Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm đại số và giải tích 11 (NXB Đại học quốc gia 2007),Lê Hồng Đức, 172 trang

LÊ HỔNG ĐỨC

/U '^riịí™

PHƯONG PHÁP

G IẢ I BÀI TẬP
T R Ắ C N G H IÊM

ĐẠI SỐ
VÀ GIẢI TÍCH

ĐM
ODG
H á MỌI

NHÀ XUÂT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


LÊ BÍCH NGỌC - NGUYÊN VỈẾT HOA
LÊ HỔNG ĐỨC - LÚ MỨU TRÍ

IMIl OM , PH ÁP
OIẢI BÀI TÃ P TRẮC

n g h iệ m

Đ Ạ I SỐ
VÀ

G IẢ I TÍCH 11

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠi HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


LỜI NÓI ĐẦU

Sự ưi việt cùa phương pháp thi trắc nghiệm đã vả đa/ìiỊ được chứng minh từ
những tước có nén giáo dục tiên tiến trên thế giới bởi những ưn điểm như tính
khách qian, tính bao quát và tính kinh tế.
Theo chù trương của BGD&DT các trường Đại học, Cao đảng và Trung học
chuyên Ịghìệp sẽ chuyển sang hình thức tuyển sinh bằng phương pháp trắc nghiệm.
Và dể cc dược thời gian chuẩn bị tốt nhất, các bài kiểm tra kiến thức trong chương
trình TH^S và THPT cũng sẽ có phần trắc nghiệm để các em học sinh làm quen.
Tuy nhiên, việc biên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuàn thủ một sô yêu cầu
cơ bản IỲ mật lí luận sư phạm và V nghĩa díclì thực của cúc sô liệu thống kẻ. Ngoài
ra, một lê thi môn toán được chấm hoàn toàn dựa trên kết quả trắc nghiệm chắc
chắn sể chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước ta bởi nhiều lí do, từ đó dần
tới việc tliông đảm bảo dược tính khách quan trong việc đánh giá kết quá học tập
của học sinh. Để khắc phục nhược điểm này Nhỏm Cự Môn chúng tôi dề xuất
hướng ĩlìtc hiện như sau:
1. \ ói mồi dế thi hoặc dê kiểm tra vấn tuán thủ dúng cấu trúc chung và điểm
tỉắc nghiệm không quá 3.5 điếm.
2. (ddáy, thông thường các em học sinh sẽ phải lựa chọn một trong bon dáp số và
chì biết rầng số điểm a của cáu hói này dược chia làm đôi:
■ Nếu lưa chon đúng lời giải trắc nghiêm sè nhận được — điểm.
2.
*

Nếu
còn

Dây chím
1.

tô xung
ới
ptép

đúng

tô để đảm
học sinh
quanh

nhữnghọc
thử
bằngtay

- diêm. Thí dụ
2

hiện

lời

giảitự

lại.
làyểu
Vóinhững

vát
2. \

thực

sẽ chi
sinh
vớicâu

bảotính khách quan
chỉmò mầm đáp
hoặc nhận được nó
nhậndược

hiếuđược
hoặc

toida —

với

bằngmáy
hỏi:

( ] điểm): Giải phương trình Vx = 2 - X.

,

A. X = 0.

B. X= 5.
c . X= 4.
D. x = l .
C kiì
ỉ:Thực hiện phép thừ bằng
X= 0, X= 5, X= 4, X= 1, cụ thể:
■ Với X= 0, ta được:
Võ = 2 - 0 , mâu thuần X= 0 không là nghiệm.
■ Với X= 5, ta dược:
41 = 2 - 5 = - 2.mâu thuẫn => X= 5 không là nghiệm.
■ Với X= 4, ta được:
V4 = 2 - 4 = - 2 , mâu thuẫn => X= 4 không là nghiệm.

,ta các em


■ Với X = 1, ta được:
v r =2 —1 = 1. đúng => X = 1 là nghiệm.
Vậy, các em sẽ lựa chọn câu trả lời trắc nghiệm là X = 1.
Cách
2:Sử dụng máy tính fx - 570MS bàng cách lần lượt thực hiện:
Nhập phương trình Vx - 2 + X = 0 vào máy tính bằng cách ấn:
ALPHA
f l [ALPHA
Để thử với X = 0, ta ấn:
-2
ịCALQO
Để thử với X = 5, ta ấn:
5.236067978
CALC 5

Để thử với X = 4, ta ấn:
4
CALC4
Để thừ với X = 1, ta ấn:
0
CALC 1
Vậy, các em sẽ lựa chọn câu trả lời trắc nghiệm là X = 1.
3. \
'ới những
họcsinh
kháhon hiếu
có
thêthực
hiệnđược một
phẩncâu này
3a
4

khoáng — + — = —
2

4

4. Cuối
cùng,
nhận dược a điểm.
Dựa
trẽntư tưởng
trân trọng
giới

th iệ u

điểm.
vớinhững học
này,Nhỏm
tớibạn

GIẢI BÀI T Ậ P TRẮC NGHIỆM TOÁN T IIP T
do Thạc
sĩ Toánhọc Lê Hồng Đức chủ
Bộ sách gồm
6 cuốn:
Cuốn 1: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số 10
Cuốn 2: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 10
Cuốn 3: Giải bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích11
Cuốn 4: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 11
Cuốn 5: Giải bài tập trác nghiệm Đại số và Giải tích12
Cuốn 6: Giải bài tập trắc nghiệm Hình học 12

sinh

Cự Mô
dọcbộ
b

Cuối cùng, cho dù dã rất
cỏ gắng,nhưng thật khó tránh
những
bâi những
lìiểu

biết
vàkinh
nghiệm cònm
kiến đóng góp
q u ý báu cùa bạn dọc gàn
Mọi V
đóng góp
liên hệ
Địa chi: Nhóm tác giả Cự Môn do Th.s Toán học Lê Hổng Đức phụ trách
Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Nội
Điện thoại: (04) 7196671 hoặc 0893046689
E-mail: hoặc
Hà Nội, ngày 10 tháng 8 năm 2007
NHÓM Cự MÔN


