Lý thuyết và bài tập về Vector

Gv: Trn Quc Ngha

39

Bi 3. VẫCT
1. Khỏi nim m u:
Vộct l mt on thng :
Mt u c xỏc nh l gc, cũn u kia l ngn.
Hng t gc n ngn gi l hng ca vộct.
di ca vộct l di on thng xỏc nh bi im u v
im cui ca vộct.






Vớ d: Vộct AB :

A

B

im gc: A
im ngn: B
Phng (giỏ): ng thng AB
Hng: t A n B
di (mụun : di on AB

Vộct cú gc A, ngn B c kớ hiu l v di ca vộct AB c
kớ hiu l AB l khong cỏch gia im u v im cui ca vộct.

Ngoi ra, vộct cũn c kớ hiu bi mt ch cỏi in thng phớa trờn
cú mi tờn nh a, b , v , u di ca a kớ hiu: a .
Vộct khụng, kớ hiu 0 l vộct cú:
im gc v im ngn trựng nhau.
di bng 0.
Hng bt k
Hai vộct cựng phng khi chỳng cựng nm trờn mt ng thng
hoc nm trờn hai ng thng song song.
Hai cp vộct ( AB , CD ) v ( MN , PQ ) c gi l cựng phng.

P

Q

A

B

C

D
M

N

AB // CD
AB cựng phng CD
A , B ,C , D thaỳng haứng

Hng ca hai vộct: Hai vộct cựng phng cú th cựng hng hoc

ngc hng. Ta ch xột hng ca hai vộct khi chỳng cựng phng.
Hai vộct AB v CD gi l cựng hng:
AB // CD
AB CD
Hai tia AB , CD cuứng hửụựng

C

A

D
B


Toỏn 10 Khúa hố 2016

40

Hai vộct AB v CD gi l ngc hng:

D

AB // CD
AB CD
Hai tia AB , CD ngửụùc hửụựng

C
B

A

Gúc ca hai vộct AB v CD l gúc to bi hai tia Ox, Oy ln lt





cựng hng vi hai tia AB v CD. Ngha l: xOy AB,CD .
B

x
00 xOy 1800

A

y

xOy 00

B

D
C

A

O

D

xOy 1800

C

A

D

B
C

Khi AB v CD khụng cựng hng thỡ 00 xOy 1800
Khi AB v CD cựng hng thỡ xOy 00
Khi AB v CD ngc hng thỡ xOy 1800
Hai vộct bng nhau khi v ch khi chỳng cựng hng v cú di
bng nhau.
C
D

AB vaứ CD cuứng hửụựng
AB = CD
AB CD hay AB CD


A
B
Hai vộct i nhau khi v ch khi chỳng ngc hng v cú di
bng nhau.
D
C

AB vaứ CD ngửụùc hửụựng
AB = CD
AB CD hay AB CD



A

B

2. Cỏc phộp toỏn trờn vect:
a) Tng ca hai vộct:
Qui tc ba im: (Qui tc tam giỏc hay qui tc Chasles)
- Vi ba im bt k A, B, C ta cú: AB AC CB .
- Qui tc 3 im cũn c gi l h thc Chasles dựng cng
cỏc vộct liờn tip, cú th m rng cho trng hp nhiu vộct
nh sau: A1 An A1 A2 A2 A3 A3 A4 ... An 1 An


Gv: Trần Quốc Nghĩa

41

 Qui tắc hình bình hành:
- Cho hình bình hành ABCD thì”

D

C

 AC  AB  AD
 AB  DC
và 

 DB  DA  DC
 AD  BC A
B
- Qui tắc hình bình hành dùng để cộng các véctơ chung gốc.
 Tính chất:  a  b  b  a

 ( a b ) c  a (b  c )

 a 0 0  a  a
b) Hiệu của hai véctơ:
 Véctơ đối:
- Véctơ đối véctơ a kí hiện là  a .

A

B

- Tổng hai véctơ đối là 0 : a  (  a )  0 C
 Qui tắc tam giác đối với hiện hai véctơ:
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có: AB  CB  CA .
c) Tích của một số đối với một véctơ:
 Định nghĩa: Cho số thực k (k  0) và một véctơ a ( a  0 )
cùng hướng với a nếu k > 0
Tích k. a là một véctơ
ngược hướng với a nếu k < 0

 Tính chất:
 k( a  b )  k.a  k.b
 ( k  h ).a  k.a  h.a
 k.( h.a )  ( k.h ).a
 ( 1).a   a

