Tổng hợp các chuyên đề và phương pháp giải tất cả các dạng bài tập khảo sát hàm sô
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.33 MB, 259 trang )
TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Năm 2012
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 1
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
yfx
()
=
có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û
yxD
0,
¢
³"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û
yxD
0,
¢
£"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++¹
thì:
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
>
³"ÎÛ
í
£
î
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
<
£"ÎÛ
í
£
î
· Định lí về dấu của tam thức bậc hai gxaxbxca
2
()(0)
=++¹
:
+ Nếu D < 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
=- )
+ Nếu D > 0 thì
gx
()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx
()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx
()
cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm
x x
12
,
của tam thức bậc hai
gxaxbxc
2
()
=++
với số 0:
+ xxP
S
12
0
00
0
D
ì
³
ï
£<Û>
í
ï
<
î
+ xxP
S
12
0
00
0
D
ì
³
ï
<£Û>
í
ï
>
î
+ xxP
12
00
<<Û<
·
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)max()
£"ÎÛ£
;
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)min()
³"ÎÛ³
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
yfx
()
=
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
· Hàm số f đồng biến trên D Û
yxD
0,
¢
³"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û
yxD
0,
¢
£"Î
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu yaxbxca
2
'(0)
=++¹
thì:
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
>
³"ÎÛ
í
£
î
+
a
yxR
0
'0,
0
D
ì
<
£"ÎÛ
í
£
î
2. Tìm điều kiện để hàm số
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
đơn điệu trên khoảng
(;)
ab
.
Ta có:
yfxaxbxc
2
()32
¢¢
==++
.
a) Hàm số f đồng biến trên
(;)
ab
Û
yx
0,(;)
¢
³"Î
ab
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
(;)
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û³ (*)
thì f đồng biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()max()
³
ab
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 2
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û£ (**)
thì f đồng biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()min()
£
ab
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0
¢
³
không đưa được về dạng (*) thì đặt
tx
=-
a
.
Khi đó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
aaa
¢
==+++++
.
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a
(;)
-¥
Û
gtt
()0,0
³"<
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
>
ï
ï
ì
>>
Ú
íí
£>
î
ï
³
ï
î
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a
(;)
+¥
Û
gtt
()0,0
³">
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
>
ï
ï
ì
>>
Ú
íí
£<
î
ï
³
ï
î
b) Hàm số f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
yx
0,(;)
¢
³"Î
ab
và
y
0
¢
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
(;)
ab
.
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
£Û³ (*)
thì f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()max()
³
ab
· Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
¢
³Û£ (**)
thì f nghịch biến trên
(;)
ab
Û
hmgx
(;)
()min()
£
ab
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx
()0
¢
£
không đưa được về dạng (*) thì đặt
tx
=-
a
.
Khi đó ta có:
ygtatabtabc
22
()32(3)32
aaa
¢
==+++++
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
-¥
Û
gtt
()0,0
£"<
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
<
ï
ï
ì
<>
Ú
íí
£>
î
ï
³
ï
î
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
+¥
Û
gtt
()0,0
£">
Û
a
a
S
P
0
00
00
0
D
D
ì
<
ï
ï
ì
<>
Ú
íí
£<
î
ï
³
ï
î
3. Tìm điều kiện để hàm số
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.
· f đơn điệu trên khoảng
xx
12
(;)
Û
y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
Û
a
0
0
D
ì
¹
í
>
î
(1)
· Biến đổi
xxd
12
-=
thành
xxxxd
22
1212
()4
+-=
(2)
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
4. Tìm điều kiện để hàm số
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=¹
+
a) Đồng biến trên
(;)
a
-¥
.
b) Đồng biến trên
(;)
a
+¥
.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 3
c) ng bin trờn
(;)
ab
.
Tp xỏc nh:
e
DR
d
\
ỡỹ
-
=
ớý
ợỵ
,
( ) ( )
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++-
==
++
5. Tỡm iu kin hm s
axbxc
yad
dxe
2
(2),(,0)
++
=ạ
+
a) Nghch bin trờn
(;)
a
-Ơ
.
b) Nghch bin trờn
(;)
a
+Ơ
.
c) Nghch bin trờn
(;)
ab
.
Tp xỏc nh:
e
DR
d
\
ỡỹ
-
=
ớý
ợỵ
,
( ) ( )
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()
'
++-
==
++
Trng hp 1 Trng hp 2
Nu:
fxgxhmi
()0()()()
Nu bpt:
fx
()0
khụng a c v dng (i)
thỡ ta t:
tx
a
=-
.
Khi ú bpt:
fx
()0
tr thnh:
gt
()0
, vi:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
aaa
=+++++-
a) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
-Ơ
e
d
gxhmx()(),
a
a
ỡ
-
ù
ớ
ù
"<
ợ
e
d
hmgx
(;]
()min()
a
a
-Ơ
ỡ
-
ù
ớ
Ê
ù
ợ
a) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
-Ơ
e
d
gttii
()0,0()
a
ỡ
-
ù
ớ
ù
"<
ợ
a
a
ii
S
P
0
00
()
00
0
ỡ
>
ù
ù
ỡ
>D>
ớớ
DÊ>
ợ
ù
ù
ợ
b) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
+Ơ
e
d
gxhmx()(),
a
a
ỡ
-
ù
Ê
ớ
ù
">
ợ
e
d
hmgx
[;)
()min()
a
a
+Ơ
ỡ
-
Ê
ù
ớ
Ê
ù
ợ
b) (2) ng bin trờn khong
(;)
a
+Ơ
e
d
gttiii
()0,0()
a
ỡ
-
ù
Ê
ớ
ù
">
ợ
a
a
iii
S
P
0
00
()
00
0
ỡ
>
ù
ù
ỡ
>D>
ớớ
DÊ<
ợ
ù
ù
ợ
c) (2) ng bin trờn khong
(;)
ab
( )
e
d
gxhmx
;
()(),(;)
ab
ab
ỡ
-
ù
ẽ
ớ
ù
"ẻ
ợ
( )
e
d
hmgx
[;]
;
()min()
ab
ab
ỡ
-
ẽ
ù
ớ
Ê
ù
ợ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 4
Trường hợp 1 Trường hợp 2
Nếu
fxgxhmi
()0()()()
£Û³
Nếu bpt:
fx
()0
³
không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt:
tx
a
=-
.
