ĐỀ KIỂM TRA đội TUYỂN lớp 9

KIM TRA I TUYN LP 9 - LN 1
MễN: TON
(Thi gian lm bi: 150 phỳt)
Ngy kim tra: 25/11/2015
Cõu 1 (4 im) Cho biu thc:
P=

(

x

)(

x + y 1 y



) (

y
x+ y

)(



) (

x +1

xy

)(

x +1 1 y

)

a, Pỳt gn biu thc P
b, Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x; y tho món P = 2.
Cõu 2 (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau:
a,

2x
13 x
+ 2
=6
3x 5 x + 2 3 x + x + 2
2

b, 4 x 2 1 + x = 2 x 2 x + 2 x + 1

Cõu 3 (2 im) Cho a; b; c; d l cỏc s nguyờn tho món a5 + b5 = 4(c5 + d5). Chng
minh rng a + b + c + d chia ht cho 5.
1

3

Cõu 4 (2 im) Cho x = 2 3 2 2 3 + 1 . Tớnh giỏ tr ca biu thc:
( )
A=

4 ( x + 1) x 2015 2 x 2014 + 2 x + 1
2 x 2 + 3x

Cõu 5 (4,5 điểm):
Cho điểm M nằm trên đờng tròn (O), đờng kính AB. Dựng đờng tròn (M) tiếp
xúc với AB. Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đờng tròn (M).
a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng.
b) Chứng minh AC + BD không đổi.
c) Tìm vị trí của điểm M sao cho AC. BD lớn nhất.
Câu 6 (1,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = 3 sin A + 3 sin B + 3 sin C
Cõu 7 (2 im) Cho a; b; c l cỏc s thc tho món 0 < a; b; c < 1 v ab + ac + bc =1.
Chng minh rng:

a 2 ( 1 2b ) b 2 ( 1 2c ) c 2 ( 1 2a )
+
+
32
b
c
a

(Ht)

Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh cm tay.


P N
Cõu 1 (4 im) Cho biu thc:

a, KX: x 0; y 0; y 1; x + y 0
P=

x

(

)(

y



xy



) ( x + y ) ( x + 1) ( x + 1) ( 1 y )
x ( x + 1) y ( 1 y ) xy ( x + y )
=
( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1)
x x + x y + y y xy ( x + y )
=
( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1)
( x + y ) ( x xy + y ) + ( x + y ) ( x y ) xy ( x + y )
=
( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1)
( x + y ) ( x xy + y + x y xy )
=
( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1)

( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1) ( x y + xy )
=
( x + y ) ( 1 y ) ( x + 1)
x + y 1 y

= x y + xy

b, P = 2



x +

xy



x 1+

y

(

) (

y = 2 vi x 0; y 0; y 1; x + y 0

)

y +1 =1

(

)(

x 1 1 +

)

y =1

Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào P ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn

Cõu 2 a, KX: x 1; x

2
3

2x
13 x
+ 2
=6
3x 5 x + 2 3 x + x + 2
2
13

+
=6
2

2
3x 5 +
3x + 1 +
x
x
2
13
2
t y = 3x + . Ta cú phng trỡnh: y 5 + y + 1 = 6
x
a,

2

Gii phng trỡnh trờn ta c: y = 1; y = 5,5
2
x

Vi y = 1 ta cú pt 3x + =1 vụ nghim.
2
x

1
2

4
3

Vi y = 5,5 ta cú pt 3x + =5,5 cú nghim x = ; x = .
1

2

So sỏnh vi KX ta cú pt cú hai nghim: x = ; x =

4
3


b, ĐKXĐ: x ≥

1
2

Biến đổi phương trình về dạng
Từ đó suy ra nghiệm x = 1

(

2x +1 − x

)(

)

2x −1 −1 = 0

Câu 3:
a5 + b5 = 4(c5 + d5) ⇒ a5 + b5 +c5 + d5 = 5(c5 + d5) ⇒ a5 + b5 +c5 + d5 M5
Ta chứng minh a5 – a M5 với mọi số nguyên a.
Chứng minh tương tự ta có: b5 – b M5; c5 – c M5; d5 – d M5 với mọi số nguyên b; c; d.

Do đó: (a5 – a) + ( b5 – b) + (c5 – c) + (d5 – d) M5
(a5 + b5 +c5 + d5) – (a + b + c + d) M5
Mà a5 + b5 +c5 + d5 M5 nên a + b + c + d M5
Câu 4: Rút gọn được x =

3 −1
.
2

Do đó x là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2x – 1 = 0.
2014
2
4 ( x + 1) x 2015 − 2 x 2014 + 2 x + 1 2 x ( 2 x + 2 x − 1) + 2 x + 1 2 x + 1
1
A=
=
=
= 2−
2
2
2 x + 3x
(2 x + 2 x − 1) + x + 1
x +1
x +1

Thay x =

3 −1
ta được A = 3 2

3.

Câu 7:
Đặt vế trái của BĐT cần c/m là A
Từ GT ta c/m được a + b + c ≥ 3
Vì 0 < a, b, c < 1 nên áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:
a2 ( 1− b)
+ b ( 1 − b ) ≥ 2a ( 1 − b )
b
b2 ( 1 − c )
+ c ( 1 − c ) ≥ 2b ( 1 − c )
c
c2 ( 1 − a )
+ a ( 1 − a ) ≥ 2c ( 1 − a )
a

Cộng vế với vế suy ra:
A + a + b +c ≥ 2(a + b + c) – 2(ab + bc + ca)
 A ≥a + b + c – 2
 A ≥ 3 -2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

1
3


PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
TRƯỜNG THCS LÊ THÁNH TÔNG

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LẦN 5
Năm học: 2015 – 2016
Ngày kiểm tra: 30/01/2016
 8x x

1

x x −1  

3x x − 2 

 : 1 −

+
Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: M=  3 −
 
3 x x + 1 
 9 x − 1 3x x + 1 3x x − 1  
a, Rót gän M

b, T×m x ®Ó M =

3
2

Bài 2 (4 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a, 3 ( x + 1) x 2 + x + 3 − 3 x 2 − 4 x − 7 = 0

1 
1

 x − ÷ y + ÷ = 2
y 
x
b, 
 2
2
 2 x y + xy − 4 xy = 2 x − y

Bài 3 (4 điểm)
a, Tìm x, y nguyên thoả mãn: 3x2 – 2y2 – 5xy + x = 2y + 7
b, Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thoả mãn tổng
của 11 phần tử bất kì luôn lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết rằng số 101 và
102 nằm trong tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A
Bài 4 ( 6 điểm) Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối
của tia AB lấy điểm M và qua M kẻ các tiếp tuyến MD, MC với đường tròn (O2) (D,
C là tiếp điểm, D nằm trong đường tròn(O1)). Đường thẳng CA cắt đường tròn (O1) tại
điểm thứ hai là P; đường thẳng AD cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai là Q; tiếp
tuyến của đường tròn (O2) tại A cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai là K; giao điểm
của các đường thẳng CD, BP là E; giao điểm của các đường thẳng BK, AD là F.
1. Chứng minh bốn điểm B, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh

BC CP CA
=
=
BD DQ DA

3. Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm đoạn thẳng PQ.
Bài 5 ( 2 điểm)
Cho x ≥ y, x ≥ z và 1 ≤ x, y, z ≤ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A=

x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x

Hết
(Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính CASIO)