giai phuong trinh logarit bang phuong phap dua ve cung co so

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƢƠNG PHÁP
ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA
o

{

o

* o

 f(x) = ab

* o

o

(*)
{

+) Nếu a > 1 thì (*)

+) Nếu 0 < a < 1 thì (*)  {
có nghĩa  {

Chú ý: o

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp
o

 {

o

Phương trình mũ cơ bản: o
* o
* lg x = b

(0 < a ≠1)

 x = ab , (0 < a ≠ 1)
 x = 10b

, ln x = b

 x = eb

Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1. o

o

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

2. o

o

o

o

Lời giải
1. Điều kiện: x > 0
Phương trình cho trở thành:

o

o

phương trình dạng 4x2 + 5x – 125 = 0

đưa phương trình này về

 x = 5 hoặc x =

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 5 hoặc x =
2. Điều kiện: x > 0. Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số o
Phuương trình cho tương đương: o
 o

(

)

 o

x=1

Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1.
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức o

sẽ giải quyết nhanh

gọn và đẹp hơn.
Ví dụ 2: Giải phương trình: o

o

√

Lời giải
Điều kiện: 0 < x ≠ 2
Cách 1: Phương trình cho viết lại: o
Hay o

o
tức

Giải phương trình này ta được: x = 1, x = , x = 3.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2

Cách 2: Phương trình cho viết lại: o
Hay o

o

) = 0 tức |x – 2|. (

)=1

(*)

Nếu 0 < x < 2 thì |x – 2| = - (x – 2) = 2- x. Khi đó phương trình (*) viết lại:
-x2 + 2x = x2 – 3x + 3

 x = 1 hoặc x =

Nếu x > 2 thì |x – 2| = x – 2. Khi đó phương trình (*) viết lại:
x2 – 2x = x2 – 3x + 3

x=3

Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm x = 1, x = , x = 3.
Ví dụ 3: Giải phương trình: o

o

√

√

Lời giải
o (√

o

)

√

2

(*)

Với x ∈ [- ; ] phươn trình * viết lại
 o

o (√

 8 – x2 = 4(√

√

Đặt t = √

√

)

√
) (**)

, phươn trình ** trở thành (t – 2)2(t2 + 4t + 8) = 0

Phươn trình này có n hiệm t = 2 hay √
Bình phươn

√

= 2.

vế và rút gọn ta được: x = 0

Chú ý: Từ (**)  (


√

√

)

(

√

)

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


 x = 0 hoặc

√

√

=> x = 0
Ví dụ 4: Giải phươn trình:

√

√

√

Lời giải
Điều kiện: {

Để ý:

 -1 < x < 1

√

Phươn trình cho 


√

=

√

√

(*)

√

√

√

√

 1 – x = 100

√

√

√

 x = -99 (**)

Từ * và ** suy ra phươn trình vô n hiệm.
Ví dụ 5:
Giải phươn trình:

o

o

o

√

o

]

Lời giải
Điều kiện:

Phươn trình cho 
 6. o

. o

o

o
o

o

o

]

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


 o

o

 o

. o

o

(o

+

o
o

o

o

-2o

. o

o

o

o

o

)=0

=0

điều kiện: x > 0)

Có 2 TH xảy ra:
 (1)

o

o

<=> o

 x = |3x – 4|

o

 x = 3x – 4 hoặc x = -(3x – 4)

 x = 1 hoặc x = 2
(2)

o

o

=0

x=

<=> o

o

 9x2 – 25x + 16 = 0

= o

x=

Vậy, phươn trình cho có n hiệm: x =1, x = 2, x =

Lời bình:
Khác với bài trên, bài toán này lắm sai lầm mà n ười giải vấp phải
o

o

; o

đổi khôn tươn đươn , đôi chút

o

o
√

là các phép biến

√

là không thể.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình:
1. o

o

3. o
5. o

o
o

o

2. o
4. o

o

o

6. o

o
o

+1

√

]

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5

7. o

o

8. (√

o
) o

√

9. o

o

o

o

Bài 2: Giải các phương trình:
1. o

o

o

3. o

o

o

5. (x – 1) o

2. o
,

o

o

4. lg(6.5x – 25.20x) – lg 25 = x

√

o

o

o

6. lg (x2 – 7x + 6) = lg (x -1) + 1
7. o

o

9. o

8. o

√

o
o

11.

10.
o

√

12. o

o
o

o

Bài 3: Giải các phương trình:
1. o

o

3. 1 + o
4.

