đọc và tìm hiểu sách precalculus qua trương trình hàm lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
----------

Đề tài:

Họ và tên:Lê Thị Diệu Hoàng
Lớp:Toán 3B
Huế,tháng 11 năm 2013
----


TỔNG QUAN VỀ TOÁN HỌC:
Khi hai xe đang đi cùng một tốc độ trên đường cao tốc, âm thanh kết hợp của động
cơ đôi khi dường như thay đổi theo nhịp. Điều tương tự cũng xảy ra khi hai động
cơ máy bay đang đi với tốc độ như nhau. Hiện tượng này được gọi là nhịp đập. Sử
dụng các khái niệm về nhịp đập, một âm thanh rung có thể được tạo ra trên một
cây đàn piano bằng cách điều chỉnh hai phím đàn có cùng tần số.Trong chương
này, bạn sẽ tìm hiểu về sự kết hợp của hai sóng, do đó bạn có thể phân tích những
hiện tượng điều hòa.
Trong chương 4 bạn đã học định lý Pythagore,thương và nghịch đảo của các hàm
lượng giác.Một trong số đó có liên quan đến hàm số của một đối số.Trong chương
này, bạn sẽ được học các đặc tính khác nhau xuất hiện trong hàm lượng giác.Các
đặc tính này cho phép bạn phân tích hàm lượng giác phức tạp như là tổng hay tích
của sóng . Bạn sẽ tìm hiểu điều này trong ba cách:
Đồ thị :Hàm lượng giác có biên
độ thay đổi.
Đại số :Bạn có thể biểu diễn
cho đồ thị bên bằng tích hoặc
tổng của hai sóng như sau:
y = 2 sin 21x + 2 sin 19x và

Hình 1

y = 4 sin x · cos 20x
Bằng lời nói:Tôi đã được học nếu hai hàm lượng giác có biên độ khác nhau thì đồ
thị của nó là một tích của hai sóng.Ngoài ra cũng có thể viết nó như là một tổng
của hai sóng. Đối với tích thì hai sóng sẽ có chu kỳ khác nhau.Còn đối với tổng thì
nó lại có chu kỳ bằng nhau. Tôi sử dụng tích và tổng này để chuyển đổi một biểu
thức khác và ứng dụng giải nhiều vấn đề thực tế khác,nhưng tôi sẽ cần phải nghiên
cứu nhiều hơn để hiểu đầy đủ về nó.

2


5.1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Bạn có thể biết âm nhạc , giống như bất kỳ âm
thanh nào khác,được truyền qua sóng.Một nốt
nhạc " tinh khiết " có thể được đại diện bởi
một đồ thị sin hay cosin. Tần số của các nốt
nhạc được đại diện bởi các chu kỳ của các đồ
thị, và độ to của các nốt nhạc được đại diện
bởi biên độ của đồ thị. Hình 2 đại diện cho hai
nốt nhạc của cùng tần số được chơi cùng một
lúc,có phương trình y = 3 cos θ và y = 4 sin .

Hình 2

Đồ thị hình sin đại diện cho làn sóng âm thanh thành lập bằng cách thêm hai âm
thanh này, y=3cos θ + 4sin θ . Trong phần này, bạn sẽ khám phá đồ thị của sóng
kết hợp và cho thấy rằng nó cũng là một hình sin.

Mục Tiêu:Điều tra các đồ thị hình thành bởi tổng của sin và cosin.
1. Vẽ đồ thị của y1 = 3 cosθ, y2 = 4 sinθ, và y3 = y1 + y2 trên cùng một màn
hình. Đồ thị của bạn đã giống với đồ thị trong hình 5-1a chưa?
2. Đồ thị y3 trong mục 1 có vẻ là một hình sin. Ước tính chu kỳ,biên độ và giai
đoạn chuyển dịch của nó (cho y = cos x).
3. Tìm số lượng biên độ và chu kỳ bằng cách sử dụng đồ thị của bạn để tìm
thấy những điểm cao nhất. Làm thế nào để xác nhận kết quả ước tính của
bạn trong mục 2 là chính xác?
4. Vẽ hình sin y4 = A cos (θ- D), trong đó A và D là biên độ và chu kỳ,bạn hãy
tìm những giá trị trong mục 3. Sử dụng kí hiệu hay màu sắc khác cho biểu
đồ này để bạn có thể phân biệt nó với đồ thị của y3.Đồ thị y4 có phải là một
hình sin?
5. Lập một bảng giá trị của y3 và y4 cho các giá trị khác nhau của θ. Làm thế
nào để chứng minh y3 là một hình sin dựa vào các giá trị đó?
6. Bạn có thể tìm thấy các hằng số A và D trong mục 4 không?Hãy sử dụng các
yếu tố ở mục 3 và 4 cho các phương trình y1 và y2.
7. Thay thế 2 góc khác nhau cho θ và D và cho biết cos (θ - D) có bằng
cos θ – cos D không?
8. Dựa trên quan sát của bạn trong mục 7, thì tính phân phối của phép nhân đối
với phép trừ có thể áp dụng trong trường hợp trên không?
9. Ghi chép lại những gì bạn đã học được trong vấn đề thiết lập này.

