các dạng bài và phương pháp giải Phép chia hết

A) Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên:
I/ Tính chất chung:
1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
2/ a  b vaøb  c  a  c
3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0.
4/ Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
II/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu
5/ Nếu a  m và b  m thì a  b m vaøa  b m (a  b)
6/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
III/ Tính chất chia hết của tích
7/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
8/ a  m, b n  ab  mn
IV/ Hệ quả:
1/ a  b  a n  b n (n>0)
2/ a  m, a  n , (m, n)  1  a  mn
3/ Nếu tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m
thì số còn lại cũng chia hết cho m.
4/ Nếu ac  b và (a, b) =1 thì c  b
5/ Nếu a  b, c  b và (m, n  N) thì a.m + c.n  b (b  0)
6/ a  b và c  d  ac  bd
7/ am  k.am (k  N)
8/ a m; bm  k1a+k2bm
B) Một số dấu hiệu chia hết
Gọi N = a n a n1...a1a 0
1. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2  chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.
 N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}
2. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5  chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
 N  5  a0  5  a0{0; 5}

3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)  số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.
 N  4 (hoặc 25)  a1a 0  4 (hoặc 25)

4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)  số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125.
 N  8 (hoặc 125)  a 2 a 1a 0  8 (hoặc 125)

5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)  tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
Phạm Ngọc Tâm

1

Trường THCS Tiến Thành


 N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xét tính chia hết của một tổng hoặc hiệu
Phương pháp:
Ta sử dụng các tính chất



Nếu a  m và b  m thì a  b m vaøa  b m (a  b)



Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m

thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.

Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 8 không?
a)
48 + 56 + 112
b)
160 – 47
Giải:
a) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:

488 

568   (48  56  112) 8
1128
b) 160  8 mà 47  8 nên 160 - 47  8
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính, chứng tỏ rằng:
a) 34.1991 chia hết cho 17.
b) 2004. 2007 chia hết cho 9.
c) 1245. 2002 chia hết cho15.
d) 1540. 2005 chia hết cho 14.
Hướng dẫn:
Ta dùng tính chất sau:

a  c; a , b, c  N ( c  0)  a.b  c
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó.
Giải:
a) 34.1991 = 17.2.1991
Vì 17 chia hết cho 17 nên 17.2.1991 hay 34.1991
b) 2004. 2007 chia hết cho 9
2007 có tổng các chữ số bằng 9, mà 9 chia hết cho 9 nên 2007  9

Do đó 2004. 2007  9
c) 1245. 2002 chia hết cho15
1245 có tận cùng là chữ số 5 nên 1245  5
Do đó 1245. 2002 chia hết cho 5.
1245 có tổng các chữ số là 1+2+4+5 = 12; 12 3 nên 1245  3
Do (5,3) = 1.
Vậy 1245. 2002 chia hết cho15
d) 1540. 2005 chia hết cho 14.
Phạm Ngọc Tâm

2

Trường THCS Tiến Thành


1540 = 14. 110
Ta có 14  14 nên 14.110  14 hay 1540. 2005  14 .
Vậy 1540. 2005 chia hết cho 14.
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 40
b) 1.2.3.4.5.6 - 32
Hướng dẫn:
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5. Từ đó xét thừa
số cũng lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự như bài tập 1.
Giải:
a) 1.2.3.4.5.6 5 và 40 5  1.2.3.4.5.6 + 40
b) 1.2.3.4.5.6 5 và 32  5  1.2.3.4.5.6 - 32  5
Bài tập 4: Cho A = 2.4.6.8.10.12+ 40. Hỏi A có chia hết cho 5, cho 6, cho 8 không?
Hướng dẫn:
Ta sử dụng tính chất



Nếu a  m và b  m thì a  b m vaøa  b m (a  b)



Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m.
Giải:
* 2.4.6.8.10.12  5 và 40  5  2.4.6.8.10.12+ 40 5  A 5
* 2.4.6.8.10.12  6 và 40  6  2.4.6.8.10.12+ 40 6  A 6
* 2.4.6.8.10.12  8 và 40  8  2.4.6.8.10.12+ 40 8  A 8