 1.a  a

 0.a  0

 Điều kiện để hai véctơ cùng phương:
- Điều kiện cần và đủ để hai véctơ a; b ( b  0 ) cùng phương là
tồn tại một số k để a  k.b .
- Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là
AB  k AC
d) Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:
 Trung điểm của đoạn thẳng:
- I là trung điểm của AB:

 IA  IB  0 hay AI  IB 

A
1
AB hay IA   IB
2

B

I

M

- I là trung điểm của AB, với M bất kì, ta có: MA  MB  2MI


Toán 10 – Khóa hè 2016

42

 Trọng tâm của tam giác:
- G là trọng tâm của ABC

A

 GA  GB  GC  0
- Với M bất kì : MA  MB  MC  3MG

G

B

C

2.27 Các khẳng định sau đây có đúng không ?
a) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương
b) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì
cùng phương
c) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng
d) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì
cùng hướng

e) Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba khác vectơ 0 thì
cùng hướng
f) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài
bằng nhau.
2.28 Cho ba vectơ a , b , c đều khác vectơ 0 . Các khẳng định sau đây
đúng hay sai ?
g) Nếu hai vectơ a , b cùng phương với c thì a và b cùng
phương.
h) Nếu a , b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.
2.29 Trong hình sau, hãy chỉ ra các véc tơ cùng phương, cùng hướng,
ngược hướng và các vectơ bằng nhau, đối nhau:
w

x

y

a
b

v

u

z

2.30 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các vectơ khác 0 là cùng phương với OA .
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB .
2.31 Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ và có:

Gv: Trần Quốc Nghĩa

a) Các điểm đều là B, F, C.

43

b) Các điểm cuối là F, D, C.

2.32 Gọi C là trung điểm của đoạn thảng AB. Các khẳng định sau đây
đúng hay sai ?
a) AC và BC cùng hướng
b) AC và AB cùng hướng
c) AB và BC ngược hướng

d) AB  BC

e) AC  BC

f) AB  2 BC

2.33 Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Hãy điền vào chỗ trống (…)
để được đẳng thức đúng:
a) AB  AD  ……………
b) AB  CD  ……………
c) AB  OA  ……………
d) OA  OC  ……………
e) OA  OB  OC  OD  ……………
2.34 Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Mỗi khẳng định sau đây

đúng hay sai ?
a) AB  AD  BD

b) AB  BD  BC

c) OA  OB  OC  OD

d) BD  AC  AD  BC

e) OA  OB  AB
g) AB  AD  AC
i) CD  CO  BD  BO

f) CO  OB  BA
h) AB  AD  BD

2.35 Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho
AM > MB. Vẽ các vectơ MA  MB và MA  MB .
2.36 Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành
khi và chỉ khi AB  DC .
2.37 Chứng minh rằng AB  CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.
2.38 Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng
MA  MC  MB  MD .
2.39 Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:
a) AB  BC  CD  DA  0
b) AB  AD  CB  CD


Toán 10 – Khóa hè 2016

44

2.40 Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành
ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: RJ  IQ  PS  0
2.41 Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh là a, G là trọng tâm. Tính độ
dài các vectơ AB  AC , AB  BC , GB  GC .
2.42 Cho ABC vuông tại A có AB = AC = 2 cm. Tính AB  AC ?
2.43 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 cm, BC = 10 cm.
Tính AB  AC  AD .
2.44 Cho ABC vuông tại A có B  600 , BC = 2 cm.
Tính AB , AC , AB  AC , AB  AC ?
2.45 Cho ABC vuông tại B có A  300 , BC = a. Gọi I là trung điểm của
AC. Hãy tính: AC , AI , AB  AC , BC ?
2.46 Cho hình thang vuông ABCD có A  D  900 . Biết AB = AD = a,
C  450 . Tính CD , BD ?

2.47 Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) CO  OB  BA
b) AB  BC  DB
c) DA  DB  OD  OC

d) DA  DB  DC  0

2.48 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O.
a) Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho :
OM  OA  OB; ON  OB  OC; OP  OC  OA

b) Chứng minh rằng: OA  OB  OC  0
2.49 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:

AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE

2.50 Cho

hình

bình

AB  AC  AD  2AC .

hành

ABCD.

Chứng

minh

rằng:


Gv: Trần Quốc Nghĩa

45

2.51 Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân
tích các vectơ AB , BC , CA theo hai vectơ u  AK và v  BM .
2.52 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đặt a  GA và b  GB . Hãy
biểu diễn mỗi vectơ AB , GC , BC và CA theo các vectơ a và b .
2.53 Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác

ABC và tam giác ABC thì 3GG'  AA'  BB'  CC' . Từ đó suy ra
điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và ABC có trọng tâm
trùng nhau.
2.54 Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm
M sao cho MB  3MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ
AB và AC .

