Bài giảng giải tích 1 bài 2

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 2.
(§6, §7, §8)
§6. Giới hạn hàm số
 Đặt vấn đề
a) lim 2x  ?
x 1

1
?
x 0 x

b) lim

1
?
x  x

c) lim

I. Định nghĩa
 ĐN1. x0   là điểm tụ của X    (U  ( xo ) \  xo )  X   ,   > 0.
 ĐN2. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo
lim f  x   a   (xn)  X, xn  x0, xn  x0  f(xn)  a.

x  x0

 ĐN3. f(x) xác định trên X, x0 là điểm tụ của X. Ta bảo

lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,  () > 0: 0 < |x  x0| < ()  |f(x)  a| < .

x  x0

Chú ý. ĐN2  ĐN3.
Ví dụ 1. lim  3 x  2 

Ví dụ 2. lim cos

x 2

x 0

1
x

II. Tính chất và phép toán
1) Tính chất
a) lim f  x   a,
x  x0

lim f  x   b  a = b

x  x0

b) lim f  x   a  lim  f  x   a   0
x  x0

x  x0

c) f(x) = c  lim f  x   c
x  x0

d) f(x)  h(x)  g(x), x  U 0  x0  ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a
x  x0

x  x0

x  x0

e) lim f  x   a , f(x)  c, x  U 0  x0  \ x0   a  c
x  x0

f) lim f  x   a , a > p  f(x) > p, x  U0  x0  \ x0 
x  x0

2. Phép toán
a) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x   g  x    a  b
x  x0

x  x0

x  x0

f x a
 , (b  0)
x  x0 g  x 
b

b) lim f  x   a, lim g  x   b  lim  f  x  .g  x    a.b và lim
x x0

x x0

x  x0

6


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



3. Khử dạng vô định
a) Các dạng vô định

0 
;
; 0. ;    ; 1 ; 00 ; 0
0 

b) Khử dạng vô định. Sử dụng các phép biến đổi đại số và các giới hạn đặc biệt
x

sin x
1

lim

 1 ; lim  1    e
x 0 x
x  
x
Ví dụ 1. lim

x 0

x4 2
x

 x 2
Ví dụ 3. lim 

x 1 x  1 

x

b) lim  1  cos 
x 0 
3

Ví dụ 2. lim  2  x  tan
x 2

2 x 1

cot2 x

Ví dụ 4. a) lim  cos x 

x 0

tan x

( 1)

x
4

1
x

 1  sinx
c) lim 

x 0  1  2 sin x 

(e



1
2)

( e9 )

III. Giới hạn hàm hợp, một phía, vô cực
1. Giới hạn hàm hợp. lim u  x   u0 , lim f u   a  lim f u  x    a
x  x0

u u0

x  x0

2. Giới hạn một phía.
Định nghĩa 4.

lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,  () > 0: 0 < x  x0 < ()  |f(x)  a| < .

x  x0

Định nghĩa 5.

lim f  x   b    > 0 bé tuỳ ý,  () > 0: 0 < x0  x < ()  |f(x)  b| < .

x  x0

Mối liên hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn
lim f  x   a  lim f  x   a  lim f  x 
x  x0

x  x0

x  x0

3. Giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực
Định nghĩa 6.
lim f  x   a   (xn)   có lim f  xn   a
n 

x 

Định nghĩa 7. lim f  x   a    > 0 bé tuỳ ý,  N() > 0: |x| > N()  |f(x)  a| < .
x 

Chú ý. ĐN6  ĐN7.
Ví dụ 1. lim
x 

x2  4  x
5

4

Ví dụ 2. lim

x 

x  x  2x

7



x 1 x 


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Ví dụ 3. lim

1
1

x x



Ví dụ 4. lim sin x  sin 1  x 2
x 

x 1

2

b) lim  cos 
x  
x
lim f  x      (xn)   có lim f  xn   

Ví dụ 5. a) lim  cos x  1  cos x  1 (0),
x 

Định nghĩa 8.



(0)

x2

. ( e 2 )

n 

x 

Định nghĩa 9

lim f  x      N > 0 lớn tuỳ ý,  (N) > 0: |x  x0| < (N)  |f(x)| > N.

x  x0

Khi đó ta bảo f ( x ) không có giới hạn khi x  x0 .
§7. Vô cùng bé, vô cùng lớn
 Đặt vấn đề
I. Vô cùng bé
I. Định nghĩa. (x) là VCB, x  x0  lim   x   0 .
x  x0