Khi đó bpt:
fx
()0
£
trở thành:
gt
()0
£
, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
aaa
=+++++-
a) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
a
-¥
e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
³
Û
í
ï
³"<
î
e
d
hmgx
(;]
()min()
a
a
-¥
ì
-
³
ï
Û
í
£
ï
î
a) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
-¥
e
d
gttii
()0,0()
a
ì
-
ï
³
Û
í
ï
£"<
î
a
a
ii
S
P
0
00
()
00
0
ì
<
ï
ï
ì
<D>
ÛÚ
íí
D£>
î
ï
³
ï
î
b) (2) nghịch biến trên khoảng
(;)
a
+¥
e
d
gxhmx()(),
a
a
ì
-
ï
£
Û
í
ï
³">
î
e
d
hmgx
[;)
()min()
a
a
+¥
ì
-
£
ï
Û
í
£
ï
î
b) (2) đồng biến trên khoảng
(;)
a
+¥
e
d
gttiii
()0,0()
a
ì
-
ï
£
Û
í
ï
£">
î
a
a
iii
S
P
0
00
()
00
0
ì
<
ï
ï
ì
<D>
ÛÚ
íí
D£<
î
ï
³
ï
î
c) (2) đồng biến trong khoảng
(;)
ab
( )
e
d
gxhmx
;
()(),(;)
ab
ab
ì
-
ï
Ï
Û
í
ï
³"Î
î
( )
e
d
hmgx
[;]
;
()min()
ab
ab
ì
-
Ï
ï
Û
í
£
ï
î
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 5
Cõu 1. Cho hm s
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=-++- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi
m
2
=
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú.
ã
Tp xỏc nh: D = R. ymxmxm
2
(1)232
Â
=-++-
.
(1) ng bin trờn R
yx
0,
Â
"
m
2
Cõu 2. Cho hm s yxxmx
32
34
=+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
0
=
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R.
yxxm
2
36
Â
=+-
. y
Â
cú
m
3(3)
D
Â
=+
.
+ Nu
m
3
Ê-
thỡ
0
D
Â
Ê
ị
yx
0,
Â
"
ị
hm s ng bin trờn R
ị
m
3
Ê-
tho YCBT.
+ Nu
m
3
>-
thỡ
0
D
Â
>
ị
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xxxx
1212
,()
< . Khi ú hm s
ng bin trờn cỏc khong xx
12
(;),(;)
-Ơ+Ơ
.
Do ú hm s ng bin trờn khong
(;0)
-Ơ
xx
12
0
Ê<
P
S
0
0
0
D
Â
ỡ
>
ù
ớ
ù
>
ợ
m
m
3
0
20
ỡ
>-
ù
-
ớ
ù
->
ợ
(VN)
Vy:
m
3
Ê-
.
Cõu 3. Cho hm s
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=-++++
cú th (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong
(2;)
+Ơ
ã
Tp xỏc nh: D = R. yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=-+++
cú mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>
xm
y
xm
'0
1
ộ
=
=
ờ
=+
ở
. Hm s ng bin trờn cỏc khong
mm
(;),(1;)
-Ơ++Ơ
Do ú: hm s ng bin trờn
(2;)
+Ơ
m
12
+Ê
m
1
Ê
Cõu 4. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm ng bin trờn khong
K
(0;)
=+Ơ
.
ã
Hm ng bin trờn
(0;)
+Ơ
yxmxm
2
3(12)(22
)0
Â
+
=-+-
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ
x
fxm
x
x
2
23
()
41
2+
=
+
+
vi
x
0)
(
;
"ẻ
+Ơ
Ta cú:
xx
xx xxfx
x
2
2
2
6(
1)1
1
2
()02
()
01;
2
41
Â
=
+-
+-==-=
=
+
Lp BBT ca hm
fx
()
trờn
(0;)
+Ơ
, t ú ta i n kt lun:
fmm
15
24
ổử
ỗữ
ốứ
.
Cõu hi tng t:
a)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+
m
(1)
ạ-
,
K
(;1)
=-Ơ-
. S: m
4
11
b)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+
m
(1)
ạ-
,
K
(1;)
=+Ơ
. S:
0
m
c)
ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+ +-+
m
(1)
ạ-
,
K
(1;1)
=-
. S: m
1
2
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 6
Cõu 5. Cho hm s
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3
=-+ +
(1)
m
(1)
ạ
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong
K
(;2)
=-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R; ymxmx
22
(1)2(1)2
Â
=-+
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
Â
==-++-++-
Hm s (1) nghch bin trong khong
(;2)
-Ơ
gtt
()0,0
Ê"<
TH1:
a
0
0
ỡ
<
ớ
DÊ
ợ
m
mm
2
2
10
3210
ỡ
ù
-<
ớ
Ê
ù
ợ
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
ỡ
<
ù
ù
D>
ớ
>
ù
ù
ợ
m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1
ỡ
-<
ù
>
ù
ù
ớ
+-Ê
ù
ù
>
ù
+
ợ
Vy: Vi m
1
1
3
-
Ê<
thỡ hm s (1) nghch bin trong khong
(;2)
-Ơ
.
Cõu 6. Cho hm s
ymxmxx
232
1
(1)(1)21
3
=-+ +
(1)
m
(1)
ạ
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong
K
(2;)
=+Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R; ymxmx
22
(1)2(1)2
Â
=-+
.
t
tx
2
=
ta c: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
Â
==-++-++-
Hm s (1) nghch bin trong khong
(2;)
+Ơ
gtt
()0,0
Ê">
TH1:
a
0
0
ỡ
<
ớ
DÊ
ợ
m
mm
2
2
10
3210
ỡ
ù
-<
ớ
Ê
ù
ợ
TH2:
a
S
P
0
0
0
0
ỡ
<
ù
ù
D>
ớ
<
ù
ù
ợ
m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1
ỡ
-<
ù
>
ù
ù
ớ
+-Ê
ù
ù
<
ù
+
ợ
Vy: Vi
m
11
-<<
thỡ hm s (1) nghch bin trong khong
(2;)
+Ơ
Cõu 7. Cho hm s
yxxmxm
32
3
=+++
(1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3.
2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1.
ã
Ta cú
yxxm
2
'36
=++
cú
m
93
D
Â
=- .
+ Nu m 3 thỡ
yxR
0,
Â
"ẻ
ị
hm s ng bin trờn R
ị
m 3 khụng tho món.
+ Nu m < 3 thỡ
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xxxx
1212
,()
< . Hm s nghch bin trờn on
xx
12
;
ộự
ởỷ
vi di
lxx
12
= Ta cú:
m
xxxx
1212
2;
3
+=-=
.
YCBT
l
1
=
xx
12
1
-=
xxxx
2
1212
()41
+-=
m
9
4
=
.
Cõu 8. Cho hm s yxmx
32
231
=-+-
(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong
xx
12
(;)
vi xx
21
1
-=
.
ã
yxmx
2
'66
=-+ ,
yxxm
'00
===
.
+ Nu m = 0
yx
0,
Â
ịÊ"ẻ
Ă
ị
hm s nghch bin trờn
Ă
ị
m = 0 khụng tho YCBT.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 7
+ Nu
m
0
ạ
,
yxmkhim
0,(0;)0
Â
"ẻ>
hoc
yxmkhim
0,(;0)0
Â
"ẻ<
.