2.55 Gọi AM là trung tuyến của tam giác aBC và D là trung điểm của
đoạn AM. Chứng minh rằng:
a) 2DA  DB  DC  0
b) 2OA  OB  OC  4OD với O là điểm tùy ý.
2.56 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ
giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD
2.57 Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tma
giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
2.58 Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý
trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ
3
2

M đến BC, AC, AB. Chứng minh: MD  ME  MF  MO
2.59 Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các
vectơ sau đây và tính độ dài của chúng:
a) OA  OB
b) OA  OB
c) 3OA  4OB
d)

21

5
OA  OB
4
2

e)

11
3
OA  OB
4
7


Toán 10 – Khóa hè 2016

46

2.60 Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh
OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức
sau đây:
a) OM  mOA  nOB
b) MN  mOA  nOB
c) AN  mOA  nOB
d) MB  mOA  nOB
2.61 Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng:
a) Nếu GA  GB  GC  0 thì G là trọng tâm tam giác ABC.
b) Nếu có điểm O sao cho OA  OB  OC  3OG thì G là trọng tâm
tam giác ABC.
2.62 Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm I sao cho: IA  2IB  0
b) Tìm điểm K sao cho: KA  2KB  CB
c) Tìm điểm D sao cho: 3DA  2DB  0
d) Tìm điểm M sao cho:
MA  MB  2MC  0
e) Tìm điểm N sao cho: NA  2NB  0
f) Tìm điểm P sao cho: PA  PB  2PC  0
g) Tìm điểm Q sao cho: QA  QB  QC  BC
h) Tìm điểm L sao cho: 2LA  LB  3LC  AB  AC
i) Tìm điểm H sao cho: 2HA  3HB  3BC
j) Tìm điểm R sao cho: 2RA  RB  2BC  CA
k) Tìm điểm S sao cho: SA  SB  SC  BC
l) Tìm điểm T sao cho: TA  TB  TC  AB  AC
m) Tìm điểm U sao cho: 3UA  UB  UC  0
n) Tìm điểm X sao cho: 3XA  2XB  XC  0
2.63 Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
AB, CD; O là trung điểm của EF. Chứng minh:
a) AB  CD  AD  BC ; AD  BC  2EF
b) AB  CD  AC  BD
c) OA  OB  OC  OD  0
d) MA  MB  MC  MD  4MO
e) 4AO  AB  AC  AD


Gv: Trần Quốc Nghĩa

47

2.64 Cho ABC. Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC.
1

3

2
3

Chứng minh rằng: AM  AB  AC .
2.65 Cho ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên cạnh AC
sao cho CN  2NA , K là trung điểm của MN.
1
4

1
6

a) Chứng minh rằng: AK  AB  AC .
1
4

1
3

b) Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh: KD  AB  AC .
2.66 Cho ABC. Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G.
2
3

1
3





1
AB  AC .
3
1
5
b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh: MH  AC  AB .
6
6

a) Chứng minh: AH  AC  AB và CH  

2.67 Cho ABC. Đặt AB  u, AC  v.
a) Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính AP theo u và v .
1
2

1
3

b) Gọi Q, R là 2 điểm định bởi AQ  AC và AR  AB . Tính
PR, RQ theo u và v .

c) Suy ra ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
2.68 Cho tứ giác ABCD với AB  b, AC c, AD d .
a) Phân tích các véctơ BC, CD, DB theo các véctơ b, c và d .
b) Gọi Q là trọng tâm của BCD. Phân tích AQ theo b, c và d .
2.69 Cho ABC. Gọi K là điểm sao cho KA  KB  KC  0 .

a) Chứng minh rằng: K là trọng tâm của tam giác ABC.
b) Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, AO
cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng BHCD là hình bình
hành.
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: AH  2OI .
d) Chứng minh:  HA  HB  HC  2HO
 OA  OB  OC  OH
 O, H, K thẳng hàng.


