Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp tập 1

KHOA TOÁN C ơ ■TIN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN - ĐHQG HÀ NỘI

Một S Ô
phương pháp chọn lọc

GIẢI CÁC BÀI TOÁN
S ơ CẤP
GIÚP LUYỆN THI ĐẠI HỌC
VÀ BỐI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

ĐKỊ
G
pG
Há Nội

NHÀ XUẤT BẲN ĐẠI HỌC

Qưổc GIA HÀ NỘI


PHAN ĐỨC CHÍNH - [ p h ạ m v à n Đlẩu - Đ Ỗ V Ă N HÀ
PHAN V Ă N HẠP - PHẠM V À N HÙNG - PH ẠM Đ Ă N G LONG
NGUYỀN VĂ N MẬU - Đ ỗ THANH SON - LẼ ĐÌNH THỈNH

MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP CHỌN LỌC

GIẢI CÁC BÀI TOÁN sỡ CÂP
Tài liệu dùng cho Học sinh chuẩn bị thi vào các
trường đại học và bổi dưỡng học sinh giỏi toán
TẬP I

(In lần thứ năm)

NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC Q UỐC G IA H À NỘI


LỜI TựA

(Cho lần in thứ tư)
Sau ba lần in bộ sách “Một số phương pháp chọn lọc đề giải
các bài toán sơ cấp” chúng tôi đà nhận được nhiều thư từ khắp
các miền của đất nước tỏ ý hài lòng vể chất lượng của bộ sách
và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích đồng thòi yêu cầu cho tái
bản tiếp.
Để đáp ứng nguyện vọng đó, chúng tôi đã bổ sung và chỉnh lý
theo tinh thần: một mặt giữ vững và nâng cao chất lượng các vấn
đề đã có, mặt khác kết hợp đưa vào các phương pháp giải khác
nhau của các bài toán. Các phần phương pháp tam thức bậc hai,
lương giác, hàm số và bất đẳng thức đều được sửa chữa với tinh
thần đó. Riêng phần hình học chúng tôi bổ sung thêm chương các
bài toán với phương pháp giải khác nhau.
Theo quy định mới của Cục Xuất bản và để đáp ứhg yêu cầu
bạn đọc có thể in vỏi số lượng lốn, lần này khoa Toán - Cơ - Tin
học, Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội cùng liên kết với Nhà xuất
bản Đại học và giáo dục chuyên nghiệp để xuất bản bộ sách;
Trong quá trình bổ sung và chỉnh lý chúng tôi đã được các đồng
chí Nguyễn Thủy Thanh, Nguyễn Ngọc Thắng, Trần Hữu Phúc,
Đỗ Lệnh Đạt nhiệt tình giúp đỡ. Nhân đây xin chân thành cảm
ơn các dồng chí đó.
Chúng tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Cục Xuất bản
Bộ Thông Tin và tập thể cán bộ và công nhân viên chức Nhà máy

in Tiến bộ đã tạo điều kiện để bộ sách sớm đến tay bạn đọc.
Chúng tôi chò mong ý kiến của bạn đọc về nội dung cửa
bộ sách.
Thư từ xin gửi vể khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học
Tổng hợp Hà Nội.

Hà Nộit ngày 1 tháng 1 năm Î988
C ác tá c giả

3


LỜI T ựA

(Cho lần in thứ ba)
Sau khi bộ sách "Một s ố phương pháp chọn lọc để giải cáac
bài toán sơ cấp” gồm ba tập ra m ắt bạn đọc, chúng tôi đã nhậnn
được nhiều thư từ khắp các miền của đất nước tỏ ỹ hài lòng vếê'
chất lượng của bộ sách và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.
Trong lần xuất bản này, ngoài việc chỉnh lý một vài sai sóbt
chúng tôi đã bổ sung một số điểm mới trong phần các phươngg
pháp tam thức bậc hai, viết thêm chương phương pháp thểể
tích trong phần hình học, bổ sung và sửa chữa một số' đề bàùi
tập ờ các chương và sau mỗi tập cho thêm hai đề toán để họoc
sinh tự luyện có hưóng dẫn cách giải.
Chúng tôi chân th à n h cảm ơn Cục Xuất bản Bộ Vãn hóa.1,
tập thể cần bộ và công nhân Nhà in Tiến bộ đã tạo mọi điềuu
kiện để bộ sách sóm đến. tay bạn đọc.
Chúng tôi chờ mong ỹ kiến của bạn đọc về nội dung cùa bộộ
sách. Thư từ xin gửi về khoa Toán - Cơ, Trường Đại học Tổngg

hợp Hà Nội.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 19844
Các tá c giả