2. ln3 x – 3ln2 x – 4ln x + 12 = 0

o

o

o

o

Bài 4: Giải các phương trình:
1. o

o

2. 1 + o

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


o

3.

o

4.

(

)

Bài 5: Giải các phương trình:
1. o

o

o
√

2. o

o
o

3.
o

o

4. 1 + o
5.

o
o

√

o

o

o

o
HƢỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:
1. Điều kiện: x > 0
Phương trình đã ccho tương đương với: o
 o

o

o



o
o

o
= 11

 o

 x = 64

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm.

2. Điều kiện: x >
Phương trình đã cho viết lại:
o
Với o

+ 1 tức là o
 2x + 1 = 32 = 9

]

o

]

x=4

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Với o

 2x + 1 = 3-1 =

Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x =
3. Điều kiện:

hoặc x = 4.

Phương trình cho viết lại: 2. o
o

x=

o

tức là:

 {

o

ặ

{

 x = -1
Vậy, phương trình cho có nghiệm x = -1.
4. Điều kiện: {

=>

Phương trình đã cho trở thành: o

o

 o

 |x – 1|(2x – 1) = 3



, phương trình (*)

(*)

 - (x- 1)(2x -1) = 3 phương trình này vô

nghiệm với ∀x ∈ ( ;


 (x – 1)(2x -1) = 3, giải phương trình này ta được

> 1, phương trình (*)

nghiệm x = 2 thỏa mãn bài toán.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
5. x > 1
Pt  o


o

o
o

o

o

o
o


o

=3

o


o

o
o

( o

)

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


 o

o

 o

 x = 16

]

6. o

o

 (x +2)(x – 2) = 16

7. Điều kiện: x > 2.
Phương trình  o

o

 x2 – 3x + 2 = 6

 x2 – 3x – 4 = 0

 x = -1 hoặc x = 4.

Đối chiếu điều kiện, ta có: x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho.
8. Điều kiện: -1 ≤ x < 0
Phương trình
(1)

√

 2 trường hợp:
√

√

√

√

 x=0
(2) o





√

 x=

Đối chiếu điều kiện, suy ra x =
9. 

o

o

√

là nghiệm của phương trình đã cho.

o

o

x=3

Bài 2:
1. Điều kiện: x > 0
Phương trình cho  o
 o
Chú ý: o

=

o

o
 o

o

o

o



o

vì x > 0 nên o

o

o

 x = 3 thỏa mãn điều kiện.
o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


2. Điều kiện: x > 0
o

Phương trình cho 
o

 (

o
o

<=>

3. Phương trình cho

 o

 o

=

 o

o
o

o
o

o

o

√




4. Điều kiện: 6.5x – 25.20x > 0

 4x <

Phương trình cho 

=

 2x =

hoặc 2x =

 x= o

o

 o
o

√

25.4x + 25.2x – 6 = 0

o
 x = 16

√

o

=

o

√

√
x=

 x< o

=

√

x< o

√

 6.5x -25.20x = 25.10x

<=> 25.(2x)2 + 25.2x – 6 = 0
<0

√

5. Phương trình cho  o

o



 x = 0; x = 2

6. Điều kiện: {

o

 x>0

Khi đó, phương trình cho tương đương:


 x2 – 17x + 16 = 0

 x = 1 và x = 16

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Kết hợp điều kiện, suy ra x = 16 là nghiệm của phương trình đã cho.
7. Điều kiện: {
Phương trình cho  o

o

 (2x2 – 3x + 1)2 = 9

 (2x2 -3x -2)(2x2 – 3x + 4) = 0
8. Phương trình

{

 {

9. Điều kiện: {

√

 o

√

o

o

o


√



=

 x2 – 2x +1 = 0

 16(x +3) =

10. Điều kiện: {

√

 x = 1 thỏa điều kiện.

{

Phương trình cho  lg x2 – lg(6x – 5) = 0


x=4

 x > -3

Phương trình cho 
 o

 x=2

 x2 – 6x + 5 = 0



≠1

(*)

 lg

 x = 1 hoặc x = 5

So với điều kiện (*) => x = 5 là nghiệm của phương trình.

Chú ý: Nếu không có điều kiện (*), việc biến đổi phương trình cho
 lg x2 – lg (6x – 5) = 0

 lg

= 0 là không nên. Vì sao vậy??

