Đề số 1 kiểm tra đội tuyển

BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian: 120 phút, không kể giao đề)
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =
2 1 2 1x x x x+ − + − −
Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 +
2 1 2
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
+ − − + −
− ×
 ÷
 ÷
−
− −
 
a. Rút gọn B
b. Chứng minh rằng B >
3
2
Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1.
Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4
( )
2 a + b + c + d≥
Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D
và cắt AC tại E.
a. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE

không lớn hơn
1
4
diện tích tam giác ABC
b. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất?
HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức)
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian: 120 phút, không kể giao đề)
Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =
2 1 2 1x x x x+ − + − −
ĐK:
1x ≥
A =
1 2 1 1 1 2 1 1x x x x− + − + + − − − +
( đ)
=
( ) ( )
2 2
1 1 1 1x x− + + − −
( đ)
=
1 1 1 1x x− + + − −
( đ)
=
1 1 1 1x x− + + − −
( đ)
Với
1 2 A 1 1 1 1 2x x x≤ < ⇒ = + + − − + =
( đ)
Với

2 A 1 1 1 1 2 1x x x x≥ ⇒ = − + + − − = −
( đ)
Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 +
2 1 2
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a
 
+ − − + −
− ×
 ÷
 ÷
−
− −
 
a. B =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 1
2 .
1
2 1
1 1 1 1
a a a a
a a a a
a
a a a a a

 
 
+ − −
− +
 
 ÷
+ −
 
 ÷
−
− + − + +
 
 
 
( đ)
= 1 +
( ) ( )
( )
1
2 1 2 .
1 2 1
1 1
a a
a a a a a
a a
a a a
   
− −
− − +
 ÷  ÷

− ×
 ÷  ÷
− −
− + +
   
( đ)
= 1 +
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 1 1 2 1
2 1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a a
   
− + + − − + − −
 ÷  ÷
×
 ÷  ÷
−
− + +
   
( đ)
= 1 +
( ) ( )
( )
1
2 2 2 1 2

2 1
1 1
a a
a a a a a a a a a a
a
a a a
 
− −
+ + − − − − + −
 ÷
×
 ÷
−
− + +
 
( đ)
= 1 +
( ) ( )
( )
1
2 1
2 1
1 1
a a
a
a
a a a
− −
−
×

−
− + +
( đ)
= 1 +
1
1 1
a a
a a a a
− +
=
+ + + +
(ĐK:
1
0; 1;
4
a a a≥ ≠ ≠
) ( đ)
b. Ta có:
( )
( )
2
1 0 0 1 2a a a a− ≥ ∀ ≥ ⇔ + ≥
( đ)
1
2
a
a
+
⇔ ≤
( đ)

Nên
( )
1 3
1 1 1
2 2
a
a a a a
+
+ + ≤ + + = +
(*) ( đ)
Mặt khác
1 0a a+ + >
nên chia cả hai vế của (*) cho
( )
3
1
2
a a+ +
ta có:
1 2
3
1
a
a a
+
≥
+ +
và vì
1a
≠

nên dấu “=” không x ảy ra. Vậy B >
2
Víi a 0; a 1
3
≥ ≠
; a
1
4
≠
( đ)
Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1.
Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4
( )
2 a + b + c + d≥
Xét hiệu:
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
4 2 2a b c d a b c d+ + + − + − +
( đ)
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4a b c d a b c d
   
+ + − + − + −
   
( đ)
=
( ) ( ) ( )

2 2 2a b c d c d+ + − − + −
( đ)
=
( ) ( )
2 2c d a b+ − + −
( đ)
Do
, , , lµ c¸c sè d­¬nga b c d
và
. . 1a b c d
= =
nên ta có
. . 1a b c d= =
( đ)
=>
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2c d a b c d cd a b ab+ − + − = + − + −
( đ)
=>
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2c d a b c d a b+ − + − = − −
( đ)
( ) ( )
2 2
0; 0c d a b− ≥ − ≥
nên
( ) ( )

2 2
0c d a b− × − ≥
hay:
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
4 2 2 0a b c d a b c d+ + + − + − + ≥
( đ)
Tức là: (a + b).(c + d) + 4
( )
2 a + b + c + d≥
( đ)
Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại
E.
a. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn
hơn
1
4
diện tích tam giác ABC
b. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất?
CM
a. Kẻ AH
⊥
BC cát DE tại K. Đạt AH = h,
AK = k ta có:
PDE
ABC
S DE h - k
P =

S BC h
= ×
( đ)
Vì
( )
2
k. h - k
DE k
= nªn P =
BC h h
( đ)
Áp dụng BĐT:
( )
2 , 0a a b a b≤ + ≥
.
Dấu “=” xảy ra khi
æng kh«ng ®æi th× tÝch lín nhÊt khi a = b.a b T= ⇒
( đ)
Ta có k + h – k = h không đổi k
( )
0; 0 . ín nhÊt khi k = h - k
2
h
h k k h k l k≥ − ≥ ⇒ − ⇒ =
( đ)
2
2
1 1
4
4 4

PDE ABC
h
P S S
h
⇒ ≤ = ⇒ ≤
( đ)
b. S
PDE
lớn nhất khi k =
tøc DE lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC.
2
h
( đ)
B
C
E
H
D
h
k
A
P
K