Cơ học cơ sở tập 1 phần tĩnh học, động học nguyễn trọng (chủ biên), tống danh đạo, lê thị hoàng yến (XB năm 2002)

V iiư v T ụ i;
ĐẠI liục THUY sản

531.1
k a*4» 527 Tr

NGUYỄN TRỌNG (CHỦ BIÊN)
TỐNG DANH ĐẠO
LÊ THỊ HOÀNG YEN

Ể ‘W H |

PHẦN TĨNH HỌC, ĐỘNG HỌC


60 - 605
----- — 123 - 29 - 02
KHKT-02


Lời giới thiệu
Dể phục vụ cho sự nghiệp phát triển đào tạo cán hộ khoa học
kỹ thuật, đồng thời nâng cao chất lượng học tập và nghiên
cứu mồn cơ học cơ sở, bộ sách "Cơ học cơ sở" được ra đòi.
Sách do các tác giả Tống Danh Đạo, Nguyễn Trọng và
Lê Thị Hoàng Yến biên SOCỊỈI theo yêu cầu của Bộ môn cơ
học cơ sở, Trường đại học xây dựng Hà Nội.
Bộ sách dược biên soạn theo nội dung chương trình môn cơ
học cơ sỏ dành cho các ngành kỹ thuật: Xây dựng, Giao
. thông, Thủy lợi, ..., ngoài ra cỏ thê làm tài liệu iham khảo
cho các sinh viên các trường kỹ thuật và những bạn đọc yêu

thích cơ học.
Đ ể giúp bạn đọc nắm chắc được phần lý thuyết và có thê
vận dụng giải các bãi tập nêu trong mỗi phần, sau phần lý
thuyết, các tác giả có nêu câu hỏi ôn tập đê bạn đọc tự ôn
tập kiểm tra. Cuối mỗi phần các tác giả có trình bày cách
giải mẫu một số bài tập. Sau đó là các bài tập và cuối cùng
là phần hướng dẫn giải các bãi tập để giúp bạn đọc tự học
một cách thuận lợi.
Bộ sách gồm hai tập :
Tập 1: Tĩnh học và động học.
Tập 2: .Động lực học.
Bộ môn cơ học cơ sỏ xin trân trọng giởi thiệu cùng bạn đọc
hộ sách này.
Sách được giới thiệu lần đầu chắc không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được nhím ỷ kiến đóng
góp của han dọc để lần xuất bản sau được hoàn chỉnh hơn.
Chủ nhiệm bộ m ôn
Gs, Ts. PHẠM HUYỄN


Phần m ôt

TĨNH HỌC
Mờ đầu
Tỉnh học là m ột phần của cơ học lý thuvết, trong dó người ta
nghiên cứu v'ê lực và điêu kiện căn bàng của vật thề dưới tác dụng
của lực.
Trong tỉnh học, đối tượng khảo sát là
lực. H ệ lực tác dụng lên vật rắn phải
căn bằng. Để đi đến kết luận chính xác

quyết hai bài toán cơ bản của tỉnh học

vật ràn chịu tác dụng của
thỏa m ân sao cho vật rán
v'ê ván dề dó, ta phải giải
:

• Bài toán thu gọn hệ lực vẽ m ột hệ lục dơn giản.
• T im diều kiện d ể hệ lực dó cân bằng.


CHUÔNG

CẤC KHÁI NIỆM CO BẤN - HỆ

*

,N

ĐỀ TĨNH HỤv

§ 1 .1 . CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN
1.1.1. VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI
V ật rán tuyệt đối là vật m à khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Cu

nó luôn luôn không đổi.
Trong thực tế các vật th ể đều biến dạng, nhưng co' những sự biến
dạng rấ t nhỏ, có th ể bỏ qua ảnh hưởng của nó trong tính toán chi

các bài toán kỹ thuật, v ỉ th ế đối với những vật rắn như vậy, ngươ
ta co' th ể bỏ qua sự biến dạng và xem chúng như là vật rán tuyệt
đối.
Trong cơ học lý thuyết, ta khảo sát lực tác dụng lên m ột vật r ắ r
và xem no' là vật rán tuyệt đối.

1.1.2. LỤC
Lực là sô' đo sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể. Lực là mội
đại lượng có hướng và qua thực nghiệm người ta thấy nó được xác
định bởi ba yếu tố sau :
♦

Đ iểm đặt của lực.

♦

Phương, chiều của lực.

♦

Cường độ của lực.

L ự c được b iể u d iễ n b ằ n g
m ộ t v e c tơ n h ư tr ê n h ìn h
1.1.1.
♦

Đ ầu A của vectơ A B
b iể u d iễ n đ iể m đ ặ t
lực.

Hình 1.1.1


♦

Phương, chiểu của vectơ AB

♦

Độ dài a của A B

là phương, chiều của lực.

là cường độ của lực.