Toán 10 – Khóa hè 2016

48

2.70 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, J là 2 điểm sao cho:
IA  3IB  0 và JC  5JD  0
a) Tính a  IC  ID  2IB theo AD .
b) Gọi M, P, Q là các điểm thỏa hệ thức:
MP  MA  3MB và MQ  MC  5MD
Chứng minh rằng: I, M, P và J, M, Q thẳng hàng.
2.71 Cho ABC. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB.
a) Chứng minh: AM  BN  CP  0 .
b) Lấy điểm O bất kỳ. C/minh: OA  OB  OC  OM  ON  OP .
c) Có nhận xét gì về trọng tâm 2 tam giác ABC và MNP ?
2.72 Cho ABC. Lấy điểm M tùy ý.
a) C.minh: v  MA  2MB  3MC không phụ thuộc vào vị trí M.
b) Dựng D sao cho CD  v . Đường thẳng CD cắt AB tại K.
Chứng minh rằng: KA  2KB  0 và CD  3CK .
2.73 Cho ABC. Lấy M, N, P thỏa:
MB  2MC , NA  2NC  0 , PA  PB  0

a) Tính PM, PN theo AB và AC .
b) Suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.
2.74 Cho ABC, hãy dựng điểm I, J, K, L thỏa:
a) IA  IB  2IC  AB

b) JA  JB  JC  AB  2AC

c) KA  KB  2KC  0

d) 3LA  2LB  LC  0

2.75 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy xác định điểm I, J, K thỏa:
a) IA  IB  IC  4ID
b) 2JA  2JB  3JC  JD
c) 4KA  3KB  2KC  KD  0
2.76 Cho ABC. Tìm tập hợp những điểm M thỏa:
a) MA  MB  MA  MB
b) 2MA  MC  MA  2MC


Gv: Trần Quốc Nghĩa

49

c) MA  MB  MC  3 MB  MC
d) MA  MB  MC 

3
MB  MC

2

e) 4MA  MB  MC  2MA  MB  MC
2.77 Cho ABC đều tâm O. Lấy một điểm M nằm trong tam giác. Gọi
D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống ba cạnh.
3
2

Chứng minh rằng: MD  ME  MF  MO .
2.78 Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
Chứng minh rằng: OB  OB  OC  OD  OE  0
2.79 Cho lục giác đều ABCDEF.
a) Biểu diễn các véctơ AC, AD, AE, EF theo các véctơ AB và AC
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA  MB  MC  MD  3 MA  MD

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA  MB  MC  MD  ME  MF

2.80 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N là hai điểm trên hai
cạnh AB, CD sao cho: 3AM = AB, 2CN = CD.
a) Tính AN theo AB và AC .
b) Gọi G là trọng tâm của BMN. Tính AG theo AB và AC .
c) Gọi I thỏa BI 

6
BC . Chứng minh A, I, G thẳng hàng.
11

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA  MB  MC  MD  4AB .

2.81 Cho ABC. Lấy P, Q, R thỏa:
3PB  4PC  0 , 3AQ  2QC , kRA  RB (k  1)

Tìm k sao cho P, Q, R thẳng hàng.
2.82 Cho ABC cố định.
a) Hãy xác định điểm I sao cho: IA  3IB  2IC  0 .


Toán 10 – Khóa hè 2016

b) Gọi

M

50

là

một

điểm

di

động.

Lấy

N

thỏa:

MN  MA  3MB  2MC .

Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
2.83 Cho ABC. Gọi I, J là hai điểm thỏa: IA  2IB và 3JA  2JB  0 .
Chứng minh: IJ qua trọng tâm G của ABC.
2.84 Cho ABC. Gọi I là điểm định bởi: 3IA  IB  2IC  0 . Xác định
giao điểm của:
a) IA với BC.
b) IG với AB, với G là trọng tâm ABC.
2.85 Cho ABC và véctơ v  3MA  2MB  MC , với M là điểm bất kỳ.
a) Chứng minh: v là véctơ không đổi.
b) Vẽ véctơ AD  v . Chứng minh đường thẳng AD luôn luôn đi
qua một điểm cố định khi M thay đổi.
c) Vẽ véctơ MN  v . Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh
rằng MP đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
2.86 Cho ba lực F1  MA , F2  MB và F3  MC cùng tác động vào một
vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F1 , F2 đều
là 100 N và AMB  600 . Tìm cường độ và hướng của lực F3 .
2.87 Cho hai lực F1 và F2 cùng có điểm đặt tại O. Tìm cường độ lực
tổng hợp của chúng trong các trường hợp sau:
a) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng
1200.
b) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng
900.
c) F1 và F2 cùng có cường độ 100 N, góc hợp bởi F1 và F2 bằng
600.
d) Cường độ của F1 là 40 N, của F2 là 30N và góc hợp bởi F1 và
F2 bằng 00.

e) Cường độ của F1 là 100 N, của F2 là 50N và góc hợp bởi F1 và
F2 bằng 1800.


