Mot so PP giai PT chua can thuc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (512.95 KB, 42 trang )
BÀI TẬP ÔN TẬP HÈ
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Gmail:
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 1
Phương pháp lũy thừa
Bài 1: Giải phương trình sau:
√
√3 − 1 − √ + 7 = 0
=
1
3
√ +7−5 =−
√ +8
−4 +3=4 −
√2 + 7 − = 6
Bài: 2: Giải phương trình sau:
)√2 − 4 = 2
) √2 − 16 = + 4
Bài 3: Giải phương trình sau:
7
+ 8 + 10 −
− 8 + 10 = 2
)√4 −
)√3 − 15 = − 3
) √5 − 6 = − 3
) 2
=
−1
+1=
−1
−4=2
) – +2 +4 = −2
Bài 4: Giải phương trình sau:
)√ −1 = −7
) 9 + √3 − 2 = 10
)
−1 = −1
) √3 + + √6 − = 3
) √9 + = 5 − √2 + 4
Bài 5: Giải phương trình sau:
) − √2 + 3 = 0
) √3 − 2 + √ − 1 = 3
ℎ) √2 + 5 − 8 = √ − 1
) +√ +1 =1
) √3 + − √2 − = 1
) 2 −3 −5= −1
)
)
)
)
− 6 + 4 = √4 −
)
− 4 + 3 = √2 −
)
)
+ 3 − 4 = √2 + 2
−2 +4 =√ +2
) √ + 3 − √7 −
) √2 + 1 + √ + 5 = 6
) √2 − 1 − 2√ − 1 = −1
−4 +9 =3
−2 −3= 2 +3
ℎ) √ + 2 − √2 − 3
= √3 − 5
= √2 − 8
) √ + 1 + √2 + 3
= √3 + √2 − 2
Bài 5: Giải phương trình sau
1+
Giải
ĐIều kiện: 0≤
2
3
−
= √ + √1 −
≤ 1. Ta có
⟺ 1+
2
⟺
3
−
2
3
−
4
4
⟺1+ ( − )+
9
3
4
− ( − )=0⟺
9
= √ + √1 −
−
=
+1−
+2
−
−
−
3−2
−
=0⟺
−
=0
3
=
2
Bài 6: Giải phương trình
√ + 1 + √ + 10 = √ + 2 + √ + 5
Giải
Điều kiện
≥ −1
⟺ 2 + 11 + 2
⟺2+
⟺4+
⟺4
Bài 7: Giải phương trình
+ 11 + 10 = 2 + 7 + 2
+ 11 + 10 =
+ 11 + 10 + 4
+ 7 + 10
+ 11 + 10 =
+ 11 + 10 = −4 − 4 ⟺
+ 7 + 10
+ 7 + 10
+ 11 + 10 = − − 1
√ +1+ √ +2+ √ +3 = 0
Giải
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 2
⟺
+1+
⟺ √ + 1 + √ + 2 = −√ + 3
+ 2 + 3√ + 1. √ + 2 √ + 1 + √ + 2 = − − 3
⟹ √ + 1. √ + 2. √ + 3 = + 2 ⟺ ( + 1)( + 2)( + 3) =
+3
⟺
+ 6 + 11 + 6 =
+ 3 + 12 + 8 ⟺ = −2
Thử lại = −2 là nghiệm của phương trình
Bài 8: Giải phương trình
+ 12 + 8
√ + 3 + √3 + 1 = 2√ + √2 + 2
Giải
Điều kiện:
≥0
⟹ √ + 3 − 2√ = √2 + 2 − √3 + 1
⟺ 5 +3−4
+3 = 5 +1−2 6 +8 +2 ⟺ 4
⟺ 2 −4 +2= 0⟺ =1
Thử lại: = 1 là nghiệm của phương trình
Bài 9: Giải phương trình
+1
+√ +1=
+3
Giải
Điều kiện
+ 12 = 6
+8 +2
− +1+√ +3
≥ −1, ta có:
⟺
⟺
( + 1)(
( + 1)(
−
+3
−
+3
+ 1)
+ 1)
+√ +1=
−√ +3 =
−
−
+1+√ +3
+1−√ +1
− + 1)
+ ( + 3) − 2 ( + 1)( − + 1)
+3
=
− + 1 + + 1 − 2 ( + 1)( − + 1)
( + 1)( − + 1)
⟺
+ ( + 3) =
− +1+ +1
+3
⟺
+ 1 + + 6 + 9 = ( + 3)( + 2)
⟺
+ 6 + 10 = 3 + 6 + 2 ⟺ 2 − 4 − 4 = 0
Bài 10: Giải phương trình
⟹
( + 1)(
3
+ 2 − 1 + √2 − 1 = 3 + 4 + 2
√3 + 1 − √ + 4 = 1
√1 −
= √6 − — √−5 − 2
+ √ + 11 +
− √ + 11 = 4
√12 − + √14 + = 2
√ − 1 + √ + 6 = 3√2 − 3
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 3
Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
Bài 1: Giải phương trình sau:
+ 3 + 4√ − 1 +
+ 8 − 6√ − 1 = 5
Bài 2: Giải phương trình sau:
+ 2 + 3√2 − 5 +
− 2 − √2 − 5 = 2√2
Phân tích: Để thuận tiện cho việc dùng hằng đẳng thức ta nhân hai vế của phương trình với √2
Pháp phương nhân liên hợp
Bài …: Giải phương trình
√ + 1 + √ + 4 + √ + 9 + √ + 16 = √ + 100
= 0 là một nghiệm của phương trình.
