giai pt hpt THPT 2016 2015 va DH cac nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (362.01 KB, 44 trang )
Trường THPT Trung Phú
THPT Quốc Gia_2016
1) Giải phương trình
trang 1
3 log ( 2 + x + 2 − x ) + 2 log 1 ( 2 + x + 2 − x ). log 3 9 x + 1 − log 1
3
3
2 + x ≥ 0
2 − x ≥ 0 x ≥ −2
⇒ x ≤ 2 ⇒ 0 < x ≤ 2
ĐK: 3
9 x > 0
x > 0
x > 0
1
−n
an = a
1
Áp dụng công thức: log a n x = n log a x
n
log a x = n log a x
log ( x. y ) = log x + log y
a
a
a
( )
2
3
2
2
x = 0
(
(*)
) (
)
2
2
2
(*) ⇔ 3 log 3 ( 2 + x + 2 − x ) + 2 log 3−1 ( 2 + x + 2 − x ). log 3 9 + log 3 x + 1 − log 3−1 x = 0
(
)
2
⇔ 3 log ( 2 + x + 2 − x ) + 2 log 3 ( 2 + x + 2 − x ). log 3 32 + 2 log 3 x + 1 − 1 log 3 x = 0
−1
−1
2
2
⇔ 3 log 3 ( 2 + x + 2 − x ) − 2 log 3 ( 2 + x + 2 − x ).( 2 log 3 3 + 2 log 3 x ) + (1 + log 3 x ) = 0
2
3
⇔ 3 log 32 ( 2 + x + 2 − x ) − 2 log 3 ( 2 + x + 2 − x ).( 2 + 2 log 3 x ) + (1 + log 3 x ) 2 = 0
⇔ 3 log 32 ( 2 + x + 2 − x ) − 4 log 3 ( 2 + x + 2 − x ).(1 + log 3 x ) + (1 + log 3 x ) 2 = 0 (**)
a = log 3 ( 2 + x + 2 − x )
Đặt
b = 1 + log 3 x
(**) ⇔ 3a 2 − 4b.a + b 2 = 0
Cách 1:
Tính ∆' = ( − 2b ) 2 − 3.b 2 = 4b 2 − 3b 2 = b 2
− ( −2b) + b
2b + b
a=
a = b
a =
a = b
3
3
⇒
⇒
⇒
⇒
b
a =
3a = b
a = 2b − b
a = − ( −2b) − b
3
3
3
Cách 2: thêm bớt
a − b = 0
a = b
⇔ 3a 2 − 3b.a − ba + b 2 = 0 ⇔ 3a(a − b) − b( a − b) = 0 ⇔ (a − b)( 3a − b ) = 0 ⇒
⇒
3a − b = 0 3a = b
TH1: a=b ⇔ log 3 ( 2 + x + 2 − x ) =1+ log 3 x
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
1 = log a a
Áp dụng công thức: log a x + log a y = log a ( x. y )
log x = log y ⇔ x = y
a
a
⇔ log 3 ( 2 + x + 2 − x ) = log 3 3 + log 3 x
trang 2
⇔ log 3 ( 2 + x + 2 − x ) = log 3 (3 x)
⇔
⇒
(
2 + x + 2 − x =3x
)
b)
2+ x + 2− x
Áp dụng
(
a+
2
= ( 3x )
2
= a + b + 2 a. b
2
⇔ 2 + x + 2 − x + 2 2 + x. 2 − x = 9x2
⇔ 2 (2 + x )(2 − x) = 9 x 2 − 4
⇔
4(4 − x 2 ) = 9 x 2 − 4
Áp dụng:
B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B
2
2
x ≤ − 3 ∨ x ≥ 3
2
2
x≤− ∨ x≥
3
3
2
2
2
x = 0
9 x − 4 ≥ 0
2
x ≤ − ∨ x ≥
⇔
⇔
⇔
⇔
3
3
x =0
2
4(4 − x 2 ) = 9 x 2 − 4
4
2
81x − 68 x = 0
x = 2 17
68
x 2 =
9
81
x = − 2 17
9
2 17
x =
9
2 17
⇒
so với đk 0 < x ≤ 2 ta được nghiệm x =
9
2 17
x = −
9
TH2: 3a=b ⇔ 3 log 3 ( 2 + x + 2 − x ) = 1+ log 3 x
(
)
⇔ log 3 ( 2 + x + 2 − x ) 3 = log 3 3 + log 3 x
⇔ log3 ( 2 + x + 2 − x )3 = log 3 (3 x)
⇔ ( 2 + x + 2 − x )3 = 3 x
(***)
(0 < x ≤ 2)
2+ x + 2− x
1
1
−
f’(x)=
2+ x
2−x
1
1
−
Cho f’(x)=0 ⇒
=0
2+ x
2− x
⇒ 2 − x − 2 + x = 0 ⇒ 2 − x = 2 + x ⇒ 2 + x = 2 − x ⇒ x = 0 (loại)
Đặt f(x)=
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
Bảng biến thiên:
x
-∞
0
f’(x)
+
0
f(x)
2 2
trang 3
2
+∞
2
2 ≤ f(x) ≤ 2 2
⇒ 23 ≤ f 3 ( x) ≤ 2 2
⇒ 8 ≤ f 3 ( x) ≤ 16 2
(
)
3
0 < x ≤ 2 ⇒ 3x ≤ 6
⇒ f 3 ( x) <3x ⇒ ( 2 + x + 2 − x )3 < 3 x
⇒ pt (***) vô nghiệm
Kết luận pt đã cho có nghiệm x =
2 17
9
THPT Quốc Gia_2015
x 2 + 2x − 8
= ( x + 1 )( x + 2 − 2 ) trên tập số thực
2) Giải phương trình : 2
x − 2x + 3
Giải:
x 2 − 2x + 3 ≠ 0
⇒ x ≥ −2
ĐK:
x + 2 ≥ 0
Ta nhẫm nghiệm x=2 thế vào vế trái=vế phải nên ta thêm bớt có dạng x-2
(
)(
x2 − 2x + 4x − 8
x+2 −2 x+2 +2
= ( x + 1)
2
x − 2x + 3
x+2+2
2
x( x − 2) + 4( x − 2)
x+2−2
⇔
= ( x + 1)
2
x − 2x + 3
x+2+2
( x − 2)( x + 4) ( x + 1)( x − 2)
−
=0
⇔ 2
x − 2x + 3
x+2 +2
x +1
x+4
⇔ ( x − 2) 2
−
=0
x + 2 + 2
x − 2x + 3
x − 2 = 0
⇔ x+4
x +1
2
−
=0
x+2 +2
x − 2 x + 3
x = 2
⇔ x+4
x +1
2
=
x+2+2
x − 2 x + 3
x+4
x +1
=
Giải pt: 2
x − 2x + 3
x+2 +2
x+2+2
x −1 + 2
=
⇔
2
( x − 1) + 2
x+2 +2
Đặt a= x + 2 ; b=x-1
Pt đã cho ⇔
Nguyễn Văn Thuận
)
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
a2 + 2 b + 2
Pt ⇔ 2
=
b +2 a+2
⇔ (a 2 + 2)(a + 2) = (b 2 + 2)(b + 2)
trang 4