4


LỜ I T ự A

(Cho lần xuất bản th ứ hai)
Sau khi tập ỉ và tập II của bộ sách: “Mật sô'phương pháp chạn
lọc để giải các bài toán sơ cấp” ra mắt bạn đọc, chúng tôi đă nhận
được nhiều thư từ tỏ ý hoan nghênh cố gắng của tập thể các
tác giả và các hiệu đính viên đà hoàn thành có chất lượng việc
biên soạn bộ sách.
Mặt khác bạn đọc cũng cho chúng tôi ý kiến nhằm nâng cao
hơn nữa chất lượng của bộ sách, và tỏ ý hy vọng bộ sách sẽ được
tái bản.
Để đáp ứng các mong muôn tốt đẹp đó chúng tôi đã chinh lý lại
các phần: phương pháp tam thức bậc hai, hàm sốvà đồ thị; chinh
lý và có bổ sung phần hình hoc; viết lại một cách tương đôì hoàn
chỉnh các phần: iượng giác, đẳng thức và bất đẳng thức, phương
trìnhThệ phương trình và bất phương trình.
Sau nữa để thuận tiện cho việc sử dụng chúng tôi đà sắp xếp
toàn bộ các phần đã nêu thành một bộ sách gồm ba tập:
Tập I gồm các phần: phương pháp tam thức bậc hai và
lượng giác.
Tập II gồm các phần: hàm sô' và dồ thị; đẳng thức và bất đẳng
thức.
«

Tập III gồm các phần: hình học, phương trình, hệ phương trình
và bất phương trình.
Nhân đây chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cục
Xuất bản Bộ Vản hóa đã khuyến khích động viên chúng tôi trong
quá trình chuẩn bị biên soạn và cho phép được tái bẳn bộ sách.
Chúng tôi một lần nữa chân thành cảm ơn tập thể cán bộ và công
nhân Nhà máy in Tiến bộ đã hết sức cố gắng để bộ sách sớm đến
tay bạn đọc.
Chắc chắn bộ sách còn có nhiều thiếu sóti ehúng tôi mong được
bạn đọc cho ý kiến.
Thư từ xin gửi về Khoa Toán, Trường Đại học Tổng hợp
Hà Nội.
Ngày 1 tháng 12 năm 1983
C ác tá c g iả
5


LỜ I N Ó I ĐẦU

(Cho lần xuất bản thứ nhất)
Để góp phần vào việc nâng cao chất lượng học tập môn tơánn
ố các trưòng phổ thông trung học và ồ các lốp chuyên toánn,
chúng tôi biên soạn bộ sách “Một số phương pháp chọn lọc đầể
giải các bài toân sơ cấp”.
Bộ sách nhằm phục vụ:
- Các học sinh đang chuẩn bị thi vào các trường đại học.
- Các học sinh muốn học tốt môn toán và học sinh giỏi toánn.
- Các thầy, cô giáo dạy toán ố các trường phổ thõng trungg
học.
Bộ sách chủ yếu nhằm đạt được việc giối thiệu vdi bạn đọọc

một số phương phốp chủ yếu, xuyên suốt trong việc giải mộôt
sô" bài toán sơ cấp thưòng gặp, nhất là trong các kỳ th i vào cáàc
trường đại học.
Bộ sách có th ể gồm nhiểu tập, trước m ắt sẽ ra m ắt bạn đọọc
hai tập.
Tập I gồm hai phần:
Phần thứ n h ất đề cập đến các phương pháp tam thức bậac
hai để giúp bạn đọc nắm và sử dụng tốt các phương pháp giảai
các bài toán dựa trên các lý luận vể tam thức bậc hai.
Phần thứ hai dành riêng cho các phương pháp để giải mộột
sô' bài 'toán vể hình học bao gồm việc khảo sát các m ặt cắt, cáac
quỷ tích trong m ặt phảng và trong không gian, các bài toánn
cực trị, cốc bài toán về các đa diện nội và ngoại tiếp hình cầuu
và phép chiếu vuông góc.
Tập II gồm hai phần:
Phần thứ nhâ't trình bày các khái niệm cơ bản về hàm sôp,
chỉ rõ cách vẽ đồ thị hàm s ế và nêu ỉên các phương pháp địnhh
hình, định tính và định lượng các hàm số sơ cấp.
P hần thử hai nêu một cách vắn tắ t cách giải các bài toánn
về b ất đẳng thức, bất phương trình, các phương trìn h mũặ,
6


phương trình chứa lôgarít và các bàì toán về lượng giác, v.v...
chủ yếu để đáp ứng cho việc ôn thi đại học sắp tới- Việc trìn h
bày cò hệ thống các vấn để ở phần này sè được tiến hành ở các
tập sau.
Trong mỗi phần đểu nêu tóm tắ t các cơ sỏ lý luận, ví dụ và
từ các ví dụ chọn lọc mà nêu lên phương pháp jpải các bài
toán. Sau đó có các bài tập có chỉ dẫn cách giải để bạn đọc có