3


5.2. CÔNG THỨC TỔNG HỢP
Trong bài 5-1 bạn nhìn thấy một đồ thị đại diện cho sóng âm thanh được tạo ra bởi
hai nhạc cụ khác nhau chơi cùng một lúc.Phương trình là y = 3 cosθ + 4 sinθ
Hình 3 cho thấy rằng mặc dù các sóng âm
thanh cá nhân có biên độ 3 và 4 ,thì biên độ

của sóng âm thanh kết hợp không có biên độ 3,
4 , hoặc 7.Trong phần này, bạn sẽ tìm hiểu
cách thức đại số để tìm biên độ và pha di
chuyển của một sự kết hợp của cosin và sin,có
nghĩa là, một phương trình dưới dạng
y = acosθ + bsinθ . Bạn sẽ làm điều này với sự
giúp đỡ của các công thức tổng hợp, do đó bạn
có thể đưa cos ( A - B) về cosin và sin của A
và B.

Hình 3

Mục Tiêu:Rút ra một công thức tổng hợp đưa cos ( A - B) về cosin và sin của A và
B và sử dụng nó để tìm ra phương trình kết hợp cho hai sóng.
Công thức kết hợp:

Hình 4

Đồ thị của y = 3 cosθ +4 sin θ thể hiện
trong hình 4 là một hình sin.Bạn có thể
viết phương trình của nó trong các hình
thức y = A cos ( θ - D ),trong đó A là biên
độ và D là chu kỳ chuyển dịch cho y = cos
x . Nếu vẽ đồ thị bạn sẽ thấy rằng:
A=5
D = 53.1301...°

Trên thực tế , D là góc ở vị trí tiêu chuẩn với u = 3 (hệ số cos) và v = 4 (hệ số sin),
như hình 4. Một khi bạn có được công thức tổng hợp đề cập trong mục tiêu , bạn
có thể chứng minh rằng biên độ A là chiều dài của cạnh huyền của tam giác vuông

góc D. Bạn tìm thấy A bằng cách sử dụng định lý Pythagore và D bằng cách áp
dụng các khái niệm về arctangent.
A =√
=5
D=

4


(Chọn n = 0 nên D ở trong góc phần tư thứ I).
Vì vậy, y = 5 cos (θ - 53.1301 ... °) tương đương với y = 3 cosθ + 4 sinθ.
Ví dụ 1: Khai triển y = -8 cosθ + 3 sinθ thành hàm chỉ chứa duy nhất cosin.
Giải:
Phác họa góc D ở vị trí chuẩn với u = -8 và v = 3
(các hệ số của cosin và sin), như hình 5.
A =√( )
√ (Tìm A theo định lý
Pythagore.)
D=
(Tìm D bằng cách sử dụng định
nghĩa của arctangent và chọn n = 1).
y=√
(
)

Hình 5

Công thức: kết hợp của cosin và sin với chu kỳ bằng nhau.
(
với A =√

)

và D =

Góc phần tư cho D =
phụ thuộc vào các dấu của b và c và có thể được
xác định bằng cách phác thảo D ở vị trí chuẩn.A là cạnh huyền của tam giác
vuông.
Công thức tổng hợp cho cosin (A - B):
Tại bài 5-1 bạn thấy rằng hàm cosin không phân phối trên cộng hoặc trừ.Xét ví dụ,
cos (58 ° - 20 °) = cos 38 ° = 0,7880 ...
cos 58 ° - cos20 ° = 0,5299 ... - 0,9396 ... = -0,4097 ...
cos (58 ° - 20 °)

cos 58 ° - 20 ° cos

Tuy nhiên, bạn cũng có thể đưa cos (58 ° - 20 °) về sin và cosin của 58 ° và
20 .Kết quả là cos (58 ° - 20 °)= cos 58 ° cos 20 ° + sin 58 ° sin 20 °

5


Tiếp theo, bạn sẽ thấy công thức
khái quát cho bất kỳ góc A và B.
Hình 6,cho góc A và B ở vị trí
chuẩn và cho thấy sự khác biệt
giữa góc A và B với góc (A - B).
Tọa độ hai điểm xuất phát từ hai
tia tạo nên góc (A - B) cắt vòng

tròn đơn vị là (cos A, sin A) và (B
cos, sin B).Khoảng cách giữa hai
điểm trên là chiều dài d.
Hình 6
Chiều dài d có thể được viết bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách (định
lý Pythagore).
d2 =(
)
(
2
u1, v1 ) và (u2 , v2):d =(

) (Công thức khoảng cách giữa hai điểm (
(
) )

)

Suy ra: d2 =
Bây giờ hãy xem hình7, trong đó
góc ( A - B) ở vị trí tiêu chuẩn .
Tọa độ hai điểm tạo bởi hai tia
của góc(A-B) với đường tròn đơn
vị là:
( cos (A-B) ,sin (A-B) )
và ( 1 , 0 )
Hình 7
Theo công thức khoảng cách,ta có:
(
=

(

)

(

)
(

)

(
(

(

)

)

)

(

)

Cân bằng giữa hai biểu thức d2 để có được:
2 - 2 cos ( A - B) = 2 - 2 cos A cos B - 2 sin A sinB
-2 cos ( A - B) = -2 cos A cos B – 2sin A sin B