⇔ a 3 + 2a 2 + 2a + 4 = b 3 + 2b 2 + 2b + 4
Xét hàm số f(t)= t 3 + 2t 2 + 2t + 4
f’(t)=3t2+4t+2
(*)
2
2
2
4
2 8
f’(t)>0 ∀t ∈ R (vì 3t +4t+2= 3t +
+ 4 − = 3t +
+ > 0)
3
3
3 3
f(t) đồng biến trên R
Do đó (*) ⇔ f ( a) = f (b) ⇔ a=b ⇔ x + 2 =x-1
x ≥ 1
x = 3 − 13 (loai )
x
−
1
≥
0
x
≥
1
3 + 13
⇔
⇔ 2
⇔
⇒
x
=
2
2
2
x + 2 = ( x − 1)
x − 3x − 1 = 0
x = 3 + 13 (nhân)
2
2
Đối chiếu với đk ta được nghiệm đúng của phương trình là x=2; x =
Đại học khối A_năm 2014
x 12 − y + y 12 − x 2 = 12
3) 3
x − 8 x − 1 = 2 y − 2
x = 3
ĐS:
y = 3
Hướng dẫn:
(
)
(1)
3 + 13
2
( x, y ∈ R )
(2)
a2 + b2
( a, b ≥ 0 )
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức: a.b ≤
Ta có x 12 − y ≤
Mặt khác
x2 +
(
12 − y
2
)
2
=
x 2 + 12 − y
2
(*)
y + 12 − x 2
y 12 − x ≤
2
(
2
)
(**)
(
)
Cộng (*) và (**) ta được x 12 − y + y 12 − x 2 ≤
(
)
x 2 + 12 − y y + 12 − x 2
+
2
2
x 12 − y + y 12 − x 2 ≤ 12
x ≥ 0
Dấu “=” xảy ra ⇔
2
(3)
y = 12 − x
Thay (3) vào pt (2) ta được: x 3 − 8 x − 1 = 2 12 − x 2 − 2
⇔ x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2
Nhẫm nghiệm ta thấy x=3 thế vào pt thì Vế trái=Vế phải=2 nên ta thêm bớt có dạng x-3
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
Cần thêm bớt về dạng x 3 − 8 x − 1 + a = 2 10 − x 2 + a
trang 5
Tìm a=? biết 2 10 − x 2 + a = 0 và nghiệm x=3
Thế x=3 vào ta được 2 10 − 32 + a = 0 ⇒ a=-2
⇔ x 3 − 8 x − 1 − 2 = 2 10 − x 2 − 2
)
(
⇔ x 3 − 8 x − 3 = 2 10 − x 2 − 1
⇔ x3 − 3x 2 + 3x 2 − 9 x + x − 3 =
⇔ x 2 ( x − 3) + 3 x( x − 3) + x − 3 =
(
)
(
)
(
)
(
)
⇔ ( x − 3) x 2 + 3 x + 1 =
⇔ ( x − 3) x 2 + 3 x + 1 −
⇔ ( x − 3) x 2 + 3 x + 1 +
(
(
)(
( 10 − x + 1)
2
(
2 10 − x 2 − 12
2 9 − x2
)
)
10 − x 2 + 1
2 x2 − 9
(
)
10 − x 2 + 1
10 − x 2 + 1
2 9 − x2
(
)
2 10 − x 2 − 1 10 − x 2 + 1
=0
)
=0
10 − x 2 + 1
2( x − 3)( x + 3)
2
=0
⇔ ( x − 3) x + 3 x + 1 +
10 − x 2 + 1
2( x + 3)
= 0
⇔ ( x − 3) x 2 + 3x + 1 +
10 − x 2 + 1
x − 3 = 0
⇔ 2
x + 3 x + 1 + 2( x + 3) = 0
10 − x 2 + 1
x = 3
⇔ 2
x + 3x + 1 + 2( x + 3) = 0 Vô nghiêm (vì x > 0 nên x 2 + 3 x + 1 + 2( x + 3) > 0 )
10 − x 2 + 1
10 − x 2 + 1
⇒ x=3
so với đk x ≥ 0 nên ta nhận x=3 là nghiệm
thế x=3 vào (3) ta được y=12-32=3
x = 3
Kết luận hệ có nghiệm
y = 3
(a
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: ab + cd ≤
a c
=
Dấu “=” xảy ra ⇔
b d
(
)
x 12 − y + y 12 − x 2 = x 12 − y +
Dấu “=” xảy ra ⇔
⇒x y=
2
(12 − x ) y ≤ ( x
2
)(
+ c2 b2 + d 2
2
)
)
+ 12 − x 2 (12 − y + y ) = 12
x
12 − x 2
=
12 − y
y
(12 − y ) (12 − x 2 )
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
trang 6
⇔ 144 − 12 x 2 − 12 y + yx 2 = x y
x y ≥ 0
B ≥ 0
⇔
A=B⇔
2
x 2 y = 144 − 12 x 2 − 12 y + yx 2
A = B
x ≥ 0
⇒ 2
2
2
x y = 144 − 12 x − 12 y + yx
x ≥ 0
⇒
tới đây thì tương tự cách 1
2
y = 12 − x
Cách 3: Đặt a= 12 − y , a≥ 0 ⇒ y = 12 – a2
(1) ⇔ xa + (12 − a 2 )(12 − x 2 ) = 12
⇔ 122 − 12x 2 − 12a 2 + x 2 a 2 = 12 − xa
12 − xa ≥ 0
⇔ 2
2
2
2
2 2
12 − 12 x − 12a + x a = (12 − xa )
xa ≤ 12
⇔ 2
2
2
2 2
2
2 2
12 − 12x − 12a + x a = 12 − 2.12.xa + x a
xa ≤ 12
⇔
2
2
12x − 2.12xa + 12a = 0
xa ≤ 12
⇔
2
(x − a) = 0
x ≥ 0
x ≥ 0
⇔
Ta có (x – a)2 = 0 ⇔ x = 12 − y ⇔ 2
2
x = 12 − y
y = 12 − x
tới đây thì tương tự cách 1
(
)
Cách 4: Đặt a = x, 12 − x 2 , b =
(
12 − y , y
)
a1 = b1
Lưu ý: a =(a1;a2); b =(b1;b2) Nếu a = b ⇔
; Nếu a.b = a1.b1 + a2 .b2
a2 = b2
a = x 2 + 12 − x 2 = 12
b = 12 − y + y = 12
(
Ta có a.b = x 12 − y + y 12 − x 2
2
)
2
Mặt khác a + b = 12 + 12 = 12
2
2
2
2
(
)
2
(1) ⇔ a.b = a + b ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b
2
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
x = 12 − y
x ≥ 0
⇒
⇒
2
12 − x 2 = y
y = 12 − x
tới đây thì tương tự cách 1
Đại học khối B_năm 2014
(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