Vy hm s ng bin trong khong
xx
12
(;)
vi xx
21
1
-=
xxm
xxm
12
12
(;)(0;)
(;)(;0)
ộ
=
ờ
=
ở
v xx
21
1
-=
m
m
m
01
1
01
ộ
-=
=
ờ
-=
ở
.
Cõu 9. Cho hm s yxmxm
42
231
= +
(1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2).
ã
Ta cú
yxmxxxm
32
'444()
=-=-
+
m
0
Ê
, yx
0,(0;)
Â
"ẻ+Ơ
ị
m
0
Ê
tho món.
+
m
0
>
, y
0
Â
=
cú 3 nghim phõn bit:
m m
,0,- .
Hm s (1) ng bin trờn (1; 2)
m m
101
Ê<Ê
. Vy
(
m
;1
ự
ẻ-Ơ
ỷ
.
Cõu hi tng t:
a) Vi yxmxm
42
2(1)2
= +-
; y ng bin trờn khong
(1;3)
. S:
m
2
Ê
.
Cõu 10. Cho hm s
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=-
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh: D = R \ {m}.
m
y
xm
2
2
4
()
-
Â
=
+
.
Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh
ym
022
Â
<-<<
(1)
hm s (1) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
thỡ ta phi cú
mm
11
-Ê-
(2)
Kt hp (1) v (2) ta c:
m
21
-<Ê-
.
Cõu 11. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(;1)
-Ơ-
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
==
Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+
gxx
'()44
ị=-
Hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-
yxmgx
(;1]
'0,(;1)min()
-Ơ-
"ẻ-Ơ-Ê
Da vo BBT ca hm s
gxx
(),(;1]
"ẻ-Ơ-
ta suy ra
m
9
Ê
.
Vy
m
9
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(;1)
-Ơ-
Cõu 12. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(2;)
+Ơ
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
==
Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+
gxx
'()44
ị=-
Hm s (2) ng bin trờn
(2;)
+Ơ
yxmgx
[2;)
'0,(2;)min()
+Ơ
"ẻ+ƠÊ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 8
Da vo BBT ca hm s
gxx
(),(;1]
"ẻ-Ơ-
ta suy ra
m
3
Ê
.
Vy
m
3
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(2;)
+Ơ
.
Cõu 13. Cho hm s
xxm
y
x
2
23
(2).
1
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong
(1;2)
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
-+-
==
Ta cú: fxmxx
2
()0243
Ê-+
. t gxxx
2
()243
=-+
gxx
'()44
ị=-
Hm s (2) ng bin trờn
(1;2)
yxmgx
[1;2]
'0,(1;2)min()
"ẻÊ
Da vo BBT ca hm s
gxx
(),(;1]
"ẻ-Ơ-
ta suy ra
m
1
Ê
.
Vy
m
1
Ê
thỡ hm s (2) ng bin trờn
(1;2)
.
Cõu 14. Cho hm s
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong
(;1)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==
t
tx
1
=-
.
Khi ú bpt:
fx
()0
Ê
tr thnh: gttmtmm
22
()2(12)410
= +-Ê
Hm s (2) nghch bin trờn
(;1)
-Ơ
m
yx
gtti
21
'0,(;1)
()0,0()
ỡ
>
Ê"ẻ-Ơ
ớ
Ê"<
ợ
i
S
P
'0
'0
()
0
0
ộ
D=
ờ
ỡ
D>
ờ
ù
>
ớ
ờ
ù
ờ
ợ
ở
m
m
m
mm
2
0
0
420
410
ộ
=
ờ
ỡ
ạ
ờ
ù
->
ớ
ờ
ù
ờ
-+
ợ
ở
m
m
0
23
ộ
=
ờ
+
ở
Vy: Vi m
23
+ thỡ hm s (2) nghch bin trờn
(;1)
-Ơ
.
Cõu 15. Cho hm s
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
-+
=
-
Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong
(1;)
+Ơ
.
ã
Tp xỏc nh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
-+-
==
t
tx
1
=-
.
Khi ú bpt:
fx
()0
Ê
tr thnh: gttmtmm
22
()2(12)410
= +-Ê
Hm s (2) nghch bin trờn
(1;)
+Ơ
m
yx
gttii
21
'0,(1;)
()0,0()
ỡ
<
Ê"ẻ+Ơ
ớ
Ê">
ợ
ii
S
P
'0
'0
()
0
0
ộ
D=
ờ
ỡ
D>
ờ
ù
<
ớ
ờ
ù
ờ
ợ
ở
m
m
m
mm
2
0
0
420
410
ộ
=
ờ
ỡ
ạ
ờ
ù
-<
ớ
ờ
ù
ờ
-+
ợ
ở
m
23
Ê-
Vy: Vi m
23
Ê- thỡ hm s (2) nghch bin trờn
(1;)
+Ơ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 9
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3:
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình
y
0
¢
=
có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ
xx
12
,
của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình
y
0
¢
=
.
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích
yfxqxhx
().()()
¢
=+.
– Suy ra
yhxyhx
1122
(),()
==.
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là:
yhx
()
=
.
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng
dykxbdykxb
111222
:,:
=+=+
thì
kk
kk
12
12
tan
1
-
=
+
a
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng
dypxq
:
=+
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
=
(hoặc k
p
1
=-
).
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
dypxq
:
=+
một góc
a
.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện:
kp
kp
tan
1
-
=
+
a
. (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k
tan
=
a
)
3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện
IAB
SS
D
=
.
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện
IAB
SS
D
=
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Gọi I là trung điểm của AB.
– Giải điều kiện:
d
Id
D
ì
^
í
Î
î
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 10
– Giải điều kiện:
dAddBd
(,)(,)
=
.
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ
thức cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K
1
(;)
a
=-¥ hoặc K
2
(;)
a
=+¥
.
yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=-
a
. Khi đó:
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
aaa
==+++++
9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả:
a)
xx
12
a
<<
b) xx
12
a
<<
c)
xx
12
a
<<
yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=-
a
. Khi đó:
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
aaa
==+++++
Hàm số có cực trị thuộc K
1
(;)
a
=-¥ Hàm số có cực trị thuộc K
2
(;)
a
=+¥
Hàm số có cực trị trên khoảng
(;)
a
-¥
fx
()0
Û=
có nghiệm trên
(;)
a
-¥
.
gt
()0
Û=
có nghiệm t < 0
P
S
P
0
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û
ï
<
í
ê
ï
³
ê
î
ë
Hàm số có cực trị trên khoảng
(;)
a
+¥
fx
()0
Û=
có nghiệm trên
(;)
a
+¥
.
gt
()0
Û=
có nghiệm t > 0
P
S
P
0
'0
0
0
é
<
ê
ì
D³
ê
Û
ï
>
í
ê
ï
³
ê
î
ë
a) Hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả
xx
12
a
<<
gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả
tt
12
0
<<
P
0
Û<
b) Hàm số có hai cực trị
xx
12
,
thoả xx
12
a
<<
gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0
ì
D>
ï
Û<
í
ï
>
î
c) Hàm số có hai cực trị x
1
, x
2
thoả
xx
12
a
<<
gt
()0
Û=
có hai nghiệm
tt
12
,
thoả
tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0
ì
D>
ï
Û>
í
ï
>
î
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 11
Cõu 1. Cho hm s
yxmxmxmm
32232
33(1)=-++-+- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=
.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-++- .