Ta thấy
Giải
Điều kiện:
≥ −1
⟺ √ + 1 − 1 + √ + 4 − 2 + √ + 9 − 3 + √ + 16 − 4 = √ + 100 − 10
⟺
+
=
√ + 9 + 3 √ + 16 + 4 √ + 100 + 10
=0
1
1
1
1
1
⟺
+
+
+
=
√ + 1 + 1 √ + 4 − 2 √ + 9 + 3 √ + 16 + 4 √ + 100 + 10
√ +1+1
+
√ +4−2
+
Xét
1
√ +1+1
+
1
1
√ +9+3
1
+
1
=
√ + 16 + 4 √ + 100 + 10
1
1
>
√ + 1 + 1 < √ + 100 + 10 ⟹
√ + 1 + 1 √ + 100 + 10
1
1
1
1
1
⟹
+
+
+
>
√ + 1 + 1 √ + 4 − 2 √ + 9 + 3 √ + 16 + 4 √ + 100 + 10
Vậy phương trình có duy nhất nghiệm = 0
Bài …: Giải phương trình
Phân tích
Giải
Điều kiện:
√ +4−2
+
√ +√ +3= 3
= 1 là một nghiệm của phương trình
≥ −3
⟺ √ −1+√ +3−2 =0
−1
⟺
√
+ √ +1
+
−1
√ +3+2
1
=0⟺
√
+√ +1
=1
+
1
√ +3+2
=0
Bài …: Giải phương trình
√2 + 1 + √ = 1
Phân tích:
Giải
= 0 là một nghiệm
⟺ √2 + 1 − 1 + √ = 0 ⟺
2
√2 + 1 + √2 + 1 + 1
=0
2√
⟺
+√ =0
+1=0
√2 + 1 + √2 + 1 + 1
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 4
Bài …: Giải phương trình:
√2 − 1 +
−3 +1 =0
= 1 là một nghiệm
Phân tích:
⟺ √2 − 1 − 1 +
−3 +2=0⟺
⟺
2
√2 − 1 + 1
2 −2
√2 − 1 + 1
=1
+ ( − 1)( − 2) = 0
+ ( − 2) = 0
2
+ ( − 2) = 0 ⟺ 2 + ( − 2)(√2 − 1 + 1) = 0
√2 − 1 + 1
⟺ 2 + − 2 + ( − 2)√2 − 1 = 0 ⟺ + ( − 2)√2 − 1 = 0
Tìm lượng liên hợp: ( ) =
+ =− +1
Phương hướng giải quyết khác của bài toán. Ta tìm lượng liên hợp thích hợp hơn ngay từ đầu:.