CHƯƠNG I - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC V À
PHƯƠNG TR ÌN H LƯỢNG GIÁC
§1 CÁC HÀM SÔ LƯỢNG GIÁC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. HÀM TUẦN HOÀN

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là
dương T sao cho với mọi X 6 D ta có:
x -T e D v à x + T eD
f(x + T) = f(x)

hoàn nếu tồn tại một sô'
( 1)
( 2)

Số nhò nhất (nếu có) trong các sô' T có các tính chất trên gọi là
kỳ cơ
của hàm tuần hoàn f(x).
Chú
ý:(Các
dấu
hiệu
đề biếthàm
số f(x) không phái là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau bị vi phạm:
1. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
2. Tồn tại sô' a sao cho hàm sô' không xác định với X > a hoặc X < a.
3. Phương trình f(x) = k có nghiệm nhưng sô' nghiệm hữu hạn.
4. Phương trình f(x) = k có vô sô' nghiệm sắp thứ tự .. < xn < xn+ 1 < .. mà
x „ - x n+, |- * 0 hay 00.
2.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BIẾN s ố THựC

Các hàm sô' sau được gọi là
hàm số lượng giác):
1. Hàm sô' y = sinx, có tập xác định D = R.
2. Hàm sô' y = cosx, có tập xác định D = R.

cáchàm

3.

Hàm số y = tanx, có tập xác định D = R\( —+ kTt,

4.

Hàm sô' y= cotx, có tập xác định D = R\| k7T, k e z }.

k

lượng giác biế

z }.

3. HÀM SỐ y = sin x

Ta có:
■ Hàm sô' y = sinx là hàm sô' lẻ trên R.
■ Hàm sô' y = sinx tuần hoàn với chu kỳ 271.
Do dó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô' y = sinx trên R ta
chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô' trên đoạn [0 ,7ĩ], sau đó lấy đối xứng đồ thị
qua gốc o , ta được đồ thị trên đoạn [ - Tt, 7t], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu
được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 271, 471,...
5


Xét hàm số y = sinx trên [0,71].
Chiểu biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:
0
X
71
X
-7T
-n/20

n/2
1

y

0 n = ^>
u

n/2

n

>*1

y

0

-(r

"*■ 0

- 1 ^

\

1

o

\T

Ta có:
■ Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R.
■ Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kỳ 2n.
Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số V = cosx trên R ta
chỉ cần khảo sát và vẽ đo thị hàm số trên đoạn [0 ,7t], sau đó lấy đối xứng đồ thị
qua trục Oy, ta được đổ thị trên đoạn [ - 7Ĩ, 7t], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu
được sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 271, 471,...
Xét hàm sô' y = cosx trên [0,71].
Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:
X 0
n
n
X -71 -7t/2
0
71/2
71/2
1 y
«=>
^ 0 ^
y
-1
^ -1

Từ đây ta có nhận xét quan trọng là Icosx I < 1 với mọi X.
5. HÀM SỐ y = ta n x

Ta có:
■ Hàm sô' y = tanx là hàm số lẻ trên R\{ — + kTt, k

•
6

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kỳ TC.

z }.


Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sỏ y = tanx trên R ta chỉ cần
kháo sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn [0. — ). sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc o ,
z
ta được đổ thị trên đoạn

cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái và

sang phái theo trục hoành những đoạn có độ dài 7t, 27t,...
7t
Xét hàm sô y = tanx trên [0. -- ).
2
Chiều biến thiên: Dựa vào đường tròn lượng giác ta được:
0
X -Till
o
71/2
y

+00

y

0

7t/2
+CO

—co

Đồ thị:

Chú

ý:

->
7Ĩ
Trong hệ truc toa độ Oxy các đường thăng có phương trình X = — + kít, k e

2

z dược gọi là các đường

tiệm

cậncủa đổ thị hàm số y = tan

6. HÀM SỐ y = c o tx

Ta có:
■ Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên R\{ k7t, k e z }.
■ Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kỳ 7t.

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cotx trên R ta chỉ
cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trẽn đoạn (0, —], sau đó lấy đối xứng đồ thị qua
gốc o , ta được đồ thị trên đoạn [“

2

, —], cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được

2

sang trái và sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 7t, 2n,...
Xét hàm số y = cotx trên (0, —].
Chiều biến thiên: Dựa vào dường tròn lượng giác ta được:
0
X 0
71/2
X -71/2
4-00 .------“=í> V 0 ^
V
1 +00'^'
y
—* 0
J
"*-<*> 1

71/2

7

Đồ thi:

Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxv các đường thảng có phương trình X = krt, k e
z được gọi là các
đường
tiệm
cậncủa đồ thị hàm số y = cotx.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm sỏ sau:
a.

y = -v/3 - sin X

.

A. 0 .
1 - cos X
y =
•

B. [-1; 1],

c . (-00; 3].

D. R.

sin X

c . R\{ kĩt, k € z }.

A. R\{2k7t, k € ZỊ.
B. R\Ị — + 2kĩt, k
2

z Ị.

D. R\| — + kn, k e z ).
4

Bài 2: Tim tập xác định của các hàm số sau:
a.

y = 1 -sin x ■
1 + cos X

A. R\{71 + 2kĩt, k 6 Z).

c . R\(2k7ĩ, k e Z}.