(1)
4) 2
2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3 (2)
Giải:
x − y ≥ 0
x ≥ y
y ≥ 0
y ≥ 0
y ≥ 0
⇒
⇒ x ≥ 2 y
Đk:
x − 2 y ≥ 0
x ≥ 2 y
4 x ≥ 5 y + 3
4 x − 5 y − 3 ≥ 0
4 x ≥ 5 y + 3
trang 7
( x, y ∈ R )
(*)
a = y
Đặt
(a,b ≥ 0)
b = x − y
a 2 = y
⇒ 2
⇒ x = b2 + y = b2 + a 2
b = x − y
Pt (1) ⇔ 1 − a 2 b + a 2 + b 2 = 2 + b 2 − 1 a
⇔ 1 − a 2 b + a 2 − 1 + b2 − 1 − b2 − 1 a = 0
( )
( )
( )
( )
⇔ (1 − a )b − (1 − a ) + (b − 1)(1 − a ) = 0
⇔ (1 − a )(b − 1) + (b − 1)(1 − a ) = 0
2
2
2
2
2
⇔ (1 − a ) (1 + a )(b − 1) + (b − 1)(b + 1)(1 − a) = 0
⇔ (1 − a ) (b − 1)(1 + a + b + 1) = 0
⇔ (1 − a ) (b − 1)(2 + a + b) = 0
1 − a = 0 ⇒ a = 1
⇔ b − 1 = 0 ⇒ b = 1
2 + a + b = 0 vô nghiêm (vì a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ a + b + 2 > 0)
Trường hợp 1: a=1 ⇒
y = 1 y=1
1 ≥ 0
⇒x≥2
y=1 thế vào đk (*) ta được x ≥ 2
4 x ≥ 5 + 3
y=1 thế vào (2) ta được
2.12 − 3 x + 6.1 + 1 = 2 x − 2.1 − 4 x − 5.1 − 3
⇔ 2. − 3 x + 6 + 1 = 2 x − 2 − 4 x − 5 − 3
⇔ 9 − 3x = 2 x − 2 − 4 x − 8
⇔ 9 − 3 x = 22 ( x − 2) − 4 x − 8
⇔ 9 − 3 x = 4( x − 2) − 4( x − 2)
⇔ 9 − 3x = 0
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
⇔ x = 3 so với đk x ≥ 2 ta nhận x=3
Trường hợp 2: b=1 ⇒
trang 8
x − y = 1 ⇒ x − y = 12 ⇒ y = x − 1
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇒ x ≥ 2x − 2
Thế y = x − 1 vào đk (*) ta được x ≥ 2( x − 1)
4 x ≥ 5( x − 1) + 3 4 x ≥ 5 x − 5 + 3
x ≥ 1
⇒
⇒ 1≤ x ≤ 2
x ≤ 2
Thế y = x − 1 vào (2) ta được
2( x − 1) 2 − 3 x + 6( x − 1) + 1 = 2 x − 2( x − 1) − 4 x − 5( x − 1) − 3
⇔ 2( x 2 − 2 x + 1) − 3 x + 6 x − 6 + 1 = 2 x − 2 x + 2 − 4 x − 5 x + 5 − 3
⇔ 2( x 2 − 2 x + 1) + 3x − 5 = 2 − x + 2 − − x + 2
⇔ 2 x 2 − 4 x + 2 + 3x − 5 = − x + 2
⇔
2 − x = 2 x2 − x − 3
B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B
Cách 1
2
2 x − x − 3 ≥ 0
⇔
2 − x = (2 x 2 − x − 3) 2
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
2 − x = (2 x 2 ) 2 + x 2 + 32 − 2.2 x 2 .x − 2.2 x 2 .3 + 2.x.3
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
2 − x = 4 x 4 + x 2 + 9 − 4 x 3 − 12 x 2 + 6 x
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 0
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
4 x 4 − 4 x 3 − 4 x 2 − 7 x 2 + 7 x + 7 = 0
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
4 x 2 ( x 2 − x − 1) − 7( x 2 − x − 1) = 0
3
∨
x≥
x ≤ −1
⇔
2
( x 2 − x − 1)(4 x 2 − 7) = 0
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
3
∨
x≥
x ≤ −1
2
⇔ 2
x − x − 1 = 0
4 x 2 − 7 = 0
∨
x ≤ −1
1− 5
x =
2
1+ 5
⇔ x =
2
7
x =
2
7
x = −
2
x≥
trang 9
3
2
1− 5
x =
2
1+ 5
⇒ x =
2
7
x = −
2
So với đk 1 ≤ x ≤ 2 ta được x =
⇒y=
1+ 5
2
1+ 5
5 −1
−1⇒ y =
2
2
1+ 5
x=
x = 3
2
∨
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm
y = 1
y = 1− 5
2
làm ngoài nháp nè Hướng dẫn cách phân tích 4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 =
4 x 2 + ax + b ( x 2 + cx + d )
4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 4 x 2 + (a + 4c) x 3 + (b + 4d + ac) x 2 + (ad + bc ) x + bd
a + 4c = −4
b + 4d + ac = −11
ad + bc = 7
bd = 7
TH1: b=1 d=7
a + 4c = −4
a + 4c = −4 (1)
⇒ 1 + 28 + ac = −11 ⇒ ac = −40
(2)
7 a + c = 7
7 a + c = 7 (3)
(
)
32
a = 27
Từ (1), (3)
thế vào (2) ta thấy không thỏa
c = − 35
27
TH1: b=7 d=1
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
a + 4c = −4
a + 4c = −4 (1)
⇒ 7 + 4 + ac = −11 ⇒ ac = 0
(2)
a + 7 c = 7
a + 7c = 7 (3)
trang 10
56
a = − 3
Từ (1), (3)
thế vào (2) không thỏa
c = 11
3
TH3: b=-1 d=-7
a + 4c = −4
a + 4c = −4 (1)
⇒ − 1 − 28 + ac = −11 ⇒ ac = 18
(2)
− 7 a − c = 7
− 7 a − c = 7 (3)
8
a = − 9
Từ (1), (3)
thế vào (2) ta thấy không thỏa
c = − 7
9
TH4: b=-7 d=-1
(1)
a + 4c = −4
a + 4c = −4