thể tự rèn luyện và nắm chắc các phương pháp đă trìn h bày.
Các bài tập dành riêng cho học sinh giỏi có đánh dấu (*).
Để bạn đọc làm quen với các đề thi đại học, cuối mỗi tập có
cho bôn để thi hoàn chỉnh như các đế thi vào đại học và hướng
dẫn cách giải. Để thuận lợi cho việc ôn thi, cuôì tập II có bản
hướng dẫn nội dung ôn thi môn toán (khôi A và khôi B) vào
đại học của Bộ Đại học và trung học chuyên nghiệp.
Chúng tôi xin chán thành cảm ơn các đồng chí trong N hà
xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp, các đồng chí ỏ
Cục Xuất bản đã tạo điều kiện cho chúhg tôi hoàn th àn h sớm
các thủ tục xuất bản.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn cán bộ và công nhân Nhà
máy in Tiến bộ đã nhanh chóng hoàn thành việc in ấn giúp
cho cuốn sách kịp thòi phục vụ bạn đọc.
Vì thòi gian và khả năng hạn chế, chắc chắn còn nhiều
thiếu sót trong cuốn sách, chúng tôi mong bạn đọc xa gần cho
chúng tôi biết nhận xét về cuốn sách.
Thư từ và nhận xét xin gửi theo địa chỉ:
Khoa Toán, Trưòng Đại học Tổng hợp, Hà Nội.
Các tá c giả


PHẨN THỨ NHẤT

PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI
CHƯƠNG I
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
§1. P h ư ơ n g t r ì n h b ậ c h a i
Phương trìn h bậc hai là phương trìn h có dạng:
ax2 + bx + c = 0 (a * 0)

(1)

1. Cách giải: Gọi A = b2 - 4ac. Khi đó:
Nếu A < 0: phương trìn h vô nghiệm;
Nếu A = 0: phương trìn h có nghiêm kép X = - —- ;
2a
Nếu A > 0: phương trìn h có hai nghiệm p h ân biệt:
- b ± VÃ
Xl’2

2a

Trường hợp b = 2b’ thì có thể viết nghiệm gọn hơn:
- b’ ± VÃ’
_

l '£

----------------

với Ạ’ - Jj’2 _ a c

a

Đặc biệt: Nếu a + b + c = 0, thì Xj = 1 ; x2 = —*;
Nếu a - b + c = 0, thì X, = - 1 ; x9 = - —
’
1
’ 2

a
9


2. Định lý Viét: Giả sử Xp x2 là hai nghiệm của phươnkg
b
c
trình (1), Khi đó: s = Xj + x2 = — — ; p = Xj.x2 = — .
ã
3.
Ngược lại, nếu hai số X, y có tổng
- X + y và tícìh
p = x.y thì X và y chính là nghiệm của phương trìnHi:

s

X2- sx +p =0.
3. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: D ựa vào h(ệ
thức V iét ta có thể tính được các biểu thức đổi x ử n g satu
đây, với x1, x2 là các nghiệm của (1):
Xj2 + x22 = (xx + x2)2 - 2 xị X2 =

s2-

2P,

Xj3 t x23 = (xx + x2)3 - 3 x 1x2(x1 + Xg) =

s3-

3SP.

Tổng quát, ta có hệ thức tru y hồi:
aS n + bSn _ J + cSn _ 2 = 0 vổi Sn = x xn + x2n (n > 2).

4. Dấu của nghiệm số: D ựa vào định lý Viét ta có:
Điểu kiện cần và đủ để phương trìn h (1) có h a i nghiệrm
p h ân biệt cùng đấu là:
A >0.
— >0.
a
Điều kiện cần và đủ để phương trìn h (1) có h a i nghiệim
trá i dấu là:
— <0.
a
Trong trương hợp h ai nghiệm cùng dấu, m uôrt haii
nghiệm cùng 'dương thì cần thêm điểu kiện
> 0. Còm
m uốn h ai nghiệm cùng âm th ì cần thêm điểu kiện < 0.

s

s

Ví dụ 1. Cho phương trìn h 2x2 + 2x + eo sa = ©
(0 < a < 7t).
10


a) Vối những giá trị nào của ơ. thì phương trìn h có

nghiệm.
b) Gọi X,, x2 là nghiệm của phương trìn h . Hãy xác
1 1 4
'
định ct sao cho — + — = — . Trong trường hợp đó chứng

Vã

X.

minh rằng: Xj2 + x22 < 1,9.

Giải: a) M uôn phương trìn h có nghiệm ta phải có:

A’ > 0, tức là: 1 - 2cosa > 0, tức là: cosa < —
z

Từ đó: — < a < TC(do 0 < a < n ) .
3

n
Vây với — < (X< Tt, thì phương trình đã cho có nghiệm.
3
*1 + *2
1
1
b) Ta có — + —
Xj

x2

X1X2

N hư vậy, ta cần phải có:

cosa = -

cosa

cosa

Vã

, hay là

V3

Õ7Ĩ
hay là a = —— . Giá tri này thừ a n h ân đươc vì

6

Lúc

TC 5rt
~ <
< n.
3
6
đ ó : Xj2 + x 22 = ( x ,

+ x 2) 2 - 2 x ^ X 2 =

= 1 _ cosa - 1 + Ẽ .
2

Vã

B ất đẳng thức 1 + —— < 1,9 là hiển nhiên.