6

)


cos ( A - B) = cosA cosB + sin A sinB
Đây là công thức đã được minh họa bằng ví dụ số với A = 58 ° và B = 20 °. Bạn có
thể nhớ công thức này dễ dàng bằng cách thể hiện nó bằng lời nói: "Cosin của góc
đầu tiên trừ góc thứ hai bằng cos (góc đầu tiên) nhân cosin (góc thứ hai) cộng với
sin (góc đầu tiên) nhân sin (góc thứ hai)".
Công thức tổng hợp cho cosin (A - B):cos (A - B) = cos A cos B + sinA sin B
Ví dụ 2: Khai triển 7 cos (θ-23 °) thành biểu thức chỉ chứa cos θ và sinθ.
Giải:
7 cos (θ-23 °) = 7 (cos θ cos 23 ° + sinθ sin 23 °).(Áp dụng công thức tổng hợp)
= 7 cosθ cos 23 ° + 7 sin θsin 23 °
= (7 cos 23 °) cosθ + (7 sin 23 °) sinθ
7 cos (θ - 23 °) = 6,4435 ... cosθ + 2,7351 ... sinθ
Giải phương trình bằng phương pháp đại số:
Bạn có thể sử dụng công thức tổng hợp trên để giải quyết một số phương trình
lượng giác đại số .
Ví dụ 3:Giải phương trình: -2 cos x + 3 sin x = 2 với x
cách giải đó bằng đồ thị.

[ -2 , 2 ].Chứng minh

Giải:
Chuyển vế trái, -2 cos x + 3 sin
x,về dạng A cos ( x - D ).
Vẽ góc D ở vị trí chuẩn
(hình 8)

Hình 8
√(

)

√

( Sử dụng định lý Pythagore để tính A)

7


(Chọn n = 1 sử dụng cho các giá
trị arctangent thích hợp).
Ta có: -2 cos x + 3 sin x = 2
√

cos ( x – 2.1587 ... ) = 2 ( Viết lại phương trình sử dụng A cos ( x - . D ) )

cos ( x – 2.1587 ... ) =

√

( x – 2.1587 ... )=

√

(Viết lại phương trình và đánh giá arccosin)

x=

x = 3.141 ... + 2 n hoặc 1.1760 ... + 2 n ( Đánh giá 2,1587 ... + 0,9827 ... và
2.1587 ... – 0.9827 . )
S = { -5.1071 ... , -3.1415 ... , 1.1760 ... , 3.1415 ... }( Chọn giá trị của n để thỏa
điều kiện của x)
Hình 9 cho thấy đồ thị của y = -2 cos x
+ 3 sin x và đường y = 2 . Lưu ý rằng đồ
thị là một hình sin.Bằng cách sử dụng
các tính năng giao nhau, bạn có thể thấy
rằng trong bốn nghiệm trên là chính xác
và rằng chúng là những nghiệm duy
nhất trong miền [ -2 , 2 ].Đồ thị cũng
cho thấy sự dịch chuyển chu kỳ của
2.1587 ... và biên độ √
3.6
Hình 9
Đặt vấn đề 5.2:
Q1 . Nêu định lý Pythagore của secant và tan,với secant =
Q 2 . Nêu rõ tính chất của cosec,với cosec =
Q3 . Đưa cotan về sin và cosin .
Q4 . cos2 x = 1 - sin2 x có phải là một tính chất không ?
Q5 . cot x.tan x = 1 có phải là một tính chất không?

8


Q6 . cos x sin x = 1 có phải là một tính chất không?
Q7 . Tìm giá trị chính xác (không có chữ số thập phân ) của cos .
Q8 . Tìm giá trị chính xác (không có chữ số thập phân ) của tan 30 ° .

Q9 . Tìm ra ba góc độ tích cực đầu tiên θ = arccos 0.5
Q10 . Yếu tố : x2 - 5x - 6
Đối với vấn đề 1-12 , viết sự kết hợp tuyến tính của cosin và sin thành một cosin
duy nhất với một chu kỳ .
1 . y = 12 cos θ 5 sinθ
2 . y = 4 cos θ 3 sinθ
3 . y = -7 cos θ 24 sinθ
4 . y = -15 cosθ+ 8 sinθ
5 . y = -8 cosθ - 11 sinθ
6 . y = -7 cos θ-10 sinθ
7 . y = 6 cosθ - 6 sinθ
8 . y = cos θ - sinθ
9 . y =√ cos θ sinθ
10.y = (√

√ ) cosθ +( √

√ ) sinθ

11 . y = -3 cos x 4 sin x ( chế độ radian )
12 . y = -5 cos x - 12 sin x ( chế độ radian )
13 . Xác nhận bằng đồ họa cho câu trả lời của vấn đề 1 là chính xác .
14 . Xác nhận bằng đồ họa cho câu trả lời của vấn đề 2 là đúng .
15 . Thể hiện chức năng thông tư y = cos 3x + sin 3x như một cosin duy nhất với
một chuyển giai đoạn . Tác động gì "3 " có trên công việc của bạn ?
16 . Hình 5 - 2h cho thấy một đồ thị cos và một đồ thị hình sin . Tìm phương trình
cho hai xoang này. Sau đó tìm một phương trình với tổng số tiền của hai xoang

9

như một cosin duy nhất với một chuyển giai đoạn . Xác minh câu trả lời của bạn
bằng cách vẽ chúng trên Grapher của bạn .