Từ đó ta kết luận: A  5, A  6, A  8
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng: (49.a + 72)  7 với a  N
Giải:
Ta có: 49.a  7 với a  N và 72  7  (49.a + 72)  7 với a  N
Bài tập 6 : Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x  N. Tìm x để:
a)
A chia hết cho 2
b)
A không chia hết cho 2
Phương pháp: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng ( hoặc ) chia hết cho một số.
Nhận xét: Ba số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2. Muốn tổng A chia hết cho 2 thì x phải
là một số chia hết cho 2. Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2.
Giải:
a) Ta có: 122, 142, 162.
Để A = (12 + 14 + 16 + x) 2 thì x2. Vậy x= 2.k (k  N)
b) Ta có: 122, 142, 162.
Để A = (12 + 14 + 16 + x)  2 thì x  2. Vậy x= 2.k+1(k  N)

Dạng 2: Nhận biết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9
Phạm Ngọc Tâm

3

Trường THCS Tiến Thành


Bài tập 1: Cho số : 21780; 325; 1980; 176. Hãy cho biết các số trên chia hết cho những số nào
trong các số sau ( 2; 3; 5; 9 )?
Hướng dẫn:
a) Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ
số chia hết cho 9.
b) 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5.
c) 176 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 6 (chữ số chẵn).
d) 1980 chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9 (vì có chữ số tận cùng là 0 và có tổng các chữ số
chia hết cho 9).
Bài tập 2: Dùng ba trong bốn chữ số: 8; 3; 1; 0. Hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số
sao cho số đó:
a) Chia hết cho 9.
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
Hướng dẫn:
a) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là 8; 1; 0. Vậy các số lập được là:
810; 180; 108; 801
b) Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là 8; 3;
1. Vậy các số lập được là: 813; 831; 381; 318; 183; 138
Dạng 3: Viết các số chia hết cho 2, 3, 5, 9, 4, 8, 25, 125 từ các số hoặc chữ số cho trước.
Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 4, 8, 25, 125
Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để được số 54 * chia hết cho 2
Hướng dẫn học sinh:

Số 54 * = 540 + *
Để 54 * chia hết cho 2 thì *  0;4;6;8
Vậy các số tìm được là: 540; 542; 546; 548.
Bài tập 2: Điền chữ số vào dấu * để được số * 85 thoả mãn:
a) Chia hết cho 2.
b) Chia hết cho 5
Hướng dẫn học sinh:
a) Số * 85 có chữ số tận cùng là 5 mà 5 không chia hết cho 2
 số * 85 không chia hết cho 2
Vậy ta không tìm được * để * 85 chia hết cho 2.

Phạm Ngọc Tâm

4

Trường THCS Tiến Thành


b) Số * 85 có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số

* 85 đều chia hết cho 5.
Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985.
Bài tập 3: Điền chữ số vào dấu * để 3 * 2 chia hết cho 9.
Hướng dẫn học sinh.
Ta có 3 * 2 chia hết cho 9 thì ( 3 + * + 2 ) phải chia hết cho 9
Hay ( 5 + * )  9
Vậy * = 4
Ta có số cần tìm là 342
Bài tập 4: Điền chữ số vào dấu * để * 81 * chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 ( trong một số có nhiều dấu *
các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các số giống nhau).

Hướng dẫn học sinh.
Vì * 81 * chia hết cho 2 và 5 nên * 81 * có * tận cùng là 0, ta có số * 810
Mặt khác ta có * 810 chia hết cho 3 và 9 mà 9 3
nên