⇒ − 7 − 4 + ac = −11 ⇒ ac = 0
( 2)
− a − 7 c = 7
− a − 7c = 7 (3)
a = 0
Từ (1), (3)
thế vào (2) ta thấy thỏa
c = −1
Vậy a=0, b=-7, c=-1, d=-1
4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 4 x 2 + ax + b ( x 2 + cx + d )
4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 4 x 2 − 7 ( x 2 − x − 1)
= 4 x 2 ( x 2 − x − 1) − 7( x 2 − x − 1) = 4 x 4 − 4 x 3 − 4 x 2 − 7 x 2 + 7 x + 7 = 4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7
Nhờ vậy mà biết ghi ngược lại
Lưu ý nếu cả 4 trường hợp trên cũng không ra thì ta phân tích như sau
4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 2 x 2 + ax + b (2 x 2 + cx + d )
Rồi làm 4 trường hợp như trên nữa, cũng hên là nó ra rồi
Cách 2: khi giải cách 1 ta biết được nhân tử chung là x2-x-1 thì dễ dàng ta thêm bớt như sau
2 − x = 2 x2 − x − 3
⇔ 2 − x − x + 1 = 2x2 − 2 x − 2
A − B2
2
A−B=
⇔ 2 − x − ( x − 1) = 2( x − x − 1)
A+B
2
2 − x − ( x − 1)
⇔
= 2( x 2 − x − 1)
2 − x + ( x − 1)
(
(
(
⇔
)
)
)
− x2 + x + 1
= 2( x 2 − x − 1)
2 − x + x −1
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
− x2 + x + 1
⇔ 2( x 2 − x − 1) −
=0
2 − x + x −1
x2 − x − 1
⇔ 2( x 2 − x − 1) +
=0
2 − x + x −1
1
⇔ ( x 2 − x − 1) 2 +
=0
2 − x + x −1
1
Vì đk 1 ≤ x ≤ 2 nên 2 +
>0
2 − x + x −1
⇒ x 2 − x − 1 =0
trang 11
1− 5
x =
2
⇒
1+ 5
x =
2
1+ 5
1+ 5
5 −1
⇒y=
−1⇒ y =
2
2
2
1+ 5
x=
x = 3
2
∨
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm
y
=
1
y = 1− 5
2
So với đk 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x =
Đại học khối D_năm 2014
5) Giải bất pt ( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12
Giải:
Cách 1:
x + 2 ≥ 0 x ≥ −2
⇒
⇒ x ≥ −2
Điều kiện:
x + 7 ≥ 0 x ≥ −7
Ta thấy x=2 thì vế trái=vế phải nên ta đặt a=x-2 ⇒ x=a+2
x ≥ −2 ⇒ a ≥ −4
(*) ⇔ (a+2+1) a + 4 +(a+2+6) a + 2 + 7 ≥ (a+2)2+7(a+2)+12
(*)
⇔ ( a + 3) a + 4 + ( a + 8) a + 9 ≥ a 2 + 4a + 4 + 7a + 14 + 12
⇔ ( a + 3) a + 4 + ( a + 8) a + 9 ≥ a 2 + 11a + 30
⇔ ( a + 3) a + 4 − 2(a + 3) + ( a + 8) a + 9 − 3(a + 8) ≥ a 2 + 11a + 30 − 3(a + 8) − 2(a + 3)
(
)
(
)
⇔ ( a + 3) a + 4 − 2 + ( a + 8) a + 9 − 3 ≥ a 2 + 6a
a+4−2
a+9−3
+ ( a + 8)
− a 2 − 6a ≥ 0
a+4 +2
a+9 +3
a
a
+ ( a + 8)
− a 2 − 6a ≥ 0
⇔ ( a + 3)
a+4+2
a+9 +3
a+8
a+3
⇔ a
+
− a − 6 ≥ 0 (**)
a+9 +3
a+4+2
⇔ ( a + 3)
2
Nguyễn Văn Thuận
2
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
a+3
a+8
a + 4 −1
a+8
+
−a−6=
+
− ( a + 6)
Vì
a+4+2
a+9 +3
a+4+2
a+9 +3
a+4
a+8
a + 4+a +8
1
+
−
−
=
2
a+4 +2
a+9 +3
a+4+2
a+4
a+4
a +8
a+8
1
−
+
−
−
< 0 (vì a ≥ −4 )
=
2
2
a+4+2
a+9 +3
a+4+2
(**) ⇒ a ≤ 0
⇒ x−2≤0
⇒x≤2
Giao với đk x ≥ −2 ta được nghiệm − 2 ≤ x ≤ 2
Cách 2: ( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12 (*)
x + 2 ≥ 0 x ≥ −2
⇒
⇒ x ≥ −2
Điều kiện:
x + 7 ≥ 0 x ≥ −7
trang 12
(*) ⇔ ( x + 1) x + 2 − 2( x + 1) + ( x + 6 ) x + 7 − 3( x + 6) ≥ x 2 + 7 x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + 6)
Làm sao ta biết được thêm bớt
Ta nhẫm nghiệm x=2 thì vế trái=vế phải
Khi x=2 thì x + 2 = 2 + 2 = 2 nên ta biết thêm bớt − 2( x + 1)
Khi x=2 thì x + 7 = 2 + 7 = 3 nên ta biết thêm bớt − 3( x + 6)
⇔ ( x + 1)
(
)
x + 2 − 2 + ( x + 6)
(
)
x + 7 − 3 ≥ x2 + 2x − 8
Bấm máy x 2 + 2 x − 8 =0 thì ta được 2 nghiệm x=2; x=-4
Áp dụng ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
x 2 + 2 x − 8 =1.(x-2)(x+4)
x + 2 − 22
x + 7 − 32
+ ( x + 6)
≥ ( x − 2)( x + 4)
x+2 +2
x+7 +3
x−2
x−2
⇔ ( x + 1)
+ ( x + 6)
− ( x − 2)( x + 4) ≥ 0
x+2 +2
x+7 +3
x−2
x−2
⇔ ( x + 1)
+ ( x + 6)
− ( x − 2)( x + 4) ≥ 0
x+2 +2
x+7 +3
x+6
x +1
⇔ ( x − 2)
+
− ( x + 4) ≥ 0
(**)
x+7 +3
x+2 +2
x +1
x+6
+
− ( x + 4) thì ta thấy nó luôn âm
Khi ta cho 1 giá trị x bất kỳ thỏa đk x ≥ -2 vào
x+2 +2
x+7 +3
nên ta cần chứng minh nó âm