B. R\{ - + 2k7t, k e Z |.

D. R\{ — + 2k7t, k € z I.
2

4

b. y = tan(2x + —).
A. R\ị - +k7t,k e Z).

c . R\( — + k —, k ẽ Z |.

3
2

B. R\{ — + krc, k e z Ị.

D. R\{ — + k - , k e Z}.
12

2

Bài 3: Xét tính chất chẵn - lẻ của các hàm số sau:
a. y = -2sinx.
c . Không chần, không lẻ.
B. Lẻ.
A. Chẵn.
b. y = 3sinx - 2.
c . Không chẵn, không lẻ.
B. Lẻ.
A. Chẵn.
8


c. V = cos (x - —).

4

A.. Chan.
d.

«V

/

B. Lẻ.

c . Không chẵn, không lẻ.

B. Lẻ.

c . Không chẩn, không lẻ.

= tan ịIxl.
I

A. Chẵn.

Bài 4: Xét tính chất chẩn - lé của các hàm số sau:
a. y = tanx - sin2x.

A. Chẩn.

B. Lé.

c . Không chẵn, không lẻ.

A . Chẩn.
B. Lẻ.
c. y = sinx.cos’x + tanx.

c , Không chẩn, không lẻ.

b. y = sinx - cosx.

A. Chẵn.

B. Lẻ.

c . Không chẵn, không lẻ.

Bài 5: Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a. y = 2cos(x + —) + 3.

T

5 và yMin
/Cd
>

y=

=
II

A. yMax
B. yMax

yMin

- sin(x’i -

= 4î

= 4l
y = 4sin 44.

A. yMax
B. yMax

+
-

1.
-1.

c . yMax '= 3 và yMin = 1.
D. yMax := 5 và yMin = 3.

1 -

1 và yMm
^*
1 và yMin — —1-

A. yMax = 0 và yMm= -4.
B- yMax = 1 và yMjn= 0.

c . yMax :=
D. yMax :=

4Ĩ
4Ĩ

và yMin =
và yM)n =

c.

y Max

= 4 và yMin = 0.

D-

y Max

= 4 và yMill = -4 .

Bài 6: Tim giá trị lớn nhất của biếu thức sin4x + cos4x.
A. 0.

B. 1.

c.

2.

r
2k
Bàl 7: Giá trị bé nhất của biểu thức sinx + sin X +

D. 1/2.
là:

V

A. - 2 .
B. V ã / 2 .
Bài 8: Tim tập giá trị của hàm số:
a. y = 2sin2x + 3.
Á. [0; 1],
B. [2 ; 3].
b. y = 1 - 2 I sin3x I.
A. [-1 ; 1],

B. [0:1].

c . -1 .

D. 0.

c . [- 2 ; 3],

D. [1 ; 5].

c.

[-1 ; 0 ],

D. [-1 ; 3],
9

c. y = 4cos2x - 3sin2x + 6.

A [3; 10].

B. [6; 10].

c. [- 1 ; 13].

D. [1; 11].

Bài 9: Các khắng định sau là đúng hav sai ?
a. Các hàm số V = sinx, y = cosx có cùng tập xác định.
A. Đúng.
B. Sai.
b. Các hàm số y = tanx. y = cotx có cùng tập xác định.
A. Đúng.
B. Sai.
c. Các hàm sô y = sinx, y = tanx là những hàm số lẻ.
A. Đúng.
B. Sai.
d. Các hàm số y = cosx, y = cotx là những hàm sô' chẩn.
A. Đúng.

B. Sai.

Bài 10: Các khẳng định sau là đúng hay sai ?
a. Các hàm số y = sinx, y = cosx cùng nghịch biến ưên khoảng
A. Đúng.
B. Sai.
b. Hàm sô' y = cosx nghịch biến trên khoảng (-2

n
2 ;T

;

A. Đúng.
B. Sai.
c. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = tanx đổng biến thì hàm số y = cotx
nghịch biến.
A.
Đúng.
B. Sai.
d. Trên mỗi khoảng hàm số y = siru đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch
biến.
A.
Đúng.
B. Sai.
e. Trên mỗi khoảng hàm số y = sin2jc dồng biến thi hàm sô y = coslr
nghịch biến.
A. Đúng.

B. Sai.


§2 PHIÍONG TRÌNH LIÍỌMG GIÁC

c o

BM

I. KĨẾN THỨC CẨN NHÓ
Bài toán 1: Phương trình sinx = m.
Phương pháp chung
Ta biện luận theo các bước sau:
Bước
1:Nếu Ị m I > 1 phương trình vô nghiệm.
Bước
N
2: ếu I m I < 1, khi đó đặt m = sina, ta được:
X= a + 2k7t

sinx = sina <=>

X- 71- a + 2k7t
hoặc

X

k e z,

= arcsinm + 2kĩt

X = 7t - arcsin m + 2krc

k e z,

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm.
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
■ sinx = 0 <=> X = kĩt, k € z.

■ sinx = 1 <=> X = — + 2k7ĩ, k e z.
2
.
,
n
sinx = -1 <=> X = - — + 2kn, k e z.
2
Bài toán 2: Phương trình cosx = m.
Phương pháp chung
Ta biện luận theo các bước sau:
Bước
ỉ .Nếu I m I > 1 phương trình vỏ nghiệm.
Bước
2.Nếu I m I <1, khi đó đật m = cosa, ta được:
cosx = cosa <=>

X= a + 2krc
X = - a + 2ktt

hoặc

keZ .