2

11


Vi dụ 2. Cho phương trình:

X2 -

2(m - l)x + m - 3 = 0.'.

a) Chứng m inh rằn g với mọi m phương trìn h luôn luônn
có nghiệm .
b) Tìm m ột hệ thức liên hệ giữa các nghiệm m ằ khôngg
phụ thuộc vào m.
c) Xác định m sao cho phương trìn h có hai nghiệm tráiíi
dấu và bằng n h au về giá trị tuyệt đối.

Giải: a) T a có A’ = m2 - 3m + 4 = ( m ----- )2 + — > 0
v

2 '
4
với mọi m. Vậy phương trìn h đâ cho luôn luồn có nghiệm,
b) Ta có

•

"

(1)
( 2)

Từ (2) suy ra: m = X j. x2 + 3.
T h ế giá trị m vào (1) ta được: (Xj + x2) - 2Xj X2 = 4.
Đây là hệ thủe liên hệ giữa các nghiệm mà không phụụ
thuộc vào m.
c)
Muốn phương trìn h có hai nghiệm trá i dấu và bằngg
n h au về giá tr ị tuyệt đối ta cần có
/ X j. x2 = m - 3 < 0
Ị x 1 + x 2 = 2 ( m - 1) = 0

Ị m < 3,
i m = 1.
Vậy m = 1 là giá tr ị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

hay là

Ví dụ 3: Gọi a, p là các nghiệm của phương trình
3x2 + 7x + 4 = 0.

Khống giải phương trình, hãy th àn h lập phương trìnhh
bậc hai vổi hệ số bằng số’ mà cáq nghiệm của nó là:
12


ct
3 -1

.

3
a - 1

7
4
Giải: Theo đinh lý Viét: a + 3 = -~7T i a-P = o
á
3
(Chú ý rằ n g a * 1 và 3 * 1). Ta có:
ạ
3
_ ạ 2 + 32 - ạ - 3 _
3 - 1 + a - 1 ~ ( a - 1)(3 - 1)
_ (a + 3)2 - (a + 3) - 2a3
ap - (a + 3) + 1

a
3 - 1
Vậy

_ 23_

21

3 _ ______ a 3 _____ _ 6
a - 1
a3 - (a + p) + 1 21

— và

là các nghiệm của phương trìn h

21X2 - 23X + 6 = 0
Ví dụ 4. Với những giá trị nào c ủ a a th ì phương trình
15
X2 - — X + a 2 = 0 có n g h i ê m v à m ô t n g h i ê m b ằ n g b ĩ n h
4
p h ư ơ n g c ủ a n g h i ệ m k ia .

Giải: Trước h ế t phải có A > 0 <s=s> I a I < ^
Theo định lý Viét:
_ 15
x l + x2 = 4
(x j.x 2

= a2

Không m ấ t tín h tổng quát, ta có thể coi x2 = Xj2 như vậy
ta có:
2 =

4
= a 2.

(1)
(2)
13


Từ (2) => Xj = ^/ã2 . T h ế vào (1) ta có:
w +

(* ? )* = ặ
4

2
=> a = ± || g
i

ĩ

15
Lúc đó, hiển nhiên rằn g |a ( < — . Vậy n h ữ n g ¡giá trịrị
8

a cần tìm là a = +

Ví dụ 5. Chứng m inh rằng hệ thức (k + .l) 2ac - k b 2 = F0
(k *■ 0) là điều kiện cần và đủ để tì số các n g h iê m c ủ ả a
phương trìn h ax2 + bx + c = 0 bằng k. (Giả sử p h ư ơ n g trìn h h
đã cho có nghiệm).

Giải: Xét biểu thức
p = (x2 - k x g ) .^ - kXj) = XjX2 + k 2X}X2 - k (X j2 + x 22) ==

ac + k2ac - kb2 + 2kac

(k + l)2ac - k .b 2

2

a
N hư vậy, nếu (k + l)2ac - kb2 = 0, thì một tro n g h a i th ừ ư a
số của p p h ải bằng không và ngược lại. Đó c h ín h là điềừu
phải chứng m inh.

Ví dụ 6. Giả sử hai phương trình: a ,x 2 -b bjX + Cj = 00
và a 2x2 + b2x + c2 = 0 có ít n h ấ t một n g h iệm «hungg.
Chứng m inh rằng:
(a2bj - a 1b2)2 ~ (a 2bi - a ib 2) • (c jb2 - c2b j)..
Giải: G iả sử hai phương trìn h có nghiệm chung x0 tức lắ à
đồng thời có các đẳng thức:
14


a l x o2 + b l x o + c l = 0 »

(!)

a 2X02 + b 2X 0 + c2 = 0.