⇔ ( x + 1)
Vì
x +1
+
x+2+2
x + 2 −1
+
=
x+2+2
x+6
−x−4
x+7 +3
x+6
x+2+ x+6
−
2
x+7 +3
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
x+2
x + 2 x +6
x +6
1
−
+
−
−
<0
=
2 x+7 +3
2
x+2 +2
x+2+2
x+2
x+2
x+2+2− 2 ≤0
x+6
x+6
−
<0
Vì x ≥ -2 thì ta có
2
x
+
7
+
3
1
<0
−
x+2+2
(**) ⇒ x-2 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2
Giao với đk x ≥ −2 ta được nghiệm − 2 ≤ x ≤ 2
Đại học khối A_năm 2013
x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y
(1)
6) 2
2
x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0
(2)
Hướng dẫn
Đặt u = 4 x − 1 ⇒ u 4 = x − 1 ⇒ x = u 4 + 1
(1) ⇔ u 4 + 1 + 1 + u = y 4 + 2 + y
⇔
u4 + 2 + u =
y4 + 2 + y
trang 13
( x, y ∈ R )
( u ≥ 0)
(3)
(2) ⇔ x 2 + 2 x( y − 1) + y 2 − 2 y + 1 − 4 y = 0
⇔ x 2 + 2 x( y − 1) + ( y − 1) 2 = 4 y
⇔ ( x + y − 1) 2 = 4 y
⇒ y≥0
Xét f(t)= t 4 + 2 + t ( t ≥ 0)
2t 3
+ 1 >0 ( ∀t ≥ 0 )
f’(t)= 4
t +2
f(t) đồng biến trên [ 0;+∞ )
(3) ⇔ f (u ) = f ( y ) ⇒ u = y ⇒ 4 x − 1 = y ⇒ x − 1 = y 4 ⇒ x = y 4 + 1
Thay x=y4+1 vào (2) ta được
( y +1)
4
2
(
(4)
)
+ 2 y 4 + 1 ( y − 1) + y 2 − 6 y + 1 = 0
⇔ y + 2 y + 1 + 2( y 5 − y 4 + y − 1) + y 2 − 6 y + 1 = 0
8
4
⇔ y8 + 2 y5 + y 2 − 4 y = 0
⇔ y ( y 7 + 2 y 4 + y − 4) = 0
( 4)
y = 0 →
x = 04 + 1 = 1
⇔ 7
4
y + 2 y + y − 4 = 0
Cách 1: giải pt y 7 + 2 y 4 + y − 4 = 0
Xét hàm f(y)= y 7 + 2 y 4 + y − 4
( y ≥ 0)
f’(y)=7y6+8y3+1>0 ∀y ≥ 0
f(y) đồng biến ∀y ≥ 0
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
Nên nếu f(y)=0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy g(1)= 17 + 2.14 + 1 − 4 = 1 + 2 + 1 − 4 = 0 y=1 là nghiệm
Với y=1 thế vào (4) ta được x= 14 + 1 = 2
x = 1
x = 2
∨
Kết luận hệ pt đã cho có hai nghiệm:
y = 0
y =1
trang 14
Cách 2: giải pt y 7 + 2 y 4 + y − 4 = 0
Vì ta nhẫm y=1 là nghiệm nên ta thêm bớt có dạng y-1
⇔ y 7 − y6 + y6 − y5 + y5 − y 4 + 3 y 4 − 3 y3 + 3 y3 − 3 y 2 + 3 y 2 − 3 y + 4 y − 4 = 0
⇔ y 7 − y6 + y6 − y5 + y5 − y 4 + 3 y 4 − 3 y3 + 3 y3 − 3 y 2 + 3 y 2 − 3 y + 4 y − 4 = 0
⇔ y 6 ( y − 1) + y 5 ( y − 1) + y 4 ( y − 1) + 3 y 3 ( y − 1) + 3 y 2 ( y − 1) + 3 y ( y − 1) + 4( y − 1) = 0
⇔ ( y − 1)( y 6 + y 5 + y 4 + 3 y 3 + 3 y 2 + 3 y + 4) = 0
Nếu không biết thêm bớt thì ta chia horne
Hệ số
Mũ 7
Mũ 6
Mũ 5
Mũ 4
Mũ 3
Nghiệm 1 +
x
1
1
Mũ 2
Mũ 1
Hằng số
0
0
2
0
0
1
-4
1
1
3
3
3
4
0
( 4)
y − 1 = 0 ⇒ y = 1 →
x = 14 + 1 = 2
⇔ 6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
y + y + y + 3 y + 3 y + 3 y + 4 = 0 Vô nghiêm vì y ≥ 0 nên y + y + y + 3 y + 3 y + 3 y + 4 > 0
x = 1
x = 2
∨
Kết luận hệ pt đã cho có hai nghiệm:
y = 0
y =1
Đại học khối B_năm 2013
2 x 2 + y 2 − 3xy + 3x − 2 y + 1 = 0
7) 2 2
4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y
x = 0
x = 1
∨
ĐS:
y = 1
y = 2
Hướng dẫn
Cách 1:
2 x + y ≥ 0
Điều kiện:
x + 4 y ≥ 0
(1) ⇒ 2 x 2 − 3 xy + 3 x + y 2 − 2 y + 1 = 0
⇒ 2 x 2 − (3 y − 3) x + y 2 − 2 y + 1 = 0
(1)
(2)
( x, y ∈ R )
∆ = ( 3 y − 3) − 4.2.( y 2 − 2 y + 1) = 9 y 2 − 18 y + 9 − 8 y 2 + 16 y − 8 = y 2 − 2 y + 1 = ( y − 1) 2
2
3y − 3 + y −1 4y − 4
=
= y −1
x =
2.2
4
x = 3 y − 3 − ( y − 1) = 2 y − 2 = y − 1
2.2
4
2
y = x +1
⇔
y = 2x + 1
Cách 2:
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
Cần tìm nhân tử y=ax+b
(1)
Cho y=1 →
2 x 2 − 3 x + 3 x + 12 − 2.1 + 1 = 0 2x 2 =0 x=0
x = −1
1
(1)
Cho y=0 →
B1(-1,0); B2 − ;0
2 x 2 + 3x + 1 = 0
x = − 1
2
2
A(0,1) ∈ y=ax+b 1=b
B1(-1,0) ∈ y=ax+b 0= − a + b a=b=1
y=x+1 x-y+1=0
Bây giờ ta thêm bớt có dạng x-y-1
(1) ⇔ 2 x 2 − 3 xy + 3 x + y 2 − 2 y + 1 = 0
⇔ 2 x 2 − 2 xy + 2 x − xy + y 2 − y + x − y + 1 = 0
trang 15
A(0,1)
⇔ 2 x( x − y + 1) − y ( x − y + 1) + x − y + 1 = 0
⇔ ( x − y + 1)(2 x − y + 1) = 0
x − y +1 = 0
⇔
2 x − y + 1 = 0
y = x +1
⇔