Gv: Trần Quốc Nghĩa

51

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÉCTƠ
2.88 Cho các điểm A, B, C, D phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ (khác

0 ) tạo bởi hai trong bốn điểm đó?
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
2.89 Hãy điền vào chỗ trống để được một khẳng định đúng:
A. Vectơ – không ( 0 ) là vectơ 
B. Vectơ là đoạn thẳng nghĩa là một trong hai mút
của đoạn thẳng đó đã chỉ rõ 
C. Hai vectơ cùng phương là hai vectơ
D. Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể


E. Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng 
2.90 Cho ABC cân tại A. Câu nào sau đây sai?
A. AB = AC

B. AB  AC

C. AB  AC

D. AB, AC không cùng phương.

2.91 Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a. Câu nào sau đây sai?
A. BC  DC

B. BA  AD

C. AB  BC  2a

D. BA, DC ngược hướng.

2.92 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Hãi điền vào chỗ trống để
được khẳng định đúng.
A. AI, IB là hai vectơ 
B. IA, IB là hai vectơ 
C. Độ dài mỗi vectơ  thì bằng nửa độ dài đoạn thẳng 
D. AB, BI là hai vectơ 
2.93 Khẳng định nào sau đây sai?


A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng
phương.

B. Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng
hướng.


Toán 10 – Khóa hè 2016

52

C. Ba vectơ a, b, c khác 0 và đôi một cùng phương thì có ít nhất hai
vectơ cùng phương.
D. Điều kiện càc và đủ để a  b là a  b .
2.94 Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  b là điều kiện đủ để a  b
 
B. a, b cùng hướng là điều kiện đủ để a  b
 
C. a  b là điều kiễn đủ để a, b cùng phương
D. a, b cùng phương là điều kiện đủ để a  b
2.95 Gọi C là trung điểm của đoạn AB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AC và AB cùng hướng.
B. CA  CB
C. 2. AC  AB
D. CA và CB ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
2.96 Điều kiện nào trong các điều kiện sau là điều kiện cần và đủ để hai
vectơ a, b đối nhau ?
A. a và b chung gốc và có hướng ngược nhau.
B. a và b có độ dài bằng nhau, chung gốc và ngược hướng.
C. a và b có độ dài bằng nhau và ngược hướng.
D. a và b có độ dài bằng nhau, cùng phương và cùng điểm cuối.
2.97 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Trong các mệnh đề sau, tìm
mệnh đề sai ?
A. AB  CD

B. AD  BC

C. AO  OC

D. OD  BO

2.98 Cho hv ABCD. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?
A. AB  BC

B. AB  CD

C. AC  BD

D. AD  CB

2.99 Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD ?
A. ABCD là hình bình hành
B. ABDC là hình bình hành
C. AD và BC có cùng trung điểm D. AB = CD và AB // CD.


Gv: Trần Quốc Nghĩa

53


2.100 Cho ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có
điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C?
A. 3
B. 6
C. 4
D. 9

2.101 Cho AB và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB  CD ?
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vô số

2.102 Cho AB (khác 0 ) và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
AB  CD ?

A. 0
B. 1
C. 2
D. Vô số.
2.103 Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn AB là:
A. IA = IB

B. IA  IB  0

C. IA  IB  0

D. IA  IB

2.104 Cho ABC đều có cạnh a. Độ dài của tổng hai vectơ AB và AC
bằng bao nhiêu?
A. 2a

B. a

C. a 3

D.

a 3
2

2.105 Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vectơ nào trong các vectơ dưới
đây bằng CA ?
A. BC  AB

B. OA  OC

C. BA  DA

D. DC  CB

2.106 Cho ABC vuông cân có AB = AC = a. Độ dài của tổng hai vectơ
AB và AC là:

A. a 2

B.

a 2
2

C. 2a

D. a

2.107 Cho ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng.
A. AB + BC = AC

B. AB  BC  CA  0

C. AB  BC  AB  BC

D. AB  CA  BC

2.108 Cho ABC đều có cạnh bằng a, H là trung điểm của BC.
Vectơ CA – HC có độ dài là:
A.

a
2

B.

3a
2

C.

2a 3
3

D.

a 7
2

Toán 10 – Khóa hè 2016

54

2.109 Cho ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Vectơ CA + AB có độ
dài là bao nhiêu?
A. 2
B. 2 13
C. 4
D. 13
2.110 Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC =
12. Tổng hai vectơ GB  GC có độ dài bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 2 3
C. 8
D. 4.
2.111 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Tìm đẳng thức sai:
A. AD  BE  CF  AE  BD  CF
B. AD  BE  CF  AE  BF  CE
C. AD  BE  CF  AF  BD  CE
D. AD  BE  CF  AF  BE  CD
2.112 Cho hình bình hành ABCD tâm M. Tìm mệnh đề sai:
A. AB  BC  AC
B. AB  AD  AC
C. BA  BC  2BM
D. MA  MB  MC  MD
2.113 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm mệnh đề sai:
A. BA  BD  BC