17 . Chứng minh bằng counterexample rằng cosin không phân phối trên trừ . Đó
là,cho một ví dụ bằng số để cho thấy rằng: cos ( A - B) # cos A - cos B.
18 . Làm cho một bảng giá trị để hiển thị số lượng mà:cos ( A - B) = cos A cos B
sinAsin B.
Đối với vấn đề 19-22 , thể hiện mỗi phương trình như một sự kết hợp tuyến tính
của cosin và sin .
19 . y = 10 cos ( θ - 30 ° ) . Xác nhận đồ họa mà câu trả lời của bạn là đúng .
20 . y = 20 cos ( θ- 60 ° ) . Xác nhận đồ họa mà câu trả lời của bạn là đúng .
21 . y = 5 cos ( 3θ - 150 ° )
22 . y = 8 cos ( 2θ- 120 ° )
Đối với vấn đề 23-26, giải quyết các phương trình đại số. Sử dụng tên miền x [0, 2]
hay [0 °, 360 °].
23. 5 cosθ + 7 sinθ = 3
24. 2 cos x + 5 sin x = 4
25. -8 Cos x - 3 sin x = 5
26. 7 cosθ - 4 sinθ = 6
27. Sử dụng tài sản lập luận tổng hợp để cho thấy rằng phương trình này là một
bản sắc:

10


cos 2θ = cos 5θ cos 3θ + sin 5θsin 3θ
Sử dụng kết quả để giải quyết phương trình này cho θ [0 °, 360 °].
cos 5θcos 3θ + 5θ sin sin 3θ = 0,3
28. Âm nhạc Lưu ý vấn đề: Các chị em Nett, Cora và Clara, đang ở trong một ban

nhạc. Mỗi người chơi lưu ý A. người bạn của họ Tom đang đứng ở một nơi mà các
ghi chú chính xác đến một chu kỳ θ ra khỏi giai đoạn. Nếu x là thời gian trong vài
giây, các phương trình chức năng của Cora và ghi chú Clara là
Cora: y = 100 cos 440 pix
Clara: y = 150 sin 440pi x
a. Âm thanh Tom nghe là tổng của các sóng âm thanh Clara của Cora và. Viết một
phương trình cho âm thanh này như a cosin duy nhất với một chuyển giai đoạn.
b. Biên độ 100 và 150 đo độ ồn của hai ghi chú Cora và Clara đang chơi. Là tuyên
bố này đúng hay sai? "Tom nghe một lưu ý 250 đơn vị lớn, số tiền là 100 và 150."
Giải thích làm thế nào bạn đạt câu trả lời của bạn.
c. Tần số của A đang được chơi bởi Cora và Clara là 220 chu kỳ mỗi giây. Giải
thích làm thế nào bạn có thể con số này ra từ hai phương trình. Là đúng hay sai sau
đây? "Những lưu ý Tom cũng nghe có tần số 220 chu kỳ mỗi giây."
29. Cofunction tài sản cho Cosines và Sines
vấn đề:
a. Cho thấy cos 70 ° = sin 20 °.
b. Sử dụng tài sản lập luận tổng hợp và định nghĩa về góc độ bổ sung cho
hiển thị nói chung mà cos (90 ° - θ) = sinθ.
c. Những gì tiền tố đồng có nghĩa là trong tên cosin?
30. Ngay cả tài sản của cô sin vấn đề:
a. Cho thấy cos (-54 °) = cos 54 °.
b. Bạn có thể viết cos (-54 °) như cos (0 ° - 54 °).
Sử dụng tài sản lập luận tổng hợp cho thấy đại số mà cos (-θ) = cosθ.

11


c. Nhớ lại rằng các chức năng với tài sản f (-x) = f (x) được gọi là ngay cả các chức
năng. Cho thấy tại sao tên này được chọn bằng cách cho phép f (x) = x6 và cho
thấy rằng f (-x) = f (x).

31. Đối số dẫn xuất tổng hợp tài sản Vấn đề: Lấy được tài sản:
cos (A - B) = cos A cos B + sinAsinB
Cố gắng làm điều này một mình, nhìn vào văn bản chỉ đủ lâu để giúp bạn bắt đầu
một lần nữa nếu bạn gặp khó khăn.
32. Tuyến tính kết hợp của cô sin và dẫn xuất vấn đề Sine: Trong vấn đề này, bạn
sẽ thấy làm thế nào để chứng minh tài sản kết hợp tuyến tính.
a. Sử dụng tài sản lập luận tổng hợp để cho thấy rằng
A cos (θ-D) = (A cos D) cosθ + (A sin D) sinθ
b. Để cho A cos D = b, và để cho A sin D = c. Bình phương cả hai bên của mỗi
phương trình để có được: A
A2cos2 D = b2
A2sin2 D = c2
Giải thích tại sao A2=b2+c2
c. Giải thích lý do tại sao D = arccos và D = arcsin, và do đó lý do tại sao D =
arctan.
33. Tạp chí Vấn đề: Cập nhật tạp chí của bạn với những gì bạn đã học được từ mục
cuối cùng. Đặc biệt, giải thích những gì thuộc tính lập luận tổng hợp và làm thế
nào bạn có thể sử dụng nó để chứng minh rằng một khoản cosin và sin với thời
gian tương đương là một cosin duy nhất với cùng kỳ và chuyển giai đoạn.
5.3.CÁC CÔNG THỨC TỔNG HỢP KHÁC:
Tại bài 5-2 bạn đã sử dụng công thức tổng hợp cho các cosin để cho thấy sự kết
hợp tuyến tính của cosin và sin với một chu kỳ là một hàm cosin duy nhất với cùng
kỳ nhưng biên độ khác nhau và chu kỳ chuyển dịch.Trong phần này bạn sẽ học
được các công thức tổng hợp cho sin và tan liên quan đến (A + B)cũng như (A -B).