PT y
0
Â
=
cú
m
10,
D
=>"
ị
th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr
xyxy
1122
(;),(;)
.
Chia y cho y
Â
ta c:
m
yxyxmm
2
1
2
33
ổử
Â
=-+-+
ỗữ
ốứ
Khi ú:
yxmm
2
11
2
=-+
;
yxmm
2
22
2
=-+
PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l
yxmm
2
2
=-+
.
Cõu 2. Cho hm s yxxmxm
32
32
=+++-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)
+++-=
x
gxxxm
2
1
()220(2)
ộ
=-
ờ
=++-=
ở
(C
m
) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc Ox
PT (1) cú 3 nghim phõn bit
(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1
m
gm
30
(1)30
D
ỡ
Â
=->
ớ
-=-ạ
ợ
m
3
<
Cõu 3. Cho hm s yxmxmmx
322
(21)(32)4
=-++ +-
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.
ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â
=-++ +
.
(C
m
) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim trỏi
du
mm
2
3(32)0
-+<
m
12
<<
.
Cõu 4. Cho hm s yxmxmx
32
1
(21)3
3
=-+
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.
ã
TX: D = R ; yxmxm
2
221
Â
=-+-
.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn
bit cựng du
mm
m
2
210
210
D
ỡ
Â
=-+>
ớ
->
ợ
m
m
1
1
2
ỡ
ạ
ù
ớ
>
ù
ợ
.
Cõu 5. Cho hm s yxxmx
32
32
= +
(m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng
yx
1
=-
.
ã
Ta cú:
yxxm
2
'36
=
.
Hm s cú C, CT yxxm
2
'360
= =
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;
mm
'9303
D
=+>>-
(*)
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 12
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
=-+-++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
mmmm
xxyyxyyx
121122
22
22;22
333
))
3
((
ổửổử
-++-++
ỗữỗữ
ốứ
=
ố
=
ứ
==
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổử
=-++
ỗữ
ốứ
Cỏc im cc tr cỏch u ng thng
yx
1
=-
xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng
yx
1
=-
m
m
29
21
32
-==
(khụng tha (*))
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng
yx
1
=-
( ) ( )
II
x
mm
xxxx
m
y
m
y
y
m
x
x
2
1212
121
2
2222
33
2
1
2.22
1
2
2
00
33
2
ổửổử
-+++=+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
+
ổử
-++==
ỗữỗữ
ốứố
+
=-=-
ứ
Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l:
m
0
=
.
Cõu 6. Cho hm s
yxmxm
323
34
=-+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.
ã
Ta cú:
yxmx
2
36
Â
=- ;
x
y
xm
0
0
2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ
0.
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
ị
ABmm
3
(2;4)
=-
uuur
Trung im ca on AB l I(m; 2m
3
)
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x
ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ
mm
mm
3
3
240
2
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ
m
2
2
=
Cõu 7. Cho hm s yxmxm
32
331
=-+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
xy
8740
+-=
.
ã
yxmx
2
36
Â
=-+ ;
yxxm
002
Â
=== .
Hm s cú C, CT
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
0
ạ
.
Khi ú 2 im cc tr l: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)
ị
ABmm
3
(2;4)
uuur
Trung im I ca AB cú to : Immm
3
(;231)
ng thng d:
xy
8740
+-=
cú mt VTCP u
(8;1)
=-
r
.
A v B i xng vi nhau qua d
Id
ABd
ỡ
ẻ
ớ
^
ợ
mmm
ABu
3
8(231)740
.0
ỡ
ù
+ =
ớ
=
ù
ợ
uuurr
m
2
=
Cõu hi tng t:
a) yxxmxmdyx
322
15
3,:
22
=-++=-
. S:
m
0
=
.
Cõu 8. Cho hm s
yxxmx
32
3=-+ (1).
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 13
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d:
xy
250
=
.
ã
Ta cú
yxxmxyxxm
322
3'36
=-+ị=-+
Hm s cú cc i, cc tiu
y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit mm
9303
D
Â
=-><
Ta cú:
yxymxm
1121
2
3333
ổửổử
Â
=-+-+
ỗữỗữ
ốứốứ
ị
ng thng
D
i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh
ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
nờn
D
cú h s gúc km
1
2
2
3
=-
.
d:
xy
250
=
yx
15
22
=-
ị
d cú h s gúc k
2
1
2
=
hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d
^
D
ị
kkmm
12
12
1210
23
ổử
=--=-=
ỗữ
ốứ
Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I
ẻ
d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0
Cõu 9. Cho hm s yxmxxm
32
3(1)92
=-+++-
(1) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d:
yx
1
2
= .
ã
yxmx
2
'36(1)9
=-++
Hm s cú C, CT
m
2
'9(1)3.90
D
=+->
m
(;13)(13;)
ẻ-Ơ ẩ-++Ơ
Ta cú
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
ổử
+
Â
= +-++
ỗữ
ốứ
Gi s cỏc im cc i v cc tiu l
AxyBxy
1122
(;),(;)
, I l trung im ca AB.
ymmxm
2
11
2(22)41
ị=-+-++
; ymmxm
2
22
2(22)41
=-+-++
v:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ỡ
+=+
ớ
=
ợ
Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm
2
2(22)41
=-+-++
A, B i xng qua (d):
yx
1
2
=
ABd
Id
ỡ
^
ớ
ẻ
ợ
m
1
=
.
Cõu 10. Cho hm s
yxmxxm
32
3(1)9
=-++-
, vi
m
l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi
m
1
=
.
2) Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr ti
xx
12
,
sao cho xx
12
2
-Ê
.
ã
Ta cú yxmx
2
'36(1)9.
=-++
+ Hm s t cc i, cc tiu ti
xx
12
,
PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
PT xmx
2
2(1)30
-++=
cú hai nghim phõn bit l
xx
12
,
.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14
m
m
m
2
13
'(1)30
13
D
é
>-+
Û=+->Û
ê
<
ë
(1)
+ Theo định lý Viet ta có xxmxx
1212
2(1);3.