√2 − 1 − ( + ) + − 3 + 1 − ( + ) = 0
2 −1−
−2
−
⟺
+ − ( + 3) + 1 − = 0
√2 − 1 + ( + )
−
+ (2 − 2 ) − 1 −
⟺
+ − ( + 3) + 1 − = 0
√2 − 1 + ( + )
Tìm , sao cho: −
+ (2 − 2 ) − 1 −
=0⟺
− ( + 3) + 1 − = 0
Hay:
− (2 − 2 ) + 1 +
=0⟺
− ( + 3) + 1 − = 0
=1
⟹ ( )= −1
2−2
1+
= −1
=
=
⟹
= −1
+3
1−
⟹ ( )=−
=0
⟺ √2 − 1 − ( − 1) + − 3 + 1 − ( − 1) = 0
2 −1− +2 −1
− +4 −2
⟺
+ −4 +2 =0⟺
+ −4 +2 =0
√2 − 1 + ( − 1)
√2 − 1 + ( − 1)
−4 +2= 0
−4 +2 =0
−1
⟺
⟺
+1 =0
√2 − 1 = 2 −
√2 − 1 + ( − 1)
≤1
⟺ =1
√2 − 1 = 2 − ⟺
−4 +5=0
Giải
≥ , ta có:
Điều kiện:
⟺ √2 − 1 − ( − 1) +
Với điều kiện √2 − 1 + ( − 1) ≠ 0 ta có
−
− 3 + 1 − ( − 1) = 0
−4 +2= 0
−4 +2=0
−1
−4 +2= 0⟺
⟺
+1 =0
√2 − 1 = 2 −
√2 − 1 + ( − 1)
≤1
⟺ =1
√2 − 1 = 2 − ⟺
−4 +5=0
+4 −2
⟺
+
√2 − 1 + ( − 1)
Bài …: Giải phương trình
√2 + 1 =
−5 +1
Bài …: Giải phương trình
2√2 − 3 = 6
+7 +8
Bài …: Giải phương trình
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 5
+
+3 =2 +1
Bài …: Giải phương trình
7
−7 =3
−
2
+3 +5 =
−2
Bài …: Giải phương trình
+3
Bài …: Giải phương trình
2
− 5 + 10 = 3 + 2 + 6
Nhận xét: dạng phương trình √ + =
+
+ hoặc √
+
dùng phương pháp liên hợp thêm biểu thức
+ từ đó đồng nhất thức tìm
vậy nhưng làm ngược lại chọn hệ số suy ra phương trình.
Bài …: Giải phương trình
9 √4 + 1 − √3 − 2 =
Phân tích: (4 + 1) − (3 − 2) = + 3
+ =
+
+ ta
, . Cách ra đề cũng như
+3
Giải
Điều kiện:
≥
⟺
9 ( + 3)
= +3
√4 + 1 + √3 − 2
= −3
9
⟺
= 1 ⟺ √4 + 1 + √3 − 2 = 9
√4 + 1 + √3 − 2
⟺ 7 − 1 + 2 (4 + 1)(3 − 2) = 81
⟺ 2 (4 + 1)(3 − 2) = 82 − 7
Bài …: Giải phương trình
5 √2 + 1 − √
=
+1
3 √3 − 5 − √ − 2 = 2 − 3
8 √4 + 5 − √3 − 6 =
+ 11
Bài …: Giải phương trình
Phân tích: Nhẩm được
Giải
3
+
= ±1 là nghiệm
+8−2 =
+ 15
⟺3
27(
−3+
+8−3=
+ 15 − 4
− 1)
−1
−1
⟺
+
=
+ √ + 1 √ + 8 + 3 √ + 15 + 4
√
= ±1
27
1
1
⟺
+
=
+ √ + 1 √ + 8 + 3 √ + 15 + 4
√
1
1
+8+3<
+ 15 + 4 ⟹
>
√ + 8 + 3 √ + 15 + 4
27
1
1
⟹
+
>
+ √ + 1 √ + 8 + 3 √ + 15 + 4
√
Vậy: Phương trình có nghiệm: = ±1.
Bài …: Giải phương trình
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 6
Phân tích:
Giải
Điều kiện:
2
= 1 là một nghiệm.
− 7 + 10 =
+
− 12 + 20
≤ 2; ≥ 10
⟺2
− 7 + 10 − 4 = − 1 +
− 12 + 20 − 3
2( − 7 + 6)
− 12 + 11
⟺
= ( − 1) +
√ − 7 + 10 + 2
√ − 12 + 20 + 3
(
)(
)
( − 1)( − 11)
2 −1
−6
⟺
= ( − 1) +
√ − 7 + 10 + 2
√ − 12 + 20 + 3
=1
(
)
( − 11)
2
−
6
⟺
=1+
√ − 7 + 10 + 2
√ − 12 + 20 + 3
2( − 6)
( − 11)
=1+
√ − 7 + 10 + 2
√ − 12 + 20 + 3
Gặp khó khăn trong việc thực hiện nhiệm vụ, ta tìm lượng liên hợp khác thích hợp hơn.