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


11.  (x + 3)|x – 1| = 4x

 2 hệ phương trình

(1) {

x=3

(2) {

 x = 2√

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 2√

và 3

12. Điều kiện: x ∈ (-∞; -4) ∪ (-3;-2) ∪ (-1; +∞)
Phươn trình  o

o

 (x2 + 5x)(x2 + 5x +10) = 0
 x = 0; x = -5
Bài 3:
1.  o

o

Đặt t = o

khi đó phươn trình

(*) => t(1 + t) = 2

 o

,=> t2 + t -2 = 0

=> o
o

]

o

(*)

 t = -2 hoặc t = 1

 2x + 1 = 2-2

 2x =

 2x + 1 = 2

x=0

< 0 (1)
(2)

Từ (1), (2) ta có nghiệm của phươn trình à x
2. Điều kiện: x > 0
Đặt t = ln x
Phươn trình
 t = -2

viết lại: t3 – 3t2 – 4t + 12 = 0

 ln x = -2

 (t + 2)(t – 2)(t – 3) = 0

 x = e-2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12

t=2

 ln x = 2

 x = e2

t=3

 ln x = 3

 x = e3

3. Điều kiện: {

{

(*)

Để ý: o
(3)  1 + o

{

o

1+

{

o

o

o

 Hai hệ phươn trình:
(1) {
(2) {

 o

o

 x +2 =

 o

o

 x + 2 = 52

x=
 x = 23

Thỏa mãn điều kiện (*)
4. Ta có: o
o

o

o

, o

Điều kiện: {
Phươn trình
 o

o

{
o


o

o
]

o
=> x = 1 - √

hoặc x = 2

Bài 4:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13

1. Điều kiện: {

 x < -5 hoặc x > 5

Phươn trình cho  o
 x = 6 hoặc x = 4

 o

(*)

 |x – 5| = 1

(**).

Từ * , ** suy ra phươn trình có n hiệm x = 6

Lời bình:
Phươn trình cho  o
 o

o

 o

o

o

o

o

 x =6

Thoạt nhìn thấy bài giải rất hợp í và cho đáp án đún ; cách iải này khá nguy hiểm
vì nó thu hẹp miền xác định. Kết quả đún chỉ là 1 sự may mắn ngẫu nhiên.
2. Điều kiện: {
 x > 1 hoặc x < -7

(*)

Phươn trình cho  1 + o
 o


 {

ặ

{

o

o
 o

=

hoặc {

 x = -13

(**)

Kết hợp (*) và (**) thì x = -13 là nghiệm phươn trình

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Lời bình:
Việc áp dụng công thức o

o

o

làm miền xác định được mở rộng

ra, tuy nhiên tron trường hợp trên không làm thayddooir miền xác định. Tuy nhiên
nếu áp dụng o

o

sẽ làm co hẹp miền xác định của phươn

trình.

3. Điều kiện: {

 {

Phương trình cho 

o

o
{

 o
(1) {

 2 hệ pt

{

√

{

=> x = 3 + √
(2) {

{

{

=> x = 3

Vậy nghiệm của phươn trình à: x = 3 + √ và x = 3

Lời bình:
Cũn như bài trên, n uyên nhân sai ầm của bài này nếu áp dụng o
o

, sự co hẹp của miền xác định đã àm mất nghiệm x = 3.

4. Điều kiện: o


1

 3x +2

o
20

x

 o
6

Phươn trình cho  lg (x2 – x + 10) – 1 – lg 4 = lg2( o

o

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15

 lg

=

. o

 lg

{

 {

= lg

 {

ặ

{

 x = 1 hoặc x = 6

So với điều kiện, chỉ có nghiệm x = 1 là thỏa mãn.

Lời bình:
Nếu tron bài toán trên, khôn tìm điều kiện phươn trình có n hĩa, vô tình nhận
thêm nghiễm = 6, với x= 6 thì o

o

nên x = 6 là nghiệm

ngoại lai của phươn trình
Bài 5:
1. o

o

2. o

o

 x2 – 1 = (7 – x)2

 x = -17, x = 3.

 (x – 5)2 = 1

 x = 6 thỏa mãn điều kiện x > 5
3. Điều kiện:

và x

0

Phươn trình cho tươn đươn :

o

 [o
 (1) o

] o

o

o
o

o

] o

 2x +1 = 2-1

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


(2) o

o

 5 – 2x = (2x +1)2

(3) 5 – 2x = 20
x=
4. 1 + o

5.

o

,x=

; x = ±2
o

 (x – 7)|x - 1|=6(x – 1)
o

=> x = 13

o

 4|x + 2| = (4 – x).(x +6)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17