X=arccosm + 2k7i
X= -arc cos m + 2kn

k e z,

Trong cả hai trường hợp ta đếu kết luận phương trình có hai họ nghiệm.
Đặc biệt: Ta có các kết quả:

■ cosx = 0 <=> X = — + k7t, k e z.
2
“ cosx = 1 <=> X = 2k7t, k e z,
■ cosx = -1 <=> X =
n +, k e Z .


Bài toán 3: Phương trình tanx = m.
Phương phấp chung
Xét hai khả năng:
Khả năng
1:Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử a, khi
đó phương trình có dạng: tanx = tana <=> X = a + k7T, k e z.
Khá năng
2 :Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó
từ: tanx = m o X = arctanm + kn, k e z.
Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.
Bài toán 4: Phương trinh cotx = m.
Phương phấp chung
Xét hai khả năng:
Khả
năng7 : Nếu m được biểu diẻn qua cot cua góc đặc biệt, giả sử a , khi đó
phương trình có dạng : cotx = cota <=> X = a + k7i, k e Z .
Khả năng
2:Nếu m không biêu diên được qua cot của góc đặc biệt, khi đó
từ: cotx = m <=> X = arccotm + kft, k e Z .
Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 11: Giải các phương trình sau (với k e Z):
a.

c.

X =

D.

X

+

6

= —

6

lOkrc và

X

=

X =

+ 10kn và

X

=

+ 10kn, k e Z .
+ lOktt, k e Z .

6
+

6
6

10k7t, k e z.
+ lOkĩt, k e Z .

Bài 12: Giải các phương trình sau:
a. cos — = cos
2

12

kít
2
kn
2

Vĩ

.

II
X

= - 1 1 ^ + 10k7t và
6

I
10
3n
5

+

X

_

II
X

B.

_

c. X= — + — , X=
á

sin4x = sin—.
5
71
k7T
71 kn

A. x= — + — , X = — _l----2
20
2
5
71
k7i
k7ĩ
n
B. X —--- + — ,x = — + — .
20
10
2
2
(x + KÌ ——1
sin
2■
5 ;
1 1Tí
2971
A. X = — - + 10k7ĩ và X
6
6

71 kĩt
+— .
5
2
kn
71
+— .

2
10

—

—


A.
B.
.
b. cos
A.

\ = ± 4 Ĩ + kĩt, k e z.
= ±2 V2 + krc, k e z.

X

i

n
18

X+ —

X

c . X = ± V2 + 4krc, k e z.
D. X = ±2 V2 + 4k7t, k 6 z.

2
=5 ■
;

= ± arccos------- ^ + 2kn.
5 18

B. x = ±arccos — +
+2k7t.
5 18
với k e z.

c.

X

= ± arccos------- — + k7t.
2
18

D. x = ± arccos- + — +krt.
2
18

Bìii 13: Tim nghiệm của các phương trình sau trong khoảng tiã cho:
a.

sin2x = - — với 0 < X < 71.
2

A „ _ 1 l ĩ t . . ..
771
A.
X, = — — và X, = — .

c . X, = — — và Xị = -----

D
_ llrc .
7tc
B. X| = —— và X, = — .

„
117t .
D. X, = —— vàX, =
12

12

2

12

b.

12

12

„

1 Ỉ 7t

ln

12

12

771
.
12

V3
cos(x - 5) = —— với -7t < X < 71.
2
A. X, =5D
B.

X,

117Ĩ

và x2 =5-

13n

6
_c
l [7t

c 137t
=5+—
— và- x2 =5-

f,

_ c llTT
' 6

c .

X, = 5 — —

rk

1 lít

1371

và X j = 5 -t —

.

L 1371

D. X, =5+—— và x2 =5 + —'
6
6

Bài 14: Giải các phương trình sau:

- _ _ 3ti
a. tan3x = tan —- .

3ĩt . .
— + k7T, k
5

_

ez.

— + k7i, k 6 z.
5
15") = 5.
-15° + arctan5 + k 180°.
15° + arctanõ + k180".
với k 6 z.
c. tan(2x - 1) = yfĩ

371 kíX
rw
c . x= — + — , k e Z .
5
3
n
kTi
D. X = — + — , k e z.
5
3
c . X = -15° + arctan5 + k-360".

D. X = 15" + arctan5 + k3f'0".


A. X= -- + — + k7i, k e
2

6

z.

c. x = - + - + — ,k e Z
2

„
D.

X

, k € z.

c.

X=

, k e z.

D.

B. x = 1+ — + kn, k e
6

z.

6

2

. 7t kTt
= 1 + — + •— , k e z.
6

2

Bài 15:Giải các phương trình sau:
n
cot2x = cotí~3,

1

A. X= - - +
6

1

k7ĩ

T
lí7Ĩ

B. X = —“ + —

0
7

í*\

ị

u

;

cot - + 20°

1
6
1
3

-V3.

A. X= -20Ơ' + k360", k 6 z.
B. x = -20ơ’+ k720",k e

c . X= -2Ơ1+ k360°, k e z .
D. x = -2Ơ’+ k720",ke z.

z.

c. C0t3x = ta n — .

5

.

_ 2n

kTt .„

A. X= ——+ ——, k 6 z.
5
3

c.

T>

..
_ 71 k7t, '
D. X= — + — , k e z.

_ 271

kn

B. x = — + — , k ẽ Z .
5
4

x= — +
30

30

—,k-ạ z.
.

4

Bài 16: Giải các phương trình sau:
271
= cos2x.
a. sin XJ
. _ 7 ji 2kJt , _ 7 ji .. , „
A. X= ——+ —— và X= —- + 2 k 7 i,k e Z .
18
3
6

„B.