12


Hình 10

Mục Tiêu:
Cho hàm lượng giác f, tìm hiểu các thuộc tính của:
• f (-x) trong điều kiện của f (x)
• f (90 °- θ ) trong điều kiện của θ hoặc f ( - x) trong điều kiện của x
• f (A + B) và f (A - B) trong điều kiện của A và trong điều kiện của B
Tính Chẵn-Lẻ Của Hàm Số:
Nếu bạn có các tính chất của góc đối diện hoặc vòng cung, mô hình thú vị sẽ xuất
hiện như sau:
sin (-20 °) = -0,3420 ... và sin20 ° = 0,3420 ...
cos (-20 °) = 0,9396 ... và cos 20 ° = 0,9396 ...
tan (-20 °) = -0,3639 ... và tan 20 ° = 0,3639 ...
Những ví dụ số cho thấy sin và tan là hàm lẻ và cosin là một hàm chẵn. Hình 10
cho đồ thị tại sao những tính chất trên áp dụng cho bất kỳ giá trị nào của θ.
Tính chắn-lẻ của các hàm nghịch đảo sẽ giống như các hàm ban đầu.
ĐẶC TÍNH: Các hàm chẵn-lẻ:
Cosin và đối của cosin là hàm chẵn. Đó là,
cos (-x) = cos x và sec(-x) = sec x,với
13


Sin và tan và đối của nó, là những hàm lẻ. Đó là,
sin (-x) =-sin x và csc (-x) =- csc x,với
tan (-x) =-tan x và cot (-x) =- cot x
Tính chất của đối hàm:hàm của (90 ° - ) hoặc ( - x)
Các góc 20 ° và 70 ° là các góc phụ nhau vì chúng hơn kém nhau 90 °. Góc 20 ° là
phần phụ của 70 ° và góc 70 ° là phần phụ của 20 °. Một mô hình thú vị xuất hiện
nếu bạn có những hàm và đối hàm của các góc phụ như sau:
cos 70 ° = 0,3420 ... và sin 20 ° = 0,3420 ...
cot 70 ° = 0,3639 ... và tan 20 ° = 0,3639 ...
csc 70 ° = 1,0641 ... và sec 20 ° = 1,0641 ...

Bạn có thể kiểm tra các mô hình bằng
cách sử dụng các định nghĩa tam giác
vuông của hàm lượng giác.Hình 11cho
thấy một tam giác vuông với góc nhọn
70 ° và 20 °. Cạnh đối diện cho 70 ° là
cạnh liền kề cho 20 °. Do đó,
Hình 11
và
cos 70 ° = sin 20 °
Đầu ngữ co- trong tên cosin, cotan, và cosec xuất phát từ chữ “phụ”. Nói chung,
cosin của một góc là sin của phần phụ của góc đó. Thuộc tính này cũng đúng cho
cotan và cosec,bạn có thể kiểm chứng với sự hỗ trợ của hình 11.
Các thuộc tính đối hàm là đúng cho bất kì góc nào hoặc vòng cung nào. Ví dụ, nếu
θ là 234 °, thì phần phụ của là 90 ° - 234 °, hoặc -144 °.
cos 234 ° = 0,5877 ... và sin (90 ° - 234 °) = sin (-144 °) = -0,5877 ...
Vậy cos 234 ° = sin (90 ° - 234 °)
Lưu ý rằng việc bạn cho cái nào là "góc" và cái nào là “phần phụ” là không quan
trọng.Ví dụ, sin20 ° = cos (90 ° "phần phụ " - 20 °)

14


Các thuộc tính đối hàm cho các hàm lượng giác được tóm tắt bằng lời nói như: Các
cosin của một góc bằng với sin của phần phụ của góc đó.Các cotan của một góc
bằng tan của phần phụ của góc đó.Các cosec của một góc bằng với secant của phần
phụ của góc đó.
ĐẶC TÍNH:Thuộc tính của đối hàm cho hàm lượng giác.
Khi đơn vị của góc là độ:
cosθ = sin (90 ° - θ) và sinθ = cos (90 °- θ)
cotθ = tan (90 °- θ) và tanθ = cot (90 ° - θ)

cscθ = sec (90 °- θ) và sec θ = csc (90 °- θ)
Khi đơn vị của góc là radian:
cos x = sin (

- x) và sin x = cos ( - x)

cot x = tan ( - x) và tan x = cot (

- x)

cos x = sec ( - x) và sec x = csc ( - x)
Lập luận cho tính chất của cos (A + B):
cos (A + B) = cos [A - (B)] (Thay đổi tổng thành một hiệu).
= cosAcos (-B) + sinAsin (B) (Sử dụng công thức tổng hợp cho cos(A-B))
= cos A cos B + sin A (- sin B). (cos là một hàm chẵn,sin là một hàm lẻ)
=cos A cos B - sinAsin B
cos (A + B) = cos A cos B - sinAsin B
Những công thức của đối số sin (A - B) và sin (A + B):
Bạn có thể lấy công thức tổng hợp cho sin (A - B) với sự giúp đỡ của các tính chất
của các đối số.
sin (A - B) =cos [90 ° - (A - B)] (Chuyển thành cosin, sử dụng thuộc tính đối hàm).
= cos [(90 ° - A) + B] (Chuyển dấu trừ, sau đó liên kết (90 ° - A)).
= cos (90 ° - A) cos B - sin (90 ° - A) sinB (sử dụng công thức tổng hợp cho
cos (A+ B)).
15


= sin A cos B – cosA sin B (sử dụng tính chất của đối hàm).
Vậy sin (A - B) = sin A cos B – cosA sin B
Lập luận tương tự cho sin (A + B) là sin (A + B) = sin A cos B + cosAsin B

Bạn có thể lấy nó bằng cách viết sin (A + B) là sin[A - (B)] và làm tương tự như
cho cos (A + B).
Lập luận tương tự cho tan (A - B) và tan (A + B)
Bạn có thể viết tan của một đối số tổng hợp về tan của hai góc độ.
(

(
(

)

=

)
)

(

)

(

)

(Sử dụng thương để có được tan).