(2)

N h ân (1) vỏi a 2 và nhân (2) vổi a t rồi trừ đi n h au ta
được:
(a2bj - a 1b2)x0 + (a2Cj - ajC2) = 0

(3)

N hân (1) với b2 và nhân (2) với bj rồi trừ đi n h au ta
được:
(ajb2 - a 2b 1)x02 + (Cjb2 - c^ ị) = 0

(4)

Từ (3), suy ra:
(a2c, - ajC2)2 = ( a ^ - a 2bj)2.x02 =
= (ajb2 - a 2b j ) . [ ( a ^ - a2b 1)x02] —
= ( a ^ - a2bj) . (c2b 1 - c ^ )

(do 4)

= (a2bj - a (b2) . (Cjb2 - c2bj).
Đó là điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. Giả sử phương trìn h ax2 + bx + c = 0 có đúng
m ột nghiệm dương. Gọi nghiệm đó là Xj. Chứng m inh rằ n g
phương trìn h cx2 + bx + a ~ 0 cũng có đúng một nghiệm
dương. Gọi nghiệm đó là x2, chứng m inh rằn g Xj + x2 > 2.
Giải: Từ giả thiết, dễ dàng suy ra phương trìn h
cx2 + bx + a = 0 cũng có đúng m ột nghiệm dương.
Do Xj là nghiệm của phương trìn h ax2 + bx + c = 0 nên

aXj2 + bxj + c = 0. Chia cả hai v ế của đẳng thức trê n cho
Xj2 * 0 ta được a + b |“ Ị + c (“~ ) = k
Như vậy —

, chính là nghiệm của phương trìn h

X1

15


ex2 + bx + a = 0.
Do nghiệm — > 0 nên — = X,. Từ đ ó
■

*1

X1

1
Xl + X2 = Xj + ^ - > 2.
X1
Bài toán được chứng m inh xong.
Ví' d ụ 8. C hứng m inh rằng nếu phương trìn h X2 + px í +
+ .q = 0 với P, q là các số nguyên, có các nghiệm h ữ u tỉtỉ,
thì các nghiệm đó là những số nguyên.
Giải: N ghiệm của phương trình đã cho là:
X1,2 “

- P ± V p2 - 4q

2

Do các nghiệm là hữu tỷ nên p2 - 4q phải là sô” chínhh
phương. Tức là p z - 4q = k2 (*), với k là số nguyên nào đđỏ.
Có h a i k hả n ă n g xảy ra đối với p:
a) G iả sử p là số lẻ: khi đó, từ (*) suy ra k phải là sô' léẻ.
b) G iả sử p là số chẵn: khi đó, từ (*) suy ra k phải là s s ố
chẵn.
X,

V ậy p và k cùng tín h chẵn, lẻ. Từ đó, tử số của nghỉệrcra
2 là m ột số chẵn. Tức X, 2 là những số nguyên.

Ví d ụ 9. C hứng m inh rằng chỉ có duy n h ấ t m ột cặp ssô
(x,y) th ỏ a m ãn phương trình:
X2

- 4x + y - 6 Vỹ + 13 = 0.

(1)

Giải: Trước hết, ta p h ả i có y > 0.
Xem phương trìn h (1) là một phương trìn h bậc hai đđối
vối X (y là th a m số). Đ ể phương trìn h đó cỏ nghiệm ta phaải
có A’ > 0, hay là: A’ = 4 - (y - 6Ýỹ + 13) =

= - (Vỹ - 3)2 > 0.
16

B ất đ ẳ n g thức này chỉ thỏa mãn duy n h ấ t tại m ột giá tri
Vy = 3 ỉhay y = 9.
Với y = 9 suy ra

X

= 2,

Vậy, chỉ duy n h ấ t một cặp số X = 2, y = 9 thỏa m ãn
phương trìn h đâ cho.
Ví d ụ 10. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC
3
ta luôn luôn có: cosA + cosB + cosC £ — ..
2

Giải: Có nhiều cách chửng m inh bài toán này. Dưỏi đây
xin trìn h bàỵ m ột cách giải “độe đáo” dựa vào k iến thức
phương trìn h bậc hai.
Xét Z_\ABC b ấ t kỳ. Đ ặt cosA + cosB + cosC = k.
Từ đó
/A + B V
/A - B\ /
. 9c \
2cos( - ^ - ~ ) C0S( ~ Y ~ ) + Ị 1 - 2sin 2 ) - k '
hay là:
2sin2 -^- 2

/ A - B\
c
jsin — + (k - 1) = 0.

2
2 /

2 cqs|
\

c

Đáy là phương trìn h bâc hai đối với sin — . H iển nhiên
2
rằng phương trìn h này có nghiệm. Tức là ta luôn luôn có:
A’ > 0,
hay là:

A - B\
C0S(

2

)

2 *f cos2:
hay là:

TSCTI

A - B

k < ------------

17


Như vậy, ta chứng minh được:
cosA + cosB + cos

3
c_ <—
2

B ất đẳng thức có dấu bằng khi và chỉ khi A = Bi3 =
= = 60° tức là khi AABC đểu (độc giả tự kiểm tra k ết qiquả
này).

c

Ví dụ 11. G iả s ử Xj, x2 là hai nghiệm c ủ a phương trìrìn h
X2 - 3x + m = 0; x3, x4 là h ai nghiệm c ủ a phương trìrìn h
X2

- 12x + n = 0. B iết rằn g Xj, x2, x3, x4 lập th à n h một Cỉcấp

số n h â n tàng. H ãy tín h m và n.
Giải: Để các phương trìn h có nghiệm , trước h ế t 1 ta
phải có
Aj = 9 - 4 m 2: 0 ,
A2 = 144 - 4n > 0
9
hay m < — v à n <. 36.
4

Theo định lý V iét ta cỏ
( 1)

»

(2 )

)

(3) )
(4) >

Gọi c ô n g

b ộ i c ủ a c ấ p sô' l à q t a có:

x 2 = x 1q ; Xg - x t q2 ;

T ừ (1) và (2):

x 4 = x 1q 3.