Phân tích:
+) Thêm vào √
− 7 + 10 − (
+ ) để liên hợp được lượng
−7 +6−
−2
−
−1
(1 − ) − (7 + 2 ) + 6 −
− 7 + 10 − ( + ) =
=
√ − 7 + 10 + ( + )
√ − 7 + 10 + ( + )
Quy (1 − ) − (7 + 2 ) + 6 −
về nhị thức bậc nhất chứa ( − 1)
Chọn = 1 ⟹ = 1
+) Thêm vào √ − 12 + 20 − ( + ) để được lượng − 1
− 12 + 20 −
−2
−
− 12 + 20 − ( + ) =
√ − 12 + 20 + ( + )
(1 − ) − (12 + 2 ) + 20 −
=
√ − 12 + 20 + ( + )
Quy (1 − ) − (12 + 2 ) + 20 −
về nhị thức bậc nhất chứa ( − 1)
Chọn = 1, = 2
Ta viết lại phương trình như sau:
2
2 −9( − 1)
√
+
− 12 + 20
− 7 + 10 − ( + 1) =
⟺2
⟺
− 7 + 10 =
− 7 + 10 + ( + 1)
=
−16( − 1)
− 7 + 10 + ( + 1)
√
9
√
⟺9
− 12 + 20 − ( + 2)
=1
√
9
⟺
− 12 + 20 − ( + 2)
− 7 + 10 + ( + 1)
=
√
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
√
8
− 12 + 20 − ( + 2)
8
− 12 + 20 + ( + 2)
− 12 + 20 + 9 + 18 = 8
⟺9
− 12 + 20 − 8
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có
=
− 7 + 10 + 8 + 8
− 7 + 10 = − − 10
Trang 7
− 12 + 20 − 2
9
Giải
Điều kiện:
− 7 + 10 = −
− 12 + 20 − 8
− 7 + 10 = − − 10
⟹5
− 12 + 20 = 7 − 10
≤ 2; ≥ 10, ta có:
2
2 −9( − 1)
− 7 + 10 + ( + 1)
√
+
− 12 + 20
− 7 + 10 − ( + 1) =
⟺2
⟺
− 7 + 10 =
=
−16( − 1)
− 12 + 20 − ( + 2)
=1
√
9
⟺
− 7 + 10 + ( + 1)
√
9
− 7 + 10 + ( + 1)
√
⟺9
− 12 + 20 − ( + 2)
=
− 7 + 10 + 8 + 8
− 7 + 10 = − − 10
− 7 + 10 = −
− 12 + 20 − 8
− 12 + 20 − ( + 2)
8
√
− 12 + 20 + 9 + 18 = 8
− 12 + 20 − 2
8
− 12 + 20 + ( + 2)
√
⟺9
− 12 + 20 − 8
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có
9
=
− 7 + 10 = − − 10
⟹5
− 12 + 20 = 7 − 10
Bài …: Giải phương trình
162
Phân tích:
+ 2 − 27
−9 +1=1
= là một nghiệm (Lưu ý dấu hiệu chia hết cho 3)
Giải
⟺
⟺
√162
⟺
⟺
162
+2−2−
162
−6
+ 2 + 2√162
6(27 − 1)
27
−9 +1−1 =0
−
+2+4
−
√162 + 2 + 2√162 + 2 + 4
6(3 − 1)(9 + 3 + 1)
√162
⟺
√162
27
−9
√27
−9 +1+1
9(3 − )
√27
−9 +1+1
9 (3 − 1)
−
+ 2 + 4 √27
3 −1 =0
6(9 + 3 + 1)
−
+ 2 + 2√162 + 2 + 4 √27
+ 2 + 2√162
−9 +1+1
9
−9 +1+1
=0
=0
=0
=0
Xét phương trình
6(9
√162
⟺
+ 3 + 1)
−
=0
−9 +1+1
9
−
=0
+ 2 + 4 √162 + 2
+ 2 + 2√162 + 2 + 4
6(9 + 3 + 1)
√162 + 2 + 2√162
