Các phương pháp hiện đại trong nghiên cứu tính toán thiết kế kỹ thuật điện đặng văn đào

THƯ VIỆN
đại học THUỲSẢN

ÁN ĐÀO - LÊ VÃN DOANH
>v

Đ
621.3
Đ 116 Đ

i!

$Êm m
i a i

Cóc phưoig n tm ẫ m
hỉện <5ọf

m

N

G

llG H IÊ N CỨLl
TÍN H TO Á N
TH IẾ T KÊ'

kỹ thuật điện
thu vien dai hoc thu / san

nùtUỷ
11INI III llll llll 11111

<£ũ ctếu vác

tíu: ttiêu cảu cẩúny t<ỳi

1000012718

Xin vui lòng:
•
•

Không xé sách
Không gạch, viết, vẽ len sách

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HQC VÀ KỸ THUÂT


ĐẶNG VĂN ĐÀO - LÊ VĂN DOANH
THŨ Vi ẺN

*' » I
âẳlItyĩ 4M$âN|

I
^

C c -Z .zf

\

Sỳj(e>%
L . ********* »«»** -*»<«-«* mỀ"~*tíầ

CÁC PHƯ0NG PHÁP HIỆN BẠI
TRONG NGHIỀN cứu TÌNH TOÁN THIẾT KÊ
Kỉ THUẬT DIỆN
T H Ư T iệ n . :
|,lRlỊÌ!lGWl:'ật
; sỉX -ý slề

NHAXUAT BAN KHOA HỌC VA KY THUẠT
HÀ NỘI - 2001


M ực LỤC
Trang

Mỏ ĐẨU

5

Chương 1 : THIẾT LẬP Mỏ IIÌNH TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Nguồn của trường điện từ
1.2. Điện trường E
1.3. Từ cảm B
1.4. Điện thế vô hướng cp. Từ thế véctơ A
1.5. Biêu thức trường trong hệ toạ độ chuyển động
1.6. Hệ phương trình Maxwell

1.7. Điều kiện biên giới giữa hai môi trường
1.8. Điều kiện bờ
1.9. Thiết lập mô hình - Phân loại mô hình
1.10. Mô hình trường điện từ tông quát viết cho H
1.11. Mô hình trường điện từ tổng quát viết cho E
1.12. Mô hình trường điện từ tổng quát viết cho (pvh Ă
1.13. Mô hình điện trường tĩnh trong điện môi
1.14. Mô hình trường dòng điện không đổi trong vật dẫn
1.15. Mô hình từ tĩnh
1.16. Mô hình từ động

13
14
15
17
18
19
22
23
23
25
26
27
29
32
35
38

Chương 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI TÍCH NGHIÊN c ứ u
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

2.1. Mở đầu
2.2. Nghiệm phương trình Laplace trong hệ toạ độ vuông góc
2.3. Nghiệm phương trình Laplace trong hệ toạ độ trụ
2.4. Nghiệm phương trình Laplace trong hệ toạ độ cầu
2.5. Tụ điện hai bản mặt song song
2.6. Lóp chuyên tiếp p - n bán dẫn
2.7. Tụ điện hai bản cực trụ
2.8. Tụ diện hai bản cực trụ có mật độ điện tích khôl p trong
điện môi
2.9. Sự phân bổ* điện thế khi có miếng kim loại vuông góc với
hai bản cực
2.10. Tạo dáng mặt cực đê dược từ trường cực từ phânbố" hình sin
2.11. Từ trường dòng diện stato của động cơ chuyển động thẳng
2.12. Từ thông tán gông ra ngoài không khí
2.13. Từ trường dòng diện không đôi, dây dẫn tiếtdiện tròn

41
42
45
46
47

49
53
55
57
60
65
67
70

1


2.14.
2.lõ.
2.16.
2.17.

Tác dụng chắn từ trường của trụ rỗng sắt từ
Tác dụng chắn từ trường của quả cầu rỗng sát từ
Nghiên cứu dường dây truyền tải đồng trục
Anh hưởng hiệu ứng mặt ngoài đôi với dây dẫn dẹt chữ
nhật
*
2.18. Phanh điện từ - Tính trường dòng điện xoáy

Chương 3 :
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.

3.13.
3.14.
3.15.

74
77
79
82
85

PHƯƠNG PHÁP MẠCH TỪ KHÔNG GIAN

THAY THÊ
Mở đầu
Giải mô hình Maxwell dưới dạng tích phân
Quan hệ giừa các dại lượng trường điện từvà đại lượng
mạch
Sự chuyển từ mô hình Maxwell sang mô hình mạch điện
Kirchhoff
*
*
Sự chuyến từ mô hình Maxwell sang mô hình mạch từ.
Phương pháp mạch từ không gian thay thế
Sự tương tự điện - từ
Chiểu dài tương đương của mạch từ máy biến áp một pha
kiêu trụ
Chiều dài tương đương của mạch từ hình xuyến
Sơ đồ mạch từ thay thế của rơle cực tính
Phương pháp từ thông mạch vòng
Sơ đồ thay thế máy điện dồng bộ cực lồi có dây quấn cản

theo từ thông mạch vòng
Mô hình từ thông móc vòng ụ/ - nguồn dòng i. Mô hình (p- i
Phương pháp từ thế điểm nút
Máv điện không đồng bộ
Động cơ tụ diện cực lồi

99
101
104
107
110
111
112
1.16
119
122
125
129

Chương 4 :
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.