B. AB  AD  AC
C. DA  CB
D. OA  OB  OC  OD  0
2.114 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm mệnh đề sai:
A. AD  AB  AC
B. AB  AD  AC
D. AB  DC và AD  BC

C. AC  BD

2.115 Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm mệnh đề đúng:
A. AB  CD  AD  CB
B. AB  BC  CD  DA
C. AB  BC  CD  DA
D. AB  AD  CD  CD
2.116 Cho 2 lực F1 = F2 = 100N, có điểm đặt tại O và tạo với nhau một
góc 1200. cuờng độ lực tổng của hai lực ấy bằng bao nhiêu?
A. 100N

B. 100 3 N

C. 200N

D. 50 3 N

2.117 Cho ABC và một điểm M thỏa điều kiện MA  MB  MC  0 .
Tìm mệnh đề sai:
A. MABC là hình bình hành
B. AM  AB  AC
C. BA  BC  BM

D. MA  BC


Gv: Trần Quốc Nghĩa

55

2.118 Tìm câu sai:
A. Với ba điểm bất kỳ I, J, K ta luôn có : IJ  KJ  IK
B. AB  AD  AC thì ABCD là hình bình hành.
C. Nếu OA  OB thì O là trung điểm của AB.
D. Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA  GB  GC  0 .
2.119 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, AD = 4cm.
Câu nào sau đây sai?
A. AB  AD = 5cm

B. AB  AC = 8cm

C. AD  BC

D. 4AB  3AD

2.120 Câu nào sau đây sai?
A. a là vectơ đối của b thì | a | = | b |.


B. a và b ngược hướng là điều kiện cần để b là vectơ đối của a .



C. b là vectơ đối của a khi và chỉ khi – b = a .
D. a và b là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi a + b = 0 .
2.121 Cho ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Vectơ MN cùng hướng với:
A. AC

B. NA

C. CA

D. NC

2.122 Cho ABC có I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Tìm câu sai ?
A. JK , BI , IA là ba vectơ bằng nhau.
B. Vectơ đối của IK là CJ và JB
C. Trong ba vectơ IJ , AK và KC có ít nhất hai vectơ đối nhau.
D. IA + KJ  0
2.123 Cho Hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 12cm, AC = 5cm. Câu nào
sau đây sai ?
2

2

A. AB  AC  AD

B. AB  AC  13cm

C. AB  AC  AB  AC

D. BC  BA  7cm


Toán 10 – Khóa hè 2016

56

2.124 Cho I, J, K là ba điểm bất kỳ. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. IJ + JK = IK
B. JK  IK  IJ
C. Nếu I là trung điểm của JK thì IJ là vectơ đối của IK
D. KJ  KI  IJ khi K ở trên tia đối của tia IJ.
2.125 Cho hbh ABCD có DA = 2cm, AB = 4cm và đường chéo BD =
5cm. Tính BA  DA ?
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
2.126 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm câu đúng :
A. AB  CD
B. OA  OB  0
C. BC  BA  BO

D. AC  BD

2.127 Tìm câu đúng :
A. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài
bằng nhau.
B. Hai vectơ (khác 0 ) cùng hướng với một vectơ (khác 0 ) thì

chúng ngược hướng.
C. AB  0  AB  0
D. Nếu AB  BC  CA thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2.128 Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính AB  AC , ta
được kết quả:
A. 10 cm

B. 8 cm

C. 6cm

D. 2cm

2.129 Tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.
Kết quả của phép tính BO  DC  BA  AC là:
A. AB
B. DO
C. OB
2.130 Khẳng định nào sau đây là sai ?

D. CD

A. Với ba điểm phân biệt A, B, C ta luôn có BC  AC  AB
B. Nếu H là trực tâm của ABC thì HA  HB  HC  0
C. Nếu B nằm giữa hai điểm A và C thi hai vectơ BA , BC ngược
hướng
D. Nếu O là tâm của hình vuông ABCD thì OA  OB  OC  OD  0 .


Gv: Trần Quốc Nghĩa

57

2.131 Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Nếu M là trung điểm của AB và O là điểm tùy ý thì
OA  OB  2OM

B. G là trọng tâm của ABC và O là điểm tùy ý thì
OA  OB  OC  3GO

C. O là tâm của hbh ABCD và M là điểm tùy ý thì
MA  MB  MC  MD  4MO

D. Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB và AC cùng phương.
2a  b  c  0

2.132 Cho hai đẳng thức vectơ: 

a  2b  c  0

Câu nào sau đây SAI ?