+=+=
Khi đó:
( ) ( )
xxxxxxm
22
121212
24441124
-£Û+-£Û+-£
mm
2
(1)431
Û+£Û-££
(2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là m
313
-£< và m
131.
-+<£
Câu 11. Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
1
3
->
.
·
Ta có:
yxmxm
2
'3(1222
)()
=-+-
+
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
Û=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<
)
m
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1
D
é
>
ê
Û= = >Û
ê
<-
ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm
xx
12
,
. Khi đó ta có:
mm
xxxx
1212
(12)2
;
3
2
3
+=-=
( ) ( )
xxxx xxxx
2
12 122 21
2
1
1
3
1
4
9
Û=+
>
->
mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
88
+-
Û >Û >Û>Ú<
Kết hợp (*), ta suy ra
mm
329
1
8
+
>Ú<-
Câu 12. Cho hàm số
yxmxmx
32
1
1
3
=-+-
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
1
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
8
-³
.
·
Ta có:
yxmxm
2
'2
=-+
.
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
Û=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<
)
Û
mm
2
0
D
¢
=->
Û
m
m
0
1
é
<
ê
>
ë
(*). Khi đó:
xxmxxm
1212
2,
+==
.
xx
12
8
-³
Û
xx
2
12
()64
-³
Û
mm
2
160
³
Û
m
m
165
2
165
2
é
-
£
ê
ê
+
ê
³
ê
ë
(thoả (*))
Câu 13. Cho hàm số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
= +-+
, với
m
là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m
2
=
.
2) Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
xx
12
,
sao cho xx
12
21
+=
.
·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
= +-
Hàm số có cực đại và cực tiểu
Û
y
0
¢
=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12
,
Û
2
m5m 7
00
D
¢
>Û-+>
(luôn đúng với
"
m)
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 15
Khi ú ta cú:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)
ỡ
+=-
ớ
=-
ợ
( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ỡ
=-
ù
ớ
-=-
ù
ợ
mmm
2
434
81690
4
-
+-==
.
Cõu 14. Cho hm s
yxmxx
32
43
=+-
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai im cc tr
xx
12
,
tha
xx
12
4
=- .
ã
yxmx
2
1223
Â
=+-
. Ta cú:
mm
2
360,
D
Â
=+>"
ị
hm s luụn cú 2 cc tr
xx
12
,
.
Khi ú:
m
xxxxxx
121212
1
4;;
64
ỡ
=-+=-=-
ớ
ợ
m
9
2
ị=
Cõu hi tng t:
a)
yxxmx
32
31
=+++
;
12
x 2x3
+=
S:
m15
0
=-
.
Cõu 15. Cho hm s yxaxax
32
1
34
3
= +
(1) (a l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi a = 1.
2) Tỡm a hm s (1) t cc tr ti
x
1
,
x
2
phõn bit v tho món iu kin:
xaxa
a
axaxa
2
2
12
22
21
29
2
29
++
+=
++
(2)
ã
yxaxa
2
23
Â
=
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
x x
12
,
aa
2
4120
D
=+>
a
a
3
0
ộ
<-
ờ
>
ở
(*). Khi ú
xxa
12
2
+=,
xxa
12
3
=-
.
Ta cú:
(
)
xaxaaxxaaa
22
1212
292124120
++=++=+>
Tng t: xaxaaa
22
21
294120
++=+>
Do ú: (2)
aaa
aaa
22
22
412
2
412
+
+=
+
aa
a
2
2
412
1
+
=
(
)
aa
340
+=
a
4
=-
Cõu 16. Cho hm s
yxmxmx
322
29121
=+++
(m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i ti x
C
, cc tiu ti x
CT
tha món:
CẹCT
xx
2
= .
ã
Ta cú:
yxmxmxmxm
2222
618126(32)
Â
=++=++
Hm s cú C v CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
D
=
m
2
> 0
m
0
ạ
Khi ú:
( ) ( )
xmmxmm
12
11
3,3
22
= =-+ .
Da vo bng xột du y
Â
, suy ra
CẹCT
xxxx
12
,
==
Do ú:
CẹCT
xx
2
=
mmmm
2
33
22
ổử
+
=
ỗữ
ốứ
m
2
=-
.
Cõu 17. Cho hm s ymxxmx
32
(2)35
=+++-
, m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 16
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh
l cỏc s dng.
ã
Cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh l cỏc s dng
PT
ymxxm =
2
'3(2)60
=+++ cú 2 nghim dng phõn bit
am
mm
mmm
m
mmm
P
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
0032
0
3(2)
202
3
0
2
D
D
ỡ
=+ạ
ù
=-+>
ỡ
ỡ
= +>-<<
ù
ùùù
<<-<<-
=>
ớớớ
+
ùùù
+<<-
ợ
ợ
-
ù
=>
ù
+
ợ
Cõu 18. Cho hm s
yxmxmx
322
11
(3)
32
=-+- (1), m l tham s.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú cỏc im cc tr
xx
12
,
vi xx
12
0,0
>>
v
xx
22
12
5
2
+=
.
ã
yxmxm
22
3
Â
=-+-
; yxmxm
22
030
Â
=-+-=
(2)
YCBT
P
S
xx
22
12
0
0
0
5
2
D
ỡ
>
ù
>
ù
>
ớ
ù
+=
ù
ợ
m
m
m
32
14
14
2
2
ỡ
<<
ù
=
ớ
=
ù
ợ
.
Cõu 19. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+-+-++
(m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi
honh ca im cc tiu nh hn 1.
ã
yxmxmgx
2
32(12)2()
Â
=+-+-=
YCBT
phng trỡnh y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
xx
12
,
tha món: xx
12
1
<<
.
mm
gm
Sm
2
450
(1)570
21
1
23
D
ỡ
Â
= >
ù
ù
=-+>
ớ
-
ù
=<
ù
ợ
m
57
45
<<
.
Cõu 20. Cho hm s
m
yxmxmx
32
(2)(1)2
3
=+-+-+
(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc i ti x
1
, cc tiu ti x
2
tha món xx
12
1
<<
.
ã Ta cú: ymxmxm
2
2(2)1
Â
=+-+-
;
y
0
Â
=
mxmxm
2
2(2)10
+-+-=
(1)
Hm s cú C ,CT tha món xx
12
1
<<
khi m > 0 v (1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1
t
tx
1
=-
ị
xt
1
=+
, thay vo (1) ta c:
mtmtm
2
(1)2(2)(1)10
++-++-=
mtmtm
2
4(1)450
+-+-=
(1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1
(2) cú 2 nghim õm phõn bit
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 17
m
P
S
0
0
0
0
D
ỡ
>
ù
Â
ù
>
ớ
>
ù
<
ù
ợ
m
54
43
<<
.