NGUYÊN LÝ c ơ BAN CỦA PHƯƠNG PHÁP
PHẨN TỬ HỬU HẠN
Nguyên lý cơ bản của phương pháp PTHH

Phẩn tử hữu hạn một chiều (một thứ nguyên 1D)
Phần tử hữu hạn hai chiều (hai thứ nguyên 2D)
Phần tử hữu hạn ba chiều 3D (ba thứ nguyên)
Các bài toán diễn biến theo thời gian
Chương trình tính phẩn tử hữu hạn hình tam giác

91
92
98

134
136
154
165
170
171


Chương 5 :
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.

Phần
Phẩn
Phần
Phẩn
Phần

CÁC PHAN

tủ

HỬU

h ạ n và các hàm

GẦN ĐỦNG
tử hữu hạn một chiều 1D
tử hữu hạn hai chiều 2D
tử hữu hạn ba chiều
tử hữu hạn đắng thông sô" bậc hai
tử hữu hạn

Chương 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP s ố s ử DỤNG TRONG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỬU HẠN
6.1. Kỹ thuật lưu trữ ma trận
6.2. Giải hệ phương trình ma trận
6.3. Tính phân số'
6.4. Giải phương trình vi phân thường
6.5. Tìm nghiệm phương trình phi tuyến
6.6. Sử dụng thuật toán song song tìm nghiệm phương trình
đại số bậc cao

205
209
224
230

233
234

Chương 7 :
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.

CAU TRÚC HỆ THONG Tự ĐỘNG HOÁ THIẾT
KÊ THEO PHƯƠNG PHÁP PHAN TỬ HỬU HẠN
Cấu trúc tổng quát
Cấu trúc chương trình
Thông tin giữa các chương trình
Chương trình phôi hợp nhiều hiện tượng vật lý
Mô tả hình học
Phân miền các phần tử hữu hạn
Mô tả đặc tính vật lý của miền
Mô hình vật liệu sắt từ
Áp dụng mô hình vật liệu sắt từ vào bài toán phần tử hữu hạn

181
183
190
194

201

Chương 8:

8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.

MỘT s ổ CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH VÀ
THIẾT KÊ THIẾT BỊ ĐIỆN TỪ THEO PHƯƠNG
PHÁP PHẢN TỬ HỮU HẠN
Đại cương vê các chương trình tính toán và thiêt kê thiêt
bị điện từ
Phần mềm giải bài toán trường
Bộ tiền xử lý
Bộ hậu xử lý
Giới thiệu chương trình FLUX 2D

241
244
246
247
248
252
261
262
266

Tài liệu tham khảo

269
269
273
275
277
289
3


MỞ ĐẨU
Trong việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế, giải quyết các bài toán thực tế,
các kỹ sư điện luôn tự hỏi : Đối với bài toán này nên sử dụng mô hình mạch hay
mô hình trường ?
Câu hỏi này tồn tại đã lâu, ngav từ khi chế tạo ra thiết bị điện đầu tiên và
còn kéo dài cho đến tận bây giờ.
Ta đều biêt mọi quá trình điện từ xảy ra trong các thiết bị điện đều tuân
theo hệ phương trình Maxwell. Đây là các phương trình đạo hàm riêng đối với
cường độ diện trường E và cường độ từ trường H , phân bô" trong không gian và
diễn biến theo thời gian. Đê giải quyết lớp bài toán này ta phải sử dụng công cụ
phương trình vật lý - toán. Công việc này rất khó khăn và mức độ khó khăn
tăng gấp bội khi bờ của bài toán nghiên cứu có hình dáng phức tạp bất kỳ.
Tuy nhiên đa sô" thiết bị điện có kích thước vô cùng nhỏ so vối bước sóng
điện từ. ở tần sô" công nghiệp f= 50 Hz, bước sóng điện từ À= c/f = 300000/50
= 6000 kin và môi trường xung quanh thiết bị điện có điện dẫn nhỏ hơn rất
nhiêu so với điện dẫn của vật dẫn, vì thê ta có thể coi quá trình điện từ chỉ diễn
biến theo thời gian, mà không phụ thuộc vào không gian, điều này tương ứng
với mô hình mạch.
Đa sô" thiết bị điện thực tê thỏa mãn các điều kiện của mô hình mạch, do đó

mô hình mạch trỏ thành công cụ rất quen thuộc vối các kỹ sư điện, đến nỗi
muốn giải quyết bất kỳ vấn dể kỹ thuật nào, từ việc giải thích nguyên lý làm
việc đến việc phát hiện hư hỏng, sửa chừa, vận hành khai thác, thiết kế chế tạo
thict bị điện các kỹ sư điện đều dựa vào mô hình mạch.
Đê nghiên cứu các thiết bị điện theo mô hình mạch người ta phải tiên hành
các bước sau :
- Liệt kê các hiện tượng năng lượng chủ yếu xảy ra trong thiết bị điện.
- Thay thế các hiện tượng năng lượng bằng các thông sô" lý tưởng hoá, đó là
các thông sô" của nguồn e(t). /(t) và cãc phần tử mạch R, L, c, M... quen biết.
Chúng là tuyến tính nếu các thông sô" đặc trưng là hằng sô", là phi tuyên nêu các