(*+8+1+0) 9

nghĩa là

(* + 9 )  9

Vây * = 9 ( Vì là * đầu tiên của một số nên không thể bằng 0 )
Ta có số cần tìm là 9810
Bài tập 5: Tìm chữ số x để:( 3x4 - 12) 3
Hướng dẫn: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3. Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết
cho 3 để tìm chữ số x.
Giải:
Ta có: ( 3x4 - 12) 3
Mà 12  3
Nên 3x4  3
Hay 3+x+4  3
Do đó 7+x  3, và do 0  x  9
Vậy x  { 2; 5; 8}
Bài tập tương tự : Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125
b) Số 9xy4 chia hết cho 2, cho 4, cho 8
Đáp số:

a) 275x  5  x  {0; 5}

275x  25  x  {0}
275x  125  x  {0}
b) 9xy4  2  x, y  { 0,1,2,…,9}
Phạm Ngọc Tâm

5

Trường THCS Tiến Thành


9xy4  4  x  { 0,1,2,…,9}; y { 0,2,4,6,8}
9xy4  8  x  { 0,2,6,8} và y { 2,6} hoặc x { 1,3,5,7,9}và y  { 0,4,8}

Bài tập 6: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1  am.n
Giải:
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 ; 0để a56b  45  a56b  5 và 9
Xét a56b  5  b  {0 ; 5}
Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 11  9  a = 7
Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 16  9  a = 2
Vậy các số phải tìm là 7560 ; 2560
Bài tập 7: Tìm các chữ số x, y sao cho 34x5y  4 và 9
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1  am.n
Giải:
Để 34x5y  4 thì 5y  4, khi đó y = 2 hoặc y = 6
* Với y = 2, để 34x5y  9 thì 3+4+x+5+2  9, do đó x = 4
* Với y = 6, để 34x5y  9 thì 3+4+x+5+6  9, do đó x = 0 hoặc x = 9


x = 4 và y = 2



x = 0 và y = 6



x = 0 và y = 6

Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34052 ; 34952
Từ lời giải của các bài toán trên kết hợp với các dấu hiệu chia hết khác có thể nêu lên và giải
được nhiều bài toán tương tự như : Tìm các chữ số x, y sao cho: 34x5y  15; 34x5y  18; 34x5y  55
Dạng 4: Phân tích tìm ra thừa số chung để chứng minh chia hết.
4.1 Sử dụng tính chất chia hết kết hợp với cách viết một số về tổng các lũy thừa của 10.
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a) ab  ba chia hết cho 11.
b) ab  ba chia hết cho 9 với a > b.
Giải:
a) Ta có ab  ba = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11
Vậy ab  ba  11.
b) Ta có : ab  ba

= (10a + b) – (10b + a) với a > b
= 9a – 9b
= 9 (a – b)
Vì 9  9 nên 9 (a – b)  9
Vậy ab  ba  9

Phạm Ngọc Tâm

6

Trường THCS Tiến Thành


Bài tập 2: Cho abc - deg  7. Chứng minh rằng: abc deg  7
Giải:
Tacoù: abc deg  1000abc  deg  1001abc  (abc  deg )
 7.143abc  (abc  deg )

Mà 7.143 abc 7 và abc - deg  7 nên 7.143. abc - ( abc - deg )  7
Do đó: abc deg  7
Bài tập tương tự: Cho abc + deg  37. Chứng minh rằng: abc deg  37
Giải:

Tacoù: abc deg 1000abc  deg  999abc  (abc  deg)
 27.37abc  (abc  deg)
Do 27.37abc 37; (abc  deg) 37; Vaä
y : abc deg 37
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai
chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
Giải:
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab .( 0 < a  9, 0  b  9, a,b  N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
abba  1000a  100b  10b  a
 1001a  110b  7.11.13a  11.10b 11
Vaä
y : abba 11

Bài tập 4: Cho số abc 37 . Chứng minh rằng số bca  37 và cab  37
Giải:
Theo đề:

abc 37 nên 100a+10b+c  37

 100a+10b+c = 37.k (k  N)
Ta có: abc  bca  cab = 100a+10b+c +100b+10c+a+100c+10a+b
= 111a+111b+111c
= 111(a+b+c)
= 37.3.(a+b+c)
 abc  bca  cab  37
Mà bca =100b+10c+a
= 10.10b+ 10.c+ 10.100a - 999a
=10.(100a+10b+c)- 999a
=10.37k - 37.27ª
 bca  37
Ta thấy: abc  bca  cab  37 mà abc 37 và bca  37  cab  37
Bài tập 5: Chứng minh rằng: nếu ab  cd  eg 11 thì abc deg 11
Giải:

Phạm Ngọc Tâm

7

Trường THCS Tiến Thành


Ta coù: abc deg 10000ab 100cd  eg  9999ab  99cd  (ab  cd  eg)
Do 999911; 9911;(ab  cd  eg)11

Vậy : abc deg 11
Bài tập 6: Chứng minh rằng : ab  2cd  abcd  67
Giải:
Ta có abcd  100ab  cd
Mà:

ab  2cd

Suy ra: abcd  200cd  cd  201cd  3.67cd  67
Vậy:

abcd  67

Bài tập 7: Cho số N = dcba . Chứng minh rằng:
a. N  4  (a + 2b)  4
b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn
Hướng dẫn : a) Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 và tính chất chia hết của một tổng.
Giải:
a. N4  b a 4  10b + a  4  8b + (2b + a) 4  a + 2b4
b. N16  1000d + 100c + 10b + a  16
 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16
 a + 2b + 4c + 8d 16 (với b chẵn)
Bài tập 8: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N). Chứng minh rằng (10a + b) chia hết cho 13.
Giải:
Đặt : a + 4b = x
10a + b = y
Theo đề cho x chia hết cho 13, ta cần chứng minh y chia hết cho 13
Cách 1:
Xét biểu thức
10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b )

=10a + 40b – 10a – b
= 39b
Suy ra : 10x - y  13
Do x  13 nên 10x  13
Ta đã có 10x - y  13
Do đó y  13
Vậy 10a + b  13
Nhận xét: hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y) nhằm khử a
tức là làm cho hệ số của a bằng 0.
Cách 2: Xét biểu thức
4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b )
= 40a + 4b – a – 4b
= 39.a
Phạm Ngọc Tâm

8

Trường THCS Tiến Thành


Suy ra: 4y - x  13
Do x  13 nên 4y  13
Mà (4,13) = 1 nên y  13 hay 10a + b  13
Nhận xét: hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1. Nên xét biểu thức (4y – x) nhằm khử b.
Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + b )
=3a + 12b +10a + b
= 13a + 13b
= 13.(a+b)
Suy ra: 3x + y  13

Do x  13 nên 3x  13
Mà ta đã có : 3x + y  13
Suy ra: y  13 hay 10a + b  13
Cách 4:Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9.( 10a + b )
= a + 4b + 90a + 9b
= 91a + 13b
= 13.( 7a + b)
Suy ra: x  9y  13
Do x13 nên 9y13
Ta có: (9;13)=1
Nên y13 hay 10a + b13
Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một số hạng chia
hết cho 13. Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13.
4.2 Chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia A(n) cho k.
Bài tập 1 : Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Giải:
a) Viết tích của hai số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1).
Có hai trường hợp xảy ra :
+ n  2  n(n + 1)  2
+ n không chia hết cho 2 (n lẻ)  (n + 1)  2  n(n +1)  2
b) Viết tích của ba số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1)(n+2).
Xét mọi trường hợp: n chia hết cho 3; n chia 3 dư 1 (n =3q+1); n chia 3 dư 2 (n = 3q+2) (q  N)
+ Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
+ Nếu n = 3q+1 thì n+2 = 3q+3= 3.(q+1)
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+2  3. Suy ra A(n)  3
+ Nếu n = 3q+2 thì n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 = 3.(q+1) chia hết cho 3
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+1  3. Suy ra A(n)  3

Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
Bài tập 2: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
Phạm Ngọc Tâm

9

Trường THCS Tiến Thành


a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 6.
Giải:
a/ (n + 10 ) (n + 15 )
 Khi n chẵn  n = 2k (k  N).
Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) chia hết cho 2.
 Khi n lẻ  n = 2k + 1 (k  N).
Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)
= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2.
b/ Đặt A = n (n + 1)(n + 2)
* Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ, số chẵn chia hết cho 2 nên A chia
hết cho 2.
*- Trường hợp: n = 3k (k  N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1)
- Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
 Khi n = 3k + 1  A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A
chia hết cho 3. (2)
Khi n = 3k + 2  A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên
A chia hết cho 3. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3.
Do (2, 3) = 1. Vậy A chia hết cho 6.

Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với  n  N, thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Giải:


Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n+ 7=7(n + 1) là số chẵn với n  N
 A(n)  2 (1)
Ta chứng minh A(n)  3
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + r (k  N)
Với r  {0; 1; 2}
 Với r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3
 Với r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3
 Với r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3
Suy ra A(n)  3 với  n N, mà (2, 3) = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A(n)  6 với  n  N
Bài tập 4) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số
tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
Giải:
+Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 .
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3. (n+ 1)
3. (n+ 1) 3  n + (n + 1) + (n + 2)
+Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3.

Phạm Ngọc Tâm

10

Trường THCS Tiến Thành

Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7
không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp
thì không chia hết cho 4.
Bài tập 5) Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên
tiếp thì không chia hết cho 10.
Giải:
+Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10
+Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên.
Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5  10.
Chú ý đến tính chẵn lẻ, tính liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai thác những
tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù hợp và bổ ích như:
1. Tổng hoặc hiệu của nhiều số chẵn là một số chẵn.
2. Tổng của ba số liên tiếp thì chia hết cho 3.
3. Tổng của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
4. Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
5. Tổng của bốn số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
4.3 Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq .
+ Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n)  p và A(n)  q.
+ Nếu (p, q)  1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n)  p và C(n)  q .
Bài tập: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2)  6.
b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Giải:
a) Ta có: 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia
hết cho 6.
b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1).
8 = 4 . 2.
Vì 4  4 và n(n +1)  2 nên A(n)  8
Chú ý đến tính chẵn lẻ, tính liên tiếp của các số mà bài toán đã đề cặp đến, khai thác những

tính chất này cùng với phương pháp giải ta có thể đưa ra nhiều bài toán phù hợp và bổ ích như:
1. Tích của nhiều số lẻ là một số lẻ.
2. Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48.
3. Tích của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
4.4 Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể biến đổi A(n) thành tổng (hiệu) của nhiều hạng tử,
trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k.
Bài tập: Giải thích tại sao tổng sau đây chia hết cho 5?
M = 4+ 42 + 43 +... + 415 + 416
Phân tích, tìm hiểu đề bài:
Tổng M gồm các số hạng là lũy thừa liên tiếp của 4 từ 41 đến 416 và phải giải thích tại sao M lại
chia hết cho 5
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng cặp là 2 lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ cặp 4 + 42 để
làm xuất hiện thừa số chung 1+4 = 5
Phạm Ngọc Tâm

11

Trường THCS Tiến Thành


Cách giải:
M = (4+ 42 )+ (43 + 44)+... + (415 + 416)
= 4(1+4)+43(1+4)+...+415(1+4)
=(1+4)(4+ 43+...+ 415)
= 5.(4+ 43+...+ 415)
Suy ra M chia hết cho 5.
Khai thác bài toán:
Lưu ý, nếu cho tổng các lũy thừa của 4 thì sẽ chứng minh được tổng này chia hết cho 4+1 = 5,
nếu là lũy thừa của n thì chứng minh được tổng chia hết cho n+1. Chẳng hạn chứng minh được tổng
N = 2013+ 20132 + 20133 +... + 20132011 + 20132012chia hết cho 2014.

