14 bai tap tu luan va trac nghiem giai tich 12 tich phan va ung dung (NXB dai hoc quoc gia 2008) le hong duc, 208 trang

LÊ HỒNG Đửc - LẼ BÍCH NGỌC

TÍCH 12
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

(»ĩtìf
/

Trộn đoan f(.L
o> s\.

'ỉfỉ\

4/ ỈJ i <)
s/// \

W/M


,,

_

.. .................. ...

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC

BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

GIẢI

t íc h

12

T ÍC H P H Â N V À Ứ N G D Ụ N G

N H Ằ XUẤT BẢN ĐẠI HỌ C

Quốc G IA H À

NỘI


MỞ ĐẦU
ĩự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm dã và đang được chứng minh từ
nhũng nước có nén giáo dục tiên tiến trên thế giới hởi những ưu điểm như tính
khá. h quan, tính hao quát và tính kinh tế.
Trong thời gian không xa, theo chủ trương của BGD&ĐT các trường đại học,
cao đẳng và trung học chuyên nghiệp sẽ chuyển sang hình thức tuyển sinh hằng
phuxng pháp trắc nghiệm. Và đ ể có được thời gian chuẩn hi tốt nhất, các hài kiểm
tra tiến thức trong chương trình THCS và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm để
các em học sinh làm quen.
Tuy nhiên, việc hiên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuân thủ một sô'yêu cầu
cơ tản về mặt lí luận sư phạm và ỷ nghĩa đích thực của các sô'liệu thống kê. Ngoài
ra, nột để thi môn toán được chấm hoàn toàn dựa trên kết quả trắc nghiêm chắc
chắĩ sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước ta hởi nhiều lí do, từ đó dẩn
tới ỉệc không đảm hảo được tính khách quan trong việc đánh giá kết quả học tập
của học sinh. Đ ể khắc phục nhược điểm này Nhóm Cự Môn chúng tôi đề xuất
hưcng thực hiện như sau:
1. Với mỗi đê thi hoặc đề kiểm tra vẫn tuân thủ đúng cấu trúc chung và điểm

trắc nghiệm không quá 3.5 điểm.
2. Trong những câu hỏi có phần trắc nghiệm sẽ được hiểu là "trác nghiêm và
tự luận". Ở đây, thông thường các em học sinh sẽ phải lựa chọn một trong
hôn đáp sô' và cần biết rằng sô'điểm a của càu hỏi này dược chia làm đôi:
■

Nếu lựa chọn đúng lời giải trắc nghiêm sẽ nhản đươc — điểm.
2

■

Nếu thực hiện đúng lời giải tự luận cho câu hỏi sẽ nhận được — điểm
còn lại.

)ả y chính ỉà yếu tô' đ ể đảm hảo tính khách quan hởi:
. Với những học sinh chỉ mò mẫm dáp án hoặc nhận dược nó thông qua
những yếu tô'xung quanh sẽ chỉ nhận dược tối đa — điểm với xác suất 25%.
2. Với những học sinh hiểu được nội dung câu hỏi từ đó ậịnh hướng được các
phép thử hằng tay hoặc hằng máy tính fx -570M S chắc chắn sẽ nhận được
— điểm.
2
ỉ. Với những học sinh khá hơn’hiểu hiện hằng việc hiểu được nội dung câu hỏi
và có thể thực hiện được một phần câu hỏi này dưới dạng tự luận sẽ nhận
đươc khoảng — + — = — điểm.
2
4 4
Cuối cùng, với những học sinh biết cách thực hiện câu hỏi dưới dạng tự luận
sẽ nhận được a điểm.
Lựa trên tư tưởng nảy, Nhóm Cự Môn dưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức xin
itrảnĩrọng giới thiệu tới hạn đọc hộ sách:

3


BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN THPT

Bộ
sách
nàysẽ
cung
cấp chohạn đọctập
nghiệm môn toán THPT có
chất
lượngtheo
thứ tự của
PTTH hởi
vêhình thức hạn đọc
sẽ nhậnthày
sách giải
hàitập
củahộ sách Học và Ôn tập Toán (được
theo lớp
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn
hành.
Cuốn GIẢI TÍCH 12: TÍCH PHÂN VÀ í \ ( i DỤNG được
8

Chủ đề 1:
Chủ đề 2:
Chủ đề 3:
Chủ đề 4:

Chủ đề 5:
Chủ đề 6:
Chủ đề 7:
Chủ đề 8:

Nguyên hàm
Tích phân
Các phương pháp tính tích phân
Tính tích phân các dạng hàm sô thường gặp
Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân
Phương trình, bất phương trình tích phân
Sử dụng tích phân tính diện tích của hình phẳng

Sử dụng tích phân tính thể tích của cácvật thể
Cuối cùng, cho
dùđã rất cố gắng,
những hiểu hlết và
kinh
nghiệmcòfì hạn
góp quỷ háu của hạn đọc gần xa. Mọi ý kiến đóng góp
hệ

nhưngthật khó tránh

Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách
Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội
Điện thoại: (04)7196671 hoặc 0893046689
E-mail: hoặc
Hà Nội, ngày 8 tháng 6 năm 2006
NHÓM C ự MÔN - LÊ HỔNC ĐỨC

4


1.NGUYÊN

CHỦ ĐỂ

HÀM

I. TOM TẮT LÝ THUYẾT
1. EỊNH NGHĨA

'tỉùm
mọi \ e (a, b),

sôF(x) được

gọi
ta

là

nguyên

hàmíớf(x)

(a, b) n

có:

F'(x) = f(x).
Nếu thay khoảng (a, b) bằng đoạn [a, b] thì ta phải có thêm điểu kiện:
F ’(a+) = f(a) và F ’(b “) = f(b).
Định
N
lí: ếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì:
a Với mọi
hằng
F
, (x) + c
C
SỐ
cũngmột
đố.
b Ngược lại
mọi
nguyênhàm của
hàmsô f(x)
viết (lướidạng Ft x) + c
ic u1hằng
vớ
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM
1 ( Jf(x)dx )’ = f(x).

•

2

Jaf(x)dx = a Jf(x)dx , với a * 0.

3

J[f(x)±g(x)]dx = Jf(x)dx ± Jg(x)dx.

4

Ịf(t)dt = F(t) +

c =>

c.

