Các quan hệ vuông góc trong không gian

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1 : QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
A : TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa :
Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó .
a ⏊ ( ) a ⏊ b ; b ( )
2. Định lí 1 : ( tiêu chuẩn vuông góc )
Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm
trong mp( ) thì đường thẳng a vuông góc với mp( )

⏊

⏊
* + } => a ⏊ ( )
( )
( )
3. Định lí 2 : ( Định lí ba đường vuông góc )
a. Phần thuận :
( )

( ) } => b ⏊
⏊
b. Phần đảo :
( )

( ) } => b ⏊
⏊

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa :
- Nếu đường thẳng a không vuông góc với mp( ) thì góc giữa a và hình
chiếu a’ của nó trên mp( ) gọi là góc giữa a và mp( ) .
( )) (̂)
(̂

II.
MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng :
- Cho mp( ) và mp( ) cắt nhau theo giao tuyến .
- Gọi A là điểm tùy ý thuộc giao tuyến .
- Tia Ax nằm trong mặt phẳng ( ) và vuông góc với giao tuyến
- Tia Ay nằm trong mặt phẳng ( ) và vuông góc với giao tuyến
) ( )) ̂
Khi đó (( ̂

tại A .
tại A .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2

2. Định lí ( Tiêu chuẩn vuông góc )
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia .
3. Định lí 2 :
Nếu hai mp( ) và mp( ) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong mp( ) , vuông góc với giao tuyến của mp( ) và mp( ) đều
vuông góc với mp( ) .
( )⏊( ) ( ) ( )
} => a ⏊( )
( ) ⏊

4. Định lí 3 :
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao
tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


( )⏊( )
} => a ⏊( )
( )⏊( ) ( )⏊( )

5. Định lí 4 :
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mp(P) và S là diện tích hình chiếu H
của H trên mp(P ) thì S = Scos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P)
và ( )
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .

 Phương pháp 1 :
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) , ta chứng
minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm
trong mp(P)
⏊
⏊
} => d ⏊ ( )
( )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


 Phương pháp 2 :
Sử dụng tính chất : d // Δ , mà Δ ⏊ (P) thì d ⏊ (P)

 Phương pháp 3 :
Sử dụng định lý : Nếu hai mặt phẳng (P) , (Q) vuông góc với nhau và cắt
nhau theo giao tuyến x , đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà
vuông góc với giao tuyến x thì vuông góc với mặt phẳng (Q) .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


 Phương pháp 4 :
Sử dụng tính chất : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó .

( )⏊( )
( )⏊( ) } => a ⏊ (R)
( ) ( )

 Phương pháp 5 :
Sử dụng tính chất : Nếu hai mặt phẳng song song với nhau , đường thẳng a
vuông góc với mặt phẳng này thì nó vuông góc với mặt phẳng kia .
( ) ( )
} => a ⏊ (P)
⏊

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


 Phương pháp 6 :
Sử dụng tính chất : Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b , mà
đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thị đường thẳng b vuông góc
với mặt phẳng (P)
⁄
} => b⏊( )
⏊( )

THÍ DỤ MINH H ỌA
Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên
SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Gọi M , N ,

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


P lần lượt là trung điểm của cạnh SB , BC , CD . Chứng minh AM vuông
góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP .
Giải :

Chứng minh AM vuông góc với BP
Gọi H là trung điểm của AD . Do ΔSAD đều nên SH ⏊ AD . Do
(SAD) ⏊ (ABCD) nên SH ⏊ (ABCD) => SH ⏊ BP (1) .
Xét hình vuông ABCD ta có ΔCDH = ΔBCP ,
CH ⏊ BP(2)
Từ (1) và (2) => BP ⏊ (SHC) .
Tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Vì MN // SC và AN // CH => (AMN) // (SHC) . Do đó : BP ⏊ (AMN) =>
BP ⏊ AM . Vì MN //SC và AN // CH => (AMN) // (SHC) . Do đó :
BP ⏊ (AMN) => BP ⏊ AM . Kẻ MK ⏊ (ABCD) .
Ta có :
MK =

√

;

√

(đvtt)

Cách khác tính thể tích ( dựa vào tỉ số thể tích )
Ta có :

Nhân theo từng vế ta được :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


√

√

(đvtt)

Thí dụ 2 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là
trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD .

Gọi H là tâm ABCD => SH ⏊ (ABCD) .
Từ BH ⏊ AC và BH ⏊ SH suy ra BH ⏊ (SAC) và gọi I , K là trung điểm SA và
AB
IH // BE và MK // BE nên IH // MK
MK // IH (1) và KN // AC (2)
Từ (1) và (2) => (MKN) // (SAC)
(MKN) ⏊ BD => MN ⏊ BD
Thí dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ̂ = ̂

,

AB = BC = a , AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√ . Gọi H là

hình chiếu vuông góc của A trên SB . Chứng minh tam giác SDC vuông .
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Cách 1 : Chứng minh tam giác SCD vuông
Kẻ CE vuông góc AD , thì tứ giác ABCE là hình vuông nên CE = AE = ED = a. Sử
dụng định lý Pitago ta có :

 ΔSCD vuông tại C .
Cách 2 : Chứng minh tam giác SCD vuông
Gọi E là trung điểm của AD . Ta có : EA = ED = a
Do EA = EB = a , EA // BC => Tứ giác EABC là hình vuông ( kết hợp với
AB = a , ̂

̂

)

Từ đó ta có EC = a
Vì EA = ED = EC = a => ΔACD vuông tại C
CA ⏊ CD . Do đó SC ⏊ CD ( định lý 3 đường vuông góc )
 ΔSCD vuông ại C .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10