Đ ường th ẳn g D E chứa vectơ AB

gọi là đưòng tác dụng của lực.

Người ta ký hiệu lực là F .
.1.3. TRẠNG THÁI CÂN BÂNG CỦA VẬT RAN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH
NGHĨA KHÁC
♦

Căn bàng : là sự đứng yên của vật so với hệ quy chiếu đã
chọn.

N ếu v ậ t đứng yên so với hệ quy chiếu cố định thì cân bàng ấy là
tuyệt đối. Còn nếu vật đứng yên so với hệ quy chiếu động thì đó

là cân bàng tư ơ ng đối. T rong tĩn h học, ta chỉ xét đến sự cân bàng
tuyệt đôi. T a co' th ể xem các v ật th ể đứng yên so với q u ả đ ấ t là
cân b ằ n g tuyệt đối (như vậy là ta bỏ qua sự chuyển động của quả
đ ấ t tro n g vũ trụ).
♦

H ệ lực : là tập hợp của nhiêu lực cùng tác dụng lên m ột vật
rắ n hay m ột chất điểm và được ký hiệu là (F ị, F 2 , . . . , F n).

H ai hệ lực tương đương : là hai hệ lực cđ cùng tác dụng cơ học
như nhau (nghĩa là nếu đem hai hệ lực tác dụng lẩn lượt lên m ột
vật rán thì trạ n g th ái cơ học của v ậ t tro n g hai trư ờ ng hợp sẽ y
như nhau). Ký hiệu hai hệ lực tư ơ ng đương là :
(F ¡, F 2 , . . . , F n) ~
Hợp

(P ¡,

lực của m ộ t hệ lực : là m ột lực tương đương với cả hệ lực

ấy. Gọi R

là hợp lực của hệ lực (Fị , F 2 ,

, F n) thì t a

co' th ể

viết :
R

~

( ĩ \ , F 2 , . . ,,F*n).

H ệ lực cân bàng : là hệ lực m à khi tác dụng lên v ật rá n sẽ không
làm th ay đổi trạ n g th ái cơ học m à v ật đang có.
H ệ lực cân bằng còn được gọi là hệ lực tương đương 0. Có th ể
viết (Fị , F 2 , . . . , F n) ~

0.

H ai lực là cân bàng khi hai lực đó cùng tác dụng lên m ột v ật rán,
có cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và có cường độ bằng
nhau.


.2. MÔMEN CỦA LỰC
.2.1. MÔMEN CỦA MỘT L ự c ĐỐI VỚI MỘT ĐIẾM
Cho lực F -đặt tại điểm A tác dụng lên vật và một điểm o bất
kỳ. Ta gọi khoảng cách d từ điểm o đến đường tác dụng của lực
F là cánh tay đòn của lực F đối với điểm 0 .
Dưới tác dụng của lực F , vật rán sẽ quay quanh o . Ta co' định
nghĩa :
Mõmen của lực F đối với điểm o là một vectơ m l)( F ) đ ặ t tại o.
•

Có phương vuông góc với m ặt phảng chứa lực F và điểm o .

•

Có chiều sao cho từ điểm ngọn của vectơ ấy nhìn thấy lực
hướng quanh o ngược chiêu kim đổng hổ.

•

Có độ dài bằng tích giữa cường độ của lực F với cánh tay đòn
d của nó đối với o (h.1.1.2).
ịmc(F)\ = F d - / T s i n a ,

/n0( F ) - ĩ * p .

Hình 1.1.2
Ý nghia của môm en
•

ý nghm ca học : mômen của m ột lực đối với một điểm đặc
trư ng cho .tác dụng quay của lực quanh điểm đó. Tác dụng quay
này phụ thuộc vào ba yếu tố
♦

Vị trí của m ặt phảng chứa lực và điểm lấy mômen.

♦

Chiểu quay trong m ặt phảng này.


♦
•

Cường độ của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó.

Ý nghía h ìn h học

Theo định nghĩa thì độ dài của vectơ m ôm en bằng hai lẩn diện tích
ta m giác OAB.
Im o ( F ) I -

2 S AOAB

C ũng theo định nghĩa thì ta thấy

i

m ữ (F ) = r A F

j
y
Fy

X

Fx
r

—
>
k
z

F,

là vectơ định vị của A đối với o ,

n tữ ( F ) = 0 trong hai trư ờ n g hợp sau :
♦

Ỹ

= 0

♦

Đường tá c dụng của lực F

đi q u a o .