Xj + XjQ = 3,

(5) )

Xjq2 + x xq 3 = 12

( 6) )

Lấy (6) chia cho (5) vẻ' theo v ế và rú t gọn ta được:
(q + l)(q2 - 4) = 0
=>

18

q = -1 ; q = -2

q =

2.


Do cấp sô' n h ân là tăng nên chỉ lấy được giá trị q “ 2.
Vối q = 2 => X, = 1, X,, = 2, x3 = 4, x4 = 8.
T ừ (3) và (4) :=> m = 2, n = 32. Cả h ai giá trị này đều
thỏa m ãn.
V ậy m - 2; n = 32.
Ví dụ 12. Cho hai phương trình:
X2

+

X

+a = 0;

X2 +

ax + 1 = 0.

a) Với những giá trị nào của a, th ì h ai phương trìn h có
nghiệm chung?
b) Với những giá trị nào của a, th ì h ai phương trìn h
tương đương?
Giải: a) Già sử hai phương trìn h có nghiệm chung. Gọi
nghiêm chung đó là X = x 0. T h ế thì:
x02 + x0 + a = °xo2 + a x o + l = 0

(1)
(2)

Lấy đẳng thức (1) trừ đi đẳng thức (2) v ế theo vế, ta
được:
(1 - a)x0 + (a - 1) = 0, hay là (1 - a)(x0 - 1) = 0.
Từ đó suy ra: x0 = 1, hoậc a = 1N hư vậy, nếu hai phương trìn h có nghiệm chung, thì
nghiệm chung đó phải bằng 1. Thay x0 = 1 vào đẳng thức
(1), ta n h ận được a = -2. Lúc đó hai phương trìn h có dạng:
X2 + X - 2 = 0
X2 - 2x + 1 = 0
và hiển n hiên có một nghiệm chung là X = 1 .
Vối a = 1, thì hiển nhiên cả hai phương trìn h đểu vô
nghiệm. Vậy, chỉ vói a = - 2, thì hai phương trìn h đã cho
có nghiệm chung.
b) Hai phương trìn h được gọi ỉà tương đương nếu xảy ra
19


m ột trong hai khả năng sau:
a)

Mọi nghiệm của phương trìn h này đều là nghiệm của
phương trìn h kia và ngược lại.
p) Cả hai phương trìn h đều vô nghiệm.
Rõ ràn g rằng, theo lý luận ở câu a), các tậ p hợp nghiệm
của h ai phương trìn h đã cho không th ể trù n g n h au . Vậy
trư ờng hợp thứ n h ấ t không th ể xảy ra.
T a xét tiếp khả năng th ứ hai. Gọi Aj, A2 lần lượt là biệt
thức của phương trìn h (1) và phương trìn h (2).
H ai phương trìn h đểu vô nghiệm , nếu:
í Aj = 1 - 4a < 0,
ỉ A2 = a 2 - 4 < 0.
hay là:

1
/ a >“ ,
4
1 -2 < a < 2 ,

h ay là:

— < a < 2.
4

Vây vói —• < a < 2, th ì hai phương trìn h đã cho tương
4
đương.
V í dụ 13. Giả sử a, b, c là ba số khác nhau từng đôi m ột
v à c 5*0. Chứng minh rầng nếu phương trìn h X2 + ax + bc = 0
và phương trin h xz + bx + ca = 0 có đúng một nghiệm
chung, thì nghiệm khác của các phương trìn h đó thỏa m ần

phương trình: X2 + cx + ab = 0.
Giải: Giả sử phương trìn h th ứ n h ấ t có các nghiệm là x0,
Xj J phương trình thử h a i có các nghiệm là x0, x2 (xữ là
nghiệm chung, Xj 5* x2). Khi đó:
x02 + ax0 + bc = 0,
x”2 + bx0 + ca = 0.
20

(1)
(2)


Lấy (1) trừ đi (2) ta được: (a - b)(xo - c) = 0. Từ đó:
x0 = c (do a * b). ■
Ngoài ra, theo định )ý Viét: Ị

X0 X1

= bc,

ỉ X 0X 2. = ca,
Từ đó: Xj = b ; X, = a.
Vậy:

Xj

+ x2 = a + b.

M ặt khác, cũng theo định lý Viét:
Ị x0 + Xj = -a,

i X ,+ x; = -b.
Cộng (3) và (4) lại, ta được:
2x0 + (xt + x2) = - a - b.