771 2k7t

_ 7tc

_.

rj

X= —— + —— và X= — + 2krc, k € z.
18

3

c. X=—
—+
18

D. X= — +
18

'3

6

2^^

3

6

và X- - —

và X= - — + 2kn, k e
6

+2k7t, k e z.

z.

b. tan(2x + 45°).tan( 180° - - ) = 1.
2

A. X= 9ơ’+ kl8ơ’,k e z.
B. X= -9ơ’+ kl8ơ’,k € z.
14

c . X = 9ơ’+ kl20°, k e z
D. X= -9Ơ' + kl20°,k €

z.


c.

cos2x - sirrx = 0.

A. X= ± - arcsin Ạ + kn, k e z.
3

2

c.

X=±

z.

- arcsin - + kn, k
2
3

B. X= ± - arccos-j-+ kn, k e z.
D. X= ± —arccos- + kn, e z.
3
2
2
3
Bài 17: Tim nghiệm của các phương trình sau trên khoang đã cho:
a. tan(2x - 15") = 1 với -180" < X < 90".
=-150’
B. x = -£ ơ ’.
1 ,. n
=
với
< X < 0.
V3
2
4n ,
Jt
A. X, = - —- và X-, = —.
9
9
4n ,
7t
Tỉ
_ —
4Tt
B. X.I =
— và X-,3 = ——
- —.
2

9
9

c. X

D. Cả A, B, c

4n
71
9
9
4.T n
D.
D. X,X = —• _ 71và
Xi =4n
——-. _
9
9

c. X

n

Bài 18: Tính các góc của tam giác ABC, biết AB = 4 Ĩ cm. AC = V3 cm và đường
AH = lem.
A.  * 100", B =45" và C * 35" hoặc  * 10", B = 135" và C *35".
B.  * 105", B = 40" và C * 35" hoặc  * 5",

B

=

140" ' à

C* 35".

c.

B

=

125" và

C* 35".

D.  * 80", B = 65" và C * 35" hoặc  * 30",
B
Bài 19: Tim tập xác định của mỗi hàm sô sau (với k e Z):
1 - cos X
a. y =
2 sin X+ V2

=

115" và

C* 35".

 * 90", B = 55" và C * 35" hoặc  * 20",

A. R \|± — +2k7t|.
4

c . R\; - + 2 kn, — + 2kn Ị.

B. R\{±— +2kn).
4
sin(x - 2)
b. y =
cos 2x - cos X
kn
A. R\{ — Ị, với k 6 z.
3
B. R\ị k n }, với k e z.
tanx
c. y =
1+ tanx

D. R\{ —— +2k7T, — +2k7t|.
4
4

4

c . R\j —

4

Ị, với k e z.

D. R\Ị 2kn Ị, với k e z.

A. R\{ — + k7t, — + kĩt I.
2
4

c . R\| — + 2kn, - — +2k7t|.

B. R\{ — + kn,
2

D. R\( - + 2kn, - + 2kn}.
2
4

4

+ kĩt}.

2

4

15


d. y =
v3cot2x +1
A. R\{ — , - — + — }.

c . R\{ ——, —— +kn|.

Ỉ3.
B. K\
R\| ---*?,, - T+ + ---“ )•.
2 6
2

KTt}.
D. K
R \\|--|^ , —
Ị ++k7t}.

2

6

2

2

2

6

6

Bài 20: Sô' giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° bắc trong
ngày thứ t của một nãm không nhuận được cho bởi hàm số:

d(t) = 3sin - ^ - ( t -8 0 ) + 12 với t 6 z và 0 < t < 365.
182
a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt tròi vào ngày nào trong
năm ?
A. 262.
B. 266.
c . 281.
D. 292.
b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời
nhất ?
A. 365.
B. 353.
c . 235.
D. 153.
c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt
trời nhất ?
A. 217.

B. 117.

c.

271.

D. 171.

§3 MỘT S ố DẠN® PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC BƠN GIẢN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Dang 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Phương pháp áp dụng
Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điểu kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t =
sinx hoặc t = cosx, điều kiện 111 < 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.
Dang 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Phương pháp áp dụng
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:
asinx + bcosx = c.
(1)
Đế giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách
Bước

16

T
1: hực hiện theo các bước:
1.Kiếm tra:
1. Nếu a2 + b2 < c2 phương trình vô nghiệm.
2. Nếu a2 + b2> c2, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta
thực hiện tiếp bước 2.


bước

Cách
Bước
Bước

2.Chia hai vế phương trình (1) cho va + b2
a

.
b
----- . r sinx + —= = = = rCOSX -■ ■=
2,. / ■> ,2
Va + b
Va+b
Va

. ta được:
c
= = •
2 ,2
+b

Vì ( — :d
)2 + ( ——ÌL— )2 = 1 nén tồn tại góc a .¿ao cho
V a^ T b 2
V72 + b 2
a
b
—r=
— - = cos a, .
= sin a .
Va2 -+ b 2
Va2 + b 2
Khi dó phương trình (1) có dạng:
... . „ .........,
_..
c
... ..

,
c
sinx.cosa + sinaxosx =-■= = = =.— <=> sin(x + a) =—= = = .
/ 7 ;2
Va + b
Va + b
Đáy !à phương trình cơ bản của hàm số sin.
2:Thực hiện theo các bước:
!.Với co s— = 0 <=> X = 71 + 2krc, kiểm tra trưc nếp vào phương trình
2.Với cos — ? :0 o
2

x íi

+ 2k7T, đặt t = tan
2

. suy ra

_ 2t
_ 1 -t2
smx = — —- va cosx = — — .
1+ t 2
1+ t 2
Khi dó phưtmg trình (1) có dạng:
a. —
+ b. — - = c « íc + b)t2- 2at + c - b = 0. (2)
1+ t 2
1+ t 2
Bước 3. Giải phương trình (2) theo t.