Bài tập tương tự: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 3, 7, 15.
2) Chứng minh : B= 3 + 33 + 35 + ... + 31991 chia hết cho 13, 41
Hướng dẫn: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 3, 7, 15.
Trường hợp 1: Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 3
Ta có: bài toán này tương tự bài toán ở trên.
A= (2 + 22 )+(23 + 24)+ ...+(259 + 260 )
= (1 + 2)+23 .(1+ 2) + ... + 259 (1+ 2)
= ( 1+2).(2+23+...+259)
= 3.(2+23+...+259)
Suy ra A chia hết cho 3
Trường hợp 2: Chứng minh : A = 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 7
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ 2 + 22+
23 để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 22+ 23 = 2.(1+ 2 + 22)= 2.7
A= (2 + 22 + 23)+(24 + 25 + 26)+ ...+(258 +259 + 260 )
= 2.(1 + 2+ 22)+24 .(1+ 2+ 22) + ... + 258 (1+ 2+ 22)
= ( 1+2+ 22).(2+24+...+258)
= 7.(2+24+...+258)
Suy ra A chia hết cho 7
Trường hợp 3: Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia hết cho 15
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ 2 + 22+
23+ 24 để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 22+ 23 +24 = 2.(1+ 2 + 22+23)= 2.15
A= (2 + 22 + 23+24)+( 25 + 26 + 27 +28 )+ ...+(257 +258 +259 + 260 )
= 2.(1 + 2+ 22+ 23)+25.(1+ 2+ 22+ 23) + ... + 257 (1+ 2+ 22+ 23)
= 2.(1 + 2 + 4 + 8) + 25(1 + 2 + 4 + 8) + ... + 257(1 + 2 + 4 + 8)
= 15.(2 + 25 + ... + 257)  15.
Suy ra A chia hết cho 15
Hướng dẫn: 2) Chứng minh : B= 3 + 33 + 35 + ... + 31991 chia hết cho 13, 41
*Trường hợp 1: Chứng minh: B= 3 + 33 + 35 + ... + 31991 chia hết cho 13
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ 3 + 33+
35 để làm xuất hiện thừa số chung 3+ 33+ 35 = 3.(1+ 32 + 34)= 3.91=3.7.13

B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991
=(3 + 33 + 35)+(37 + 39 + 311)+ ...+(31987 +31989 + 31991 )
=3.(1 + 32 + 34)+37 .(1 + 32 + 34)+ ...+31987 .(1 +32 + 34 )
Phạm Ngọc Tâm

12

Trường THCS Tiến Thành


= 7.13.(3+ 37+…+31987)
Suy ra B chia hết cho 13
*Trường hợp 2: Chứng minh tương tự: B = 3 + 33 + 35 + ... + 31991 chia hết cho 41
Bằng cách ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp bắt đầu từ 3
3
5
+ 3 + 3 + 37 để làm xuất hiện thừa số chung mà thừa số ấy chia hết cho 41.
Bằng phương pháp làm như trên ta có thể giải được bài toán tương tự
Bài tập. Cho S = 1+ 3+ 32+ 33 +… +311. Chứng minh rằng:
a) S  13
b) S  40
Dạng 5: Áp dụng tính chất chia hết để tìm số tự nhiên
Phương pháp: Căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra phương pháp
chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây:
Nếu A  B thì (m.A+n.B)  B (m, n  N*)
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3)  7.
Giải
Cách 1:

Ta có: 18n + 3  7

 14n + 4n + 3  7 mà 14n  7
 4n + 3  7 mà 7 7
 4n + 3 - 7  7
 4n - 4  7
 4.(n - 1)  7
Vì (4,7) =1 nên (n - 1)  7.
Vậy n = 7k +1 (k  N)

Cách 2:

Ta có: 18n + 3  7
Mà 21  7
Do đó: 18n + 3 - 21  7
Suy ra 18n - 18  7
 18.(n - 1)  7

Vì (18,7) =1 nên (n - 1) 7
Vậy n = 7k +1 (k  N)
Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu thức chia hết
cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1.
Bài tập 2: Tìm n  N để:
a) n + 4  n
b) n + 6  n + 2
c) 3n + 7  n