5


thông sô" mạch phụ thuộc vào dòng điện hoặc điện áp, là biến sô" nốu các phần tử
mạch phụ thuộc vào thòi gian.
- Thành lập sơ đồ thay thế gồm các phần tử lý tưởng có kết cấu hình học
phản ánh thiết bị thực tế. Kết quả bước này ta được sơ đồ điện diễn ta gần đúng
các quá trình năng lượng điện từ xảy ra trong thiết bị điện.
- Áp dụng các định luật cơ bản đôi với sơ đồ thay thế, thường là các định
luật Kirchhoff. Kết quả ta nhận được hệ phương trình diễn tả các quan hệ giữa
các biến trạng thái là dòng điện hoặc điện áp theo các thông sô" đặc trưng của
mạch điện. Cĩiải hệ phương trình này ta tìm được các đại lượng cần tìm.
Bài toán thiết kế thiết bị điện là bài toán tổng hợp thông sô" phức tạip. Để
giải quyết vấn đề này một mặt ta phải dựa vào sơ đồ thay thế của mô» hình
mạch, mặt khác phải dựa vào các công thức kinh nghiệm tích lũy qua nhiều
mẫu thiết kế, các hệ số thực nghiệm. Tuy nhiên do tính chất phức tạp của bài
toán điện từ, theo mô hình mạch đôi khi đã bỏ qua hoặc chưa diễn tả đầy đủ
những hiện tượng quan trọng như : dòng điện xoáy, hiệu ứng bề mặt, hiện
tượng bão hòa, hiện tượng từ trễ, trong một sô" trường hợp mô hình mạch gây

sai sô" lớn, không thể chấp nhận được. Ví dụ trường hợp thiết kê" các máy phát
điện công suất lớn, điện áp cao, ỏ đó ngoài quá trình điện từ còn phải nLghiên
cứu tỷ mỷ trường nhiệt, ứng suất cơ...
Đế khắc phục những hạn chê" của mô hình mạch người ta buộc phải quay vê
mô hình trường. Tuy nhiên việc giải các bài toán theo mô hình trường g;ặp trở
ngại chính là các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêitìg rất
phức tạp và khó hiểu với sô" đông các kỹ sư, đồng thời khó tìm được nghiệm với
các bài toán bờ phức tạp.
Ta có thể phân loại các phương trình vật lý - toán thường gặp ra làm ba
loại, mỗi loại đặc trưng cho một lớp hiện tượng vật lý riêng.
- Phương trình kiểu êlip được diễn tả bàng phương trình :
8^0

d 20

õx2

dy2

Phương trình kiểu elip biểu diễn cho các bài toán thê", xuất hiện trong việc
nghiên cứu chê" độ xác lập trong trường tĩnh điện, từ tĩnh, trong các bài toán cơ
khi nghiên cứu hiến dạng của vật rắn, trong dòng chảy, trong phân bô" nhiệt.

6


Điều kiện bò' thường gắn với các điếu kiện sau đây :
Dirichlet,

(oP(s) =<£(,=/'0(s))

"
(M-2)

Hoặc hỗn hợp

On

0(+Ẽí1.(S) = /•„(*) Ị

- Phương trình kiểu parabôn được diễn tả bằng phương trình :
(M-3)
Phương trình này biểu diễn cho các bài toán khuếch tán như phương trình
thâm nhập của dòng điện cảm ứng trong vật dẫn, phương trình khuếch tán
nhiệt trong các vật nén không lý tương.
Điều kiện bờ gắn

VỚI

phương trình parabôn có hai kiểu :

- Điểu kiện Dirichlet, Neumann hoặc hỗn hợp trên bờ không gian của miền.
- Điều kiện đầu (t = 0) trên toàn miền.
- Phương trình kiểu hypecbôn :
d20

d 20

(M - 4)

Phương trình hypecbôn đặc trưng cho hiện tượng truyền sóng, sóng dao
động có thể là sóng cơ học hoặc sóng điện từ. Phương trình này có thể biến đổi
thành phương trình kiểu êlip khi kích thích có dạng chu kỳ.
Điều kiện giới hạn gắn với phương trình truyền sóng là điều kiện Cauchy ỏ
thòi điểm ban đầu của hàm 0 hoặc đạo hàm theo thời gian
.
ôt
Các phương trình kiểu parabôn và hypecbôn liên quan đến chế độ quá độ.
Giải bài toán này cho phép phân tích sự tiến triển của hiện tượng vật lý theo
thời gian.
Các phương trình đạo hàm fr$ng và điều kiện giới hạn tạo nên bài toán
chỉnh thỏa mãn ba điều kiện sau đây :
- Có một nghiệm.
- Nghiệm là duy nhất.
- Nghiệm biến thiên liên tục theo các dữ liệu của bài toán.

7


Bảng dưới đây tóm tắt sự phôi hợp của các phương trình đạo hàm riêng và
điều kiện giới hạn dẫn đến bài toán chính :
Kiểu điều
kiện bờ