Cách 3; Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong
(Nhận xéí quan trọng:
1. Cách 1 thường được sử dung với các bải toán yêu cầu giải phương trinh
và tìm điều kiện cùa tham số đê phương .'ình có nghiệm, vô nghiệm
hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.
2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và
tim điều kiện cùa tham sô’đê’ phương trình có nghiệm thuộc tập D với D c
[0 ,2 4
3. Cách 3 thường được sử dụng vái các bài toán yêu cầu biện luật! theo tham
sô đê phương trinh k có nghiệm thuộc tâp D với Dn[0, 2ti] 0 .
4. Từ cách giài
\ta có được kết quả sau:
-V a2 + b2 < asinx + bcosx < Va2 +b2
17


kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhát và nhỏ nhât 'ủa các hàm
,

_

.

,

_

a .s in X + b .co s X

-

,

,

, .

i

.

sổ dạng y = a.sinx + b.cosx, V = — ------— ----- và phtrơng p h áp đanh

c. sin X+ d. cos X
giá cho một số phương trình lượng giác.
Dạng đặc biệt: Ta có các kết quá:
■ sinx + cosx = 0 <=> X = - — + kTt, k 6 z.
4

sinx - cosx = 0 <=> x = — + kn, k e z.
4
Dang 3: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
Phương pháp áp dụng
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:
asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d.
(1)
Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
C á ch l: Thực hiện theo các bước:
■

I .Với cosx = 0 <=> X = - + k7T, k € z.

Bước

Khi đó phương trình (1) có dạng a = d.
Nếu a = d, thì (1) nhận X = — + kíĩ làm nghiệm.
Nếu a * d, thì (1) không nhận X = - + krt làm nghiệm.
V
2. ới cosx * 0 <=> X * — + kĩt, k e z.

Bước

Bước
Cách

2

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos2x * 0, ta được
atan2x + btanx + c = d(l + tan2x)
Đạt t = tanx, phương trình có dạng:
(a - d)t2 + bt + c - d = 0
G
3. iải phương trình (2) theo t
2:Sử dụng các công thức:

•2

l-co s2 x
2

_

2

(2)

l+cos2x V ..
_ 1 •
và sinx.cosx = 4- sin2x
2
2

sin X = — —— , cos X = — ——
ta được:

b.sin2x + (c - a)cos2x = d - c - a.
(3)
Đây là phương trình bậc nhất của sin và cos.
Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm
điều kiện của tham sô' để phương trình có nghiệm thuộc tập D.
2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và
tìm điều kiện của tham số đê phương trình có nghiệm, vô nghiêm hoặc giải
và biện luận phương trình theo tham số.
18


II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 21: Giii các phương trình sau:
X =

B.

X

± — + 2krc, k
6

= ± — +k7T.
6

k

N.

6

€ N.

V3 tan3x - 3 = 0.
n kTĩ ,
A. X =
+ — ,k € N.
9
9
n k7t 1 KI
+ — , k e N.
9

3

c.

(sinx + 1)(2cos2x A. X = — + — , k
2
3

e

X

= ± — +2k7i, k 6 N.
3

D.

X

= ± — + k7t, k
3

•o

71

e

N.

k7i

+ —- ,
3
9
71 k n
-----ĩ
3
3

X

= - — + — , k e N.

= 0.
r,

c.

N.
KI

= 2krc, k e N.

n
3

8

kn .

D. Cả A, B, c.

c.

B. X = — + 2k7i, k e N.
3
h. 2 co s 2x + sinx + 1 = 0 .

X = ——

3

+2k7i, k e N.

D. Cả A, B, c.

2kn, k e N.

c.

X

= krc, k e N.

B. X= - — + 2kĩt, k e N.

D.

X

= — + 2kK, k e N.
2

c.

X = — +k7i và X = — + k n .

A.

X=

2

c.

X

c. x =

D
nk7.t 1
B. x= — + —- , k e N
8
3
Bài 22: Giii các phương trình sau:
a. 2cos2x - 3cosx + 1 = 0 .
A.

c.

II

A.

•Cd
*
II

h.

2ccsx - V3 = 0.

X

a.

y/ĩ :an2x - (1 + -y/3 )tanx + 1 = 0 .

A.

X = — + k7T v à X = — + k7T.

B.

X = — +2k7T v à X = — + 2 k 7 t.

4

6

3

6

D. X = — +2k7T v à X = — + 2 k 7 t.
4
6
4
3
Bài 23: Giải các phương trinh sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc
máy tính bo túi để tính gần đúng nghiệm của chúng.

/

\

a. 3co>2x + lOsinx + 1 = 0 trên - —; — .
I 2
A.

X«

-0,34.

B.

X

* -0,32.

c.

x*-0,26.

D. x * -0,20.
19


/
b. 4cos2x + 3 = 0 trên 10;
l 2.

c.

x ~ l,1 2 .

A. X » 1,2 và X 35 2,68.

c.

X 35 0,2 v à X 35

2,68.

B.

D,

X 5= 0.2 v à X 35

1,68.

A. X 35 0,21.
B. X =E 1,21.
c. cot2x - 3cotx - 1 0 = 0 trên(0; 7t).

X

« 1,2 v à

X 35

1,6 8 .
71

d. 5 - 3tan3x = 0 trên

D. x*0,12.

7t

6 6
’

A. X 35 -0,34.
B. X * -0,24.
Bài 24; Giải các phương trình sau:
a. 3cosx + 4sinx = -5.
A.

e

N với — = c o s a .

B. X = 7C+ a + 2k7t, k

e

3
N với — = sina.

71

D.

X

+ krc, X =

—

35

0,34.