Chú ý
N ếu khảo sá t hệ lực cùng n à m trê n m ột m ặ t phẳng th ì m ôm en của
các lực đối với m ột đ iểm chỉ c ầ n tín h như m ột lượng đại số (vì
tro n g trư ờ n g hợp này các vectơ m ôm en đều vuông góc với cùng m ột
m ặt. ph ản g chứa các lực và điểm lấy m ôm en. P hép so sán h các
vectơ cùng phương có th ể đư a về so sán h bằng đại số, tức là so
sánh dấu đại số của m ôm en).
Và có th ể viết

m a{F) = ± F.d.

Lấy dấu (+ ) tro n g trư ờ n g hợp dưới tác dụng của lực F , v ật quay

quanh o ngược chiểu kim đổng hổ.
Lấy dấu (-) tro n g trư ờ n g hợp ngược lại.
1.2.2.

Mômen của một lực đối với một trục

T a hãy khảo sá t m ột vật rắ n có th ể quay được quanh trục 2 dưới tác
dụng cùa lực Ỹ ' dặt tại A Qua A vẽ m ặt phảng xy vuông góc với trụ c
2 và cắt trụ c 2 tại O; phân tích lực F

ra hai th à n h ph ần : Ỹ 7

song song với trụ c 2 và Fxy song song với m ặ t p h ẳn g xy. T hành
ph ẩn

có

tá c dụng làm v ật chuyển dời theo trụ c 2, chỉ co' th àn h

phần ĩ^y mới co' tác d ụ n g làm v ật quay qu an h trụ c 2. N hư vậy tác


11
dụng quay của lực F

quanh trụ c 2 chính là tác dụng quay của

thành phần F

.

M ômen của

đối với trục 2 bằng tích giữa cường độ của F ' với

cánh tay đòn dị của nó đối với trục 2. Đại lượng này chính là
m ôm en của F^ỵ đối với điểm o .

Đ ịn h n g h ĩa

đối với trúc. 2 là 'lượng đại số,

: Mômen của lực F

bàng m ôm en của th àn h phần F

đối với điểi'

0.

m z(F) = ± Fw d x
•

Lấy dấu (+ ) nếu từ chiều dương của trục 2, nhìn thấy Fxy quay
quanh o ngược chiều kim đồng hồ,

•

Lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại.

•

Ý nghía c.ủa mômen
♦

Ý nghĩa cơ học : m z(F ) đặc trư ng cho tác dụng quay của lực
F quanh trụ c 2.

♦
•

Ý nghĩa hình học : m 7(F) -

Mômen của lực F
sau :

2 SAOA B .

đối với trục 2 bằng 0 trong các trường hợp


12
♦

Lực F song song với trụ c z (vì F w = 0).

♦

Đường tá c dụng của lực F

cát trụ c z (vì dị = 0).

T rong cà hai trư ờ n g hợp này, ta th ấy rằ n g lực F và trụ c z đểu
cùng ở tro n g m ột m ặ t phảng. Vỉ th ế khi xét hệ lực cùng n ằm tro n g
m ột m ặ t ph ản g và các trụ c cũng nằm tro n g m ặ t p h ản g ấy thì không
cần đưa r a khái niệm này.
M ômen của m ột lực đối với một trục được xét là m ột lượng đại sô'
VỊ các thành phẩn

và điểm o đểu cùng nằm trong m ặt phảng xy.

1.2.3. ĐỊNH LÝ LIÊN HỆ GIỮA MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VỚI MỘT
ĐIẾM VÀ MÔMEN CỦA MỘT Lực ĐỐI VƠI MỘT TRỤC
Đ ịn h lý : M ôm en của m ột lực đối với m ột trụ c bằng hình chiếu
lên trụ c ấy của vectơ m ôm en của lực đối với m ột điểm b ấ t kỳ trê n
trục.
Biểu diễn định lý bằng biểu thức toán học
m v ( ? ) = l™ o(F )l - cosr
y là go'c giữa trụ c z và vectơ m 0 (F ).

Hình 1.1.4


13
C h ứ n g m inh
Cho lực F và trục 2 vẽ m ật phảng xy vuông góc yới trục 2 và cắt
trụ c 2 tại o (h.1.1.4).
Vectơ m (ì ( F ) vuông' góc với m ặt phảng OAB và tạo với trục 2 một
góc y. Ta co' :
\m o (F ) I = 2S aoab

y cũng là go'c giữa hai m ặt phảng OAB và Oxy (vì m u ( F ) và trục
2 tương ứng vuông go'c với hai m ật phảng này). Như vậy :
cosry

-

2SA()AB.cosy = 2S AOA)Bi

m à như trên :
2®AOAị Bị —
K ết quả là
m 7{F) = \m 0{F)\ cosy = tn(Vị F )
Chứng m inh tương tự đối với hai trục

X,

y, ta co' :

m x(F ) = m ox(F )
m y(F) = m oyị F )
Định lý này được sử dụng để thiết lập các phương trình cân bằng
của hệ lực không gian.

