4
4
0
0

(kinh nghiệm khi có bậc cao , các em nên hạ bậc rồi tiếp tục công việc tiếp theo dung các hàm cơ bản các
em nhé )


Bài 2 :

4
0



tgxdx 

Giải :




4
0

4
0



tgxdx  




sin x
d (cos x)
2

1
dx   4
  ln cos x 4  (ln
 ln1) 
0
cos x
cos x
2
2
0

Bài toán này thầy đặt : t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt
Bài 3 :

2
0




5



cos xdx   cos x.cos xdx   2 (1  sin 2 x)2 .cos xdx
2
0

4

0

Đặt : sinx = t => dt = cosx dx
x=


2

t = 1

x = 0 t = 0



1

0

1

(1  t 2 )2 dt   (1  2t 2  t 4 )dt (t 
0

2t 3 t 5 1
2 1 8
 )  (1   ) 
3
5 0
3 5 5

Các em thấy đấy , khi có sinx ,hoặc cosx mũ lẻ thì chúng ta làm công việc tách ra như trên :

cos5 x  cos 4 x.cos x  (1  sin 2 x) 2 .cos x
Bài toán trên các em có thể làm thế này thì nó chuyên nghiệp hơn nhé :

2
0




2

2

2
0

(1  sin x) d sin x  





2sin 3 x sin 5 x
8
(1  2sin x  sin x)d (sin x)  2  (sin x 

) 2
3

5
5
0
0
2

4

Tức là ta đã không cần đổi biến và sử dụng công thức vi phân sau : d(sinx)=cosx.dx
Bài 4 : Tinh :
Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 2


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC


2

I=



6


2



6

1
dx
sin 3 x




1
sin x
sin x
 d (cos x)
2
2
dx  
dx  
dx  2
3
4
2
2
2
2
sin x
6 sin x
6 (1  cos x)
6 (1  cos x )

Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx   dt

x
x


2


6

t 0
t 

1
2

1
dt
1
1 12 1
1 2
1 12
1
1
1
1
2

[

]
dt

[

]
dt

[
 2.
.

]dt
2 2
2
2
2



0 (1  t )
4 0 1 t 1 t
4 0 (1  t )
1  t 1  t (1  t ) 2
2 (1  t )
0

I  1



1 12 1
1 12 1
1
1 12 1
dt

.
dt

dt
4 0 (1  t ) 2
2 0 (1  t ) (1  t )
4 0 (1  t )2

Tinh :

1
1 12 1
1 1
1 2
1
dt   .
2   .(  1) 
2

0
4 (1  t )
4 (1  t )
4 3

12
0
1
1 12 1
1
1 12 1
1
1 1 t
1
.
dt   (

)dt  ln
 ln 3
2

2 0 (1  t ) (1  t )
4 0 (1  t ) (1  t )
4 1 t
4
0
1
1 12 1
1 1
1
dt  .
2
2

0

4 (1  t )
4 1 t
4
0
Vậy : I =

1 1
+ ln 3
3 4

Biện luận : Bài này vẫn có hàm số Cosx mũ lẻ ở mẫu , chính vì vậy mà chúng ta nhân cả tử và mẫu với
cosx để được như sau :

1
sin x
sin x


3
4
sin x sin x (1  cos 2 x) 2

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 3


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC

Tương tự với hàm

1
1
1
1
1
1
, 5 ,
,
, 3
,
...
3
sin x sin x cos x sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos3 x

Kinh nghiệm : Với hàm sinx và cosx mũ lẻ ta sẽ tìm cách nhân thêm (dạng phân thức sin 3 x …) hoặc
tách(dạng không phân thức

1
1
1
, 5 ,
) để tạo ra hàm chẵn với sinx , cosx
sin x sin x cos3 x

II.Sử dụng nguyên hàm :
1

 cos

2

x

dx  tgx  C

Bài 5 :