3

+ a + 2k7t, k

X

=

c . X 350,24.

3
c . X = n - a + 2kĩt, k € N với — = cosa.
*5

D. X = 71 - a + 2kn, k e N với —= sina.
b. 2sin2x - 2cos2x = V2

1371

24
24
c. 5sin2x - 6cos2x = 13.

A. X = k7ĩ, k e N.
B. X = 2k7t, k e N.

+ kTt.

_

II

+ k7t, X =

X

571
----

12
*c

=

11

X

571
+ k7t.

•

12

13tĩ

X

571
X — ---- + k r t ,x =

c.

X

n

6
6
7t
2n
+ k7ĩ, X = —
3
3

= 7t + 2k7i, k e N.

D. Vô nghiệm.
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a. a.sinx + b.cosx (a, b là hằng số, a2 + b2 * 0).

A. PM#X= Va + b và PMm= -V a + b .
B.
+ b2
b 2 và PMjn
in = -V
- Vã
B- PMaxax = Va +
a +b2.
c. PMax= Va2 +b và PMin= -V a 2 + b.
P\1ax 20

V/a2 + b 2

vàPMin = -V a 2 + b2 .


b.

sin2x + sinx.cosx + 3cos2x.

. ,V 5 _
. V5
2
~T'
V3 ,
£
?
2
Bài 26: Giải các phương trình sau:
.

«

V3 v „
- s
\à Q * = 2 2
/7
£
D. C W =2+^J- vàQ ^= 22

c.

QVIk= 2+

a. 2sin2x + 3 -/3 sinx.cosx - cos2x = 4.
A.

X

= — +k7t, k e N.
4

B.

X

=

c.

X

=

7t

—

3

+ ktt, k e N.

kn,k e N.

D. Vô

n g h iệ m .

b. 3sin2x + 4sin2x + (8 V3 - 9)cos2x = 0.
A.

X

= — + ktt và X = arctan( V3 - Ệ ) + k7t, k e N.
3
3
TÍ

8

B. x = - ^ + k n v à x = arctan( V3 - - ) +
k 6 N.
3
3
7ĩ
8
c . x = - - 7-+ k ĩtv à x = arctan( V3 + - ) + k7t, k e N.
3
3
7t
g
D. X = — + k7ĩ vàX =arctaní V3 + - ) + k7t, k e N.

3
3
c.

siirx

+ sin2x - 2cos2x =Ị .
2

A.

X

= - — + k7i và
4

B.

X

= — +kn và
4

c.

X

= — +k7t và X = arctan5 + k7t, k e N.
4

D.

X

X

X

= arctan(-5) + kít, k

= arctan(-5) + k7t, k

N.
N.

+k7T và X = arctan5 + k7t, k e N.
4
Bài 27: Giải các phương trình sau (với k 6 N):
a. cosxcos5x = cos2xcos4x.
D
k7ĩ .
c. X _= —-k7t
B. X =_ —
A. X = k7t.
3
2
b. Cơs5xsin4x = cos3xsin2x.
A.
_

B.

=

kĩt

2

kĩt

X = —- .

4

c.

X = k7t.
X = —

_
D.

,

và

n

X = —

14

+

kĩi

7

Vô nghiệm.
_ .
7t
k7t .
D. X = — + — - v à
14
2

X

kn
= — .
7
21


Bài 28: Giải các phương trình sau (với k 6 N):
a. sin2x + sin4x = sinốx.
.
kn „
k7ĩ
A. X = —— và X = —- .

2
3
„
kĩt
kĩt
B. X = —— và X — ——.
2
5
b. sinx + sin2x = cosx + cos2x.
.
7t 2k7i
A. X —— + ——• và X = 71+ k7t.
6
3

B. X = — +

——— v à X = 7Ĩ + 2kĩt.
6
3
Bài 29: Giải các phương trình sau (với k
a. sin24x + sin23x = sin22x + sin2x.
.
kn „
k7t
A. X = — và X = ——
2
3
„
kĩt „

ktr

B.

X

= —-

và X

2
b. cos2x + cos22x +
.
7t
A. X = — + kĩt.
2
n
—-

= —-

.

cos23x +

^
c . X=

kĩ,
k7i

và X = ——
3
5

D. Vô nghiệm.
„

n

c . X = — +2k7t và X = —- +2k7t.

6

6

D. Vó nghiệm.
e N):
_
kn v
k7t
c . X = —— và X = ——
3
5

D. Vô nghiệm.

cos24x =
It k i
c . X = ——+ ——
4

2

k ĩt

D. Cả A, B, c.
10
5
Bài 30: Giải các phương trình sau (với k € N):
B.

X

=

+—

a. tan -7 = tanx.

2

A. X = kĩt.
B. X = 2k7t.
b. tan(2x + 10") + cotx = 0.
A.

X

= -100" + kl80".

B.

X

A.

X = — + k7t v à X =

c . X= 7t + 2k7t.
c.

X

D. Cả A, B, c .

= -10" + kl80".

= 100" + k 180".
D. X = 10" + k 180".
Bài 31:Giài các phương trình sau (với k 6 N):
a. (1 - tanx)(l + sin2x) = 1 + tanx.
+ k 7 t.

B. X = — + k7t v à X = — + k7t.
6
4
b. tanx + tan2x = sin3x.cosx.
A. X = kTT.
22

B. x = ^ .

2

c.

X =

D.

X = k7i v à X =

c.

+ k7t v à X =

3

4

+kn.

+ k7t.

D. X=

kn


c.

tan.x + cot2x = 2cot4x.

.

.

2n

A. X =kn và X = — +k7i.
3

n + kn và X = 2 71 + k7i.
c. X= —
3

3

_
71
B. X = — + k7ĩ và X = kJt.