d) 27 – 5n  n

e) 2n + 3  n – 2

f) 3n + 1  11 – 2n

Giải:
mà n  n

a) Ta có: n + 4  n

 4  n  n  Ư(4) = 1; 2; 4
b) Ta có n + 6  n + 2  n + 2 + 4  n + 2

Phạm Ngọc Tâm

13

Trường THCS Tiến Thành


mà n +2  n + 2  4  n + 2  n + 2  Ư(4)= 1; 2; 4  n  0; 2 ( vì n  N )
c) Ta có: 3n + 7  n mà 3n  n  7  n  n  Ư(7) = 1; 7
d) Ta có: 27 – 5n  n mà 5n  n  27  n  n  Ư(27) = 1;3;9; 27
nhưng 5n  27 nên n  1;3
e) Ta có: 2n + 3  n – 2  2(n – 2) + 7  (n -2)  7  (n - 2)  n – 2  1;7
 n  3; 9
f) Ta có: 3n + 1  11 – 2n (n < 6)  [2(3n + 1) + 3(11 – 2n)]  11 – 2n
 35  11 – 2n
 11 – 2n  1;5;7;35 nhưng vì n  N nên n  5;3; 2
Bài tập tương tự:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho : (x+ 15) (8- x)
Hướng dẫn:
(x+ 15) (8- x) và(8 - x) (8- x) nên [(x+ 15) +(8- x) ]  (8- x)
Do đó: 33 (8 - x). Suy ra: x  5; 7 
2) Tìm số tự nhiên x sao cho : (2x  7) (x+2)

Giải:
Ta có: (x+2)(x+2)  2.(x+2)(x+2)  (2x+4)(x+2)
mà

(2x+7)(x+2)

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra : (2x+7)-(2x+4) (x+2)
Do đó 3 (x+2)
 (x  2)  {1;3} mà x  N
 x  {1}

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x + 7)(3x + 1)
Hướng dẫn:
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của
hai hệ số. Sử dụng tính chất a  b và c  b  a  c  b
Giải:
Ta có: (3x+1)(3x+1)  5.(3x+1)(3x+1)  (15x+5)(3x+1) (1)
(5x+7)(3x+1)  3.(5x+7)(3x+1)  (15x+21)(3x+1) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : (15x+21) - (15x+5)  (3x+1)
Do đó 16 (3x+1)
 (3x  1)  {1; 2; 4;8;16} mà x  N
 x  {0;5}

Phạm Ngọc Tâm

14

Trường THCS Tiến Thành


C. KẾT LUẬN.
KẾT QUẢ VÀ HIỆU QUẢ.
1. Những kết quả quan trọng nhất của toàn bộ đề tài :
Trong mỗi tiết lên lớp, đứng trước mỗi bài toán người thầy cần tuân thủ quá trình ba bước:
- Tìm tòi lời giải bài toán;
- Trình bày lời giải;
- Nghiên cứu sâu lời giải (khai thác bài toán).
Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có kĩ năng trình bày và có phương pháp tư duy
đúng đắn thì người thầy cần phải mẫu mực trong hai bước đầu. Để phát huy tính sáng tạo, phát triển
tư duy của học sinh nhất là những học sinh khá giỏi thì người thầy đặc biệt coi trọng bước thứ ba. Vì
theo như Pôlya: "Một người thầy giáo giỏi phải hiểu và làm cho học sinh hiểu rằng không có một bài
toán nào là hoàn toàn kết thúc. Bao giờ cũng còn một cài gì đó để suy nghĩ. Có đầy đủ kiên nhẫn và
chịu khó suy nghĩ sâu sắc, ta có thể hoàn thiện cách giải và trong mọi trường hợp bao giờ cũng hiểu
được cách giải sâu sắc hơn".
Hơn nữa tư duy toán học thể hiện nhiều ở quá trình tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời
giải thông qua các hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự,… Cũng theo như
Pôlya khẳng định: "Đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự là nguồn gốc vĩ đại của phát minh."
2. Quá trình áp dụng của bản thân và kết quả đạt được:
Tùy từng đối tượng học sinh Giỏi, Khá, Trung bình mà chọn nội dung bài cho phù hợp với nội
dung của chuyên đề.
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, chất lượng học sinh được cải thiện theo chiều
hướng rất khả quan. Tỉ lệ học sinh yếu, kém giảm đáng kể, tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệt.
Không những thế, khi đã nắm vững kiến thức dạng này thì các em học rất tốt ở chương trình toán lớp
8, 9 trong các dạng toán tìm giá trị nguyên của phân thức và trong chương trình học toán ở cấp 3.
Nhìn chung học sinh tiến bộ trong học tập, các em phần hăng say và sôi nổi hơn trong các giờ
học toán.
Kết quả đạt được như sau:

Phạm Ngọc Tâm

15

Trường THCS Tiến Thành


- Sau khi học xong phần “Dấu hiệu chia hết” và ’’các tính chất chia hết ‘’ học sinh nắm được
các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và hiểu được cơ sở lý luận của các dấu hiệu đó dựa
trên tính chất chia hết của một tổng, hoặc hiệu.
- Học sinh biết vận dụng các dấu hiệu đó để nhận ra một số, một tổng, một hiệu có chia hết
hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9. Đặc biệt là mở rộng ra dấu hiệu chia hết cho 4, 8, 25,
125, 11 bồi dưỡng cho các học sinh có năng khiếu trong việc đào tạo nguồn thi học sinh giỏi các cấp.
- Sau khi làm bài kiểm tra đánh giá kết quả sự tiếp thu kiến thức của học sinh cả khối 6 trong
năm học 2012-2013 thì kết quả đạt được như sau:
SỐ BÀI
ĐIỂM DƯỚI TB

87

ĐIỂM 5 – 6

ĐIỂM 7 – 8

ĐIỂM 9 - 10

TS

%

TS

%

TS

%

TS

%

4

4.6

41

47.1

28

32.2

14

16.1

3. Vấn đề còn hạn chế :
Đây là mảng kiến thức khá rộng và phổ biến, đa dạng về thể loại và phức tạp về nội dung, nên

với khoảng thời gian hạn hẹp và đối tượng chỉ là học sinh lớp 6 Tôi chỉ đưa ra một số dạng toán. Nếu
có điều kiện tốt hơn về thời gian Tôi sẽ cố gắng nghiên cứu sâu, kĩ hơn.
4. Phần kết :
Trong quá trình giảng dạy, Tôi thấy nếu giáo viên có sự đầu tư nghiên cứu bài càng kĩ thì hiệu
quả đạt được càng cao. Tâm huyết với nghề là một trong những yếu tố tạo nên sự thành công của bài
dạy.
Mặc dù đã cố gắng khi phân chia kiến thức và trình bày chuyên đề này nhưng trong quá trình
thực hiện không tránh khỏi sai sót, nhầm lẫn hay chưa khoa học. Tôi rất mong nhận được những lời
động viên, ý kiến đóng góp quí báu từ các Thầy Cô giáo để chuyên đề này được hoàn thiện hơn nữa
về nội dung và cả hình thức. Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phan Thiết, ngày 5 tháng 4 năm 2013
Người viết

Phạm Ngọc Tâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa lớp 6 - Nhà xuất bản giáo dục năm 2010
2. Phương pháp giảng dạy môn toán - NXB GD năm 1998
3. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6- Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam (Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ
Quang Thiều).
Phạm Ngọc Tâm

16

Trường THCS Tiến Thành


4. Sách bài tập, sách giáo viên, sách nâng cao toán 6- Nhà xuất bản giáo dục năm 2010.
5. Thực hành giải toán – NXB GD ( Vũ Dương Thụy ).
6. Hướng dẫn tự học tích cực trong một số môn học cho học sinh THCS- Nhà xuất bản Hà Nội2012 ( TS. Trần Đình Châu - TS. Phùng Khắc Bình).

7. 500 bài toán nâng cao lớp 6 - Nhà xuất bản đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
8. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6-Nhà xuất bản giáo dục ( Bùi Văn Tuyên)
9. Cách tìm lời giải các bài toán trung học cơ sở- Tập I - Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.(
Lê Hải Châu- Nguyễn Xuân Quỳ)

XÉT DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TIẾN THÀNH :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
Phạm Ngọc Tâm

17

Trường THCS Tiến Thành


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
XÉT DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT PHAN THIẾT:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………

Phạm Ngọc Tâm

18

Trường THCS Tiến Thành