Cõu 21. Cho hm s
32
(12)(2)2
yxmxmxm
=+-+-++
(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú ớt nht 1 im cc tr cú honh thuc khong
(2;0)
-
.
ã
Ta cú:
yxmxm
2
32(12)2
Â
=+-+-
;
y
0
Â
=
xmxm
2
32(12)20
+-+-=
(*)
Hm s cú ớt nht 1 cc tr thuc
(2;0)
-
(*) cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
v cú ớt nht 1
nghim thuc
(2;0)
-
xx
xx
xx
12
12
12
20(1)
20(2)
20(3)
ộ
-<<<
ờ
-<<Ê
ờ
Ê-<<
ờ
ở
Ta cú:
( )( )
mm
mm
m
xx
m
mm
xx
m
xx
2
2
12
12
12
450
'450
21
20
3
10
20
(1)1
(21)2
2
7
40
220
33
0
0
3
4
2
D
ỡ
>
ỡ ù
= >
-
ù
ù
-<<
+
ù ù
ùù
-<<
-<<-
ớớ
++>
ùù
++>
ùù
-
>
ù
ù
ợ
>
ù
ợ
()
( ) ( )
( )( )
( )
mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
m
xx
2
2
12
12
450
'450
2
020
21
(2)2
2
220
3
421
2
220
40
33
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >
ù
ù
=-Ê
ùù
-
>-
ớớ
+++>
ùù
-
ùù
-
++>
ợ
++>
ù
ợ
( )
mm
mm
m
fm
m
m
xx
m
xx
2
2
12
12
450
'450
350
5
21060
21
(3)1
0
3
0
3
2
0
0
3
D
ỡ
>
ỡ
ù
= >
+
ù
ù
-=+Ê
ùù
-
-Ê<-
ớớ
<
+<
ùù
-
ùù
>
ợ
>
ù
ợ
Túm li cỏc giỏ tr m cn tỡm l:
)
m
5
;12;
3
ộử
ộ
ẻ ẩ+Ơ
ữ
ờ
ở
ởứ
Cõu 22. Cho hm s yxx
32
32
=-+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc ng thng d:
yx
32
=-
sao tng khong cỏch t M ti hai im cc
tr nh nht.
ã
Cỏc im cc tr l: A(0; 2), B(2; 2).
Xột biu thc
gxyxy
(,)32
=
ta cú:
AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
= =-<= =>
ị
2 im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca ng thng d:
yx
32
=-
.
Do ú MA + MB nh nht
3 im A, M, B thng hng
M l giao im ca d v AB.
Phng trỡnh ng thng AB:
yx
22
=-+
Ta im M l nghim ca h:
yx
xy
yx
42
32
;
22
55
ỡ
ỡ
=-
==
ớớ
=-+
ợ
ợ
ị
M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 18
Cõu 23. Cho hm s
yxmxmxmm
3223
33(1)
=-+ +
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.
ã
Ta cú yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
. Hm s (1) cú cc tr
PT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xmxm
22
210
-+-=
cú 2 nhim phõn bit
m
10,
D
=>"
Khi ú: im cc i
Amm
(1;22)
v im cc tiu
Bmm
(1;22)
+
Ta cú
m
OAOBmm
m
2
322
2610
322
ộ
=-+
=++=
ờ
=
ở
.
Cõu 24. Cho hm s yxxmx
32
32
= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d:
yx
43
=-+
.
ã Ta cú:
yxxm
2
'36
=
. Hm s cú C, CT
y
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
mm
'9303
D
=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
( ) ( )
mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++==== -
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
D
// d:
yx
43
=-+
m
m
m
2
24
3
3
23
3
ỡ
ổử
-+=-
ù
ỗữ
ù
ốứ
=
ớ
ổử
ù
-ạ
ỗữ
ù
ốứ
ợ
(tha món (*))
Cõu hi tng t:
a) yxmxmx
32
1
(54)2
3
=-+-+
,
dxy
:8390
++=
S:
mm
0;5
==
.
Cõu 25. Cho hm s yxmxx
32
73
=+++
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 5.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr
vuụng gúc vi ng thng d:
yx
37
=-
.
ã Ta cú: yxmx
2
'37
2+
=+
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
.
mm
2
'21021
D
=->> (*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
m
yxymx
2
1127
'(21)3
3999
ổửổử
=++-+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ị
m
yyxmx
2
111
27
()(21)3
99
ổử
==-+-
ỗữ
ốứ
;
m
yyxmx
2
222
27
()(21)3
99
ổử
==-+-
ỗữ
ốứ
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 19
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
m
ymx
2
27
(21)3
99
=-+-
D
^
d:
yx
43
=-+
m
m
2
21
2
(21).31
9
ỡ
>
ù
ớ
-=-
ù
ợ
m
310
2
=
.
Cõu 26. Cho hm s yxxmx
32
32
= +
cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d:
xy
450
+-=
mt gúc
0
45
=
a
.
ã Ta cú:
yxxm
2
'36
=
. Hm s cú C, CT
y
'0
=
cú 2 nghim phõn bit
xx
12
;
mm
'9303
D
=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
(
)
(
)
AxBx
yy
12
12
;;;
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
mm
yxyx
112
'22
3333
ổửổửổử
= ++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
ị
( ) ( )
mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++ ++==== -
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
mm
yx
2
22
33
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
t
m
k
2
2
3
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
. ng thng d:
xy
450
+-=
cú h s gúc bng
1
4
-
.
Ta cú:
k
k
mkk
kkk
m
k
1
3
39
11
1
4
5
10
44
tan45
115
1
1
1
1
443
2
4
ộ
ộ
ộ
+
=
=-
+=-
ờ ờ
ờ
=
ờ ờ
ờ
ờ
ờ
ờ
+=-+=-
=-
-
ờ
ờ
ờ
ở ở
ở
o
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m
1
2
=-
.
Cõu hi tng t:
a) yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)
= +-+
, dyx
1
:5
4
-
=+
,
0
45
=
a
. S:
m
315
2
=
Cõu 27. Cho hm s yxx
32
32
=-+
(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Tỡm m ng thng i qua hai im cc tr ca (C) tip xỳc vi ng trũn (S) cú
phng trỡnh xmym
22
()(1)5
-+ =
.
ã
Phng trỡnh ng thng
D
i qua hai im cc tr
xy
220
+-=
.
(S) cú tõm
Imm
(,1)
+
v bỏn kớnh R=
5
.
D
tip xỳc vi (S)
mm212
5
5
++-
= m
315
-=
mm
4
2;
3
-
==.
Cõu 28. Cho hm s
m
yxmxC
3
32()
=-+ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi
m
1
=
.
2) Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca
(
)
m
C
ct ng trũn tõm
I
(1;1)
,
bỏn kớnh bng 1 ti hai im phõn bit A, B sao cho din tớch DIAB t giỏ tr ln nht .
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 20
ã
Ta cú
yxm
2
'33
= Hm s cú C, CT
PT
y
'0
=
cú hai nghim phõn bit
m
0
>
Vỡ yxymx
1
.22
3
Â
=-+
nờn ng thng
D
i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
phng trỡnh l:
ymx
22
=-+
Ta cú
( )
m
dIR
m
2
21
,1
41
D
-
=<=
+
(vỡ m > 0)
ị
D
luụn ct ng trũn tõm I(1; 1), bỏn kớnh R
= 1 ti 2 im A, B phõn bit.
Vi m
1
2
ạ
:
D
khụng i qua I, ta cú:
ABI
SIAIBAIBR
2
111
sin
222
D
=Ê=
Nờn
IAB
S
D
t GTLN bng
1
2
khi
ã
AIB
sin1
=
hay
D
AIB vuụng cõn ti I
R
IH
1
22
==
m
m
m
2
21
123
2
2
41
-
==
+
(H l trung im ca AB)
Cõu 29. Cho hm s
yxmxxm
32
692
=+++ (1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t gc to O n
ng thng i qua hai im cc tr bng
4
5
.
ã
Ta cú:
y
Â
=
9123
2
++ mxx . Hm s cú 2 im cc tr
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
mm
2
3
'430
2
D
=->>
hoc
m
3
2
-
<
(*)
Khi ú ta cú:
xm
yymxm
2
2
.(68)4
33
ổử
Â
=++
ỗữ
ốứ
ị
ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s (1) cú PT l:
ymxm
2
:(68)4
D
=
m
dOmm
m
42
22
44
(,)64101370
5
(68)1
D
-
==-+=
-+
m
mloaùi
1
37
()
8
ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
ở
m
1
=
.
Cõu 30. Cho hm s yxxmxm
32
3(6)2
=-+-+-
(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im
A
(1;4)
-
n
ng thng i qua hai im cc tr bng
12
265
.
ã
Ta cú: yxxm
2
366
Â
=-+-
. Hm s cú 2 im cc tr
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
mm
2
33(6)09
D
Â
= ><
(*)
Ta cú: yxymxm
124
(1).64
333
ổử
Â
=-+-+-
ỗữ
ốứ
ị
PT ng thng qua 2 im cc tr
D
: ymxm
24
64
33
ổử
=-+-
ỗữ
ốứ
ị
m
dA
mm
2
61812
(,)
265
472333
D
-
==
-+
m
m
1
1053
249
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
(tho (*))
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 21
Cõu 31. Cho hm s
yxxmx
32
31
=-++
(1), vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im I
111
;
24
ổử
ỗữ
ốứ
n ng thng i qua hai im cc tr l ln nht.
ã
Ta cú:
yxxm
2
36
Â
=-+
. Hm s cú 2 im cc tr
PT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
03
D
Â
><
.
Ta cú:
xmm
yyx
12
21
3333
ổửổử
Â
=-+-++
ỗữỗữ
ốứốứ
ị
PT ng thng qua hai im cc tr l:
mm
yx
2
:21
33
D
ổử
=-++
ỗữ
ốứ
.
D dng tỡm c im c nh ca
D
l A
1
;2
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
. AI
3
1;
4
ổử
=
ỗữ
ốứ
uur
.
Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn
D
.
Ta cú
dIIHIA
(,)
D
=Ê
. Du "=" xy ra
IA
D
^
m
m
23
12.01
34
ổử
+-==
ỗữ
ốứ
.
Vy dI
5
max((,))
4
D
=
khi
m
1
=
.
Cõu 32. Cho hm s
m
yxmxmmxmmC
3232
3(1)3(2)3()
=++++++ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Chng minh rng vi mi m, th (Cm) luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2
im cc tr l khụng i.
ã
Ta cú: yxmxmm
2
36(1)6(2)
Â
=++++
;
xm
y
xm
2
0
ộ
=
Â
=
ờ
=-
ở
.
th (Cm) cú im cc i
Am
(2;4)
v im cc tiu
Bm
(;0)
-
ị
AB
25
= .
Cõu 33. Cho hm s
yxmxmxm
223
23(1)6=-+++.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s cú hai im cc tr A, B sao cho AB
2
= .
ã
Ta cú:
yxxm
6(1)()
Â
=
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
1
ạ
.
Khi ú cỏc im cc tr l
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+- .
AB
2
=
mmmm
223
(1)(331)2
-+ +=
mm
0;2
==
(tho iu kin).
Cõu 34. Cho hm s yxmxmxmm
3223
33(1)41
=-+ +-
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=-
.
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho DOAB vuụng ti O.
ã
Ta cú: yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
;
xmym
y
xmym
13
0
11
ộ
=+ị=-
Â
=
ờ
=-ị=+
ở
ị
Amm
(1;3)
+-
,
Bmm
(1;1)
-+
ị
OAmm
(1;3)
=+-
uuur
, OBmm
(1;1)
=-+
uuur
.
D
OAB vuụng ti O
OAOB
.0
=
uuuruuur
m
mm
m
2
1
2240
2
ộ
=-
=
ờ
=
ở
.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 22
Cõu 35. Cho hm s
yxmxmxm
223
23(1)6=-+++ (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
1
=
.
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho tam giỏc ABC vuụng ti
C, vi
C
(4;0)
.
ã
Ta cú:
yxxm
6(1)()
Â
=
. Hm s cú C, CT
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
1
ạ
.
Khi ú cỏc im cc tr l
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+- .
D
ABC vuụng ti C
ACBC
.0
=
uuuruuur
mmmmmm
222
(1)(1)3540
ộự
+-++-+=
ởỷ
m
1
=-
Cõu 36. Cho hm s
yxxm
32
3
=++
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
4
=-
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho
ã
AOB
0
120
= .
ã
Ta cú:
yxx
2
36
Â
=+;
xym
y
x ym
24
0
0
ộ
=-ị=+
Â
=
ờ
=ị=
ở
Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(
-
2 ; m + 4)
OAm OBm
(0;),(2;4)
==-+
uuuruuur
.
ã
AOB
0
120
= thỡ AOB
1
cos
2
=-
( )
( )
m
mm
mmmm
mm
mm
22
2
22
40
(4)1
4(4)2(4)
2
324440
4(4)
ỡ
-<<
+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++
m
m
m
40
1223
1223
3
3
ỡ
-<<
-+
ù
=
ớ
-
=
ù
ợ
Cõu 37. Cho hm s yxxmm
322
31
=-+-+
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc i, cc tiu l A v B sao cho din tớch tam
giỏc ABC bng 7, vi im C(2; 4 ).