D ' Vỏ nghiệm.

Bai 32: Giúi các phương trình sau (với k e N):
a. cos:x - 3siirx = 0.
71

A. X = ± — + kn.

c . X = ± — + KTt.

6

3

n

B. X = ± — + krt.

D. X = — + k7i và X =
6
3

4
h.

(tar.x + cotx)2 - (tanx + cotx) = 2.
n

A. X = — + kn.

c . X = — + k7l.
3

6

*

B. X= — + krt.
4
c.

D. Cả A, B, c.

sin.x + sin2— = 0,5.
2

•Cơ

A. X = arctan — + kĩt.
3

,

1

c . X = arctan— + k7i.
2

II
^r

D. Cả A, B, c.
Bài 33: Tìm các nghiệm cùa mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho.
a. 2sir.:x + 3cosx = 2, 0" < X < 360".

A. X= 30" và X = 120".

c.

B. X= 90" và X = 120".

D. Vỏ nghiệm.

X

= 90" và

X

= 270".

h. tam + 2cotx = 3, 180" < X < 360".

A.

X=

B.

X=

205" và

X *

213,435".

c . X = 215" và X * 233,435".

220" và X * 223.435".
D. X = 225" và

Bài 34: Giái các phương trình sau (với k 6 N):

X

* 243,435".

a. 3sir.:x - sin2x - cos2x = 0.
.
71
1
A. X= — + kn và X= arctan(-T ) + k7T.
4
3

B.

X

c.

X = ± — + kn.

= —— + kĩt và X = arctan ị + kĩĩ.
4
3
4

D. Vò nghiệm.
23

b. 3sirr2x - sin2x.cos2x - 4cos22x = 2.
A. X = arctan2 + — và X = arctan(-3) + — , k e N.
1
T,
_
kĩt „
,
kít .
..

B. X = arctan(-21 + —— và X = arctan3 + — , k e IN.
2

Ẩm0

á~\
c.

X = arctan(-2) +

k7T ,
k7t .
—
—và X =arctan(-3)_ +—
,k e
2

2

IN.

D. X = arctan2 + — và X = arctan3 + — •, k e N.
2

c.

2

2sin2x + (3 + V3 (sinx.cosx + ( V.3 - 1)cos2x = -1.
t
71
c. X = -‘■ị7.[ . +. kn, X =- 7—
+.krt.
A. X = -7 + k7i,
K71, X = — + k7t.
6

B. X = — + kn, X = - — + kn.
6
4

4

6

4

D. Vô nghiệm.

Bài 35; Giải các phương trình sau (với k e N):
a. slnx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x.
A

2 71
3

A. X = - 7 - + 2k7t.

^
c.

71

kTl

8

2

B. x = - — +2k7i.
3

D. Cả A. B. c.

X= - + —

sinx = 4 Ĩ sin5x -- cosx.
n
krc

7t
71
ktx
n kn
A
A. X =: —• + — ., X = — + ——. c. X = ——+ — , X = ""
16
2
8
16
2
8
2
7t
kTt
71 kTt
B. X =
, X = — + — . D. Vô nghiệm.
: 16 + T
8
3
Bài 36; Giải các phương trình sau (với k e N):
1
1
2
a.
+ ----sin2x Cơs2x sin4x
2n
+ 2k7T.
A. X = — + 2k7ĩ.

c. X = —
3
3
3 . X = k7T.

D. Vô nghiệm.

cos2x
sinx + cosx = ----- -—— .
1 - sin2x

24

371
X = — + 2kĩt.
2

A. X = - — + k7t.
4

c.

B. X = 2k7t.

D. Cả A, B, c.

3


3ài 3Ịl Ciiái ( ác phương trình sau (với k G N):

. ,
. , _ 1
a. sin2x + sin X = —.
A
A.

,,

___ 1 kn
= arctan — + —
2
2
D. Cả A, B, c .

_ 1
"
1
k7ĩ
X = - a r e la n - + — -

2

2

c.

2

B. X = arctan2 + k7Ị.
b. 2siirx + .vsinxcosx + cos2x = 0.

A

A.

X

71

X

1

= — + kn và X = arctan(- —) + k7T.
4
2

D
. _
71 I
s
__
1
K.
X = — - + kĩĩ và X = arctan — + k7i.
4
2

c . X = - — + kn và X = arctan (--r ) + k7ĩ.

4

2
D. Vó nghiệm.
Bài 3C. Ciiải các phương trình sau (với k e N):
l + cos2x
sin2x
a.
cosx
1-c o s2 x

A.

X

= —+ 2kn, x =
4A

—— +
4

2kn.

c.

B. X = k n .
, sin ' X + eos.’ X
b. --— ----- —— = cos2x.
2 eos X - sin X

X= — +
^

2k7i, X

=

571

f 2k7t.

D. Vô nghiệm.

A. Vô nghiệm.
B.

7t
X = —

+ k7T và X = arctan(-

4

~)

) + k7T.

c . X = —— + k7ĩ và X = arctan — + kTt.

4

2

D. X = — + k7i và X = arctan — + kn.
4
2
Bài 3*: Một vật nặng treo bởi một chiếc lò XO, chuyển động lên xuống qua vị
trí câr bằng (hình vẽ trong sgk). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân băng ở
thời đem t giây được tính theo công thức h = I d I trong đó:
d = 5sin6t - 4cos6t,
với d lược tính băng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí
càn bàig, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi
a. ơ vào thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân băng ?
A. t * 0,11 hoặc t ~ 0,64.

c . t * 0,11 hoặc t * 0,15.

B. t

D. Vô nghiệm.

0.15 hoặc t

0,64.

25