§ 1.3. NGẪU LỰC
1.3.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA NGẤU Lực
a.

Định nghĩa
Ngẫu lực là m ột hệ gồm co' hai lực ’s ong song, ngược chiểu nhau
và cùng cường độ.

Ký hiệu (F | , í \ ) .
Chú ý :
♦

Ngẫu lực là m ột hệ lực không cân
bằng.

♦

Ngẫu lực không có hợp lực.

Hình 1.1.5


14
b.

Các yếu tố của ngẫu lực
•

M ặt ph ản g chứa hai lực của ngẫu lực gọi là m ặt phống tác dụng
của ngẫu lực.

•

K hoảng cách d giữa các đường tác dụng của hai lực gọi là cánh
tay đòn của ngẫu lực.

Dưới tác dụng của ngẫu lực, v ật rá n sẽ chuyển động quay.
Đ ể xác định hoàn toàn chuyển động quay này ta có khái niệm vể

vectơ mômen của ngẫu lực.
Đ ịn h n g h ĩa : Vectơ m ôm en của ngẫu lực là m ột vectơ tự do m
có :

•

♦

P hư ơng vuông góc với m ặ t ph ản g tác dụng của ngẫu lực.

♦

Chiều sao cho từ đ ầu m ú t của nđ nhìn th ấy ngẫu lực có
hướng quay ngược chiểu kim đống hổ.

♦

Độ dài b à n g tích giữa cường độ của lực với cánh tay đòn d
của nó.

Ý nghĩa của m ôm en :
♦

Vê cơ học : M ôm en của ngẫu lực đặc trư n g cho tác dụng
quay của ngẫu lực.

♦

Về hình học :
lm I

— 2S aabb ’ (h.1.1.6)

Chú ý : N ếu các ngẫu lực cùng nằm
tro n g m ột m ặ t ph ẳn g th ì m ôm en của
các ngẫu lực chỉ cần tín h như lượng
đại số (xem m ục 1 của §1.2)
m

= ± F.d.

Hình 1.1.6

1.3.2. TÍNH CHẤT TUUNG ĐƯƠNG CỦA NGÀU LỤC
a.

Định lý 1
H ai ngẫu lực có cùng m ặ t phảng tác dụng, cùng chiều quay và cùng
trị số m ôm en thì tươ ng đương nhau.
H ệ quả của đ ịn h lý :
•

Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta th ay đổi vị trí
của ngẫu lực tro n g m ặt phảng tác dụng của nó.


15
•

b.

Tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi khi ta thay đổi tùy
ý cường độ của lực và cánh tay đòn nhưng vẫn giữ nguyên
mômen.
Định lý 2

Tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn sẽ không thay đổi khi ta dời
ngẫu lực đến m ặt phảng song song với m ật phảng tác dụng của no'.
1.3.3.

HỢP HỆ NGÃU Lực

Hệ ngẫu lực bất kỳ trong không gian tương đương với m ột ngẫu
lực co' vectơ m ômen Ã? bằng tổng hình học các vectơ mômen của
tấ t cả các ngẫu lực th àn h phấn :
M = ỵ> nk
Chú ý : Nếu hệ ngẫu lực cùng nằm trong một m ặt phảng thì cũng
tương đương với m ột ngẫu lực co' mômen bằng tổng đại số mômen
của t ấ t cả các ngẫu lực thành phần.
■

M -

2 m k.

§ 1.4. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1.4.1. TIÊN ĐỂ 1 (VẼ HAI Lực CÂN BĂNG)
Điểu kiện cẩn và đủ để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hai
lực là hai lực đo' co' cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và
cùng cường độ.

Ký hiệu

(F ! , F 2) ~ 0

N hư vậy *ta nhận thấy rằng m ột vật rắn dưới tác dụng của một
lực thì không th ể cân bàng được.
1.4.2.

TIÊN ĐẼ 2 (VẼ sự TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC HỆ LỰC)

Tác dụng của một hệ lực lên vật rán sẽ không thay đổi nếu ta
thêm vào hay bớt đi m ột hệ lực càn bằng.


16
N hư vậy nếu hai h ệ lực khác nh au bời m ột hệ lực cân bằng thì
tư ơ ng đương nhau.
H ệ q u ả c ủ a t iê n

đề

1 v à t iê n

dể

2 : Tác dụng của m ột lực

lên vật rá n sẽ không thay đổi nếxj ta dời điểm đ ặ t lực đi trên
đường tác dụng của nd.
C h ứ n g m in h

Lực F tác d ụ n g lên
được đ ặt tại A.
L ấy đ iể m

B

tr ê n

v ậ t rán

đ ư ờ n g tá c

dụng của lực F , đ ặ t tại đó hai
lự c

F j,

F2 cân

bàng

nhau.

(h.1.1.8).