ã
Ta cú
yxx
2
'36
=-
; yxxxx
2
'03600;2
=-===
ị
Hm s luụn cú C, CT.
Cỏc im C, CT ca th l: Amm
2
(0;1)
-+
, Bmm
2
(2;3)
, AB
22
2(4)25
=+-=
Phng trỡnh ng thng AB:
xymm
2
01
24
+-
=
-
xymm
2
210
+-+-=
ABC
mm
SdCABABmm
2
2
111
(,) 2517
22
5
D
-+
===-+=
m
m
3
2
ộ
=
ờ
=-
ở
.
Cõu hi tng t:
a) yxmxCS
3
32,(1;1),18
=-+=. S:
m
2
=
.
Cõu 38. Cho hm s yxmxmxm
32
3(1)1234
=-++-+
(C)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr l A v B sao cho hai im ny cựng vi im
C
9
1;
2
ổử
ỗữ
ốứ
lp thnh tam giỏc nhn gc ta O lm trng tõm.
ã Ta cú
yxmxm
2
'33(1)12
=-++ . Hm s cú hai cc tr
y
0
Â
=
cú hai nghim phõn bit
mm
2
(1)01
D=->ạ
(*). Khi ú hai cc tr l AmBmmmm
32
(2;9),(2;41234)
-+-+
.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 23
D
ABC nhn O lm trng tõm
m
m
mmm
32
2210
1
9
412640
2
2
ỡ
+-=
ù
=-
ớ
-+++-=
ù
ợ
(tho (*)).
Cõu 39. Cho hm s
yfxxmxm
32
()23(3)113
==+-+- (
m
C
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m
m
C
()
cú hai im cc tr
MM
12
,
sao cho cỏc im
MM
12
,
v B(0; 1) thng
hng.
ã yxm
2
66(3)
Â
=+-
.
y
0
Â
=
x
xm
0
3
ộ
=
ờ
=-
ở
. Hm s cú 2 cc tr
m
3
ạ
(*).
Chia
fx
()
cho
fx
()
Â
ta c:
m
fxfxxmxm
13
2
()()(3)113
36
ổử
-
Â
=+ +-
ỗữ
ốứ
ị
phng trỡnh ng thng M
1
M
2
l:
ymxm
2
(3)113
= +-
MMB
12
,,
thng hng
BMM
12
ẻ
m
4
=
(tho (*)).
Cõu 40. Cho hm s
m
yxmxmxC
322
1
(1)1()
3
=-+-+ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi
m
2
=
.
2) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v
CẹCT
yy
2
+>
.
ã
Ta cú: yxmxm
22
21
Â
=-+-
.
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở
.
CẹCT
yy
2
+>
m
mm
m
3
10
2222
1
ộ
-<<
-+>
ờ
>
ở
.
Cõu 41. Cho hm s yxmxm
323
14
(1)(1)
33
=-+++
(1) (m l tham s thc).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m cỏc im cc i v cc tiu ca th (1) nm v 2 phớa (phớa trong v phớa
ngoi) ca ng trũn cú phng trỡnh (C): xyx
22
430
+-+=
.
ã
yxmx
2
2(1)
Â
=-+.
x
y
xm
0
0
2(1)
ộ
=
Â
=
ờ
=+
ở
. Hm s cú cc tr
m
1
ạ-
(1)
Gi hai im cc tr ca th l: Am
3
4
0;(1)
3
ổử
+
ỗữ
ốứ
,
Bm
(2(1);0)
+
.
(C) cú tõm I(2; 0), bỏn kớnh R = 1. IAm
6
16
4(1)
9
=++,
IBm
2
4= .
A, B nm v hai phớa ca (C)
IARIBR
2222
()()0
<
mm
2
11
410
22
-<-<<
(2)
Kt hp (1), (2), ta suy ra: m
11
22
-<<
.
Cõu 42. Cho hm s
yxmxmxm
3223
33(1)
=-+
(C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m
2
=-
.
2) Chng minh rng (C
m
) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.
ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
;
xm
y
xm
1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 24
im cc i
Mmm
(1;23)
chy trờn ng thng c nh:
xt
yt
1
23
ỡ
=-+
ớ
=-
ợ
im cc tiu
Nmm
(1;2)
+
chy trờn ng thng c nh:
xt
yt
1
23
ỡ
=+
ớ
=
ợ
Cõu 43. Cho hm s
m
yxmxxmC
32
1
1()
3
= ++ .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2 im cc tr l nh nht.
ã
Ta cú:
yxmx
2
21
Â
=
;
y
0
Â
=
cú
mm
2
10,
D
Â
=+>"
ị
hm s luụn cú hai im cc tr
xx
12
,
. Gi s cỏc im cc tr ca (Cm) l
AxyBxy
1122
(;),(;)
.
Ta cú: yxmymxm
2
122
().(1)1
333
Â
= +++
ị
ymxm
2
11
22
(1)1
33
=-+++
; ymxm
2
22
22
(1)1
33
=-+++
Do ú: ABxxyymm
222222
2121
44
()()(44)1(1)41
99
ộựổử
=-+-=++++
ỗữ
ờỳ
ởỷốứ
ị
AB
213
3
. Du "=" xy ra
m
0
=
. Vy
AB
213
min
3
=
khi
m
0
=
.
Cõu 44. Cho hm s yxxmx
32
32(1)
= + .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2) Tỡm m hm s (1) cú 2 cc tr v ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s
to vi hai trc to mt tam giỏc cõn.
ã
yxxm
2
36
Â
=
. Hm s cú 2 cc tr
y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
m
3
>-
.
Ta cú:
mm
yxyx
12
(1).22
333
ổử
Â
=-+ +-
ỗữ
ốứ
ị
ng thng
D
i qua 2 im cc tr ca
th cú phng trỡnh:
mm
yx
2
22
33
ổử
= +-
ỗữ
ốứ
.
D
ct Ox, Oy ti
m
A
m
6
;0
2(3)
ổử
-
ỗữ
+
ốứ
,
m
B
6
0;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
(m
ạ
0).
Tam giỏc OAB cõn
OA = OB
mm
m
66
2(3)3
=
+
mmm
93
6;;
22
==-=-
.
i chiu iu kin ta cú m
3
2
=-
.
Cõu 45. Cho hm s : y =
xmxmmx
322
1
(1)1
3
-+-++
(1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong
(;1)
-Ơ
.
ã
Tp xỏc nh D = R. yxmxmm
22
21
Â
=-+-+
.
t
txxt
11
=-ị=+
ta c :
(
)
ygttmtmm
22
'()2132
==+-+-+
Hm s(1) cú cc tr trong khong
(;1)
-Ơ
fx
()0
=
cú nghim trong khong
(;1)
-Ơ
.
www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
www.MATHVN.com