A. a = 3 c
B. 5 a + 3 c = 0
C. 3 a  b  c  0
D. 5b  c  0
2.133 Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm AB, DN cắt AC tại I.
Chọn câu ĐÚNG ?
1

2

A. AI  AC

1
3

B. AI  AC

1
4

C. AI  AC

3
4

D. AI  AC

2.134 Cho ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN
= NC, đặt AM  u , AN  v . Câu nào sau đây ĐÚNG ?
A. u  v 



1
AB  AC
2





B. u  v  2 AB  AC



C. u  v  2AB  AC
D. u  v  AB  AC

  
2.135 Cho ba vectơ a , b , c khác 0 và thỏa mãn 3 a – 5 b + 2 c = 0 . Câu
nào sau đây SAI ?
1
2

A. c  (5a  3b)

3
5

2
3

B. b  a  c

C. Nếu a và b cùng phương thì b và c cùng phương
D. Cả A, B, C đều sai.
2.136 Cho ABC có G là trọng tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, CA, AB. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(1) G là trọng tâm MNP
(2) MN  NP  PM  AB  BC  CA


Toán 10 – Khóa hè 2016

58

(3)MN + NP + PM = AB + BC + CA
(4) 2AM  AB  AC
A. (1), (2), (3) B. (2), (3), (4) C. (1), (2), (4) D. (1), (2), (3), (4)
2.137 Cho ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Tìm mệnh đề SAI :
A. AB  2AM

B. AC  2NC

1
2

C. BB  2MN D. CN   AC

2.138 Cho ABC, G là trọng tâm. Tìm mệnh đề ĐÚNG :
2
3

A. AB  AC  AG

B. BA  BC  3BG

C. CA  CB  CG

D. AB  BC  AC  0

2.139 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB
và CD. Gọi k là số thỏa mãn : AC  BD  kMN . Giá trị của k là:
A. 2
B. 3
C. ½
D. – 2
2.140 Gọi G và G lần lượt là trọng tâm của ABC và ABC.
Tìm x sao cho : AA'  BB'  CC'  xGG'
A. x = 0
B. x = – 3
C. 1
D. 3
2.141 Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm mệnh đề SAI :
A. AB  AD  2AO
1
2

C. OA  OB   CB

B. AC  DB  4AB
1
2

D. AD  DO   CA

2.142 Mệnh đề nào SAI ?

A. Nếu b = k a ( a  0 và k  R) thì a và b cùng phương.
B. Tổng của hai vectơ có tính chất giao hoán.
C. Vectơ – 3 a ngược hướng với a .
D. Hai vectơ ngược hướng thì đối nhau.
2.143 Cho ABC đều, đường cao BH. Đẳng thức nào SAI ?
A. HA  HC  0
B. HA  HC
C. AB  2HA

D. AB  BH . 3


Gv: Trần Quốc Nghĩa

59

2.144 Gọi I là trung điểm AB. Khẳng định nào ĐÚNG ?
A. AB  2IA
B. Với M bất kỳ tao có : MA  MB  2MI
C. IA  IB  BA
D. IA  IB
2.145 Cho ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA  MB  MC  1 :
B. 1
C. 2
D. Vô số


2.146 Cho a , b khác 0 . Chỉ ra đẳng thức sai :



 
A. (m + n) a = m a + n a , m  R
B. 0 . a = 0




C. m( a + b ) = m a + m b , m  R D. a – b = b – a
A. 0

2.147 Cho 4 điểm A, B, C, D. Kết quả phép tính: CA  BD  AB  DC

A. 0
B. 2AC
C. 2BD
D. AC  AD
2.148 Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hai vectơ (khác 0 ) a và b ngược hướng khi và chỉ khi

k b (với k < 0)


(II) Nếu a + b = 0 thì a và b là hai vectơ đối nhau (với a ,

là:

a =



b 

0)

A. Chỉ (I) đúng
C. Cả (I) và (II) đều đúng

B. Chỉ (II) đúng
D. Cả (I) và (II) đều sai.

2.149 Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm mệnh đề sai :
A. AB  AD  AC  4AO