Đặt = √162 + 2 ta được phương trình
2(9 + 3 + 1) 3
2(9 + 3 + 1)
−
=0⟺
−
+2 +4
3
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
9
√27
+2 +4
=0⟺2 3 +
1
+1 =
3
+
4
+2
Trang 8
1
1
+1 = + +1
3
2
2
( ) = 0 ⟺ = ±1
⟺3 +
Xét ( ) = + + 1;
( )=1−
+) 3 ≥ 1 ⟹ √162
+2 ⟹ 3 =
Đáp số: Phương trình có nghiệm
;
⟹ 6 = √162
+ 2 ⟺ 216
= 162
+2⟺
=
=
Bài …: Giải phương trình
+ 12 + 5 = 3 +
Phân tích:
= 2 la nghiệm, √
+ 12 > √
+5 ⟺ √
+5
+ 12 − √
+5 =3 −5 >0 ⟺
>
Giải:
Điều kiện:
>
⟺
+ 12 − 4 = 3 − 6 +
+5−3
−4
−4
⟺
= 3( − 2) +
√ + 12 + 4
√ +5+3
=2
+2
+2
⟺
=3+
√ + 12 + 4
√ +5+3
Do √ + 12 > √ + 5 và + 2 > 0 nên
+2
+2
<3+
√ + 12 + 4
√ +5+3
Bài …: Giải phương trình
Nhận xét: (3
3 −7 +3−
−2 = 3 −5 −1−
−3 +4
)
(
)
(
)
− 7 + 3 − 3 − 5 − 1 = −2 + 4 = −2 − 2
( − 2) − ( − 3 + 4) = 3 − 6 = 3( − 2)
Giải:
Điều kiện:
≥4
≤ −2
⟺
⟺
3
√3
−7 +3− 3
−2( − 2)
− 7 + 3 + √3
2
⟺
− 7 + 3 + √3
2
√3
√3
− 7 + 3 + √3
−5 −1=
=
−5 −1 √
=2
−5 −1
−5 −1
−
−
√
−2−
−3 +4
3( − 2)
−2+√
3
−2+√
3
−2+√
√
−3 +4
−3 +4
−3 +4
=0
>0
Bài …: Giải phương trình
3 −5 +1−
Bài …: Giải phương trình
−2=
3(
−
− 1) −
−3 +4
− 3 − 4 = √ − 1( − 4 − 2)
Phân tích: − 1 là số chính phương nếu = 2, = 5, = 10, = 17, … trong đó
nghiệm do đó phương trình có nhân tử ( − 2)( − 5) =
− 7 + 10
Chọn lượng liên hợp là 2 ta được
⇔
− 3 − 4 − 2( − 4 − 2) = (√ − 1 − 2)( − 4 − 2)
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
= 2, = 5 là
Trang 9
−5
( − 4 − 2)
√ −1+2
=5
−
5
⇔ − =
( − 4 − 2)
√ −1+2
⇔−
+5 =
Chọn lượng liên hợp là 1 ta được
− 3 − 4 − ( − 4 − 2) = √ − 1 − 1 ( − 4 − 2)
−2
=2
( − 4 − 2) ⇔
⇔ −2=
−4 −2
√ −1+1=
√ −1+1
−4 −2⇔√ −1=
−4 −3 ⇔ √ −1−2 =
−4 −5
√ −1+1 =
=5
−5
1
⇔
= ( + 1)( − 5) ⇔
= +1
√ −1+2
√ −1+2
1
1
≤ ; + 1 ≥ 2; ≥ 1
√ −1+2 2
⇔
Giải
Điều kiện:
≥1
− 3 − 4 − ( − 4 − 2) = √ − 1 − 1 ( − 4 − 2)
−2
=2
( − 4 − 2) ⇔
⇔ −2=
−4 −2
√ −1+1=
√ −1+1
−4 −2⇔√ −1=
−4 −3 ⇔ √ −1−2 =
−4 −5
√ −1+1 =
=5
−5
1
⇔
= ( + 1)( − 5) ⇔
= +1
√ −1+2
√ −1+2
1
1
≤ ; + 1 ≥ 2; ≥ 1
√ −1+2 2
Bài …: Giải phương trình
1
√ −3
=
√2 − 1 − 1 √ + 3 − √ − 3
Giải:
Điều kiện: ≥ 3
⇔
⇔
− 9 − + 3 = √2 − 1 − 1 ⇔
= 5 là nghiệm của phương trình.