=
Vậy:

(

)

Bạn có thể lấy được công thức tổng hợp cho tan (A + B) bằng cách viết tan (A + B)
như tan [A - (-B)] và sau đó sử dụng tính chất tan là một hàm lẻ. Kết quả là:
(
)
Bảng dưới đây tóm tắt các công thức tổng hợp cho cosin, sin và tan.
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
(

)
16


(

)

Giải Phương Trình Bằng Phương Pháp Đại Số:
Bạn có thể sử dụng các công thức tổng hợp để giải quyết một số phương trình
lượng giác đại số.
Ví dụ 1:Giải các phương trình sin5x cos 3x - cos5x sin3x = , với x [0, 2 ].
Chứng minh lại bằng đồ thị.
Giải:
sin5x cos 3x - cos5x sin3x =
sin (5x - 3x) =

(Viết phương trình cho trước).

(Sử dụng công thức tổng hợp cho sin (A - B)).

sin 2x =
2x = arcsin = 0,5235 ... + 2 n hoặc ( -0,5235 ...) + 2 n (Sử dụng định nghĩa của
arcsine để giải)
x = 0,2617 ... + n hoặc 1,3089 ... + n
S = {0,2618 ... 1,3089 ... 3,4033 ... 4,4505 ...} (chọn n = 0 và n = 1 để có được
các nghiệm trong miền).
Trong trường hợp này, câu trả lời tìm ra được
bội đơn của . Xem bạn có thể tìm ra lý do
tại sao
và .
Hình 12 cho thấy đồ thị của y = sin5x cos3x cos5x sin3x và đường y = 0,5. Lưu ý rằng đồ
thị của y = sin5x cos3x - cos5x sin3x tương
đương với hình sin y = sin 2x. Bằng cách sử
dụng các tính năng giao nhau, bạn có thể thấy
rằng bốn nghiệm trên là đúng và chúng là
những nghiệm thuộc x [0, 2 ].
Đặt vấn đề 5-3:

17

Hình 12


Q1. Nếu một trong những giá trị của arcsin x là 30 °, tìm một giá trị dương của
arcsin x, thấp hơn 360 °?

Q2. Giá trị 30 là bao nhiêu phần trăm của 1000?
Q3. 2 10 = -?Q4. cos 7 cos 3 + sin7 sin3 = cos =?Q5. Biên độ của hình sin y = 8 cosθ + 15sinθ là gì?
Q6. Nếu A cos (- D) = 8 cosθ + 15 sinθ, thì D có thể bằng -?Q7. tan 2 47 ° - sec 2 47 °= -? Q8. log 3 + log 4 = log -? được gọi là tính chất -? -

Q9.

Q10. Phác họa đồ thị của một hàm mũ với cơ số giữa 0 và 1.
1. Chứng minh bằng phản ví dụ rằng: sin (A + B)

sin A + sin B.

2. Chứng minh bằng phản ví dụ rằng công thức của tan không phân phối trên phép
cộng.
3. Cho ví dụ về:
(

)

4. Cho ví dụ: sin (A - B) = sinAcos B - cosA sinB.
5. Lập một bảng giá trị để xác nhận rằng cos (-x) = cos x.
6. Lập một bảng giá trị để xác nhận rằng tan (-x) =-tan x.
7. Chứng minh bằng đồ thị cot θ = tan (90 ° - θ).
8. Chứng minh bằng đồ thị cos θ = sin (90 °- θ).
9.Sử dụng tính Chẵn-Lẻ để chứng minh vấn đề: Hình 13 cho góc của θ và -θ ở vị
trí chuẩn trong một hệ trục tọa độ UV. U là tọa độ của các điểm nơi các góc cắt
một vòng tròn đơn vị bằng nhau. V là tọa độ của các điểm này đối lập với nhau.

18

a. Dựa trên định nghĩa của sin, giải thích lý
do tại sao sin (-θ) =-sinθ.
b. Dựa trên định nghĩa của cô sin, giải
thích tại sao cos (-θ) = cosθ.
c. Dựa trên định nghĩa của tang, giải thích
lý do tại sao tan (-θ) =-tanθ.

Hình 13

d. Dựa vào tính chất nghịch đảo, giải thích
lý do tại sao sec, cosec, và cotan có các
tính chất chẵn-lẻ tương tự như cos, sin, và
tan.