Loại bờ

Phương trinh êlip

Phương trinh parabôn

Phương trình
hypecbôn

Mặt hở

Không đủ

Duy nhất, nghiệm ổn
định theo môt chiểu

Không đủ

Mặt kín

Nghiệm duy nhất,
ổn định

Thừa

Thừa

Mặt hở

Không đủ

Nghiêm duy nhất ổn
định theo một chiểu

Không đủ

Mặt kín

Nghiệm duy nhất,
ổn định

Thừa

Thừa

Mặt hở

Kết quả không vật lý

Thừa

Nghiệm duy nhất,
ổn định

Mặt kín

Thừa

Thừa

Thừa

Dirichlet

Neumann

Cauchy

Việc giải các phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp giải tích rất
khó khăn khi bờ của bài toán có hình dáng phức tạp. Đế giải quyết khó khăn
này người ta sử dụng các phương pháp sô. Phương pháp số mạnh nhất và thích
hợp nhất đôi vói phương trình đạo hàm riêng là phương pháp các phần tư hữu
hạn. Để thuận tiện từ nay ta viết tắt là phương pháp PTHH.
Phương pháp PTHH do các nhà cơ học khởi xướng từ hơn nửa thế ký trước.
Năm 1941 A. Hrenikoff sau đó vào năm 1943 Mc. Henry đã thay thế kết cấu cơ
học liên tục bằng mạng lưới các phần tử. Năm 1952 B. Langeíbrs, sau đó năm
1954 J. H. Argvris đã thiết lập quá trình phân tích các kết cấu và lập công thức
tính toán lưới cấu trúc dưới dạng ma trận.
Năm 1956 Turner M.J., Clough H.C., Martin H.c và Topp L,J. dà sử dụng
mô hình khung tam giác để tính toán cấu trúc máy bay.
Tên gọi “phần tử hữu hạn” xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1960 trong công
trình của R.w. Clough.
Phương pháp PTHH là kết quả nghiên cứu của các nhà toán học khi phát
triển phương pháp tính biến phân : Ritz (1909), Galerkin (1915), Biezeno Koch
(1923) và phương pháp sai phân hữu hạn : South Well (1940), Yarga (1960) với
sự đóng góp của các nhà kỹ thuật, tuy nhiên ban đầu ứng dụng của phương
pháp PTHH bị hạn chế do thiếu công cụ tính toán đủ mạnh. Chỉ khi xuất hiện
máy tính số’đủ manh phương pháp PTHH mới được phát triển và hoàn thiện.
8


Trong lĩnh vực kỹ thuật điện, nam 1967 M. A. Winslow đã sử dụng lưới PTHH
tam giác để giải phương trình Poisson. Năm 1969 p. Silvester và M.V.K Chari đã
ứng dụng các PTHH trong việc giải quyết một sô"bài toán điện từ [1].
Từ 1971 o.c. Zienkeiwicz dã phổ biến và ứng dụng rộng rãi phương pháp
PTHH trong nhiều lĩnh vực : cơ, thủy, nhiệt [2].

Năm 1974 A. Konrad đã sử dụng PTHH tam giác trong bài toán trường điện
từ vectơ. Năm 1979 J. Simkin và c.w. Trowbridge đã giải trường vectơ theo thế
vectơ và thê vô hướng. Từ trường được giải trực tiếp bằng các PTHH qua các
công trình của S.R.H. Hoole, z. J. Cendes và P.R.P.Hoole vào năm 1985.
Năm 1981 J.L. Coulomb phân tích điện trường và từ trường bằng mô hình 3D.
Năm 1987 J.L. Sabonnadière và J.L. Coulomb đã trinh bày những ứng dụng
của phương pháp PTHH vối kỹ thuật CAD thiết kế các thiễt bị điện từ [3].
Các công trình vê phương pháp PTHH tăng theo cấp sô" mũ : năm 1961 : 10
công trình, năm 1971 : 844 công trình. Tính đến năm 1979 đã có 8000 công
trình về phương pháp PTHH. Cây tổng quát của phương pháp PTHH diễn tả
quá trình hình thành của nó được cho trên hình M.l.
Phương pháp PTHH tỏ ra ưu việt hơn hẳn phương pháp sai phân hữu hạn
do có thể xây dựng thuật toán tổng quát và thích hợp với hình dáng bờ bất kỳ.
Ưu điểm này càng thể hiện rõ trong quá trình tính toán là có thể chọn hình
dáng phần tử bất kỳ, chiến lược phân miền bài toán và thực hiện tính toán cũng
hết sức linh hoạt, do dó thòi gian tính giảm đáng kể so với phương pháp sai
phân hữu hạn.
Vì những lý do kể trên, ngày nay các bài toán thiết kế cơ khí, điện từ, nhiệt,
thủy nói chung đều dùng phương pháp PTHH.
Việc sử dụng phương pháp PTHH gắn liền vối việc phát triển kỹ thuật thiêt
kế nhờ máy tính CAD (Computer Aided Design). Trên thị trường phần mềm
xuất hiện hàng loạt sản phẩm cho bài toán thiết kế máy điện, khí cụ điện cho
bài toán 2D, 3D.
Tuy nhiên ta cũng phải nhận thấy rằng phương pháp PTHH dù rât mạnh
và vạn nãng nhưng đòi hỏi công cụ tính toán là các máy tính có dung lượng rất
lớn. Một bài toán thiết kế theo phương pháp PTHH ở mức khiêm tôn cũng cần
phải giải hệ phương trình đại sô" tuyến tính có hàng ngàn ẩn sô, công việc này
không thích hợp đôi với các máy tính PC, vì thê một phương hướng có triển
9

10

TOÁN HỌC

Hỉnh M-1 : Cây tổng quát hình thành phương pháp phần tử hữu han.

CÁC PHÉP TÍNH KỶ THUẬT


vọng là kêt hợp tính đơn giản cưa bài toán mạch VỐI tính vạn năng, chính xác
của phương pháp PTHH, đó là phương pháp mạch từ không gian thay thế. Theo
phương pháp này không gian dưới cực từ được chia thành một sô" miền. Mỗi
miền dược mô hình hóa bằng mạch từ thay thế và dùng công cụ mạch để tìm sự
phân bô" trường trong thiết bị.
Quyên sách này là tập hợp các sưu tầm, nghiên cứu của các tác giả trong
việc tính toán, thiết kế thiết bị bàng phương pháp PTHH. Quyển sách được chia
thành 8 chương :
- Chương 1 trình bày khái quát vê mô hình trường điện từ, cách thiết lập
bài toán về trường điện từ.
- Chương 2 trình bày các phương pháp giải tích nghiên cứu bài toán trường.
- Chương 3 tông quát hóa các phương pháp cơ bản nghiên cứu bài toán
trường điện từ, đi sâu giới thiệu phương pháp mạch từ không gian thay thế.
- Chương 4 trình bày tinh thần cơ bản của phương pháp PTHH đi từ bài
toán 1D, 2D đến 3D.
- Chương 5 trình bày các PTHH và các hàm gần đúng, các PTHH thông
dụng nhất liên quan đến kỹ thuật CAD trong việc mô tả đối tượng và phân
miền tự động bài toán trên máy tính.
- Chương 6 trình bày các phương pháp sô" thường gặp để giải các bài toán
xây dựng theo phương pháp PTHH.