⇔
⇔
− 25
√
−9+4
+5
−
−
− 9 − 4 − √2 − 1 − 3 −
2 − 10
√2 − 1 + 3
2
√ − 9 + 4 √2 − 1 + 3
Ta được phương trình:
+5
2
−
−1 =0 ⇔
+
+3
Phân tích:
− 9 − (2 − 1) =
− 9 − √2 − 1 −
√
− 1 = 0;
+5 =0
+5
− ( − 5) = 0 ⇔
−9+4
− 9 = √2 − 1 +
+ 3 + 5 + 15 − 2 − 2 −
+4=0
−
−5=0
2
√2 − 1 + 3
−4;
−1=0
= √2 − 1 > 0
−3 −
−3 =0
⇔ 16 − 4 = 0 ⇔ = 4
− 2 − 8 = ( + 2)( − 4)
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 10
⇔
( + 2)( − 4)
− 9 + √2 − 1
√
=
=4
( + 2)
−4 ⇔
− 9 + √2 − 1
√
=1
( + 2)
=1⇔
− 9 + √2 − 1 = + 2
− 9 + √2 − 1
− 9 − √2 − 1 = − 4
Kết hợp với phương trình đề bài ta có: √
⇒√ −9 =2 −2 ⇒
√ − 9 + √2 − 1 = + 2
Bài …: Giải phương trình
√
3
=5
+ 33 + 3√ = 2 + 7
Phân tích: = 1 là nghiệm
Giải
Điều kiện: ≥ 0 ⇒ ≥ 7 − √33 > 1
⇔
Điều kiện:
+ 33 − 6 + 3√ − 3 = 2 − 2 ⇔
3
−3
√5 − 1 + √9 −
= 1 là nghiệm của phương trình
=2
+
3( − 1)
=2 −2
√3 + 33 + 6
√ +1
−1=0
3 +3
3
⇔
+
−2=0
√3 + 33 + 6 √ + 1
3 +3
3
3 +3
3
+
−2 =0 ⇒
+
−2=0
2 + 7 − 3√ + 6 √ + 1
√3 + 33 + 6 √ + 1
3 +3
3
⇔
+
−2=0
2 − 3√ + 13 √ + 1
⇔ 3 √ + 3 + 3√ + 3 + 6 − 9√ + 39 − 2 2 √ + 2 − 3 − 3√ + 13√ + 13 = 0
⇔ 3 √ + 3 + 3√ + 3 + 6 − 9√ + 39 − 4 √ + 2 − 20√ − 26 = 0
=1
− √ + 11 − 26√ + 16 = 0 ⇔ √ − 2 √ − 1 √ − 8 = 0 ⇔
=4
= 64
Bài …: Giải phương trình
Phân tích:
Giải
3
+3 −1
≥
⟺ √5 − 1 − 2 + √9 − − 2 = 2 + 3 − 5
(
5 − 1)
1−
⟺
+
= ( − 1)(2 + 5)
√5 − 1 + 2 √9 − + 2√9 − + 4
=1
5
1
⟺
−
=2 +5
√5 − 1 + 2 √9 − + 2√9 − + 4
Xét
5
⟺
√5 − 1 + 2
1
√9 −
⟺
√9 −
1
−
√9 −
+ 2√9 −
1
+4
+2 +5−
+4
+ 2√9 − + 4
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
=2 +5
+ 2√9 −
+2 +
5
√5 − 1 + 2
=0
5√5 − 1 + 10 − 5
√5 − 1 + 2
=0
Trang 11
1
⟺
√9 −
Ta có với
+2 +
+ 2√9 −
+4
5√5 − 1 + 5
√5 − 1 + 2
=0
≥
1
+2 +
√9 − + 2√9 − + 4
Kết luận: Phương trình có nghiệm = 1
Bài …: Giải phương trình
5√5 − 1 + 5
√5 − 1 + 2
>0
−3 +1 = 8−3
Phân tích: Không tìm được nghiệm nguyên của phương trình. Ta tiến hành tìm lượng liên hợp bậc nhất.
⟺
−3 +1−(
+ )= 8−3 −(
+ )
Trong trường hợp này có một vế bậc ba một vế bậc hai nên không thể đồng nhất hệ số..