Jf(u)du = F(u) +

3. S/TỒ N TẠI CỦA NGUYÊN HÀM

Đụn/

lí:Mọi

hàm

T
số (x) liên tục trên đoạn [a, b) đều đoạn

4. EẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp
thường gập

ídx = X + c
r

Ha +I

X a +I

Ix“dx = - — + c, (X* - 1

a +1

r dx

,11

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp
hợp (với u = u(x))
ídu = u + c

„

1—• = ln I X I + c, X* 0

|u“.du = —----+ c , a * - 1
a +1

í — = ln ! u I + c, u = u(x)
u

X

Iexdx = e* + c
*
íaYlx = — - + c , 0 < a ? t l
ln a
ícosxdx = sinx + c
ịsinxdx = - cosx + c

|eudu = eu + c

1 ~

í

=tgx + c

cos X
f dx
_
J --- 2— = - cotgx + c
sin X

0

íal,du = — + c , 0 < a * l
lna

i

Icosudu = sinu + c

ísinudx = - cosu + c
—J—= tgu + c

cos u
r du
_
J —y - = - cotgu + c
sin u
5

k


II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP
Bài toán 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
(a, b) bằng định nghĩa.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1
X
: ác định F '(x) trên (a, b).
Bước
2 :Chứng tỏ rằng F'(x) = f(x) với Vx e (a, b).
Chú ý: Nếu thay (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hom, như sau:
Bước 1
:Xác định F '(x) trên (a, b).
Xác định F (a+) và F(t> ).
F '(x) = f(x), Vx € (a,b)
Bước

Chứng tỏ rằng: « F'(a+) = f(a)

|F '(b- ) = f(b)
BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 1. F(x) = sin23x là một nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = 2sin3x.
c . f(x) = 6sin3x.cos3x.
B. f(x) = 6sin3x.
D. f(x) = -6sin3x.cos3x.
Bài tập 2. F(x) = (3x - l)(2x - 3) là một nguyên hàm của hàm số:

c. f(x) = (3x -

A. f(x) = 3(2x - 3).
B. f(x) = 2(3x - 1).

1)(2x - 3).
D. f(x) = 12x - 11.

Bài tập 3. F(x) = ln(x + VX2 + a ) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số:
A. f(x) = Vx2 + a .

c . f(x) = Vx2 - a .

B. f(x) = - ị-—- - ■

D. f(x)= *7... L vx2- a

Vx2 +a

Bài tập 4. Cho hàm số: F(x) =

*

2

+

—In I X + V x2 + a

2

a.

Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \íx 2 + a , a > 0.

b.

Tìm nguyên hàm hàm sốh(x) = (x + 2) V x2 + a , a > 0.

Bài tâp 5. Cho hai hàm số: f(x) = — - — và F(x) = 1X I - ln( 1 + I X I )
1+ I X I
Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Bài tập 6. Cho hai hàm số:

f(x) =

x In Xkhi x > 0
0

khi x = 0

x 2(21n x - 1)
và F(x) = •
0

Chứng minh rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
6

khi x> 0
khi X= 0


Bài tập 7.
a . Tính đạo hàm của hàm số g(x) =
b . Tìm nguvên hàm của hàm số f(x)

_

1

' l Ã
A. F(x) =

c.

+ c.

7==

i ỹ '
F(x) =

Vx2 + 1
B. F(x) =

7=1___

, *
Æ

+ c. .

+c.

w
■ + c.

D. F(x) = , 1

VX2 + 1

Bài tập 8.
a.

Tính đạo hàm của hàm số g(x) = ln

b. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

1 + V x2 + a

, với X * 0, a > 0.

, vói X

V

*0, a > 0.

XVX + a

A. F(x) = -In

1+ V x 2 + a

+c.

+c.

B. F(x) =

c.

F(x) = -ln

D. F(x) -

xV X + a

VX

-Æ 7+a

+c.

+ c.
+a

Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên (a, b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1 :Xác định F '(x) trên (a, b).
Bước
2:Để F(x) là một nguyên hàm cùa hàm số f(x) trên (a, b), điếu kiện là:
F '(x) = f(x) với Vx € (a, b) => giá trị của tham số.
Chú
N
:ý ếu thav (a, b) bằng [a, b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
Bước 1:
Bước

Xác định F'(x) trên (a, b).
Xác định F V ) và F(b~).
Đ
2: ể F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b), điều kiện là:
F’(x) = f(x), Vx € (a,b)
• F '( a +) = f(a)

=> giá trị của tham số.

F(b') = f(b)

7


BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
2x khi

Bài tập 9. Cho hai hàm số: f(x) =
Xác định a, b đê hàm
A. a = -2, b = 1.
B. a = 2, b = - l .
Bài tập 10. Cho hai hàm

X <

1

và F (x )=

X2

khi Xs 1

2 khi X > 1
ax + h khi X > 1
sô' F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

c. a = -1 , b = 2.
D. a = 1, b = -2.
số:
1

(x - l)e x +1
f(x)=

khi

X * 0

khi

X = 0

, F(x) =

khi

X * 0

khi

X = 0

Xác định a, b để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
A. a = b = 1.
c . a = b = 2.
1

B. a = 1, b =
D. a = — , b = 1.

2

Bài tập 11.Cho hai hàm số: f(x) = (x2 - 3x + 2)e x và F(x) = (ax2 + bx + c)e
Xác định a, b, c để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
A. a = b = c = l .
c. a = b = c = -l.
B. a = 1, b = - 1 , c = - 1 .

D. a = - 1 , b = 1, c = - 1 .

20x - 3 0 x + 7
f(x) = ------ 7= . . . ---- , F(x) = (ax2 + bx + c) V2x - 3 với
V 2 x -3
Xác định a, b, c để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
A. a = 1, b = - 2 , c = 4.
c. a = 4, b = - 2 , c = 1.
B. a = - 2 , b = 4, c = 1.

X

>

N> I LO

Bài tập I2.Cho hai hàm số:

D. a = 4, b = 2, c = - 1 .

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm.

]
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng:
■ Các tính chất của nguyên hàm.
■ Bảng các nguyên hàm.
■ Các phép biến đổi đại số.

BÀI TẬP Tự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
Bài tập 13. Cho hàm số y = —-T—. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm sô' và
sin

X

r
đồ thị của hàm sô' y = F(x) đi qua điểm M
A.
8

-cotx.