Hình 1.1.8
F j = F ; F , = —F

Theo tiên

để 2 thì F ~

(F , Fj , F 2)

Theo tiên

để 1 thì hai lực F

đi hai lực

F , F 2 thì chỉ còn lại Fj và (F , Fj , F 2)

N hư vậy

tác dụng của F j giống

là lực Fị đ ặ t tạ i B , còn F

và F \ cân bằng nhau,

v ì th ế nếu

bớt

~ Fị

như tác dụng của lực F , chỉ khác

đ ặ t tại A.

1.4.3. TIÊN ĐẼ 3 (QUY TÂC HÌNH BỈNH HÀNH)
Hợp lực của hai lực tác dụng lên vật rá n đật tại m ột điểm sẽ được
m ột lực cũng đ ặ t tại điểm ấy và được xác định bằng đường chéo
của hình bình h àn h vẽ nên từ hai lực ấy (h.1.1.9).
Ký hiệu hợp lực của hai lực F[, F 2 là R . Theo định nghĩa của hợp
lực th i

_
R

Vê m ặ t to án học vectơ thì :
R
Chú ý :
•

Tiên đề này đúng đối với cả
trư ờ n g hợp hai lực co' đường

Hình 1.1.9


17
tác dụng cắt nhau vì theo hệ quả của tiên để hai, ta có th ể
dời điểm đặt các lực vé điểm cắt nhau này.
•

Từ tiên đề này, có th ể suy ra each tìm hợp lực của hệ n lực
co' đường tác dụng cắt nhau tại một điểm (gọi là hệ lực đổng
qui). Ta co' th ể dời điểm đặt của tấ t cả các lực về điểm cắt
nhau

Áp dụng tiên đề 3 cho từng cập lực từ lực F I đến F n.

1.4.4. TIÊN ĐẼ 4 (QUY LUẬT VẼ sự TÁC DỤNG VÀ PHÁN TÁC DỤNG)
Hai vật tác dụng lên nhau những lực có cùng đường tác dụng, cùng
cường độ và ngược chiều nhau.

Hình 1.1.10
Tiên để này cho ta thấy lực bao giờ cũng xuất hiện từ hai chiều.
Nếu vật B tác dụng lên vật A lực F I thì nó phải chịu m ột phản
lực F \ của vật A tác dụng. Về toán học có th ể viết :

H ai lực này không cân bằng nhau vỉ chúng đật lên hai vật rán
khác nhau (h. 1.1.10).
1.4.5. TIÊN ĐẼ 5 (HÓA RẮN)

V /ỉ

GG

Một vật biến dạng ở trạ n g thái cân bằng dưới tác dụng của một
hệ lực thì khi hóa rá n vật đó vẫn cân bằng---™ :— ,
v
6F ff
..... ' •
r;
Ị t h ư v iế n
ự

§ 1.5. LIÊN KẾT VÀ PHÀN LỤC LIÊN KẾT

** * T i h :

Ị

1.5.1. KHÁI NIỆM VẼ VẬT RÂN Tự DO, VẬT RÁN KHÔNG T ị T d O, LIÊN
KẾT VÄ PHÁN Lực LIÊN KẾT
V ật rán tự do là vật không bị ràng buộc với các vật khác và có
th ể di chuyển tự do trong không gian. Ngược lại những vật bị ràng
buộc với các vật khác và không th ể di chuyển tự do được gọi là
vật rán khống tự do.
’-n ico sở r.i


18
V ật không tự do gọi là vật bị liên kết, còn các vật ràn g buộc nó
gọi là v ật gây liên kết.
Điểu kiện cản trở sự di chuyển tự do của vật gọi là hên kết.
Ví d ụ
•

Viên đạn chuyển động tro n g không gian là vật tự do.

•

V ật
bàn
liên
v ật
v ật

đặt lên bàn hay bị treo bàng sợi dây là vật bị liên kết (m ặt
hay sợi dây
là các vật gây liên kết). Ta hiểu bản chất của
kết là vật gây liên kết sinh ra lực cản trở chuyển động của
bị liên kết. Lực này gọi là phản lực liên kết. Còn lực m à
bị liên kết tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực.

Ap lực và phản lực liên kết tu â n theo tiên để thứ 4 của tĩnh học,
nghĩa là hai lực này cd cùng đường tác dụng, cùng cường độ và
ngược chiéu nhau. C ần chú ý là chiểu của phản lực liên kết ngược
với chiểu di chuyển bị cản trở.
T rong thực tế, hầu hết các vật rá n đều ở trạ n g thái không tự do.
Vì th ế việc xác định và tín h toán các phản lực liên kết là bài toán
quan trọ n g tro n g tin h học. T a sẽ khảo s á t phản lực của m ột số
liên kết sau đây với giả th iế t các vật hoàn toàn trơn.
1.5.2. MỘT SỐ LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP VÀ PHẢN
a.