Sử dụng máy tính bỏ túi ta tính hai nghiệm từ đó tìm được tổng hai nghiệm là 1, tích hai nghiệm là -1 do
đó phương trình có nhân tử là
− − 1.
Từ đó ta tìm lượng
+ để sau khi liên hợp được nhân tử vừa tìm được
⟺
− (3 +
⟺
Ta tìm
Hay:
, sao cho: −
−3
−
Với
= 1,
−3 +1−(
) +1−
=
+ )= 8−3 −(
+ )
−
−3 −2
+8−
−2
+8−
−3 =2
=
√8 − 3
=0⟺
−8 ⇒
+(
+ )
− −1=0
= 1, = −2
= −1, = 2
= −2 ta có
− 3 + 1 − ( − 2) = 8 − 3 − ( − 2)
8−3 − +4 −4
⟺
−4 +3 =
√8 − 3 + ( − 2)
4( − − 1)
⟺ ( − 1)( + − 3) = −
√8 − 3 + ( − 2)
Không tìm được nhân tử chung ở hai vế
Với = −1, = 2 ta có
⟺
− 3 + 1 − (− + 2) = 8 − 3 − (− + 2)
− +4 −4
4(− + + 1)
⟺
−2 −1=
⟺ ( + 1)( − − 1) =
√8 − 3 + (− + 2)
√8 − 3 + (− + 2)
− + +1=0
4
⟺ +1+
=0
√8 − 3 + (− + 2)
Xét phương trình
4
+1+
=0
√8 − 3 + (− + 2)
Không tìm được lượng liên hợp để giải tiếp, dùng máy tính bỏ túi kiểm tra phương trình vô nghiệm. Ta
chứng minh phương trình vô nghiệm.
Ta tìm giá trị của hàm số ( ) = √8 − 3 + (− + 2) trên tập xác định của hàm số.
⟺
8−3
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 12
( )=−
3
− 1,
√8 − 3
( )=0⟺
8−3
= −3 ⟺
≤0
8−3 =9
⟺
=−
2
3
√
Lập bảng biến thiên chỉ ra được ( ) ≤
Từ điều kiện ta có ( ) > 0
Vậy
4
2
4
+1+
>0
3
6 + 4√6
√8 − 3 + (− + 2)
3
Vậy: Phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình − + + 1 = 0
Giải
+1+
Điều kiện: −2
≤
> −2
≤2
− 3 + 1 − (− + 2) = 8 − 3 − (− + 2)
− +4 −4
4(− + + 1)
⟺
−2 −1=
⟺ ( + 1)( − − 1) =
√8 − 3 + (− + 2)
√8 − 3 + (− + 2)
− + +1=0
4
⟺ +1+
=0
√8 − 3 + (− + 2)
Xét phương trình
4
+1+
=0
√8 − 3 + (− + 2)
Không tìm được lượng liên hợp để giải tiếp, dùng máy tính bỏ túi kiểm tra phương trình vô nghiệm. Ta
chứng minh phương trình vô nghiệm.
Ta tìm giá trị của hàm số ( ) = √8 − 3 + (− + 2) trên tập xác định của hàm số.
⟺
8−3
( )=−
3
√8 − 3
− 1,
( )=0⟺
8−3
= −3 ⟺
≤0
8−3 =9
⟺
=−
2
3
√
Lập bảng biến thiên chỉ ra được ( ) ≤
Từ điều kiện ta có ( ) > 0
Vậy
2
4
+1+
>0
3
6 + 4√6
√8 − 3 + (− + 2)
3
Vậy: Phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình − + + 1 = 0
+1+
4
> −2
Bài …: Giải phương trình
+ − 1 = ( + 2)
−2 +2
Phân tích: Không dễ tìm được một nghiệm của phương trình, ta tìm lượng liên hợp.