B. AB  AD  2OB

C. AB  CB  2BO

D. AB  AD  AC  4OA

2.150 Cho ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM. Chọn
đẳng thức đúng:
A. IB  2IC  3IA  0

B. IB  IC  2IA  0

C. 2IB  IC  IA  0

D. IB  IC  IA  0

2.151 Cho ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM. Chọn

đẳng thức đúng:
1
4
1
1
C. AI  AB  AC
4
2

A. AI  (AB  AC)

1
4
1
1
D. AI  AB  AC
4
2

B. AI  (AB  AC)


Toán 10 – Khóa hè 2016

60

2.152 Cho ABC có AM là trung tuyến. Gọi G là trọng tâm. Chọn đẳng
thức ĐÚNG:
2
3

1
2
C. AG  AB  AC
3
3

A. AG  (AB  AC)

1
3
2
D. AG  AB  3AC
3

B. AG  (AB  AC)

2.153 Cho ABC đều. Đẳng thức nào sau đây ĐÚNG ?
A. AB  AC

B. AB  BA

C. AB  BC  2 AC

D. AB  CB

2.154 Cho tứ giác ABCD, tròn các cạnh AB, CD lần lượt lấy các điểm M,
N sao cho: 3 AM  2AB , 3DN  2DC . Tính MN theo AD , BC
1
1
3

3
1
2
C. MN  AD  BC
3
3

A. MN  AD  BC

1
2
3
3
2
1
D. MN  AD  BC
3
3

B. MN  AD  BC

2.155 Cho hình thoi, gọi O là giao điểm 2 đường chéo. Đẳng thức nào
SAI ?
A. AB  CD  0

B. DA  DC  2DO

C. AC  BD  0

D. AB  AD  AC  4OA

2.156 Cho hình thang ABCD đấy AB và CD. Gọi M và N theo thứ tự là
trung điểm của AD và BC. Câu nào sau đây SAI :
A. MN  MD  CN  DC
B. MN  AB  MD  BN
1
2

C. MN  (AB  DC)

1
2

D. MN  (AD  BC)

2.157 Cho hình bình ABCD, M là trung điểm AB. Câu nào sau đây
ĐÚNG:
1
2
1
C. DM  DC  BC
2

A. DM  CD  BC

1
2
1
D. DM  DC  BC
2

B. DM  CD  BC

2.158 Cho ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O. Câu nào sau đây SAI :
A. OA = OB = OC


Gv: Trần Quốc Nghĩa

61

B. Vì ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm
 OA  OB  OC  0
C. OA  OB  2 OC vì OA = OB = OC
D. Nếu OB  OC  OD thì OBDC là hình thoi.
2.159 Cho ABC, M  AB sao cho 3AM = AB và N là trung điểm AC.
Tính MN theo AB và AC ta được kết quả là :
1
1
2
3
1
1
C. MN  AB  AC
2
3

1
1
2

3
1
1
D. MN  AB  AC
2
3
2.160 Cho ABC, M  BC sao cho MC = 2MB. Tính BM theo AB và

A. MN  AC  AB

AC ta được kết quả là :
1
1
A. BM  AB  AC
3
3
1
1
C. BM  AC  AB
3
3

B. MN  AC  AB

2
2
3
3
2
2

D. BM  AC  AB
3
3

B. BM  AB  AC

2.161 Cho ABC, M, N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau
BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC ta được kết quả là :
2
1
3
3
2
1
C. AM  AB  AC
3
3

1
2
3
3
1
2
D. AM  AB  AC
3
3
2.162 Cho ABC, M là trung điểm BC. Tính AB theo AM và BC ta

A. AM  AB  AC

B. AM  AB  AC

được kết quả là :
1
2
1
C. AB  AM  BC
2

1
2
1
D. AB  BC  AM
2
2.163 Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC , BD được kết quả

A. AB  AM  BC

B. AB  BC  AM

là :
1
1
2
2
1
C. AB  AC  BD
2

A. AB  AC  BD

1
1
2
2
1
D. AB  AC  BD
2

B. AB  AC  BD


Toán 10 – Khóa hè 2016

62

2.164 Cho ABC có trọng tâm G và ABC có trọng tâm G. Chứng
minh rằng: điều kiện cần và đủ để ABC và ABC có cùng trọng
tâm là : AA'  BB'  CC'  0 .
Bài giải:
GG '  GA  AA '  A 'G ' (1)

Bước 1: Ta có: GG '  GB  BB'  B'G ' (2)

GG '  GC  CC'  C'G ' (3)

Bước 2: Cộng (1), (2) và (2) vế theo vế, ta được:
3GG'  (GA  GB  GC)  (AA'  BB'  CC')  (A'G'  B'G'  C'G') Mà

G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0
G là trọng tâm ABC

 GA'  GB'  GC'  0

Vậy 3GG'  AA'  BB'  CC'
Bước 3: Điều kiện cần và đủ để G  G là GG '  0
 AA'  BB'  CC'  0
Vậy điều kiện cần và đủ để ABC và ABC có cùng trọng tâm
là:
AA'  BB'  CC'  0 .

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai, sai từ bước nào ?
A. Đúng
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 2
D. Sai ở bước 3