B.

cotx.

71 \
;0 thì F(x) là:

c.

-V ĩ+cotx. •

D.

+cotx.


iBii tập 14. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) = sinx và F(0) = 0 thì F(x) là:
A. 1+ cosx.
B. cosx.
c. 1- cosx. D. -cosx.
iBii tập 15.

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) = —-— và F(2) = I. K’' ; dó F(3) bằng:
X- I

A. In2.

B. In2 + 1.

c.

A. —cos3x.

B. — cos3x.
3

c. -3cos3x.

I).
In -.
3
]Bii tập 16. Cho hàm số f(x) = sin3x. Một ngi.yên hàm của f(x) bằng:
I). —cos3x.
3

1BÌỈ tập 17. Gọi J2008xdx = F(x) + c, vưi c là hLíg số. Khi đó F(x) bằng:
A. 2008*.

B. 2008*ln2008.

c.

—
.
ln 2008

D. 2008**1.

lBal tập 18. Tính:
a. jsin2x.cosxdx.

c.

A. cos2x.sinx + c.
„
1 ,

1 . _
^
B. —sin x ---- - sin3x + c.
4
12
b. lcotgxdx.
A. cotgx + c.
B. lnloosxl + c.
(sin X + cosx)dx

sin2x.cosx

+c.

1
1
,
^
D. —cosx------ cos3x + c.
4
12

c.

tgx + c.

c.

(sinx + cosx)5 +

D. lnlsinxl + G

■ i cv sin x - c o s x
A. (sinx - cosx)5 +

c.

B. — -^ /(sin x -c o sx )4 + c.

iBài tập 19. Cho hàm số f(x) =

c.

Đ. — ẫ/ (sin X + c o sx )4 + c.
4 ^

2x4+3 . Khi đó:

A.

Jf(x)dx = — — — +c.

c.

|f(x)dx = 3 ^ - + — + c.

B.

Jf(x)dx = 2x3- — +c.

D.

Jf(x)dx = 3L. + -3_ + c.
2x

Bài tập 20. Cho hàm số f(x) = - 3 X- . Khi đó Jf(x)dx bằng:
A. 4 1 n ( U * :) + C.
B. 31nC t x ) + c.
Bài tập 21. Tính:
Ịdx
a.

c. 21n(l + X2) +c.
D. ln(1+X2) +c.

cosx

9


A. - - - l n

2

B. - —ln

2

b.

sin X +1
sin X - 1
sinx - 1
sin X +1

dx
f— dx■
1 + cos X
1
A. — !— +c.
cosx

+c.

c.

2ln

ê

+c.

D. 21n

_
X
B. t g 2

_

+c.

c.

cos X +1
cos X - 1
cos X - 1
cosx +1

1
—!—
sinx

+c.

+ c.
+ c.

^
x
D.
D. ccotg — +

Bài tập 22. Cho hàm sô' f(x) = — . dx-----—. Khi đó ff(x)dx bằng:
4 x2 - 4 x - 3

}

2x .1- 3. 2 x - 3
A. - I ln

n — —- +
+ c.
2 x +1
8
2x
+l

c.

2x1 - 3 2 x - 3
—
- I ln
n — —— + c.
2x++1
44 2x
l

2 x -3
2 x -3
D. - l n
+c
6
2 x +1
2
2x +1
Bài tập 23. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sô' sau:
B.

a.

f(x) = — -.—-----.
X -X -6
X+ 3
A. F(x) = — ln
X- 2
5
B. F(x)
f(x) =

+c.

-In

+c.

1X —3
ln i
+
5 |x + 2

c.

5
X+ 3
F(x) = - ln
x-2
2

+c.

5
X-3
D. F(x) = - ln
X+ 2
2

+c.

c.

4 x 3 - 9x
4x2

2x - 3
A. F(x) = — ln
2 2x + 3

+c

c.

B. F(x)=x2-lr| 2x+3Ì

+c

D. F(x)=x2-lrJ 2x-3|

F(x)= —X2

2

12

ln

Bài tập 24. Cho hàm số f(x) = ex(l - e~x). Khi đó |f(x)dx bằng:

A ex
~x+■X” +■c.
^
c. e'x+
A.
B. ex - X + c.
D.
Bài tập 25. Tìm họ nguyên hàm của các hàm sô' sau:
a.

10

f(x) = (32x + 2X)2.
*
(32x + 2 x)2 _
A. F(x) —--------------- + c.
In 3. In 2
o4x
ọ 2x
. 2.32x.2x ^
B. F(x) = — + — + ------- + c.
ln3
ln 2

In3.1n2

+ c.
X + c.

X

2x —3
2x + 3

+c

c.


4x

C.. F(x) =

D . F(x) =

In 3

In 2

81x

4X

+2

^32:

+

Jn 3

In 2

+ C.

2.18X

+ C.
In 81
In 4
In 18
b b . ,. f( x) = 22x.33x.4x .
? 2x 33x 4 x
2 2x.33x.4 x
A. F (x )=
C. F(x)=-----+ ------ + -----+C
+ C.
In 2 .ln 3 .ln 4
ln2
ln3
ln4
432x
246x
B. F(x) = --------+ c.

D. F(x) = ------ + C.
In 432
In 24
Bai t titap 26. Tim ho nguydn ham cua cac ham s6 sau:
a a. i. f(x) = e3x~2.
A. F(x) = e3x~2 + C.

C. F(x) = (3x - 2)e3x_2 + C.
2
D. F(x) = - e3x"2 + C.

1

B.. F(x) = - e3x' 2 + C.
3
2 X+I - 5 x-1
tb .j. fix) =
10
5X
5 2X
5X
5.2
A. F(x)=
C. F (x)= — — + — + C.
+ C.
2 In 5 In 2
2 In 5 In 2
1
2
1

+ C.
B . F(x)
+C
D. F(x)=5 x ln5 5.2x ln2
5 XIn5 5 .2 x ln2
Bai i titap 27. Tim ho nguy6n h&m cua cac ham s6' sau:

1

ia.a. ft(x) =

Vx + 4 - Vx + 3
A. F(x) = —( -s/x + 4 - -\/x + 3 ) + C.
3
B . F(x) = —( Vx + 4 + Vx + 3 ) + C.