- Chương 7 trình bày kỹ thuật tổ chức, cấu trúc hệ thông chương trình CAD
theo phương pháp PTHH.
- Chương 8 trình bày tom tắt các sản phàm phần mềm CAD theo phương
pháp PTHH dùng cho bài toán kỹ thuật điện đang lưu hành trên thị trường.
Các tác giả mong muôn trình bày bản chất của phương pháp PTHH qua
nhiều ví dụ cụ thể và chương trình mẫu thích hợp.
Quyền sách này dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngành điện
của các trường đại học. Nó cũng được dùng làm tài liệu tham khảo cho các lớp
cao học, hệ nghiên cứu sinh và các kỹ sư điện dang làm việc trong các cơ quan
nghiên cứu, thiết kế và chế tạo thiết bị điện.

11


Vì phạm vi rộng lớn, tính chất mới mẻ của vấn đề củng như do trình dộ hạn
chế của các tác giả nên quyên sách đầu tiên về phương pháp phần tủ hữu hạn
trong lĩnh vực kỹ thuật điện bằng tiếng Việt không tránh khỏi sai sót.
Các tác giả mong muôn nhận được các nhận xét góp ý của đông đảo bạn đọc.
Các tác giả chân thành cám ơn tập thể Bộ môn Thiết bị điện - điện tử, Khoa
Năng lượng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã động viên và tạo điều kiện
tốt cho việc hoàn thành quyển sách này.
Mọi thư từ góp ý xin gửi về bộ môn Thiết bị điện - điện tử, khoa Năng lượng,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, điện thoại : 8692511.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

CÁC TÁC GIẢ

12

Chương 1

T h iết lập mô h ìn h
trường đ iện từ
Điện từ trường nghiên cứu những “sự biến đổi” của không gian, gây ra bởi
các điện tích và dòng điện. Sự biến đổi này được đặc trưng bằng sự tồn tại điện
trường và từ trường ở mỗi điểm trong không gian. Điện trường được đặc trưng bằng
vectơ cường độ điện trường E hoặc véctơ cảm ứng điệnD . Từ trường được đặc
trưng bằng vectơ từ cảm B hoặc vectơ cường độ từ trường H . Điện từ trường là
một dạng của vật chất. Điện tích và dòng điện là nguồn của điện từ trường.
1.1. NGUỒN CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG

Khi nghiên cứu, nguồn của điện từ trường được biểu diễn bằng các đại
lượng: điện tích điểm, mật độ dòng diện, dòng diện.
1.1.1. Điện tích điểm q

Diện tích điểm là lý tưởng hóa một vật thê mang điện có kích thước rất nhỏ,
có thể bỏ qua so với kích thước của các đổi tượng khác trong khi nghiên cứu các
hiện tượng điện từ.
Diện tích điểm có điện tích q và diêm dặt trong không gian.
Dơn vị của q là c (Culông).
1.1.2. Mật dộ diện tích p, ơ, À

Khi điện tích phản b<3 liên tục trong khôi V, hoặc trên diện tích s, hoặc trên
đường L, ta dùng khái niệm mật độ diện tích đế đặc trưng cho nguồn, và được
định nghía như sau :
Mật độ điện tích khôi p
• —Acl
p _
- 1

ỉim
A V >0 À Y

(1-1)

13


Mật độ điện tích mặt ơ
ơ

=

lim
AS->() ztS

(1-2)

Mật độ điện tích đường Ả
Ả= lim --A^-»0 M
Đơn vị của p là Cm’3, của crlà Cm'2, của Ả là Cm'1.

(1-3)

1.1.3. Véctd mật độ dòng điện J

Khi các điện tích q chuyên động với cùng vận tốc V sẽ gảy ra dòng điện.
Người ta định nghĩa véctơ mật độ dòng điện như sau :
J = nqv

(1-4)

trong đó n là sô" lượng điện tích q trong một đơn vị khôi.
Nếu điện tích phân bô" có mật độ điện tích khôi p với vận tốc trung bình vd ,
mật độ dòng điện là :
(1-5)

J = pVd
Đơn vi của J là A.m'2.
1.1.4. Dòng điện I

Dòng điện 7qua tiết diện s được tính là :
(

1- 6 )

Đơn vị của dòng điện là A.
1.2. ĐIỆN TRƯỜNG E

Khi điện tích không chuyển dộng, từ trường bằng không, cường độ điện
trường E tại điểm M trong không gian dươc tính như sau :
Đối với điện tích điếm q đặt tại 0 (hình 1-1)
Ẽ = -L ĩỊ;
47ĩ£.r

(1-7)

Khi điện tích phân bô" trong khôi V với
mật độ điện tích khô"i p (hình 1-2) :
E = ^ — \-ẸrdVĨ

4to- y r 3

(1-8)

ị
Hình 1-1

l4


Khi điện tích phân bô" trên bề mặt
mật độ điện tích mặt ơ (hình 1-3) :
Ẽ =—

4nt: g r '

s

VỚI

\-ơTdS.7(1-9)

Khi điện tích phân bô trên đường L với
mật độ điện tích đường Ả (hình 1-4) :
E =—

Ả
dl.71-10)
(
ír3

f

trong đó:
¿'=£0£y
ổ

(1*11)

- hằng sô" điện môi của môi trường
có đơn vị là Fm*!;

£r - hằng sô" điện môi tương đô"i của
môi trường;

Hình 1-3

¿\} = 8,855. 10'12 (Em'1) hằng sô" điện môi
chân không;
r

- vectơ OM ;

r

- khoảng cách OM đơn vị là ra.