Lực LIÊN KẼT

Liên kiểt tựa
V ật tự a lên m ật, chuyển động của v ậ t bị cản trở theo phương pháp
tuyến. P h ả n lực hướng theo phương pháp tuyến chung giữa hai m ặt
tiếp xúc, đ ặ t tại điểm tiếp xúc, ký hiệu N

Hình 1.1.n

(h. 1.1.1 la)

19
Chú ý :
«

Trường hợp một trong hai m ật tiếp xúc là một điểm thì phản
ỉực sẽ hướng theo pháp tuyến của m ật còn lại ( h .l.l.llb ) .

•

Gối tự a di dộng củng là dạng của liên kết tự a ( h .l.l.llc )

b. Lién 'kết dây mểm
Dảv mẽm, không giãn, bị kéo càng.
P h ả n ỉưc gọi là sức căng dây, có
phương dọc theo dây, chiều đi ra khỏi
v ậ t bị liê n
í h .u .1 2 ) .

k ế t,

ký

h iệ u

là

c. Liên kết bản lể trụ

T

Hình Ì LÌ2

Bản lể trụ gốm một lõi trụ tròn gọi
là trục bản lề (h .l.l,1 3 a) và m ột vỏ trụ bao ngoài lõi trụ tròn ấy.
H ai vật rán được nối với nhau bàng bản lể trụ. Chuyển động của
vật bị liên kết dọc theo trục bản lề không bị cản trở nên phản lực
theo phương này bằng 0. v ì vậy phản lực cát trục bản lể, cd phương
bất kỳ trong m ặt phẳng vuông góc với trục bản lê, ký hiệu R
Ta xác định được R qua hai thành phần theo hai trục tọa độ trong
m ặt phảng này (h .l.l.l3 b ). Gối tự a cố định cũng là dạng của bản

Hình ỉ.i.13


20
d. Liên kết bản lề cẩu
V ật được nối với m ột quả cấu A xoay
Phản

lực R

đi qua

tâm quả cẩu A

được trong m ột hốc hình cầu.
và có phương chiểu b ất kỳ

tro n g không gian. Ta xác định được R qua ba th à n h ph ần của nó

theo ba trụ c tọ a độ (h. 1.1.14a). Liên kết cối cũng thuộc dạn g bản
lể cẩu, chỉ khác là phản lực R có phương bất. kỳ n h ư n g luôn hướng

ẻ. Liên kết thanh
H ai v ật được nối với nh au b àn g th a n h cứng (có th ể th ẳn g hoặc
cong). B ản th â n th a n h náy không chịu tác d ụ n g của lực (trọng lượng
th an h không đ án g kể, không có lực nào đ ặ t vào th an h ), hai đầu
th an h chịu liên kết b ản lể. P h ả n lực có đường tá c dụng nối hai
bản lể. Có th ể chứng m inh kết lu ận này theo tiên để 1.
T rong trư ờ n g hợp này th a n h chỉ chịu kéo hay bị nén. N ếu th an h
chịu kéo th l ph ản lực hướng r a khỏi v ật khảo sát, còn nếu th an h
bị nén thỉ phản lực đi vào v ậ t khảo sát.
g. Liên kểt ngàm
Khi v ật bị liên kết và v ật gây liên kết được nối cứng với nhau thì
đó là liên kết ngàm (đinh được đđng cứng vào tường).
P h ản lực là m ột lực R A và m ột ngẫu
lưc có m ômen M x (h. 1.1.15).
Nếu

là ngâm

tro n g không gian

thì

R \ được xác định bằng bởi ba th àn h
phím X x , V'A , Z A th eo b a trụ c

tọa

Hình 1.1.15


độ, còn vectơ M a cũng được xác định bởi M x M y My theo ba trục
tọa độ.
Nếu ngâm trong m ặt phảng thì R A được xác định bởi hai thành
phần theo hai trục trong m ặt phảng, còn M A được xác định trong
m ặt phảng ngâm.
1.5.3. TIÊN ĐẼ 6 (TIÊN ĐỂ GIÀI PHÓNG LIÊN KẾT)
Một vật rắn không tự do cân bằng có thế xem là vật rắn tự do
cân bàng nếu ta bỏ đi các liên kết và thay vào đó VÁC phán lực liên
kết tương ứng.
Trong trư ờng hợp này hệ lực cân bàng tác dụng lên vật rắn bao
gốm cả các lực chủ động và phản lực liên kết.
Tiên đề này giúp giải quyết bài toán cân bàng dôi với các vật rán
không tự do, tức là vật rán chịu liên kết.