y = 2x + 1
Trường hợp 1: y = x + 1
(3)
1
x
≥
−
2 x + x + 1 ≥ 0
3 x + 1 ≥ 0
1
3
⇒
⇒
⇒ x≥−
Thế (3) vào điều kiện ta được
3
x + 4( x + 1) ≥ 0
5 x + 4 ≥ 0
x ≥ − 4
5
Thế (3) vào (2) ta được
4 x 2 − ( x + 1) 2 + x + 4 = 2 x + x + 1 + x + 4( x + 1)
⇔ 4 x 2 − x 2 − 2 x − 1 + x + 4 = 3x + 1 + 5x + 4
⇔ 3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4
Nhận xét
Ta thấy x=0 thì Vế trái=Vế phải=3 có nhân tử chung là x
Mặt khác x=1 thì Vế trái=Vế phải=5 có nhân tử chung là x-1
có nhân tử chung là x(x-1)=x2-x
Làm ngoài nháp như sau:
Ta tìm 3x + 1 +ax+b=0
Cho x=0 b=-1
Cho x=1 2+a+b=0a=-1
Vậy phải thêm bớt 3x + 1 -x-1
Ta tìm 5 x + 4 +cx+d=0
Cho x=0 2+d=0 d=-2
Cho x=1 3+c+d=0c=-1
Vậy phải thêm bớt 3x + 1 -x-2
⇔ 3x 2 − x + 3 − x − 1 − x − 2 = 3x + 1 − x − 1 + 5 x + 4 − x − 2
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
trang 16
⇔ 3 x 2 − 3x = 3 x + 1 − ( x + 1) + 5 x + 4 − ( x + 2)
3 x + 1 − ( x + 1) 2 5 x + 4 − ( x + 2) 2
⇔ 3x − 3x =
+
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
2
3x + 1 − x 2 − 2 x − 1 5 x + 4 − x 2 − 4 x − 4
⇔ 3x − 3x =
+
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
2
− x2 + x
− x2 + x
⇔ 3( x − x) =
+
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
2
− x2 + x
− x2 + x
⇔ 3( x − x) −
−
=0
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
2
x2 − x
x2 − x
⇔ 3( x − x) +
+
=0
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
2
1
1
=0
⇔ ( x 2 − x ) 3 +
+
3x + 1 + x + 1
5 x + 4 + x + 2
( 3)
2
x = 0 →
y = 0 +1 = 1
x
−
x
=
0
⇒
( 3)
x = 1 → y = 1 + 1 = 2
(So với đk x ≥ − 1 ta nhận nghiệm x=0; x=1)
⇔
3
1
1
3 +
+
= 0 (vô nghiêm)
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
Vì x ≥ −
1
1
1
+
thì 3 +
>0
3x + 1 + x + 1
5x + 4 + x + 2
3
Trường hợp 1: y = 2 x + 1
(4)
1
x≥−
2 x + 2 x + 1 ≥ 0
4 x + 1 ≥ 0
1
4
⇒
⇒
⇒x≥−
Thế (4) vào điều kiện ta được
4
x + 4(2 x + 1) ≥ 0 9 x + 4 ≥ 0 x ≥ − 4
9
2
2
Thế (4) vào (2) ta được 4 x − (2 x + 1) + x + 4 = 2 x + 2 x + 1 + x + 4(2 x + 1)
⇔ 4x2 − 4x2 − 4x −1 + x + 4 = 4x + 1 + 9x + 4
⇔ − 3x + 3 = 4 x + 1 + 9 x + 4
Nhận xét ta thấy x=0 thì vế trái=vế phải=3
Ta tìm 4 x + 1 +a=0
Cho x=0 a=-1
Phải thêm bớt 4 x + 1 − 1
Ta tìm 9 x + 4 +b=0
Cho x=0 b=-2
Phải thêm bớt 9 x + 4 − 2
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
⇔ − 3x + 3 − 1 − 2 = 4 x + 1 − 1 + 9 x + 4 − 2
trang 17
4 x + 1 − 12
9 x + 4 − 22
+
4x + 1 + 1
9x + 4 + 2
4x
9x
+
+ 3x = 0
⇔
4x +1 +1
9x + 4 + 2
4
9
⇔ x
+
+ 3 = 0
9x + 4 + 2
4x +1 +1
4
9
+
+ 3 >0
Vì
4x +1 +1
9x + 4 + 2
⇒ x = 0 thế vào (4) ta được y=1
⇔ − 3x =
x = 0
x = 1
∨
Kết luận hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
y =1
y = 2
Đại học khối D_năm 2013
1
8) 2 log 2 x + log 1 1 − x = 2 log 2 x − 2 x + 2
2
Cách 1:
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
)
( ) 12 log ( x − 2
1 1
x ) = . log (( x ) − 2
2 1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
log 2 x 2 − log 2 1 −
)
x +2 ⇔
1
22
)
x +1+1
2
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 1) 2 + 1 ⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x ( x − 1) 2 + 1
(
2
[(
)
(
)(
[(
)
)]
(
)(
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x (1 − x ) 2 + 1 ⇔ x 2 = 1 − x 1 − x
Đặt t = 1 − x x = 1 − t ⇒ x = (1 − t ) 2
(0< t < 1)
)(
)
2
)]
+ 1 (*)
2
4
3
2
(*) ⇒ ( 1 − t ) = t ( t + 1) ⇔ t − 5t + 6t − 5t + 1 = 0
4
Pt có dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0
Cách giải:
Chia hai vế cho x2
1
1
ax 2 + bx + c + b + a. 2 = 0
x
x
1
1
⇐ a x 2 + 2 + b x + + c = 0
(*)
x
x
1
Đặt t = x +
đk ( t ≤ −2 ∨ t ≥ 2 )
x
1
1 1
2
2
2
2
t = x + 2.x. + 2 ⇒ x + 2 = t − 2
x x
x
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
(*) ⇒ a (t 2 − 2) + bt + c = 0 ….