2

C. F ( x ) = ^ lV ( x + 4 )3 -V (x + 3)3 ] + C.
D . F( x) = - [ J ( x + 4)3 + J ( x + 3)3 ] + C.

2

b b. f(x) =
- -\/2 x + 1

A. F(x) = - - [ V8x7 + V(2x + l)3 ] + C.
4

B. F(x) = - [

3

- J ( 2 x + T 7 1 + C.
11


c.

F ( x ) - - - [ V /8 x T + a/ ( 2 x + 1 ) 3 ] + C .

2

D. F(x)= - f V ä ^ - ^ x + l )3 ] + C.
3

Bài tập 28. Tính:
a.

jx (l-x )'° d x .

A. F(x) = X + (1 - x)10+ (1 - X ) " +
B. F(x) = x - ( 1 - X ) " - ( 1 - x ) ' 2+

c.
c.
^ F(x)
c „ _ (1 - x ) '° . (1 -X )" , ^
c.
= ----- -— + --- -— + c.
10

D. F (x )=

11

(1-X)"

. (1 -x )

12

+ c.

11
12
b. ix(l - 3x)2008dx.
A. F(x) = X + (1- 3x)2009 + ( 1- 3x)2010 +
B. F(x) = X - ( 1- 3x)2010 - ( 1- 3x)2011+
2010

c . R X). _ l ! z 2 î f l
18081
(1 - 3 x )2010
D. F (x )=
18090
x 2dx

Í

+ ( ' - î *>

18090
( l - 3 x ) 2011
18099

c.
c.
+ c.

+ c.

(1 - X)'00

A. F(x) = (1 - X)97 + (1 - X)9S + (1 - X)" + c.
B. F(x) = (l - x ) " - ( l - x ) '° ° - ( l - x ) 10l+ c.

c.

F(x) =

1 97
97(1- x )

2
98(1

- X ) 98

1 99
+ 99(1 - x )

+c.

1

103 + c.
101
102
103(1- X )
101(1 - x )
102( 1- x )
Bài tập 29. Tim họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a. f(x) = sin6x + cos6x.
A. F(x) = 6sin5x + 6cos5x + c.
c . F(x) = 6sin5x - 6cos5x + c.
3
5
3
B. F(x) = - - - sin4x + ^ X + c.
D. F(x) = - ttcos 4 x +
32
8
32
b. f(x) = 8sin3x.cos2x.
D. F(x) =

in ị oc

A.

F(x) = sinx — — cos5x + —sin3x + c.

10

6

B. F(x) = sinx — — sin5x + —cos3x + c.
10

12

6


c. F(x) = - c o s x ---- — sin5x + -- cos3x + c.
10
6
D. F(x) = -cosx + — cos5x — - cos3x + c.
10

6

Bài táp 30. Cho hàm s ố f(x) = 2sin2—. Khi đó:
A.

jf(x)dx =

X-

sinx + c.

c.

Jf(x)dx = X - cosx + c

B.

Jf(x)dx =

X+

sinx + c

IX

jf(x)dx = X + cosx + c.

c.

jf(x)dx = -cotx -

D.

jf(x)dx = -cotx + X + c.

Bài táp 31. Cho heim sốf(x) = cot2x. Khi đó:
A. Jf(x)dx = tanx - X + c.
B.

Jf(x)dx = tanx + X + c.
tan X

Bài tsp 32. Cho heim s ố f(x) =

-:v

X+c

. Khi đó:

eos3X

A.

1
íf(x)dx = ---- - y - + c.
JJ

B.

c.

Y
3V cn ocs' X

[f(x)dx = -------U — + c.

J

íf(x)dx = — -7- + C
eosc 3 YX

J

J

D.

3 COS X

1

íf(x)dx =
J

eos3 X

+c.

".
U r v » A/ t l l ì / A n
MI A
A o 11•
Bài tảp 33. TTim
họ nguyên hàm / của
các hàm n số
sau:
Á

a. f(x) =

1
sin 4 X
1

1

A. F(x) = X + —tg:x + c.

c . F(x) = X - —cotg2x + c.

B. F(x) = tgx + —tg3x + c.

D. F(x) = -cotgx - —cotg’x + c.

b. f(x) =

2

1
sin x .co s’ X

1cos■
»X +c.
—
2

c.

D. F(x) = lnlcotgxl -

ĩ ,g ỉx + c

c. f(x) =

F(x) = lnlcosxl -

1

2
1

’2

sin x + cosx
3 + sin2x

A.

1
sinx - c o s x + 2
F(x) = — ln
sinx - cosx - 2
2

B.

F(x) = X + — ln

2

+c.

sinx - cosx + 2
sin X - cosx - 2

+ c.

13


c.

sin X - cos X - 2
F(x) = - In
4
sin X - cos X + 2

+c.

sin X - cos X - 2
D. F(x) = - X + - In
2
4
sinx —cos X + 2

+c.

Bài tập 34. Tim họ nguyên hàm của các hàm sô' sau:
a.

1

f(x) =

(x + Vx2 + 1)2
1

A. F (x )=

+c.

X + Vx2 + 1
1
B. F(x) = X + V x2 + 1

c.

F(x) = - X3 +X 3

-

3

A

D. F(x)
b. f(x) =

= —x4 +
4

x+1

+c.
V(x2 +1
1

+c.
_________________

—x3 + — X- V(x2 + 1)3 + c.
3
2
^

x ( l + xex)
A. F(x) = ln

X+ e x
l + xex
X

B. F(x) = ln

1 + x ex

+c.

c.

F(x) =

X

+c.

D. F(x) =

X

Bài tập 35. Cho hàm số: f(x) =

+ ln

x ex
l + xex
X

+ ln

1 + xex

3x2 + 3 x + 3
X3 - 3 x + 2

a.

Xác định các hằng sô' a, b, c để f(x) =

a

b

c

( x - 1 )2

X —1

x+2

c. a =b= c = 1.
A. a = 3, b = 2, c = 1.
D. a = 1, b = 2, c = 3.
B. a = 2, b = 3, c = l.
b. Tim họ nguyên hàm của f(x).
,,
.
4 sin x + 3cosx
Bài tập 36. Cho hàm số: y = — ---------------- .
sinx + 2 cosx
a. Xác định các hằng sô' a, b để:
4sinx + 3cosx = a(sinx + 2cosx) + b(cosx - 2sinx).
A. a = 2, b = 1.
B. a = 2, b = - l .
b. Tim họ nguyên hàm của f(x).
14

c.

a = - l , b = 2.