CHUÔNG 2

HAI BÀI TOẤN CO BẢN CỦA TĨNH HỌC

§ 2.1. BÀI TOÁN THU GỌN HỆ Lực
2.1.1. ĐỊNH LÝ DỜI LỤC THEO PHƯƠNG SONG SONG
Đ ịn h lý : T ác dụng của m ột lực lên vật rắ n không thay đổi khi
ta dời song song nó từ điểm này sang điểm khác của vật nếu ta
thêm vào m ột ngẫu lực phụ. N gẫu lực này co' m ôm en bàng m ôm en
của lực đ ặ t tại điểm cũ đối với điểm mới dời đến.
C h ứ n g m in h
~>

Một lực F tác dụng lên vật rán đ ặ t tại A. Ta cần dời lực đến
điểm B. Tại B đặt thêm vào v ật hai lực F J , F2 cân bằng nhau sao
cho : Fị

— F

; F2 = - F .

Theo tiên để hai thì F

~

(F , Fị

F2)

(h. 1.2. la )
N hư vậy

(F , F Ị , F 2) là m ột hệ gồm có m ột lực F J vả m ột ngẫu

lực (F , F 2). N gẫu lực này có m ồm en m

Hình 1.2.1

= m B(F) (h.l.2.1b).


23

2 . 1 .2 . THU GỌN HỆ

Lực KHÔNG GIAN VẾ MỘT TÂM. VECTƠ CHÍNH

VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ LỤC
a.

Phương pháp thu gọn
Hệ lực không gian (F\ , F i , ■■■Fn). Thu gọn hệ lực trên vể tâm
o (gọi o là tâm thu gọn). Dùng định lý dời lực theo phương song
song, lán lượt dời các lực vẽ tâm o.
Dời lực Fị

vé 0 , ta được Fị ’ và ngậu lực ró mômen n i I

Dòi lực F ? vê o , ta được í V và ngẫu lực GÓmômen m-,
Dời lục F

với niị = m 0 (Fị)
với m~, = m it (F*,)

vé o , ta được F n' và n ^ u lực oó mômen m n với m n -

Sau khi dời hệ (Fị , ■■■, F n) vé o , ta được một hệ lực (F \ , F

m u (F n)
F ') đạt

tại o và một hệ n ^ u lục có các vectơ mômen niị , m 2 , . . . , m n (h.l22a). Hợp
hệ lụt: đặt tại o , (F \ , F

F ;n( ta được hợp lực R ’o của nó dạt, Ì.Ị1 o .
=

=

<1-2.1)

Hợp hệ ngẫu lực, ta được một ngẫu lực có vectơ mômen M() (h.l.2.2b)
M a = ỵ m k = ỵ m u(Fk)

Hình 1.2.2

.

(1.2.2)


b. Vectơ chính và vectơ mômen chính cúa hệ lực
+

R ’ , = £ Fị. là vectơ chính của hệ lực (Fị , F 2 , ■■■, F n).

+ M , = ^ m ẠFk) là niômen chính của hê lực đối với tâm o.
Chú ý :
R \ t không phụ thuộc vào tâm thu gọn o.

•

là hợp lực của hệ lực đạt tại o ( F\ , F \ , . . . , F ’n) nhưng không

phải là hợp lực cúa hệ lực (Fj , F

, Fn) (giải thích theo định

nghỉa hợp lực).
•

M {% phụ thuộc vào tâm thu gọn o

c. Két quả thu gọn hệ lực
Khi th u gọn hệ lực vé m ột tâm ta được một hú và m ột ngẫu. lực.
Lực được biểu diễn bàng vectơ chính cùa hệ, còn ngẫu lực có m ôm en
bằng m ôm en chính của hệ đối với tâm thu gọn.
2 . 1. 3 .

XÁC ĐỊNH VECTƠ CHÍNH VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ Lực

Xác định R ’o và Mo bằng phương pháp giải tích
Theo định nghía R ' n = 2

F k vì vậy

* ’x R\

=

i!

ío

R', =
lịl RC f R ị +

r

V
r + ( ¿J z kr

; = -yị < 2 X r +

<1. 2.3)

Gọi ư , ß, y là góc m à vecto : R Tn tạo với CíỈC in ỊlC' Ox, Oy, Oz, thỉ
eosin của các góc này được xác định nhví sau :
cos«: =

Ä ’x

R\
; cos/t =
■ K,

■°

osy —
K,

(1. 2.4)

Sử dụng định lý liên hệ giữa mỏmen của m ột lực đối với m ột điểm

25
Muy = 2 [ m 0 (F k)]y

= X m y(Fk)