10. Chứng minh tính chất sau dựa vào tính chẵn-lẻ của hàm số: Nhớ lại rằng: y= f(x) là ảnh của y = f (x) đối xứng qua trục x và y = f (-x) là ảnh của y=f(x) đối
xứng qua trục y.
a. Hình 5-3e cho thấy y = sin x. Phác thảo đồ thị ảnh của y = sin x qua trục y, và
phác thảo đò thị ảnh của y = sinx qua trục x. Dựa trên kết quả, giải thích tại sao sin
là một hàm lẻ.
b. Hình 5-3F cho thấy y = cos x. Phác họa đồ thị ảnh của y = cos x qua trục y. Từ
kết quả, giải thích lý do tại sao cosin là một hàm chẵn.
Đối với vấn đề 11-20, sử dụng tài sản lập luận tổng hợp để cho thấy rằng các
phương trình được đưa ra là một bản sắc.
11. cos (θ - 90 °) = sinθ
12. cos (x -

) = sin x

13. sin (x -

) = - cos x

14. sec (θ - 90 °) = cscθ
15. sin (θ + 60 °) - cos (θ + 30 °) = sin θ
16. sin (θ + 30 °) + cos (θ + 60 °) = cosθ
17. √ cos (x -

) = cos x + sin x

18. (cos A cos B-sin A sin B)2 + (sin A cos B + cos A sin B)2 = 1.

19


19. sin 3x cos 4x + cos 3x sin 4x = sin 7x
20. cos 10x cos 6x + sin 10x sin 6x = cos 4x
Đối với câu 21-26, sử dụng thuộc tính lập luận tổng hợp để chuyển đổi phía bên
trái của phương trình thành một đối số. Sau đó giải quyết các phương trình đại số
để có được:
a. Nghiệm tổng quát cho x hoặc θ
b. Các giải pháp cụ thể cho x trong miền x [0, 2) hoặc cho θ [0 °, 360°)
21. cos x cos 0.6 – sin x sin 0.6 = 0.9
22. sin θ cos 35° + cos θ sin 35° = 0.5
23. sin 3θcosθ – cos3θ sinθ = 0.5can2
24. cos 3x cos x + sin 3x sin x = –1
25.

√

26.

Vấn đề về giá trị chính xác: Hình 5-3g cho góc A và B ở vị trí chuẩn trong một hệ
trục UV-tọa độ. Đối với vấn đề 27 -32, sử dụng thông tin trong hình để tìm giá trị
chính xác (không có chữ số thập phân) sau đây. Kiểm tra câu trả lời của bạn bằng
cách tính toán A và B, cộng hoặc trừ chúng, và việc tìm kiếm các giá trị trực tiếp.
27. cos (A - B)
28. cos (A + B)
29. sin (A - B)
30. sin (A + B)
31. tan (A - B)
32. tan (A + B)
Đối với câu 33 và 34 , sử dụng tính chất tổng hợp về giá trị chính xác của các góc
đặc biệt ( chẳng hạn như 30 ° , 45 ° , 60 ° ) để cho thấy rằng các giá trị chính xác
của sin15 ° và cos 15 °.Chứng minh các giá trị là chính xác.
34. cos 15 ° =?
20


33. sin 15 ° =?
Đối với câu 35 và 36, sử dụng các giá trị chính xác của sin 15 ° và cos 15 ° từ câu
33 và 34 và các thuộc tính của đối hàm để tìm giá trị chính xác (không có chữ số
thập phân) của các biểu thức.
35. sin 75 °
36. cos 75 °
Đối với câu 37 và 38, sử dụng các giá trị của sin 15 ° và cos 15 ° từ câu 33 và 34,
để cho thấy rằng các giá trị chính xác của tan 15 ° và cot15 °.
37. tan 15 ° = 2 -?
38. cot 15 ° = 2 +?
39.Vấn đề nghịch đảo của hàm sin: Trong vấn đề này, bạn sẽ chứng minh rằng cos
-1
x là phần phụ của sin x.

a. Gọi θ = 90 ° - sin -1 x. Sử dụng thuộc tính lập luận tổng hợp để chứng minh rằng
cosθ = x.
b. Từ phần a,ta suy ra θ = arccos x, mối quan hệ lượng giác ngược.Nếu -90 ° <=
sin -1 < = 90 ° thì θ bằng bao nhiêu trong khoảng [0 °, 180 °].
c. Làm thế nào để phần b cho phép bạn kết luận rằng là cos -1 x, hàm lượng giác
ngược?
40. Vấn đề đường tròn lượng giác: Sử dụng các thuộc tính đối hàm cho các hàm
ngược để tính toán các giá trị. Chỉ ra rằng mỗi câu trả lời là trong phạm vi hàm
ngược.
a. cos -1 (-0.4)
b. cot -1 (-1.5)
c. csc -1 (-2).
Các tính chất của hàm ngược:
cos–1 x = – sin-1 x
cot–1 x =

– tan-1x

21


csc-1x =

– sec-1x

Vấn đề bộ ba đối số: Các tính chất đối số tổng hợp có tổng của hai góc hoặc vòng
cung có thể xuất phát từ thuộc tính của đối số cho ba góc hoặc vòng cung. Lấy
được thuộc tính thể hiện các hàm trong các điều khoản của sinA, sin B, sinC, cos
A, cos B, và cosC (bắt đầu bằng cách kết hợp hai trong ba góc).
41. cos (A + B + C)

42. sin (A + B + C)
5-4. PHÂN TÍCH TỌA ĐỘ VÀ HÀM ĐIỀU HÒA
Tại bài 5-3 bạn biết được rằng:tổng của hai sóng với chu kỳ giống nhau là một
hình sin với cùng kỳ. Một tích của hai sóng với chu kỳ khác nhau cũng là một hình
sin.Hình 14.