D. a = 1, b = -2 .

+c.
+c.


Bài tập 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a.

f(x) =

b.

f(x) =

ex + e

sin X
sin X + cos X

cos X
Bài tập 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = -----—------ -—
sin X + cos X

s in 2 x - V2
A. F(x) = — (x + —\= ln
) + C.
2
2 V2

sin 2x + V2
sin 2x + V2
B. F(x) = ^ (x +
ln
) + C.
2
2 V2
sin 2 x - V2

c.

F(x) = —(x + — ln
2
2 V2

D. F(x) =

co s2x - 4 2

ị(X + —ỉpr
2 V2

2

) + C.

) + C.

III. HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố
Bài tập 1. Đáp số trắc nghiệm c.

giải
tự luận:Ta có: F(x) = (sin23x)’ = 6cos3x.sin3x, ứng với đáp án c.
Bài tập 2. Đáp số trắc nghiêm D.
jes Lời giải tự
T
luận: a có ngay:
F'(x) = 3(2x - 3) + 2(3x - 1) = 12x - 11, ứng với đáp án D.
t í Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần luọt đánh giá với dạng hàm sô F = uv:
■ Đáp án A bị loại bởi nó là dạng u'.v.
■ Đáp án B bị loại bởi nó là dạng v'.u.
■ Đáp án c bị loại bởi vói dạng hàm đa thức không thể có F = F.
Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.
Bài tập 3. Đáp số trắc nghiệm B.
t í Lời giải tự luận: Ta có :
2x
Lời

—
, \ ri /
n
F(x) = [ln(x + VX

1+

(x + V x2 + a)
2VX2=+= a
+ a )] = ------ r
= -------7=
X + VX2 + a
X + VX +

4 Ï +a +X

= —= L = , ứng với đáp án B.
4 ? + a(x + Vx2 + a) / x ‘ + a

Bài tập 4.
1+
i. Ta có ngay: F(x) = — V x2 + a +

a

+ —.
2 X+
247 +a

x +a

4ã
15


1
1 vCT
= —
x ' + a + — 7=
- +
=
a = f(x).
2 7 x2 + a

2
2 V x2 + a
Vậy, với a > 0 thì F(x) là môt ngU' ên tiàm của hàm số f(x) trên K.
b. Viết lại hàm số h(x) dưới dạng:
h(x) = X Vx^ + a + 2 V x2 + a .
Tìr đó, suy ra:
H(x) = íh(x)dx = íx x/x2 + a dx + 2ịy[ỹr + a dx
=- —
J ( x 2 + a )3 + —
3 -vv
2 V x2 + a + ~2 ln|x , V x2 + a I + c.

Bài tập 5. Viết lại hàm số F(x) dưới dạng:
x - l n ( l + x)

F(x) =

k h ix > 0

- X - ln(l - x ) k h ix < 0

Từ đó, suy ra:
khi X > 0

F(x) =

1

-1 +

khi X < 0

1 —X

khi X < Ü

1+1 X I

lĩ^ x

tráicủa hàm số tại điểm x0 = 0.

ii m F W -F (Ó > = | i m » -'" (1 + .» >
x-»0

= lim 1
x->0_
Đạo

X

( 1)

= f(x) với X + 0.
Ngoài ra, ta có:
■ Đạo
hàm
hên
F ’(8 >

khi X > 0
1+ X

1+ X

X - 0

x-*0

ln(l + x)

hàmhên

x -0

1 - 1 = 0.

phảicủa hàm số tại điếm X(, = 0.
x-*0*

= lim - 1
x-*0"

X - 0

+

x-»0+

ln(l - X)

X - 0

1+ 1= 0.

- X

Nhận xét rằng F(0") = F'(0+) = 0 => F'(0) = 0 = f(0).
(2)
Từ (1) và (2) suy ra F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Bài tập 6. Ta có ngay:
—[ 2 x ( 2 l n x - l ) + 2x] khi x > 0

F'(x) = 4
0

khi X = 0

Vậy, hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Bài tạp 7.
a.
16

Ta có ngay:

x ln x k h i
0

X

>0

khi X = 0

= f(x).


V v ”+T —

—-

gvx) =- —

= f
x +1
(X2 + l)Vxr + l
/ ( x 2 + 1)
b \ f>á/7 sô trắc nghiệm A.
^ Lổr/ giải tự luận: Từ kết quả câu a), ta được gvx) = f(x) nên suy ra:
F(x) = Jf(x)dx = g(x) + c = - = 4 =

+ c.

Vx2 +1
Bỉài

tập 8.

ai. Ta xét hai trường hợp :

Trường hợp ỉ : Với

X

1 4"

4- a

> 0, ta được g(x) = ỉn -------—-------. Suy ra:
X

lW x 2 + a ì
---- ----------

-7= f = . x - ( l + V x2 + a )
VX
V* J4- aa

y

g'(x) =
1 + V X2 + a

1 + xM + a

X

X

Trucmg họP 2: Với X< 0, ta được g(x) = ln

xV x2"+ a

1 + y X2 + a

. Tương tự, suy ra:

g'(x)= — ¡ 4 =
x v x 4-a
Vậy, với mọi X * 0 ta luôn có g’(x) = ----- —

.

XV X2

b.

+a

Đáp sô trắc nghiệm A.
¿¿y/
giải
tự luận:Từ kết quả câu a), ta được : [-g(x)]’ = f(x ), Vx * 0, a > 0 .
Suy ra: F(x) = jf(x)dx = -g(x) + c = - ln

1 + V x2 + a

+c, Vx * 0, a > 0.

X

Bài tập 9. Đáp sô trắc nghiệm B.
JBÍ Lời
giải
tự luận:Xét hai trường hợp:
Trường
hợp
J:Với X *■1, ta có:
F'(x) =

Í2x khi X < 1
|a

khi X > 1

Suy ra, để F'(x) = f(x) với X * 1 điểu kiện là a = 2.
Trường hợp 2: Với X = 1, thì để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm X = 1, trước hết
F(x) phải liên tục tại X = 1, do đó:
lim F(x) = lim F(x) = F(1)<=> 1 = a + b o b = 1 - a = - 1.
X-M

X—>1 +

17


■

Đạo heim hên trái của hàm số y = F(x) tại điểm

X

P U -) = H m f W z £ ö ) = lim ^ 4
■

Đạo heim hên phải của hàm số y = F(x) tại điểm

= 2.
X=

F i n - lim F (x> - F<1-> = lim
x - »l +

X —1

= 1.