I  4
0


4
0

I 

1
dx
cos 4 x

1
1
1
dx   4
.
dx
4
2

0
cos x
cos x cos 2 x

Ta dung phương pháp đổi biến :

t  tgx  dt 

1
dx
cos 2 x

x0t 0
x


4

 t 1

1
 tg 2 x  1  t 2  1
2
cos x

1
1
1
t2 1 4
2

I  4
.
dx

(1

t
)
dt

(
t

) 
0
0 cos 2 x cos 2 x
3 0 3


Bài 6 : I 

4
0



sin 2 x
dx
cos 4 x

t  tgx  dt 

1
dx
cos 2 x

x0t 0
x


4

 t 1

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 4


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC


4
0

I 



1

sin 2 x
sin 2 x
1
t3 1 1
2
2
4
4
dx

.
dx

tg
xdx

t
.
dt


0 cos2 x cos2 x 0
0
cos 4 x
3 0 3

Bài 7 :


I  4

0



I  4
0

sin 2 x
dx
cos6 x

sin 2 x
sin 2 x
1
1
4
dx

.
.
.dx
6
2
2

0 cos x cos x cos 2 x
cos x

Đổi biến : t  tgx  dt 

1
dx
cos 2 x

x0t 0
Đổi cận :



I  4
0

x


4

 t 1




sin 2 x
1
1
2
2
2
4
4 2

4
.
.
.
dx

tg
x
.(1

tg
x
)
d
(
tgx
)

t
.(1

t
)
d
(
t
)

(t 2  t 4 )d (t )
2

2
2



0
0
0
cos x cos x cos x

1

I   (t 2  t 4 )d (t )  (
0

t3 t5 1 8
 ) 
3 5 0 15

1
1
1
1
sin 2 x
hay
,
,
,
,ta thường hay nghĩ đến việc t =
cos 2 x

sin 2 x sin 4 x cos 4 x cos 6 x
1
1
tgx hoặc t = cotx , nếu có dạng
,
các em đặt t = cotx nhé .
2
sin x sin 4 x
Bình luận : Với bài toán có

BÀI TẬP CHO HỌC SINH TỰ LUYỆN – CÓ BÀI NÀO KHÔNG GIẢI ĐƯỢC CÁC EM ĐĂNG LÊN TRÊN NHÓM
ĐỀ CÙNG THẢO LUẬN , NHƯ THẾ SẼ GIÚP CÁC EM HỌC TỐT HƠN VÀ NHỚ BÀI LÂU HƠN .
TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU ĐÂY :




1)

3
0



2

Sin x .tgxdx

2)

2
0







4)

6
0





7)



0

1  4 Sinx .Cosx .dx

5)

Sin 2 x.Cos 3 x.dx

8)

2
0



3)

 Cos
2
0

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

3

2
0



Sin 3 x .Cosx .dx


dx
2  Sinx



2



Sinx
dx
1  3Cosx

6)

4
0



dx
Cos 4 x



x  Sin 3 x .dx
Page 5


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC



9)



3

4
 tg x.dx



Cosx  Sinx
dx
15) 
1  Sin2 x
0

0



18)

0



4

dx
21) 
1  tgx

0


2

dx
24) 
2  Sinx  Cosx
0

0

4

Sin4 x
dx
x  Cos 4 x

Sin 3 x
22) 
dx
2
Cos
x
0

28)

x.dx





20)

0



23)

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

x) 3 dx

2

Cos 3 x.Cos5 x.dx

dx

0

26)

4

1  Sin 2 x
dx

2
0 Cos x





3

4

2

 Sinx  Cosx


Sin 2 x
 6 dx
 Cos x

2

0

2



3

 Sin2 x(1  Sin

16)

4

Cosxdx
25) 
1  Cosx
0

1

dx
27) 
4
0 Sin x.Cosx



4

 Sin



3

 tg


14)

dx

4

4



Cosx
7  Cos 2 x

0



Cosx.dx
6  5Sinx  Sin 2 x

1
dx
16) 
1  Sin 2 x
0

2

3

 Sinx.Cosx(1  Cosx) dx

6



13)









2



11)

0

2

Cosx
dx
12) 
2

11

7
Sinx

Cos
x
0

17)

3
 Cos x.dx

10)

4





2

29)

2



4

dx
Sin 4 x

Page 6


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN : LƯỢNG GIÁC

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 7