(3)
(4)

T ừ đó suy ra: a + b = - c,
N hư vậy: j Xj + x2 = - c
ị Xj.x,, = ab.
Từ đó suy ra

X j,

x2 chính là nghiệm của phương trình:

X2 + cx + ab = 0.
(Hiển nhiên rằng: c2 - 4ab > 0. Thậy vậy: c2 - 4ab =
(- a - b)2 - 4ab = a 2 + b2 - 2ab = (a - b)2 >0.
BÀI TẬP

1. Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên nếu biết
m ột nghiệm của nó là:

_ Vã - YB
x “ Vã+V5 •
2. Giả sử a, b, c là ba cạnh của m ột tam giác. Chứng
m inh rằng phương trình:
b2x2 + (b2 + c2 - a 2)x + c2 = 0 võ nghiệm.
21

3. Cho hai phương trìn h .

+ P jX + qj = 0 ,
X2 + p ọx + q2 = 0.
X2

B iết ră n g p ^ g = 2(qt + q2). C hứng m inh rằ n g ít n h ấ t
m ột phương trìn h đã cho có nghiệm .
4» Với giá trị nào của k thì tổng các b ìn h phương các
nghiệm của phượng trìn h 4x2 - 28x + k = 0 bằng 22,5.
5. Với những giá trị nào cửa k th ì phương trìn h :
x2 - IXI + k = 0 có m ột nghiệm duy n h ấ t.
6. Ba số a, b, c thỏa m ãn các điểu kiện a > 0, a 2 = bc;
a + b + c = abc.
a) Chứng minh rằng: a > V3 ; b > 0, c > 0 .
b) Chứng minh rằng: b2 + c2 > 2a2.
X2

7 . B iết rằn g tg a và tgP là h ai nghiệm củ a phương trìn h
+ px + q = 0. H ãy tín h biểu thức:

E = sin2(a + p) + psin (a + p)cos(a + p) + qcos2(a + p)
theo p và q (dự trữ A - 1971)(*).

8. Giả sử a , p là các nghiệm của phương trìn h X2 +
px + q = 0. Hãy lập phương trìn h bậc h ai có các nghiệm là:
(a + P)2 và (a - p)2.

9. Giả sử Xj, x2 là các nghiệm của phương trìn h :
X2

+ 2mx + 4 = 0.

a) H ãy tín h theo m các biểu thức sau đây:
M = f x 1 +Vx^; N = lỊĩĩ[ + ^ x ^ .
b) Xác định m sao cho: xj + x | < 32.
(*) Trong cuồn sách này có dẫn ra một số câu hỏi trong các để thi
vào đại học các năm trước đây. Tử nay vê' sau, nếu viết (A - 1972)
nghĩa là đề thi khôi A năm 1972; nếu viết (dự trữ B - 1975) nghĩa là
ở dế dự trữ khôi B năm 1975.

22


/ x) \ 2 / x2\2
c) Xác định m sao cho: Ị — + Ị — j > 3.
10 . Chứng m inh rằng nếu các hệ số của phương trìn h
ax 2 + bx + c = 0 liên hệ vối nhau bởi hệ thức 2b2 - 9ac = 0,
thì tỷ sô' các nghiệm của phương trìn h bằng 2.
11. Giả sử a + b + c và c là những sô' nguyên lẻ. Chứng
m inh rằ n g phương trình ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm
nguyên.
12. C hứng m inh rằng nếu các sô' hữu tỷ a, b, c thỏa mãn
điểu kiện: ị b I = I a + c I, thì phương trìn h ax2 + bx + c = 0
có nghiệm hữu tỉ.
13 . Tìm điều kiện để các phương trình: X2 + ax + bc = 0;
+ bx + ca = 0; X2 + cx + ab = 0 từng đôi một có nghiệm
chung.

X2

14 . Cho a, b, c là ba số khác không, còn p, q là hai sô' tùy
ý. Chứng m inh rằng phương trình:
a2
b2
-------- + ------- = c
X - p
X - q
luôn luôn có nghiệm.
15 . Chứng m inh rằng nếu hai phương trình:
- (3a - l)x + 2 a2 - a - 0; X2 - (2a + 5)x + a 2 + 7 a = 0
có nghiệm chung x0, thì: (a - 12)x0 + lõ a = 0.
X2

16 . Với n h ũ n g giá trị nào của k, h ai phương trìn h sau
đây có một nghiệm chung:
2x2 +. (3k + I)x - 9 = 0; 6x2 + (7k - l)x - 1 9 = 0.
17. Chứng m inh rằng trong mọi AẢBC ta luôn có:
N
A
B
C
1
a) sin — sin — sin ■
— <— ;
2

2

2

8

23


9
b) sin2A + sin 2B + sin2C < — .
4
18. Tìm những cặp số

X,

y thỏa m ãn các phương trình:

a) x2y4 - 16xy3 + 68y2 - 4xy + x2 = 0
b)

X2

- 6xsiny + 9 = 0 (dư trữ A - 1971).