Trên các hình (1-1, 1-2, 1-3, 1-4) chiều E
ứng với điện tích dương, nếu điện tích âm,
E có chiểu ngược lại.

Đơn vị của cường độ điện trường là Vm'1.
Vectơ cảm ứng điện D được tính là :
D =£Ẽ

(1-12)

Đơn vị của cảm ứng điện D là Cm*2.
Cảm ứng điện D còn dược gọi là mật độ điện thông.
1.3. TỪ CẢM B

Khi điện tích chuyến động sẽ sinh ra từ trường trong không gian. Ta xét
điện tích q chuyển động, ớ thời điếm xét điện tích ở điểm 0 có vận tôc V .T ừ
cảm B tại điểm M trong không gian do điện tích q chuyến động được tính như
sau (hình 1-5) :
15


B - J L q ĩL ĩL
4/r
r

V

(1-13)

% Từ biểu thức này ta dễ dàng suy ra từ
trường do dòng điện gây ra.
Từ cảm tại M do mật độ dòng điện J
trong khôi V gây ra là (hình 1-6) :
B =^ - Ị ^ Ỉ V

\
\

(1-14)

4/r ộ r

\

Dòng điện I chạy trong dây dẫn L gây
ra tại M từ cảm B là (hình 1-7) :
B =— Ị ^ - ^ - d l ,
4K \ r

(1-15)

trong đó :
B - từ cảm có đơn vị T;
lt = jUt Mo',

í 1' 16)

hằng số từ thẩm môi trường, Hm'1;

// //r -

hằng sô" từ thẩm tương đối của môi
trường;
JU0 = 47ĩ.lO'7(Hm*1) hệ sô' từ thẩm chân

không;
J

- véctơ mật độ dòng điện, A.m‘3;

r - véctơ O M ;
r - khoảng cách OM,

dV -

nguyên tô'khôi,

m;
m3;

d í - nguyên tô'chiều dài,

I

m;

/

- dòng điện chạy trong dây dẫn, A;

Cường độ từ trường được tính là :
/T = —

(1-17)

Đơn vị của cường độ từ trường là Am'1.

16

Hình 1-6


1.4. ĐIỆN THẾ VÔ HƯỚNG
Khi giải các bài toán trường diện từ, ta có thể giải trực tiếp với các đại lượng
E . D . B . H , hoặc thông qua đại lượng trung gian là thế. Việc đưa vào các đại
lượng diện thô, từ thê khong nhưng thuận lợi cho việc tính toán, mà các đại
lượng thê còn trực tiêp liên hệ với năng lượng điện từ.
Người ta thường dùng hai khái niệm : điện thê vô hướng (Ọvà từ thế vectơ
A . Cơ sở toán học của các đại lượng thê như sau : trường E có rot E - 0 có
thể dặt E = - grad(p\ trường B có diu B - 0 có thể đặt B - rot A . Xuất phát
từ định nghĩa trên, biêu thức của điện thê (p tại điểm M (hình 1-1, 1-2, 1-3, 1-4)
do điện tích diêm và điện tích phản bôTgây ra được tính là :
Đôi với điện tích điểm q :

4 /Tố'

(1-18)

r

Khi điện tích phân bô" trong khôi V với mật độ điện tích khôi p .
ợ =—

\-dV

(1-19)
4ĩ£V r

Khi điện tích phân bô" trên bê mặt s với mật độ điện tích mặt ơ\
p = — fơ rfS
4/Tố ^ ì

(1-20)

Khi điện tích phân bô" trên dường L vối mật độ điện tích đường Ả :
\ Ảd

( 1- 21 )

1/
Từ thế vectơ A tại diêm M (hình 1-5: 1-6; 1-7) do điện tích q chuyển động
với vận tôc V , do dỏng điện được tính như sau.
Điện tích điếm q chuyến dộng với vận tôc V :
~r // V
A A* q r

(

1- 22 )

J
£_

(1-23)

4k

17


Dòng điện 1 chạy trong dây dẫn L :
(1-24)

Ã* = -4
dl
4tt tj r
¡L i

Đơn vị của điện thế (p là V, của từ thếA là Wbm*1.
Trong trường hợp tổng quát công thức (1-67). (1-63) ở mục 1-12 các biểu
thức của điện từ trường được viết là :
E = - g

r

ôt

a

d

c

p

(1-25)

B - rot A

(1-26)

1.5. BIỂU THỨC CỦA TRƯỜNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CHUYÊN

động

Các biểu thức của trường E ,J3 ở trên được viết trong hệ tọa độ không
chuyển động đôi với nguồn. Trong hệ tọa độ chuyển động vỏi vận tốc

V

đôi với

nguồn, trường sẽ có giá trị E' , B' . Quan hệ giữa các thành phần của trường ở
hai toạ độ như sau :
E'„
=E
"// ~
J~Jn
Ê[

r.=.. '..-

. (g~

)

V

-

K =B„
Br =

B

1

Ị

V

xE

VỸ

trong đó ký hiệu II và -L chỉ thành phần của trường song song và thắng góc với
tốc độ
V;
c là tốc độ ánh sáng.
Với các tốíc độ V thường gặp trong kỹ thuật điện V « c, trong trường hợp tống
quát có biểu thức gần đúng sau :
Ẽr =B'
w = Ẽ + ĩT x 5

H J t V 'ịj y *
18

(1-27)
• (1-28)