Hình 14
Hình 15cho thấy kết quả của hai
sóng với chu kì không bằng nhau,
trong đó có thể xảy ra, ví dụ, nếu
hai nốt nhạc của tần số khác nhau
được chơi cùng một lúc. Trong
phần này bạn sẽ tìm hiểu về thành
phần tung độ,cộng hoặc nhân
chúng và phân tích hàm điều hòa,
do đó bạn nên đảo ngược quá trình
để tìm hình dạng của sóng.
Hình 15
Mục Tiêu:
22


 Cho hai sóng,hãy tạo thành một đồ thị mới bằng cách cộng hoặc nhân tung
độ của chúng(y-tọa độ).
 Cho một đồ thị hình thành bằng cách cộng hoặc nhân hai sóng, tìm phương
trình của hai sóng.
Tổng của hai sóng có chu kỳ khác nhau:
Ví dụ 1 sẽ cho bạn thấy làm thế nào để phác thảo một biểu đồ gồm có hai sóng mà
các chu kỳ khác nhau.

Ví dụ 1: Hình 16 cho thấy đồ thị của y1
= 3cos θ và y2 = sin 4θ. Trên một bản
sao của đồ thị này,hãy phác họa đồ thị
của y = 3 cosθ + sin 4θ ?

Hình 16
Giải:
Hãy tìm điểm cao, điểm thấp, và các số khác
trên hai đồ thị. Tại mỗi giá trị θ bạn đã chọn,
ước tính phân phối của mỗi đồ thị và cộng
chúng với nhau. Đặt một dấu chấm trên biểu đồ
để biểu thị giá trị phân phối θ. Hình 17 cho thấy
làm thế nào bạn có thể ước tính phân phối tại
một thời điểm cụ thể.

Hình 17

23


Hình 18 cho thấy dấu chấm vẽ ở
những nơi mà các đồ thị phụ trợ
có điểm tới hạn hoặc số 0.

Hình 18
Khi bạn thấy mô hình, bạn có
thể kết nối các dấu chấm với
một đường cong trơn, như trong
hình 19. Vẽ đồ thị của hàm số
trên lên công cụ vẽ hình của bạn

và xác nhận rằng đồ thị của bạn
là chính xác.
Hình 19
Trong Ví dụ 1,cộng 3 cosθ cho sin4θ, trong đó có một khoảng nhỏ, tạo ra sự khác
biệt khi dịch theo chiều dọc tại các điểm khác nhau. Đồ thị của y = 3 cosθ có hình
sin,đi qua các điểm uốn của đồ thị.
Tích hai sóng khác chu kỳ:
Ví dụ 2 sẽ cho thấy bạn làm thế nào để kết hợp hai sóng của Ví dụ 1 bằng cách
thay cộng thành nhân.
Ví dụ 2: Hình 16 cho thấy đồ thị của y1 = 3 cos θ và y2 = sin4θ. Trên một bản sao
của hình 16,hãy vẽ đồ thị của y = 3 cosθ · sin4θ .Sau đó, vẽ đồ thị trên công cụ vẽ
hình của bạn.Đồ thị của bạn có chính xác với đồ thị ban đầu không?
Giải:
Các tiến trình tư duy tương tự như Ví
dụ 1, nhưng lần này bạn hãy thay cộng
thành nhân. Hình 20 sẽ cho thấy kết
quả.Vẽ đồ thị trên công cụ vẽ hình của
bạn và xác nhận rằng đồ thị của bạn là
chính xác.

Hình 20
24


Trong ví dụ 2, nhân 3 cosθ cho sin4θ có một sự giãn nở khác nhau tại các điểm
khác nhau. Hàm y = 3 cosθ sin4θ dường như có biên độ thay đổi. Bởi vì y = sin4θ
có biên độ 1, đồ thị này cắt đồ thị của y = 3 cosθ tại những điểm cao của y = sin4θ.
Đồ thị của y = 3 cosθ tạo thành một cái vỏ cho đồ thị kết hợp. Lưu ý rằng tại mỗi
nơi một trong hai đồ thị đi qua trục,thì đồ thị kết hợp cũng đi qua các trục
CÁC TÍNH CHẤT: Tổng và Tích của hai sóng với chu kỳ khác nhau:

Nếu hai sóng có chu kỳ khác nhau,thì:
• Nếu cộng hai sóng thì sẽ tạo ra một hàm với trục sin thay đổi.
• Nếu nhân hai sóng thì sẽ tạo ra một hàm với biên độ thay đổi.
PHÂN TÍCH HÀM ĐIỀU HÒA: Đảo ngược của thành phần tọa độ.
Bạn có thể sử dụng các tính chất của các tổng và tích của hai sóng với chu kỳ khác
nhau để giúp bạn "phân tích" một đồ thị phức tạp được hình thành bởi hai sóng.
Thủ tục được sử dụng như sau: ví dụ,các kỹ thuật dò tìm sóng siêu âm khi tàu biển
của họ phát hiện một mô hình sóng phức tạp và họ muốn tìm hiểu xem các âm
thanh được tạo ra bởi một chiếc tàu khác hoặc một con cá voi.
Ví dụ 3:
Hàm số trong hình 21 là một tổng hoặc một tích của hai sóng.Tìm phương trình
sóng kết hợp, và xác nhận câu trả lời của bạn bằng cách vẽ các phương trình.

Hình 21
Giải:
Quá trình suy nghĩ của bạn có thể là:
1 . Biên độ khác nhau , vì vậy nó là một tích của hai sóng.

25