2. Tính chất.
a) (x) là VCB, x  x0, c = const  c(x) là VCB khi x  x0.
n

b) i(x), i  1, n là VCB khi x  x0 

 i  x  là VCB khi x  x

0

i 1

c) (x) là VCB khi x  x0, f(x) bị chặn trong U (x0)  (x)f(x) là VCB, x  x0
0
3. Liên hệ giữa VCB và giới hạn
Định lí. lim f ( x )  L  f(x)  L là VCB khi x  x0 (hay f(x) = L + (x), (x) là VCB)
x  x0

4. So sánh VCB. Giả sử (x), (x) là các VCB khi x  x0.
  x
Định nghĩa. (x)  (x)  lim
1
x  x0   x 

 x
 a   \{0}
x  x0   x 
 x
Định nghĩa. (x) là VCB cấp cao hơn VCB (x) khi x  x0  lim
0
x  x0   x 
Ví dụ 1.
a) sinx  x, ex  1  x, ln(1 + x)  x, (1 + x)  1  x khi x  0
1
ex
b) Cho   x  
,   x   e  1  x  x .
2

Chứng minh rằng   x     x  khi x  0.
Định nghĩa. (x) là VCB cùng cấp với VCB (x) khi x  x0  lim

8


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo


1

c) Cho   x   e  1  2x  2 x ,   x   ex .
Chứng minh rằng   x     x  khi x  0.
d) So sánh hai VCB sau trong

quá

2

  x   tan( x )  e( x 1)  1,   x   1  cos x  ln x.

trình

x 1

(2 VCB cùng bậc)

5. Ứng dụng tìm giới hạn

 x

  x
 lim
x  x0   x 
x  x0   x 

a) (x)    x  , (x)    x  , x  x0  lim

 e x  1 tan x

1 3x 4 1  4x  1
Ví dụ 2. lim
Ví dụ 3. lim
x 0
x 0
1 x  1
sin2 x
b) (x) là VCB cấp cao hơn (x) khi x  x0  (x) +  (x)  (x)
Ví dụ 4. lim

3

( 4)

x  sin x
x3

x 0

c) (x),  (x) là các VCB khi x  x0;
m

 x 

 k  x  ,  (x) là VCB có cấp thấp nhất;
1

k 1
n

 x 



 k  x  , 1(x) là VCB có cấp thấp nhất

 x
  x
 lim 1
x  x0   x 
x  x0 1  x 

 lim

k 1

x  sin3 x  tan4 x

Ví dụ 5. a) lim

x 0

b) 1) lim

x 2 ln(1  4 x )

x 0 2 x 3

3) lim
x 0

4x  x 4  5 x8

 3 tan x 4

x 3 (e2 x  1)
x 4  2x 5

(2)

2) lim

x 0

(2)

4) lim
x 0

x ln(1  3 x 2 )
x 3  2sin4 x

x 3 (e3 x  1)
x 4  3x5

(3)
(3)

II. Vô cùng lớn
1. Định nghĩa. f(x) xác định U 0 (x0) (có thể trừ x0), f(x) là VCL khi x  x0
 lim f  x   
x  x0

Chú ý. Hàm là VCL  không bị chặn


Ví dụ 6. f(x) = x sinx là không bị chặn nhưng không phải là VCL.
2. Liên hệ giữa VCB và VCL
a) f(x) là VCB, x  x0 và f(x)  0 

1
là VCL khi x  x0.
f x
9

:


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

1
là VCB khi x  x0.
f x
3. So sánh các VCL. Giả sử A(x), B(x) là các VCL khi x  x0,
Ax
a) A(x) là VCL cấp cao hơn VCL B(x), x  x0  lim

x  x0 B  x 
Ax 
b) A(x), B(x) là các VCL cùng cấp, x  x0  lim
a 0
x  x0 B  x 
b) f(x) là VCL, x  x0 

Ax
 1.
x  x0 B  x 

c) A(x), B(x) là các VCL tương đương, x  x0  lim
4. Ứng dụng tìm giới hạn

a) Cho các VCL tương đương A(x)  A  x  , B(x)  B  x  ,
Ax
Ax
x  x0  lim
 lim
x  x0 B  x 
x  x0 B  x 
b) Cho A(x), B(x) là các VCL khi x  x0;
m

Ax 

 Ak  x  , A (x) là VCL có cấp cao nhất;
1

k 1
n

Bx 

 Bk  x  , B (x) là VCL có cấp cao nhất
1

k 1

A x
A x
 lim 1
x  x0 B  x 
x  x0 B1  x 

 lim

9x 4  x3  x  2

Ví dụ 7. lim

x  2009 x 4

 3x 2  x  1
Ví dụ 8. Tính giới hạn
cot( x 2 1)

a) lim (2  x )
x 1

(e





9
2009

1
2)

cot(1 x 2 )

b) lim (2  x )
x 1

x

(1  9 x )ln(1  3 x )

(1  4 )ln(1  2 x )