Trong (1-28), sự xuất hiện thành phần

V

yB

giải thích rõ khái niệm sức

điện động quay trong máy điện. Thật vậy, trong máy phát điện đồng bộ, dòng
điên kích từ môt chiều trong dâv quấn rôto sẽ tạo ra từ trường và điện trường
trong máy phát.
Trong tọa độ gắn liền với rôto sẽ tồn tại từ trường B và điện trường E .
Trong tọa độ gắn liền
E' - E + V

X

VỐI

B . Thành phần

stato sẽ có từ trường B' = B
V

và điện trường

xB sẽ sinh ra sức điện động quay

e

trong dây

quấn stato máy phát đồng b.ộ.
(1-29)
1.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Tất cả các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện đều được nghiên
cứu và giải thích nhờ vào hệ phương trình Maxwell. Có thể nói hệ phương trình
Maxwell quyết định sự làm việc và các đặc tính của thiết bị điện.
Hệ phương trình Maxwell mô tả các quan hệ (các định luật) giữa các đại
lượng E ,D ,H ,B đặc trưng cho trường và các đại lượng p, J đặc trưng cho
nguồn gây ra các trường, trong môi trường có các hệ số vật lý Y>£>ự'
Đê thuận tiện cho người sử dụng, hệ phương trình Maxwell thường được
viết dưới hai dạng : dạng vi phân và dạng tích phân.
. 1.6.1. Hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân
__ „__

rotE =

—
ôt

(Định luật Maxwell - Faraday)

(1-30)

rot H = J + — - (Định luật Maxwell - Ampère)
õt

(1-31)

div D -

(1-32)

P

(Định luật Maxwell - Gauss)

div B = 0

(1-33)

divJ = - ặ
ôt

(1-34)

D =sE

(Đặc tính điện của điện môi)

B = P H + B r (Đặc tính từ vật liệu sắt từ)

(1-35)
(1-36)

19


J =y E

(Định luật Ohm)

(1-37)

Sử dụng toán tử đạo hàm vectơ
r ơ -TƠ - r ơ
+k —
ỔX
dy
dz

V=¿— + 7

Hệ phương trình Maxwell được viết gọn như sau :
ÔB
V x E =õt
VxH

=J

(1-41)

V. B = o

(1-42)

7 =- ^

V.

(1-39)
(1-40)

rt

D =p

V.

(1-38)

(1-43)

ôt

Trong đó :
E - vectơ cường độ điện trường Vm'1;
D - vectơ cảm ứng điện

Cm'1;

H - vectơ cường độ từ trường

Am';

B - vectơ từ cảm

T;

Br - vectơ từ cảm dư

T;

J - vectơ mật độ dòng điện dẫn

Am'2;

p - mật độ điện tích khôi

Cm'3;

// - hệ sô" từ thẩm

Hm

£ - hệ sô" điện môi

F m ‘;

Ỵ - điện dẫn suất

Q ‘ra'

Trong vật liệu đồng nhất, đắng hướng //, ¿) ỵ là các đại lượng vô hướng, là
hằng sô" khi vật liệu tuyến tính, là hàm sô" của trường khi vật liệu phi tuyến, ơ
vật liệu không đẳng hướng //, £y ỵ là các tensơ ; ví dụ ở vật liệu sắt từ không
đẳng hướng
/ 'x

/ /

=

0

0

20

0

B y

0

0

0

B ,

1.6.2. Hệ phương trình Maxwell dưới dạng tích phân

f——,

ịE

dộ
=e
dt

I-ỔB—

dl = - ị —

L ............. S õ t

ịH dl =Ị J +

(1-44)

dS= \ J d S + ị ~ d S = idSn+idicl)

ôt

S

(1-45)

s ơt

ịD dS = \p d V = Q

(1-46)

V

§B

dS0

(1-47)

Trong đó :
ộ=

là

từ thông xuyên qua mặt s được đường L bao quanh;

s
e

là sức điên đông cảm ứng trong mach vòngL;
dt
Q = ị p d V là điện tích trong khôi V.
V

Đơn vị của từ thông là Wb, của sức điện động là V, của điện tích là

c.

1.6.3. Hệ phương trình Maxwell dưới dạng số phức

Khi nguồn

và trường biến thiên hình sin theo thời gian, ta ‘biểu diễn

trường và nguồn dưới dạng phức E , H , D , B , J :
rotE =-jœju H
t •

•

(1-48)
#

•

rot H - J dản+ jcosE = (cr + j( 0£ ) E

(1-49)

divD =p

(1-50)

divB =0

(1-51)

divJ - - ì CủP

(1-52)

1.6.4. Nghiệm duy nhất

Nghiệm duy nhất của bài toán phải thỏa mãn hệ phương trình Maxwell và
đồng thời phải thỏa mãn điều kiện biên giới giũa các miền con và điều kiện bờ
của miền giải bài toán.