1.
= |im

X—*1+

X —1

x-»l*

, 2.
X —1

Nhận xét rằng: F ( l ‘) = F ( l +) = 0=> F ( l) = 2 = f(l).

Vậy, với a = 2, b = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tậị) 10
ápốs trắc nghiêm B.
.Đ
JỉS Lời giái tự
uậnl: Xét hai trường hợp:
t

Trường hợp

1: Với

X

* 0, ta có: F(x) = — --- ^ ----- — = —
X

— - = f(x).

X

Trường hợp
V
2: ới X = 0, ta có :
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm X = 0, trước hết F(x) phải liên tục tại X = 0,
do đó:
lim F(x) = F(0) <=> lim
X—
>0
X—

>0

e x -1
= a O a = 1.
X
e x -1 _

Khi đó: F(0) = lim —— ~ Ç —} = lim
X-+0

X- 0

x-»0

------ = lim
X

e x - x -1

x-»0

. i t a i l i . I ,
*-»0

2x

Từ đó, để: F(0) = f(0)

2

b= - .

2

Vậy, với a = 1, b = — thoả mãn điểu kiện đầu bài.
Chú

ý:T rong lời giải trên, để có được phép chuyổn:

chúng ta đã
tập toán

,. e x - X - 1 _. ,. e x - 1
lim ------ T— - l im -------x->0
X2
'° 2x
"Sửdụng đạo hùm tính ẹiới hàm
giải
tích12 tập 1”,cụ thể:

" trong cuốn

Đặt f(x) = ex - X - 1, ta có f(0) = 0 và f ’(x) = ex - 1.
Đặt g(x) = X2, ta có g(0) = 0 và g'(x) = 2x.
f(x )-f(0)
f'(x ) _
e x -1
Khi đó: lim -----T— - = lim
x
lim —-— = lim

X—»0
-*õ 2x
° g( x ) - g (0 )
*-»0 g'(x)
X- 0
18


Bài tập 11
ápô
.Đ
s trắc nghiệm D.
ir<
Lời
ỳải
tự luận:Ta có ngay:
F(x) = (2ax + b)e”x- (ax2 + bx + c)e”x= Ị-ax2 + (2a - b)x + b - c]e'
Tứ đó, để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) điểu kiện là:
a = -1

-a = 1

2a —b = —3 <=> b = 1
c = -1

b- c=2

Vậy, với a = -1 , b = 1, c = -1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập 12
ápốs trắc nghiệm c.

.Đ
g i Lời
giảitự
luận:Ta có ngay:
„
, , rz------ ax 2 + b x + c 5 ax2 - 3 ( 2 a - b ) x - 3 b + c
F(x) = (2ax + b )V 2 x -3 + —
- = ------------ ■■■■■■“
-----------V 2 x -3
v 2 x -3
Từ đó, để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) điểu kiện là:
'■5a = 20
a •= 4
- 3 ( 2 a - b ) = -3 0 Cí> b = - 2
c= 1

-3 b + c = 7

Vậy, với a = 4, b = -2 , c = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tậ p 13. Đáp sớ trắc nghiệm A.
Lời

giải

tự V
luận: ới hàm số y = —
sin X

thì: F(x) = -cotx + c.

ín N
Khi đó, để đồ thi của hàm số y = F(x) đi qua điểm M —;0 điêu kiên là:
0 = —cot — + C o C = n/ 3 => F(x)
6

cotx, ứng với đáp án A.

Lụa chọn đáp án hằng phép thử 1: Ta lần lượt đánh giá:
■

Nguyên hàm của hàm’ số y = — \ — có dạng F(x) = -cotx + c nên các đáp
án

■

c và D bị loại.

sin X

Vì co t— = \Ỉ3 nên đáp án B bị loại.
6

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.
Lựa chọn đáp án hằng phép th ử 2: Ta lần lượt đánh giá:
■

Vì (cotx)' = -----\ — nên các đáp án c và D bị loại.
sin X

■

Với X = — thì y ß - cot— = 0 nên đáp án A là đúng.
6
6
Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.
19


Bài tập 14. Đáp số trắc nghiêm c .
JSÍ Lời
giải
tự luận:Với hàm sô f(x) = sinx thì: F(x) = -cosx + c.
Khi đó, để F(0) = 0 điểu kiện là:
0 = -cosO + c o c = 1 => F(x) = 1 - cotx, ứng với đáp án c .
Jgs Lựa chọn đáp án bằng phép
thử T
1: a lần lượt đánh giá:
■

Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx có dạng F(x) = -cosx +
đáp án A và B bị loại.
■ Vì cosO = 1 nên đáp án D bị loại.
Do đó, việc lựa chọn đáp án c là đúng đắn.
JSÍ

Lựa chọn đáp
•

ánbâng phép

c nên

các

thử 2:Ta lần lượ

Vì (cosx)' = -sinx nên các đáp án A và B bị loại.

■ Với X = 0 thì 1 - cosO = 0 nên đáp án c là đúng.
Do đó, việc lựa chọn đáp án c là đúng đắn.
Bài tập 15. Đáp số trắc nghiệm B.
JSỈ L ờ i g iả i

tư V
uân:l ới

hàm số f(x) = —ỉ— thì:
X—1

F(x) = ln|x - 11+ c, ứng với đáp án B.
Khi đó, để F(2) = 1 điểu kiện là:
1 = ln|2 - l| + C o C = 1 =>F(x) = ln |x - 1|+ 1
=> F(3) = ln2 + 1, ứng với đáp án B.
Bài tậ p 16. Đáp sô trắc nghiệm B.
Lời giải tự
luận
S
1: ử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, ta có với:
f(x) = sin3x => F(x) = ——cos3x +

c

=> nó có một nguyên hàm là - —cos3x.
JBÍ

Lựa chọn đáp án bâng phép
• Với F(x) = -cos3x thì:
f(x) = (-cos3x)' = 3sin3x

thử:Ta lần lượt đánh giá:
Đáp án A bị loại.