( 2ln 4 )
d) lim
x 0
x 2  2x 3
e) 1) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x   :
1
1
1
 ( x )  ln(1  )sin
và  (x)  2 , (a=1)
x
x
ax
2) Tìm a để các VCB sau tương đương khi x  0 :
c) lim

x 0

 ( x )  ln(1  ax2 ) và  (x)  ( 1  x 2  1) , (a=-0,5)
3) lim 
x 0

1  t anx  1  sinx
ln(1  x 3 )

, (

1
)
4

10

3x 2  4x3

1
2
(e )

( 2ln3 )


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



§ 8. HÀM SỐ LIÊN TỤC
 Đặt vấn đề
I. Hàm liên tục
1. Định nghĩa. f(x) liên tục tại x0 

+) f(x) xác định trên U 0 (x0)
+) lim f ( x )  f ( x0 ) ( lim f  x   0 )
x  x0

f(x) liên tục trái tại x0 

 x 0

+) f(x) xác định trên U (x0)  {x < x0}
0

+) lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0

Tương tự ta có ĐN liên tục phải.
Định nghĩa. f(x) liên tục trên (a ; b)  f(x) liên tục tại  x  (a ; b)
f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) liên tục trong (a ; b), liên tục trái tại b và liên tục phải tại a.

1

x sin ,

Ví dụ 1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0: f  x   
x
a,
1

sin

x  1,

Ví dụ 2.
a) Tìm a để y   1
 2 x 1  1
a,

liên tục tại x = 1.
(  a)

1


sin

x  1,

b) Tìm a để y   1
 2 x 1  1
a,

liên tục tại x = 1.
Ví dụ 3.

x 1
x 1

x  1
x  1

(  a)

a sin  arccot x  , x  0
a) Tìm a để y  
2
cosln x  cosln  x  x  , x  0

liên tục tại x = 0.

(a = 0).
a cos  arctan x  , x  0
b) Tìm a để y  
2

sinln  x  x   sinln x, x  0
liên tục tại x = 0.
(a = 0).

11

x0
x0


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



 ln(1  x )  sinx
x 0

c) Tìm a để y  
x sin x

a
x 0
1  cos2x

d) Xét tính liên tục của f ( x )   ln(1  x 2 )

0


liên tục tại x = 0.

x0

.

1
(  ).
2

(chỉ liên tục tại x  0 ).

x 0

2. Tính liên tục của các hàm sơ cấp. Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên các
khoảng mà hàm số đó xác định.
3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên tục tại x0  f(x)  g(x) liên tục tại x0, f(x)g(x) liên
f x
tục tại x0 và
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0
g x
4. Ý nghĩa. f(x) liên tục trên [a ; b]  đồ thị là đường liền nét.
5. Tính chất
Định lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) bị chặn trên [a ; b]
Định lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên tục trên [a ; b]  f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé
nhất trên [a ; b]
Định lí 3 (Bolzano-Cauchy). f(x) liên tục trên [a ; b], M = max f , N = min f ,  
a ; b 
a ; b 
[m ; M]   c  [a ; b]: f(c) = .
Hệ quả. f(x) liên tục trên [a ; b], f(a)f(b) < 0   c  (a ; b): f(c) = 0.

6. Điểm gián đoạn
Định nghĩa. f(x) xác định U (x0), gián đoạn tại x0  f(x) không liên tục tại x0.
0
f(x) xác định U (x0)\{x0} thì ta bảo f(x) gián đoạn tại x0
0
Định nghĩa. Điểm gián đoạn x0 của hàm f(x) là điểm gián đoạn loại 1
  lim f  x  ,  lim f  x  .
x  x0

x  x0

Các điểm gián đoạn còn lại được gọi là điểm gián đoạn loại 2.

sin x
Ví dụ 4. f  x  
x
Ví dụ 5. f  x  

1
ex

Ví dụ 6. Phân loại điểm gián đoạn của hàm số
a) f ( x ) 

1
x 1
1 2 x

(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)

12


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

b) f ( x ) 

1



(x = 1, loại 2; x = 0, loại 1)

x 1
1 3 x

Ví dụ 7. Các điểm sau là các điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a) x = 0 ; f ( x ) 

1
cot x

23
II. Hàm số liên tục đều

(loại 1)

b) x 



1
, f (x) 
2
3  2tan x

(loại 1)

Định nghĩa. f(x) liên tục đều trên X    > 0 bé tuỳ ý.  () > 0,  x1, x2  X,
|x1  x2| < ()  |f(x1)  f(x2)| < .
Ví dụ 8. a) y = x + 2.

1
 , x  (0 ; 1]
b) y   x
0,
x 0

Định lí (Cantor). f(x) liên tục trong [a ; b]  f(x) liên tục đều trong [a ; b]

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

13