21


1.7. ĐIỀU KIỆN BIÊN GIỚI GIỮA HAI MÔI TRƯỜNG

Trong các bài toán kỹ thuật điện, các thiết bị điện từ làm bằng các vật liệu
khác nhau, vì thế miền giải bài toán trường chứa các miền con, các miền con
này có các đặc tính vật lý và nguồn khác nhau.
Từ miền này qua miền kia tại biên giới, trường phải tuân theo các quy tắc
nhất định phù hợp với các định luật của trường. Các quy tắc ấy là điều kiện
biên giói.
Điều kiện biên giới là các quan hệ
giữa các thành phần tiếp tuyến và
thành phần pháp tuyến của trường,
trong hai miền tại biên giới (hình 1-8).
Giả sử có hai miền tiếp giáp nhau,
miền một có //j, /ị, £ị miền hai có /J2ì
y<h &>. Giả sử tại biên giới có tồn tại
mật độ điện tích mặt ơ và mật độ

đường dòng điện j
Hình 1-8

j =n

x ( Hn - H 2t)(1-53)

n là vectơ pháp tuyến tại biên
Điều kiện biên giối cho ở bảng 1-1.
BẢNG 1-1. ĐIỂU KIỆN BIÊN GIỚI
Hai môi trường bất kỳ

a) J = 0; <7= 0

£n = ^21

b) J * 0;

^ 1 t =

CT*

0

Dn

E,

J, ơ tai biên giới

^ 2 t

^ 1 n

^ 1 n

"

=

H,
H „ = H2,

^ 2 n

£*2n

=

ơ

H„ -

H2{= J

Các trường hợp đặc biệt
a) Môi trường hai có điện dẫn suất ỵ2 = 00 với J * 0 và ơ ± 0
£>. = 0 ; 0 , n= ơ ; H „ =
b) Môi trưởng hai cố hệ số từ thẩm /J2 = co và không có dòng điện
H„ = 0

22

^ 1 n

=

^ 2 n

® 1n

~

^ 2 n


1.8. ĐIỂU KIỆN BỜ

Khi lập mô hình, cần xác định biên giới của toàn miền. Các điều kiện trên
biên giới của miền giải bài toán được gọi là điều kiện bà.
Có ba kiểu điều kiện bò như sau :
1.8.1. Điểu kiện Dirichlet

Biết giá trị hàm ẹ, A, B, E ... tại biên giới, ở xa vô cực tất cả các đại lượng
này bằng không
ọ ao- 0, A r- 0 , BaS= 0 , E x= 0;

Ớ một khoảng cách giới hạn trên
biên s (hình 1.9) biết A(s)= f2(s)...

1.8.2. Điểu kiện Neumann

Biết giá trị đạo hàm của các đại
lượng trên biên giới
Ví dụ :

õn


= f 5(s)

1.8.3. Điều kiện hỗn hợp

Biết quan hệ giữa các đại lượng và dạo hàm của chúng trên biên
ÔA

f A, ơn = 0
f)A( O)

Ví du :

aA(s) + p — — - = f 4(s ) .
ôn

1.8.4. Điểu kiện chưa xác định

Biết đại lượng hằng sô" trên biên song giá trị chưa biết :
A(s) = hằng số
Để xác định đúng điều kiện bờ, đòi hỏi phải có kinh nghiệm và nắm vững lý

thuyết và các hiện tượng điện từ.
1.9. THIẾT LẬP MÔ HỈNH - PHÂN LOẠI Mố HỈNH

Để giải hệ phương trình Maxwell, ta phải chọn và xây dựng mô hình phù
hợp VỚI hiện tượng điện từ v à công cụ giải. Mô hình thường là một phương

23


trình, viết cho một ấn sô". An sô" trong mô hình có thể là một đại lượng trực tiếp
của trưòng như B hoặc E ... hoặc là một đại lượng trung gian, là thê cp, A . Mô
hình được xây dựng xuất phát từ hệ phương trình Maxwell cho đổi tượng
nghiên cứu cụ thể, vì thế nó mô tả đầy đủ hiện tượng điện từ trong thiết bị,
thuận lợi cho việc giải và sử dụng. Sau khi giải mô hình, tìm được ân sô" cua mô
hình, từ đó dựa vào hệ phương trình Maxwell, tính được tất cả các đại lượng
của trường và các đại lượng dẫn xuất như : từ thông ộ, điện thông (f>0, sức điện
động cảm ứng e, lực F và mômen điện từ M, công suất và năng lượng điện từ,
các tổn hao công suất trong thiết bị, và các thông sô" điện cảm L, hỗ cám M
trong các sơ đồ mạch thay thê" các thiết bị điện.
1.9.1. Thiết lập mô hình

Để thiết lập mô hình nghiên cứu, cần thiết phải có đầy đủ các thông tin sau:
- Các đặc tính không gian và thời gian của nguồn. Nguồn tập trung hay
phân bô" trong không gian theo một quy luật nào đó. Nguồn không đôi hay biến
thiên theo thời gian theo một quy luật nào đó.
- Đặc tính vật lý và hình học của các miền con và toàn miền của không gian
nghiên cứu. Môi trường nghiên cứu là cách điện, dẫh điện, sắt từ hay không
khí..., các thông sô"của môi trường là tuyến tính hay phi tuyến.
- Phân tích các hiện tượng điện từ để biết trong thiết bị tồn tại các trường
gì, quy luật phân bô" không gian và thời gian của các trường. Chú ý tính đôì

xứng hình học, đôi xứng và phản đô"i xứng vật lý, điều kiện biên giới và điều
kiện bờ.
- Trên cơ sở các thông tin ơ trên dựa vào mục đích nghiên cứu, cần xác định
đại lượng vật lý gì, để quyết định lựa chọn mô hình và an sô" của mô hình.
Đế giảm bớt độ phức tạp của mô hình, chỉ nên xét các hiện tượng chủ yêu,
bỏ qua các hiện tượng thứ yếu, xét tính đôi xứng, thu gọn miền giải bằng cách
tạo các biên giới gần đúng làm cho mô hình đơn giản hơn.
1.9.2. Phân loại mô hình

Vối mục đích hệ thông hóa kiến thức và thuận lợi cho người nghiên cứu, khi
lựa chọn mô hình, trước hết ta đưa ra mô hình tổng quát, sau đó phân loại cho
các mô hình cụ thê.
Mô hình tổng quát thường sử dụng là :

24