trang 18
1 1
⇔ t 2 + 2 ÷− 5 t + ÷+ 6 = 0 (**)
t t
1
Đặt u = t + ( u > 2 ) lưu ý vì t>0 nên ta không ghi t ≤ −2 và t<1 t ≠ 1 nên u ≠ 2 nên không ghi
t
u≥2
1 1
1
1
⇒ u 2 = t 2 + 2.t. + 2 = t 2 + 2 + 2 ⇒ t 2 + 2 = u 2 − 2
t t
t
t
2
2
(**) ⇒ u − 2 − 5u + 6 = 0 ⇒ u − 5u + 4 = 0 ⇔ u = 4 (vì u>2)
1
2
Vậy t + = 4 ⇔ t − 4t + 1 = 0 ⇔ t = 2 − 3 vì (0 < t < 1)
t
Nghĩa là 1 − x = 2 − 3 ⇔ x = 3 − 1 ⇔ x = 4 − 2 3
Cách 2:
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 x − 2 x + 2
2
2
(
)
(
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x = log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x − 2 x + 2)
⇔
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 2 x + 2)
(
⇔ log 2 x
2
)
( )
= log [(1 − x )( x − 2
2
(
(
)
)[
⇔ x 2 = 1 − x ( x − 2 x + 2)
⇔ x 2 = 1 − x x + 2(1 − x )
(
)
x + 2)
]
]
)
⇔ x 2 = x 1 − x + 2(1 − x ) 2
⇔
⇔
x
2
(1 − x )
x2
(1 − x )
Đặt t=
2
2
=
−
x
1− x
x
1− x
x
1− x
+2
−2=0
(t>0)
t = −1 loai
Pt ⇔ t2-t-2=0 ⇒
t = 2 nhân
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
x
t =2⇒
= 2 ⇒ x = 2 − 2 x ⇒ 2 x = 2 − x ⇒ 4x = 2 − x
1− x
x ≤ 2
x
≤
2
2 − x ≥ 0
⇒
⇒
⇒
x = 4 − 2 3 nhân ⇒ x = 4 − 2 3
2
2
x
−
8
x
+
4
=
0
(
)
4
x
=
2
−
x
x = 4 + 2 3 loai
So với đk 0< x < 1 ta nhân nghiệm x = 4 − 2 3
Cách 3:
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 x − 2 x + 2
2
2
(
)
(
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
trang 19
)
(
)
1
log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x ) 2 − 2 x + 1 + 1
⇔
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 1) 2 + 1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
⇔ log 2 x 2
)
(
( )
= log [(1 − x )((
2
(
)
)
)]
x − 1) 2 + 1
[( )(
)]
x ) ( 1 − x ) + 1 (*)
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x (1 − x ) 2 + 1
(
2
⇔ x2 = 1 −
2
x = 1 − t ⇒ x = (1 − t )
Đặt t = 1 − x
(*) ⇒ ( 1 − t ) = t ( t + 1) ⇔ t − 5t + 6t − 5t + 1 = 0
4
2
4
3
2
(0< t < 1)
(**)
Phân tích t 4 − 5t 3 + 6t 2 − 5t + 1 = (t 2 + at + b)(t 2 + ct + d )
t 4 − 5t 3 + 6t 2 − 5t + 1 = t 4 + (a + c)t 3 + (b + d + ac)t 2 + (ad + bc)t + bd
a + c = −5
b + d + ac = 6
⇒
ad + bc = −5
bd = 1
a + c = −5
c = −a − 5
a + c = −5 c = −a − 5
⇒
⇒ 2
Cho b=1d=1 ⇒ 1 + 1 + ac = 6 ⇒
ac = 4
a (−a − 5) = 4 a + 5a + 4 = 0
a + c = −5
c = −a − 5
⇒ a = −1
a = −4
Ta chọn a= − 1 c= − 4
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
Lưu ý nếu ta cho b=1d=1 mà giải vô nghiệm thì ta cho b= − 1 d= − 1 rồi giải lại tìm a, c
Vậy ta được t 4 − 5t 3 + 6t 2 − 5t + 1 = (t 2 − t + 1)(t 2 − 4t + 1)
(**) ⇒ (t 2 − t + 1)(t 2 − 4t + 1) = 0
trang 20
t 2 − t + 1 = 0 (Vô nghiêm)
t = 2 − 3
⇒ 2
t − 4t + 1 = 0 ⇒
t = 2 + 3
So với đk 0
Cách 4:
(
)
2 log 2 x + log 1 1 − x =
2
1
log
2
2
(x − 2
x +2
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
)
1
log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x ) 2 − 2 x + 1 + 1
⇔
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 1) 2 + 1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
⇔ log 2 x 2
)
(
( )
= log [(1 − x )((
2
(
)
)]
)
x − 1) 2 + 1
[( )(
)]
x ) ( 1 − x ) + 1 (*)
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x (1 − x ) 2 + 1
(
2
⇔ x2 = 1 −
Đặt t = 1 − x
2
x = 1 − t ⇒ x = (1 − t )
(0< t < 1)
2
4
3
2
(*) ⇒ ( 1 − t ) = t ( t + 1) ⇔ t − 5t + 6t − 5t + 1 = 0
4
⇔ t 4 − t 3 + t 2 − 4t 3 + 4t 2 − 4t + t 2 − t + 1 = 0
⇔ t 2 (t 2 − t + 1) − 4t (t 2 − t + 1) + t 2 − t + 1 = 0
⇔ (t 2 − t + 1)(t 2 − 4t + 1) = 0
t 2 − t + 1 = 0 (Vô nghiêm)
t = 2 − 3
⇒ 2
t − 4t + 1 = 0 ⇒
t = 2 + 3
So với đk 0
Cách 5:
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log
2
2
(
)
2
(x − 2
x +2
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 0 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
trang 21
(
)
1
log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x ) 2 − 2 x + 1 + 1
⇔
2 1
2
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x + log 2 ( x − 1) 2 + 1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
⇔ log 2 x
2
)
(
( )
= log [(1 − x )((
(
)
)]
)
x − 1) + 1
2
2
[( )(
)]
x ) ( 1 − x ) + 1 (*)
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x (1 − x ) 2 + 1
(
2
⇔ x2 = 1 −
Đặt t = 1 − x
2
x = 1 − t ⇒ x = (1 − t )
(0< t < 1)
2
4
3
2
(*) ⇒ ( 1 − t ) = t ( t + 1) ⇔ t − 5t + 6t − 5t + 1 = 0
4
⇔ t 4 − 4t 3 + t 2 − t 3 + 4t 2 − t + t 2 − 4t + 1 = 0
⇔ t 2 (t 2 − 4t + 1) − t (t 2 − 4t + 1) + t 2 − 4t + 1 = 0
⇔ (t 2 − 4t + 1)(t 2 − t + 1) = 0
t 2 − t + 1 = 0 (Vô nghiêm)
t = 2 − 3
⇒ 2
t − 4t + 1 = 0 ⇒
t = 2 + 3
So với đk 0
Cách 6:
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 x − 2 x + 2
2
2
(
)
(
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
1
log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x − 2 x + 2)
⇔
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 2 x + 2)
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
)
(
)
Nguyễn Văn Thuận
)
