CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG - THẦY QUANG BABY - TIẾT 5

KHÓA HỌC HÌNH OXY TRÊN SCHOOLBUS.VN – BUỔI 10
(CHỦ NHẬT HÀNG TUẦN LÚC 22H )

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
KỸ THUẬT TRÙNG TIA (GÓC)

BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1:
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 2R, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC
đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm, OA cắt BC tại H. Đường phân giác của góc OCB cắt
OB tại E. Kẻ đường phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác OBC, cắt tia CO tại F. Chứng minh
rằng ba điểm H, E, F thẳng hàng.
Lời giải:

cos AOB 

OB
R 1

 
AOB  600
OA 2 R 2

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 1


AB, AC là các tiếp tuyến của (O)



AOB  
AOC


  600 .
OF  FOy
Do đó: B
Ta có: F là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc H của tam giác OBH => HF là tia phân giác của
góc OHB.
Ta còn có:

Mà OH 

EO OC

( CE là tia phân giác của góc OCB)
EB BC
OC
BC
EO OH
, HB 

nên
2
2
EB HB

Từ đó cho ta HE là đường phân giác của tam giác OBH
Vậy ba điểm H, E, F thẳng hàng.

Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D,
trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Vẽ BH vuông góc với AD tại H, CK vuông
góc với AE tai K. gọi N là giao điểm của BH và CK . Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng
hàng.
Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC, 
ABC  
ACB
  1800
Mà 
ABC  ABD

ACB  
ACE  1800
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 2


Do đó 
ABD  
ACE
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:
AB = AC (gt), BD = CE (gt), 
ABD  
ACE

  CAE


Do đó:  ABD  ACE (c.g.c)  BAD
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC, BM = CM ( M là trung điểm BC, AM (cạnh chung))

  CAM

Do đó  ABM  ACM (c.g.c)  BAM
  BAD
  BAM
  CAE
  CAM
  EAM

Ta có: DAM
=> AM là tia phân giác của góc DAE (1)
  CAK

AHB  900 ) và  KAC ( 
AKC  900 ) có AB = AC, BAH
Xét  HAB( 
Do đó  HAB  KAC (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = AK
Xét  HAN ( 
AHN  900 ) và  KAN ( 
AKN  900 ) có: AN (cạnh chung), AH = AK.
Do đó  HAN  KAN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
  KAN
  AN là tia phân giác của góc DAE
Do đó HAN

(2)

Từ (1) và (2) có hai tia AM,AN trùng nhau.
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài 3:
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H. Vẽ CI vuông góc với OA tại I. Gọi M là trung điểm BC.
Chứng minh rằng ba điểm M, I, F thẳng hàng.
Lời giải:

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 3


OB = OC (= R) => tam giác OBC cân tại O.
Tam giác OBC cân tại O, OM là đường trung tuyến
=> OM là đường cao, đường phân giác.
  MOC
   1 BOC

Nên BAC


 2



  OCM

  900
Ta có: BAC
ACF  MOC

Nên 
ACF  OCM
  OIC
  900 nên nội tiếp
Tứ giác OMIC có : OMC
  OIM

 OCM

Tứ giác AFIC có : AF
C
AIC  900 nên nội tiếp

 AIF
ACF
  OIM

Do vậy  AIF
=> Hai tia IM, IF trùng nhau
Vậy ba điểm M, I, F thẳng hàng.

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 4

Bài 4:
Cô hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy E, trên tia đối của tia DA lấy F sao cho À =
BE. Vẽ EH  BF tại H. Trên tia đối của tia EH lấy điểm K sao cho EK = BF.
Chứng minh rằng ba điểm A, C, K thẳng hàng.
Lời giải:

Vẽ KM  AB tại M
Gọi N là giao điểm của EF và KM
Tứ giác ABEF có:
BE // AF, BE = AF nên là hình bình hành.

Mà B
AF  900 . Do đó tứ giác ABEF là hình chữ nhật
F  900
BE
  900
 BEN

  MBE
  BEN
  900
Tứ giác BMNE có BMN
 Tứ giác BMNE là hình chữ nhật
  900
 MNE
  900
 ENK

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 5



  900 , BF = EK (gt),
Xét tam giác EBF B
EF  900 và tam giác NEK ENK









  NEK
 (cùng phụ với goác BEH)
EBF
Do đó  EBF  NEK (cạnh huyền – góc nhọn) => BE = EN, EF = NK
Hình chữ nhật BMNE có BE = EN
 Tứ giác BMNE là hình vuông
 MB = MN
Mặt khác AB = NK (= EF). Ta có MA = MB + AB = MN + NK = M
Tam giác MAK vuông tại M có MA = MK
 tam giác MAK vuông cân tại M
  450 (1)
 MAK
  450 (tứ giác ABCD là hình vuông) (2)
Mặt khác BAC

Từ (1), (2) có hai tia Ac, AK trùng nhau
Vậy ba điểm A, C, K thẳng hàng.

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 6


Thầy Quang Baby – Thayquang.
Thayquang.edu.vn

Page 7