■ Với F(x) = - —cos3x thì: f(x) =
cos3x)' = sin3x, đúng.
3
3
Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.
Bài tậ p 17. Đáp số trắc nghiệm
Lời
giảitự
S
luận: ử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, ta có:
2008*
„
,
2008x ,
,
+ c F(x) = ————, ứng với đáp án
J2008xdx =
ln2008

ln2008
eS Lựa chọn đáp
ánbằng phép thử 1 (Từ trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:
- Với F(x) = 20Ỏ8Xthì:
f(x) = (20087 = 2008\ln2008 => Đáp án A bị loại.
20


Với F(x) = 2008Mn2008 thì:
f(x) = (2008Mn2008)’ = 2008Mn220 08 => Đáp án B bị loại.
2008x
f 2008x A
= 2008x => Đáp án
Với F(x) = ——— thì: f(x) =
ln2008
ln 2008

c là đúng.

Do đó, việc lựa chọn đáp án c là đúng đắn.
ßS
Lựa
chọndcíp
ánhằng phép thử 2 (Từ phải qua trái): Ta lần lượt đánh giá:
■ Với F(x) = 2ổ08x+1thì:
f(x) = (2008x+ ')' = 2008x+ Mn2008 => Đáp án D bị loại.
Với F(x) =

2008x
f 2008x N

= 2008x => Đáp án
- thì: f(x) =
In2008
ĨĨĨ2ÕÕ8

Do đó, việc lựa chọn đáp án

c là đúng.

c là đúng đắn.

Bài tập 18.
a. Đáp sô trắc nghiệm B.
Lời

giải

tựluận:

Ta có:

jsiirx.cosx.dx = Ậ Isin2x.sinx.dx = — |(cosx - cos3x).dx
2
4
1 .
1 . ,
_
= — sinx — — sin3x + c.
4
12

b. Đáp sô trắc nghiệm D.
sS Lời

giai

_

tự

.

Ị

,

f COSx. dx

luận:Ta có: Jcotgx.dx = J — —- = J-- ——
s in x
sstnx
in Y

rd(sinx)

. ..

= lnlsinxl + c.

c. Đáp sỏ'trắc nghiệm B.
eỉ Lời

giải
tự luận:Ta có:
f(sinx + cosx)dx
f d ( s in x - c o s x )
n ¿v?sin
T xv _- c o s x
x = J 1v7s in
r zx z- c7o s x •
= í(sinx - cosx)~Ị/5.d(sinx - cosx)
= — (sinx - œ sx)4'5 + c = —V(sin X - cos x)4 + c.

4

4 v

Bài tậ p 19. Đáp sô trac nghiệm A
£ Lời giải tự luận: Ta có:
_ 2x3 3
dx = —------- +
3
X
X2 )

dx = lí 2x2 + ^

\

c,

ứng với đáp án A.

ĩZ Lựa
chọnđáp án hằng phép thỉr. Ta lần lượt đánh giá:•
•

Với F(x) =
f(x)

+ c thì:
2x3 3
— - - +C
3
X

= 2 x2 +

Đáp án A đúng.

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.
21

.

_


Bàỉ tập 20. Đáp sô trắc nghiệm D.
Jg£ Lời ẹiấi tư luân: Ta có: íf(x)dx = 1 ■—X--" dx = I
x - = ln(l 4- X2) 4
J
l4X

14X
ứng với đáp án D.
& Lựa chọn dáp án bân ạ phép thử 1 (Từ trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:
■ Với F(x) = 41n(l 4 X2) 4 c thì:

c,

f(x) = [4ln( 1 + X2) + q ' = 4. ———
7 ———7 => Đáp án A bi loai.
1 +x
1+x
■ Bởi các đáp án A, B, c, D chỉ khác nhau ở hệ số và giả thiết cho hệ số 2
(tức 8:4 = 2) nên ta loại bỏ tiếp được các đáp án B và c.
Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.
gi Lựachọn
đáp
ánhàng phép thử 2 (Từ phải qua trái): Ta lần lượt đánh giá:
- Với F(x) = ln(l + X2) + c thì:
f(x) = [ln( 1 + X2) + C]' = ———7 => Đáp án D đúng.

1+ x

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn.

Bài tập 21.
a. Đáp sô trắc nghiệm B.
gỉ Lời
giải tự luận
I dx _ I
dx

1:Biến đổi:
_I
7t,

cosx

sin(x + —)
2

-

dx

. ,x

7T

,x

7Ĩ

2

4

2 s i n ( - + :-)cos(—+ —)
2

4

\_ .x
=

1_

dx
,x

7lx

7ĩ n

=í

2tg ( - + —) cos (—+ —)

2

gí Lời giải
f dx

4

2

J___
- J cos‘2 X cosx

Chú

,X

dx

+c, với a

_

2

1

ị- d(sinx)

,i 2.. — —

2

Bài tập 22. Đáp số trắc nghiệm A.
gỉ Lời giải

tự

luận:Ta có:

ln

sin X

=tg—+c.
2

-

1

sin X +1

0.

d (* )
dx
—-2—luận:T a biến đổi:= I2 J—
1 + cosx
\
2 *
2 cos —

Jgs Lời giải tự

ĩĩ
4

/ X

7t

'l - s i n 2x
Jsin2 x -1

2
T
:ý rong lời giải của cách 2, chúng ta đã sử dụng kết quả:

j •> 7 = - -1 I n,
x+a
Jx2- a 2
2a
b. Đáp số trắc nghiệm B.

22

I I

I

=ln|tg(^- + - j) | + c

,g(r ?

4

tự luậnBiến đổi:
_ fcosx.dx _ |. d(sinx)

71.

+c.