Thí dụ 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a , SA = a√ . Gọi M , N
và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , và CD . Chứng minh rằng
đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP .
Chứng minh rằng đường thẳng MN ⏊ SP

Theo giả thiết M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB và CD
Ta có MN // AB ( tính chất đường trung bình ) (1)
AB // CD ( vì tứ giác ABCD là hình vuông ) (2)
Mặt khác SC = CD ( vì tam giác SCD cân tại S ) và PC = PD ( vì P là trung điểm
của CD ) => SC ⏊ CD (3)
Từ (1) , (2) và (3) => MN ⏊ SP
Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP
Gọi I là trung điểm của AB
Ta có ΔSIP cân tại S ,
 SI = SP =

√

 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


( )

Ta có

 SO =

√

H là hình chiếu vuông góc của P xuống mặt phẳng SAB
Ta có

(

SO.IP =

)
√

 PH =
Vậy V =

√
√

(

)

√

(

√

).

√
√

=

√

(đvtt)

Dạng 2 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
*Phương pháp 1 :
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng
này chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia .
⏊
} => (P) ⏊ (Q)
( )

 Phương pháp 2 :
Sử dụng tính chất :
( ) ( )
} => (R) ⏊ (Q)
( )⏊( )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12

 Phương pháp 3 :
Sử dụng tính chất (P) ⏊ d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P) ⏊ (Q)

Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
 Phương pháp 1 :
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh
đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia .
⏊( )
} => d ⏊ a
( )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


 Phương pháp 2 :
Sử dụng định lý : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) , mà
đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) , thì d vuông góc với đường
thẳng a .

THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a , AD = a√ , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC
. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) và
tính thể tích của khối tứ diện ANIB .
Chứng minh rằng : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Cách 1 :

Dễ thấy I là trọng tâm ΔABD :
 BI = BM =

√
√

và AI = AC =

√

Trong tam giác ABI có :
+

+

⏊



=
⏊(

⏊

)

(

)⏊(

)

Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Khối tứ diện SABC có thể chia làm 3 tứ diện : SABN ; CNBI ; ANIB
Gọi V =
Ta có : {
√



√

Cách 2 : Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(SMB)
Xét ΔABM và ΔBCA vuông đồng dạng ?
̂

̂

̂

̂

=> ̂

=> MB ⏊ AC (1)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


⏊(
( )

) => SA ⏊ MB

(2)

( ) => MB ⏊ (SAC) => (SMB) ⏊ (SAC)

thể tích của khối tứ diện ANB
Gọi H là trung điểm của AC => NH là đường trung bình của ΔSAC
 NH =

và NH // SA nên NH ⏊(ABI) ,
√

do đó

Thí dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SC , I là giao
điểm của BM và AC . Cho SA = a , AD = a√ , AB = a . Chứng minh rằng mặt
phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích của tứ diện ABN

Giải
Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC)

Xét ΔABM và ΔBCA vuông có
 ̂

̂ => ̂

=> ΔABM đồng dạng ΔBCA

√

̂

̂

̂

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


 ̂
 MB ⏊ AC (1)
SA ⏊ (ABCD) => SA ⏊ MB (2)
Từ (1) và (2)
 MB ⏊ (SAC) => (
) ⏊(
)

Tính thể tích
Gọi H là trung điểm của AC
 NH là đường trung bình của Δ
{
Nên NH là đường cao của khối tứ diện ANIB .
Do đó :
Ta có :
√

√

√



√

√

(đvtt)

Thí dụ 3 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a√ ,
CD = 2a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 3√
(a > ) . Gọi K là trung
điểm của cạnh DC . Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng
(SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a .
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17


Gọi H là giao của AC và BK thì :
BH =

√

√

và CH =

⏊


Từ BK ⏊

và BK ⏊ SA => BK ⏊ (SAC) => (SBK) ⏊ (SAC)

Tính thể tích khối chóp SBCK theo a .
√

√

(đvtt)

Thí dụ 4 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ;
đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc
và AB = AA’ = a . Gọi M ,
N , P lần lượt là trung điểm của BB’ , CC’ , BC và Q là một điểm nằm trên cạnh

AB sao cho BQ = . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng
minh rằng (MAC) ⏊ (NPQ) .
Giải
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18


Gọi I là trung điểm A’B’ thì :
⏊
⏊

} =>

)

⏊(

Suy ra góc giữa BC và mp(

) chính là góc ̂ .

Suy ra ̂
̂

√

√

Chứng minh rằng (MAC) ⏊ (NPQ) .
} => (NPQ) // (C BI) (1)
ΔABM = ΔBB I (c-g-c) suy ra ̂
Suy ra ̂

̂=

̂

=> AM ⏊ BI

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19


Mặt khác theo chứng minh trên C I ⏊ AM nên AM ⏊ (C BI)
Suy ra (AMC) ⏊ (C BI) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MAC) ⏊ (NPQ)
Thí dụ 5 : Cho hình lập phương
có cạnh bằng a . M là điểm thuộc
cạnh CD với CM = x ( 0 < x < a ) , N là trung điểm cạnh
. Tính theo a thể tích
của khối tứ diện
. Xác định x để hai đường thẳng
và
vuông góc
với nhau .
Giải

Thể tích tứ diện B’MC’N :
(
(

(

))

)

Tìm x để B’M ⏊ C’N
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (A’B’C’)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20


 B’H là hình chiếu vuông góc của B’M trên (A’B’C’) .
Vậy B’M ⏊ C’N
̂  ΔB C H = ΔC D N
 ̂
CH=DNx=

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21