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
⇔ log 2 x 2 = log 2 1 − x ( x − 2 x + 2)
[(
(
)
trang 22
]
)
⇔ x 2 = 1 − x ( x − 2 x + 2)
Đặt t= x x=t2
0
⇒ t 4 = t 2 − 2t + 2 − t 3 + 2t 2 − 2t
⇒ t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = 0
(**)
Phân tích t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = (t 2 + at + b)(t 2 + ct + d )
t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = t 4 + (a + c)t 3 + (b + d + ac)t 2 + ( ad + bc)t + bd
a + c = 1
b + d + ac = −3
ad + bc = 4
bd = −2
TH1: b=1d= − 2
a + c = 1
⇒ 1 − 2 + ac = −3
− 2 a + c = 4
a + c = 1
⇒ ac = −2
− 2 a + c = 4
(1)
( 2)
(3)
a = −1
Từ (1), (2) ⇒
thế vào (2) ta thấy thỏa
c = 2
Lưu ý: Nếu không có nghiệm (thế a=…; c=… vào (2) không thỏa)
thì ta làm TH2: b = −1 ⇒ d = 2 rồi giải lại như trên
(**) ⇔ t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = 0
⇔ t 2 − t + 1 t 2 + 2t − 2 = 0
(
)(
)
t 2 − t + 1 = 0 Vô nghiêm
t = −1 − 3 so với đk 0
t
+
2
t
−
2
=
0
⇒
t = −1 + 3
(
)
2
⇒ x = − 1+ 3 = 4 − 2 3 so với đk 0
Cách 7:
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 x − 2 x + 2
2
2
(
)
(
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
1
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x = log 1 x − 2 x + 2
2
22
Nguyễn Văn Thuận
)
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
(
trang 23
)
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x − 2 x + 2)
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 2 x + 2)
⇔
⇔ log 2 x 2
( )
= log [(1 − x )( x − 2
2
(
x + 2)
]
)
⇔ x 2 = 1 − x ( x − 2 x + 2)
Đặt t= x x=t2
0
2
(*) ⇒ t = (1 − t )(t − 2t + 2)
⇔ t 4 = t 2 − 2t + 2 − t 3 + 2t 2 − 2t
⇔ t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = 0
⇔ t 4 − t 3 + t 2 + 2t 3 − 2t 2 + 2t − 2t 2 + 2t − 2 = 0
⇔ t 2 (t 2 − t + 1) + 2t (t 2 − t + 1) − 2(t 2 − t + 1) = 0
(
)(
)
⇔ t 2 − t + 1 t 2 + 2t − 2 = 0
t − t + 1 = 0 Vô nghiêm
t = −1 − 3 so với đk 0
t + 2t − 2 = 0 ⇒
t = −1 + 3
2
(
)
2
⇒ x = − 1+ 3 = 4 − 2 3 so với đk 0
1
2 log 2 x + log 1 1 − x = log 2 x − 2 x + 2
2
2
(
)
(
)
x > 0
x > 0
Đk : 1 − x > 0 ⇒ x < 1 ⇒ 0< x < 1
x ≥ 0
x ≥ 0
(
)
(
1
log 1 x − 2 x + 2
2
22
1 1
log 2 x 2 − log 2 1 − x = . log 2 ( x − 2 x + 2)
⇔
2 1
2
2
⇔ log 2 x = log 2 1 − x + log 2 ( x − 2 x + 2)
Pt ⇔ 2 log 2 x + log 2−1 1 − x =
(
⇔ log 2 x
(
2
)
)
( )
= log [(1 − x )( x − 2
2
x + 2)
]
)
⇔ x 2 = 1 − x ( x − 2 x + 2)
Đặt t= x x=t2
0
2
(*) ⇒ t = (1 − t )(t − 2t + 2)
⇔ t 4 = t 2 − 2t + 2 − t 3 + 2t 2 − 2t
⇔ t 4 + t 3 − 3t 2 + 4t − 2 = 0
⇔ t 4 + 2t 3 − 2t 2 − t 3 − 2t 2 + 2t + t 2 + 2t − 2 = 0
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
⇔ t 2 (t 2 + 2t − 2) − t (t 2 + 2t − 2) + t 2 + 2t − 2 = 0
(
)(
trang 24
)
⇔ t 2 + 2t − 2 t 2 − t + 1 = 0
t 2 − t + 1 = 0 Vô nghiêm
t = −1 − 3 so với đk 0
t
+
2
t
−
2
=
0
⇒
t = −1 + 3
(
)
2
⇒ x = − 1+ 3 = 4 − 2 3 so với đk 0
x 3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y
9) Giải hệ phương trình 2 2
(x, y ∈ R).
1
x + y − x + y =
2
Giải:
Cách 1
x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 − 12 x + 12 = y 2 + 3 y 2 + 3 y + 1 − 12 y − 12
2
2
Hệ pt ⇔
1
1
x − + y + = 1
2
2
( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1)
(1)
2
2
⇔
1
1
(2)
x − + y + = 1
2
2
2
1
1
1
1
3
1
x − ≤ 1
−
1
≤
x
−
≤
1
−
1
+
≤
x
≤
1
+
−
≤
x
≤
2
2
2
2 ⇒ 2
2
⇒
⇒
Từ (2) ⇒
2
1
1
1
3
1
− 1 ≤ y + ≤ 1 − 1 − ≤ y ≤ 1 −
− ≤ y ≤ 1
y
+
≤
1
2
2
2
2
2
2
3
1
− 2 − 1 ≤ x − 1 ≤ 2 − 1
⇒
− 3 + 1 ≤ y + 1 ≤ 1 + 1
2
2
1
− 3
2 ≤ x − 1 ≤ 2
⇒
−1 ≤ y +1 ≤ 3
2
2
− 3 3
Xét hàm số: f(t)=t3-12t trên ;
2 2
2
2
f’(t)= 3t − 12 = 3(t − 4) <0 ⇒ f(t) nghịch biến
(1) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − 1 = y + 1 ⇒ y = x − 2
(3)
Thay (3) vào (2) ta được
2
2
1
1
x − + x − 2 + =1
2
2
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
Trường THPT Trung Phú
2
trang 25
2
1
9
⇔ x − 1 + x − 3 = 1 ⇔ x 2 − x + + x 2 − 3x + = 1
4
4
2
2
5
3
⇔ 2x2 − 4x + −1 = 0 ⇔ 2x2 − 4x + = 0
2
2
1 ( 3)
1
3
x = 2 → y = 2 − 2 = − 2
⇔
3
1
( 3)
x = 3 →
y = −2=−
2
2
2
1
3
x = 2
x = 2
∨
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm:
y = − 3
y = − 1
2
2
x 3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y
Cách 2: Giải hệ phương trình 2
(x, y ∈ R).
1
2
x + y − x + y =
2
Đặt y = −t
x 3 − 3x 2 − 9 x + 22 = (−t ) 3 + 3(−t ) 2 − 9(−t )
Hệ pt ⇔ 2
1
2
x + (−t ) − x − t =
2
3
2
3
x − 3x − 9 x + 22 = −t + 3t 2 + 9t
⇔ 2
1
2
x + (−t ) − x − t =
2
3
3
2
2
x + t − 3 x − 3t − 9 x − 9t + 22 = 0
⇔ 2 2
1
x + t − (x + t) =
2
3
3
2
2
x + t − 3( x + t ) − 9( x + t ) + 22 = 0
⇔ 2 2
1
x + t − ( x + t ) =
2
3
x + t 3 = S 3 − 3PS
S = x + t
⇒ 2 2
Đặt
x + t = S 2 − 2 P
P = x.t
S 3 − 3PS − 3( S 2 − 2 P ) − 9S + 22 = 0
Hệ pt ⇔ 2
1
S − 2 P − S =
2
3
2
S − 3PS − 3S + 6 P − 9 S + 22 = 0
⇔ 2
2 S − 4 P − 2 S = 1
S 3 − 3PS − 3S 2 + 6 P − 9 S + 22 = 0
(1)
⇔
2S 2 − 2S − 1
P
=
(2)
4
Thế (2) vào (1) ta được
Nguyễn Văn Thuận
ĐT: 0909.975.075 hoặc (08).37976044