Ịf(x)dx = Ị

dx

_ l j d(2x - l )
(2x - l )2 - 4 2 (2x - l)2 - 4

J_|
2 4

2 x - 1- 2
+c
2x - 1 + 2

2x - 3
= -ln
+ c, ứng với đáp án A.
2x + 1
8
£í Lựa
chọn
đáp
Únhằng
nén ta xét hàm số:
y = k.ln

2x-3

2x +1

=> y' = k.(ln|2x - 3| - ln|2x + 1[)' = k
k=

phépthử. Bởi các đáp án A,

8k

2

2 x -3

2x +1

4x2 - 4 x - 3

1

Đáp án A là đúng.
I
Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắrị
Bài tập 23.
a. Đáp sô trắc nghiệm B.
£Í Lờigiải
tự luận:Ta biến đổi:
f,
’
2
f(x) =
( x - 3 ) ( x + 2)
O

a+b=0
2a - 3 b = 2

a
x -3

(a + b)x + 2a - 3b

b
x+2

( x - 3 ) ( x + 2)

u = -b

o

a = 2 /5

Từ đó, suy ra:
7 (

1

f(x) =
X

-3

X

if(x)dx = ệ }

+2

2
5

1

x +2j

^ x -3

2
5

= —(lnjx - 3ị - ln|x + 2|) + c = - In
Đáp số trắc nghiệm
JỂ Lời
giải
t ự luận: Ta biến đổi:
1
ÍỊx) = x------ r ---- * x - ---- ----- + —

1

X

-3

X

+2

Idx

+ c.

b

2 x -3

4 x 2-9

------

2x + 3

=x-

2(a + b)x + 3 ( a - b )
4x2 -9

2(a + b) = ơ

1
1
o a - — vàb = - —

3 (a -b )» l
6
6
Từ đó, suy ra: f(x)

= X —

7

——
—— -

Ồv2x - 3

\(

—— —

2x + 3 J

r

1
V ______
A - —í — ỉ-------íf(x)dx = f X
ỉ—
1
1 3ì Jììdx
J[
6 k^ 2x

2 x -- 33 2x + 3y

6V2

2x-3

2 J 2x + 3
23


J_

= —X

12

2

_ 1 2
= —X

12
Đáp
tự T
luận: a có:

2

Bài tập 24.
gí Lời

giải

(ln|2x - 3| - ln|2x + 3|) + c
In

2x - 3

+c.

2x + 3
sôtrắcn
iệm.B
gh

|f(x )d x = jex( 1 - e~x)dx = í(ex - l)dx = ex - X + c, ứng với đáp án B.

gSLựa chọn đáp
ánhằng phép
■ Với F(x) = ex + X + c thì:

thửI(Từ trái qua phải): T

cy = ex + 1 = ex( 1 + e x) => Đáp án A bị loại.
Với F(x) = ex - X + c thì:
f(x) = (ex - X + cy = ex - 1 = ex(l - e ' x) => Đáp án B đúng.
f(x) = (ex + X +

■

Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.
gi Lựa chọn đáp
ánhằng phép thử 2 (Từ phải qua trái) - Bạn đọc

Bài tập 25.
a. Đáp sô trắc nghiệm D.
gỉ
Lời
giải
tự luận:Tạ biến đổi:
(
f(x) = 3*x + 2ix + 2.32x.2x = 8 r + 4X+ 2.18X
81x
4X
2 18X
=> |f(x)dx =1(8lx+4X+ 2.18x)dx = — — + — + — — + c.
In 81
ln 4
ln 18
b. Đáp số trác nghiệm B.
JSS Lời giải tự luận: Ta biến đổi:
432*
f(x) = 4X.27X.4X= 432* => íf(x)dx = }432x.dx =
- + c.
In 432

Bài tập 26.
a. Đáp số trắc nghiệm B.
gí Lời giải
tự luận:Ta có ngay:

íf(x)dx = íe3x-2dx =

3

-je 3x”2d(3x - 2)x = - e3x"2 + c.

3

b. Đáp sô trấc nghiệm D.
gí Lời giải tự
luận:Ta biến đổi:
2X 1 5X
f(x) = 2.—— - 10x 5 10x

=

2.

1
v5y

]_

lY

5

2
Ị

r o x •dx - —
1 Jf r n
5

24

2

1

5 x ln5

5.2Xln2

2.

1

JV

v5,

+c
51n

+c.


Bài tậ p 27.
a. Đáp sô trắc nghiệm D.

JS$ L(fi ỳả i tự luận: Sử dụng phép nhân liên hợp, ta biến đổi:
f(x) = 7 ^ 4 + 7 ^ 7 3

= vx+4 + v^ 3

= ( x + 4 )L ( X + 3 ,

X+ 4 - X- 3

2
2 3
______
=> jf(x)dx = í[(x + 4 )2 -(x + 3 ) 2 Ịdx=—[-y/(x + 4)3 + yj(x + 3 ) 3 ] + c.
b.
jeS

Váp so trắc nghiệm A.
Lời
giải
tư luận:Sử dụng phép nhân liên hợp, ta biến đổi:

f(x) =

+
2x-2x-l

= - V 2 x -V 2 x + 1 = - ( 2 x ) - - ( 2 x + l ) 2

=> íf(x)dx = -í[ (2 x) 2 + (2 x + 1)- ]dx

1

ị

ì .

= - “ [ J(2x )-d (2 x) + J(2 x + l ) 2 d(2 x + 1) ]
3

3

-

±(2xy+ì(2x + ỉỹ
2
2

+ C = - - [ \ /8xĩ + a/(2 x +

4

1)ỉ l + c

Bài tậ p 28.
a. Đáp sỏ trắc nghiệm Đ.
eỉ Lời giải tự luận: Sử dụng phép biến đổi :
jx( 1 —x)l0dx = lị 1 -(1 -x)J(l - x)l0dx = |[(1 - x ) l0- ( l - x)"]dx

- -

+ í !z ĩ £
11

b. Đáp sô trắc nghiệm
eí Lờigiói
tự

+

c

12

c.

#>
luận:Sử dụng phép biến đổi:

jx( 1 - 3x)2008dx = —J[1 - (1 - 3x)](l - 3x)2008dx
= - —. —/1(1 - 3x)2008 - (1 - 3x)2009ld( 1 - 3x)
( l - 3 x )2009

c. Đáp số trắc nghiệm
eí Lời

18081

c.

giảitự

(1 - 3 x )2010
+

18090

( 1 - x ) 100
x 2dx

( 1 - x ) 100

+

luận:Sửdụng đồng nhất thúc x2= (1 - x)2- 2( 1 - x) + 1 ta đuọc:

1

( 1- x )2 - 2(1 - x ) + 1

Khi đó:

c

(1- x )
= -ỉ

100

.

2

( 1- x )98

( 1- x ) " + ( l - x )

1
( 1- x )

98

(l-x )"

1
97(1 - x ) 97 ’ 98(1-X )

( l - x ) 100

100

d(l - x)

1
98

___ J_

99(1 -X ) 99

+c.

25