M 0/ = 2 [/n „ (F,.)], =
M0 = ^
Gọi

rtj,

p

nix(Fkiị 2 + p

'Zm/(Fk)

m v(Fk)] 2 + p

m.,(Fk)] 2

(1.2.5)

y I là góc mà M , tạo với Ox, Oy, Oz, ta có
M„x
cosa 1 = - ;
Mu

cos/i I

►

—

M(1/
; cos, = -■
Mu

(1.2.6)

b. Xác định R’o bằng phương pháp hình học (dùng đa giác lực)
Xét hệ có bốn lực (F| , F, , F , , Fị) (h .l.2.dat
Từ một điểm A bất kỳ, ta vẽ nối tiếp lán lượt các vectơ tương ứng
song song cùng chiểu với vectơ Fị , F t , F ị , FJ và có độ dãi chính
bàng độ dài các vcctơ này.
Đường gấp khúc ABCDEA được tạo thảnh gọi lá đa giác lựg cùa hệ
lực đã cho (h.l.2.3b).
Vectơ Ẫ È gọi là

Ccựnh

đ ó n g kín củ a đa giác lực, và là vectơ

chính. R ’ của hệ lực đã cho. Nếu hệ lực trong không gian thì đa
giác lực sẽ là đa giác ghềnh.
H ệ lực tro n g m ặt phẳng thi đa giác lực sẽ là đa giác phảng.
Đối với hệ co' n lực mà n > 4 thì ta vẽ tương tự như với hệ bốn
lực cho đến lực Fn .

26

2.1.4. THU HỆ LỰC KHÔNG GIAN VẼ DẠNG TỐI GIÀN
Một hệ lực không gian th u về m ột tâ m được m ột lực và m ột ngẫu
lực. Lực và ng ẫu lực này được biểu diễn qua vectơ chính và m ôm en
chính của hệ đối với tâ m thu gọn. Để hiểu rõ hơn thực chất tác
dụng của hệ lực không gian, ta xét dạng tối giản của nó qua các
trư ờ n g hợp có th ể gặp vé vectơ chính và m ôm en chính của hệ lực.
a - H ệ lực cân bằng khi R ’ — 0 và M u — 0
M0

b - H ệ lực th u vể m ột ngẫu lực
khi ĩ?

=

0,

M0

*

0

và M (

không phụ thuộc vào tâm thu gọn

o.
c -

Ri
H ệ lực th u về m ột hợp lực

khi R ’ í 0 và th ỏ a m ãn
tro n g hai trư ờ n g hợp sau :
•

Q
/

m ột

/

R

7

/

q'L -----

M 0 = 0, khi đó hệ chỉ thu về
m ột lực R ’ơ , vì th ế R*n chính

Hình 1.2.4

là hợp lực của hệ và đi qua o .
•

M () ^

0 và M ()

vuông góc với R ’ , nghỉa là R . M a — 0 ; hệ

lực sẽ th u vể m ột hợp lực không đi q u a o m ã qua O’.
T a có th ể chứng m inh điều này và xác định O’ như sau :
Véctơ M () biểu diễn ngẫu lực (R ị , R 2) cùng nàm tro n g m ật phẳng
với R ’ sao cho :
ĩĩị = -~ĩr ;

= &

N hư vậy cánh tay đòn OO' của ngẫu lực sẽ là :
OO’ = d
Hệ

lự c

(R' , R ị , R 2) c ù n g

(R ’ , R i) ~

Mọ
R'
nằm

tro n g

m ột

m ặt

phảng

và co'

0. T a có th ể bớt đi hệ lực cân bằng (/?’ , Rị ), do đd

hệ lực chỉ còn lại m ột lực / ỉ 2 đi qua O' ,


27
d - H ệ lực thu về m ột hệ xoán khi : R ’(ì ỈÉ 0, M v * 0 và có th ể
xảy ra m ột trong hai trường hợp sau:

Ngầu lực co' vectơ M v Jiàm tĩong m at nbẳng vuông góc với / ỉ ’

Tận

hợp gổm có lực R~n và ngầu lực (í?! , R 2) gọi là một hệ xoắn. Như
— >

— >

vậy

khi R \ / / M 0 thi hệ lực thu về một hệ xoắn. Đường th ẳn g đi

qua

o và song song với R ’n goi là trục xoắn (h.].2.5b).

*
//ỉ«/? Ị.2.5
Dưới tác dụng của hệ lực này, vật rán sô vừa quay, vừa ụnh tiến
theo trục xoắn (gọi là chuyến động xoắn ốc).
•

M0 và R ’a tạo với nhau một góc a nào đo'

P hân tích. M 0 ,ra hai thành phần M. vuông go'c với R ' ...
M ? song song với R ’0 .
Với Mị vuông góỏ với R ’n

/ví

M.

1r

thì thu về hợp lực R I đi qua

o.
CÁ.

— >

Như vậy hệ còn lại M-, và
R ị song song nhau,

/ 0

và hệ

th u vể m ột hệ xoắn không
đi q u a o
m à q u a O'
(h .1.2.6).

n’í~

-----■p IX
•0

p,
Hình ỉ.2.6