19. (A - 1981) Tìm giá trị lốn n h ấ t và nhỏ n h ấ t của tổng
các bình phương các nghiệm của phương trình:
X2

- (3sina - cosa)x - 4 - 4cos2a = 0

khi tham số a biến thiên.

20*. Cho hai phương trìn h

X2

+ px + q = 0

X2

+ mx + n = 0.

Giả sử a là một nghiệm của phương trìn h thứ n h ất, 3 là
một nghiệm của phương trìn h th ử hai. Chứng minh rằng
cx = k3 khi và chỉ khi:
(q - k2n)2 + k(p - km)(knp - qm) = 0.
21 *. Giả sử phương trình ax2 - bx + b = 0 (a.b > 0) có các
nghiệm là Xj, x2. Chứng m inh rằng tồn tại các Bố a k = ± 1
(k = 1 ; 2) sao cho:

22*. Chứng m inh rằng vồi mọi sô' tự nhiên n, số
N - n2 + 5n + 16 không chia hết cho 169.
23*. Chứng m inh rằng nếu a, b, c, đểu là những số
nguyên lẻ thì phương trìn h ax2 + bx + c = 0 không có
nghiệm hữu tỷ.
24*. Giả sử p = abc là số nguyên tố. Chứng minh rằng
phương trìn h ax2 + bx + c - 0 không có nghiêm hữu tỉ.
24


25*.

G iả

sử

x0 là

nghiệm

của

phương

trìn h

ax2 + bx + c = 0.
a) C hứng minh rằng I x0| < 1 + max

c

b
a

y

—

a

(a * 0).

b) C hứng minh rằng I x01< ———— ---- (ab * 0).
I ab Ị
26*. Giả sử X j, x2 là các nghiệm của phương trình
X2 - 6x + 1 = 0 . Chửng minh rằng với mọi sô“ nguyên
dương n, số Sn = xỊ1 + X? ỉà một số nguyên và không chia
h ế t cho 5.
27*. Giả sỏ m, n là những sô' tự nhiên và các nghiệm của
phương trìn h X2 - m(n +l)x + m + n + l = 0 cũng là những
số tự nhiên. Chửng minh rằng: m.n < 4.
28*. Giả sử Xp x2 là các nghiệm của phương trình
x2+px-l= 0 vỏì p là số nguyên lẻ. Chứng minh rằng với mọi
số tự n h iên n, các số Sn= x ,n + x2n và Sn+1= Xị 11*’ + x 2n+1 là
nhủng số nguyên, nguyên tố cùng nhau.
29*. Trong mọi cặp nghiệm của phương trìn h X2 - yx2 - y + 8x + 7 = 0, hãy tìm cặp nghiệm (x, y) mà y có giá trị
lốn nhất.
§2. C ác b à i to á n q u y về p h ư ơ n g tr ì n h b ậ c h a i
Trong chương trìn h phổ thông, chúng ta thường gặp các
bài toán phải giải; các phương trìn h hoặc hệ phương trình,
mà các phương trìịnh hoặc hệ phương trìn h đó thường được
th ể hiện dưới cúc hình thức:

- Phương trình bậc cao;
* Phương trìn h vô tỉ;
- Phương trìn h siêu việt;
- Phương trìn h lượng giác, v.v...
25


Trong phần th ứ hai ctưói đây và tập III, chúng tôi sẽ
trìn h bày m ột cách đầy đủ và có hệ thổng các phương pháp

để giải các loại bài toán đó.
Trong chương trìn h này, chúng tôi chỉ nêu m ột vài th í
dụ điển hình, cỏ tín h ch ất m inh họa để bạn đọc th ấy được
vai trò của phương trìn h bậc hai.
Cáe p h ần bài tậ p về loại này như ng khó hơn (có tham sô)
sẽ được trìn h bày trong §2 của chương II.

1. Phương trình bậc cao
Để giải một phương trìn h bậc ba, bậc bốn, ta cỏ thể dùng
phép th ử trực tiếp để tìm ra m ộ t nghiệm đặc biệt, hoặc
dùng phương pháp nhóm các sô' h ạ n g để p h ân tích đa thức
th à n h tích các th ừ a số bậc n h ấ t hoặc bậc hai. Có những
phương trìn h ta phải dùng ẩn số phụ để đưa vế phương
trìn h bậc th ấp hơn.
Ta xét một số ví Ví dụ 1. Giải phương trìn h
2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.
Giải: T a có:
2x3 + 7x2 + 7x.+ 2 = 2(x3 + 1) + 7(x2 + 1) =
- 2(x * l)(x2 - X + 1) + 7x(x + 1) =
= (x + l)(2x2 + 5x + 2).
Vậy phương trìn h đã cho có dạng:
(x + l)(2x2 + 5x + 2) - 0.
Vối X + 1 = 0, ta có Xj - -1.
Với 2x2 + 5x + 2 = 0, ta có x2 = - 2 ; x3 = Vậy phương trin h đã cho có ba nghiệm:
1

«