Giải
= −2 không là nghiệm của phương trình nên với ≠ −2 ta biến đổi phương trình như sau:
+ −1
+ −1
=
−2 +2 ⇔
−(
+ )=
−2 +2−(
+ )
+2
+2
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 13
⇔
+
−1−
Ta tìm , sao cho:
(1 − ) + (1 −
Hay
−
+2
−2
−2
−2 +2−
=
√
− 2 ) − 1 − 2 = 0 ⇔ (1 −
1−
1−
=
1− −2
−2 − 2
=
−2
−
−2 +2−(
+ )
+ (−2 − 2
) +2−
)
−1 − 2
⇒
2−
= 0,
=0
=3
Giải
+ −1
=
+2
+ −1
−3 =
−2 +2−3
+2
+2
−1 = 0
−2 +2+3
−2 +2 ⇔
⇔(
− 2 − 7)
√
Bài …: Giải phương trình
+ − 4 − 4 + | | + | − 1|
√3 − + √2 + =
3 − − | | = − − + 3; 3 − − | − 1| = − + + 2
2 + − | | = − + + 2; 2 + − | − 1| = − + 3 + 1
Giải
Điều kiện: −2 ≤
≤3
⇔ √3 − − | − 1| + √2 + − | | =
+ −4 −4
− + +2
− + +2
⇔
+
= ( + 2)( − − 2)
√3 − + | − 1| √2 + + | |
1
1
⇔ (− + + 2)
+
+ +2 = 0⇔ − + +2 =0
√3 − + | − 1| √2 + + | |
1
1
+
+ + 2 > 0, ∀ ∈ [−2; 3]
√3 − + | − 1| √2 + + | |
Bài …: Giải phương trình
+3
−1+√ −3+√ +1+ =
+5
−6
Phân tích: = 3 là nghiệm
Giải
Điều kiện: ≥ 3
+3
⇔
−1−2+√ −3+√ +1−2+ −3=
−2
−6
−9
−3
−3
+ 3 − 2 + 12
⇔
+
+
+ −3 =
−6
√ − 1 + 2√ − 1 + 4 √ − 3 √ + 1 + 2
−9
⇔
+
−3
+
−3
+ −3=
( − 3)(−2 − 5)
−6
√ −3 √ +1+2
−3 =0
+
3
1
1
2 +5 =0
⇔
+
+
+1+
−6
√ − 1 + 2√ − 1 + 4 √ − 3 √ + 1 + 2
+3
1
1
2 +5
+
+
+1+
> 0, ∀ > 3
−6
√ − 1 + 2√ − 1 + 4 √ − 3 √ + 1 + 2
Bài …: Giải phương trình
√
− 1 + 2√
−1+4
√2 − 1 +
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
−3 +1 =0
Trang 14
3 2+√ −2 =2 +√ +6
1−
=
2 +
1+
9 √4 + 1 − √3 − 2 =
√ − 2 + √4 −
+3
=2
−5 −1
+3
√4 + 1 − √3 − 2 =
5
2 + 16 + 18 +
−1=2 +4
Bài 1: Giải phương trình
Phân tích:
Giải
( + 3) 2 + 1 =
+ +3
= 0 là một nghiệm, phương trình có nhân tử chung ( )
⇔ ( + 3) 2
+ 1 − ( + 3) =
⇔ ( + 3). 2
=
2
⇔ ( + 3)
+1+1 ⇔
2
2
+1−1 =
=0
+1+1 =
+3
Bài …: Giải phương trình
+ − 1 = ( + 2)
−2 +2
Phân tích: Không dễ tìm được một nghiệm của phương trình, ta tìm lượng liên hợp.
Giải
= −2 không là nghiệm của phương trình nên với ≠ −2 ta biến đổi phương trình như sau:
+ −1
+ −1
=
−2 +2 ⇔
−(
+ )=
−2 +2−(
+ )
+2
+2
+ −1−
−
−2
−2
−2 +2−
−2
−
⇔
=
+2
+ )
√ −2 +2−(
Ta tìm , sao cho:
(1 − ) + (1 − − 2 ) − 1 − 2 = 0 ⇔ (1 −
) + (−2 − 2 ) + 2 −
=0
Hay
1−
1− −2
−1 − 2
=
=
⇒ = 0, = 3
1−
−2 − 2
2−
Giải
+ −1
+ −1
=
−2 +2 ⇔
−3 =
−2 +2−3
+2
+2
+2
⇔ ( − 2 − 7)
−1 = 0
√ −2 +2+3
Bài 2: Giải phương trình
3 +2 +3
+3=
3 +1
Phân tích: = 1 là nghiệm, phương trình có nhân tử chung ( − 1)
Giải
Điều kiện:
> − vì 3
⟺
+2 +3 >0
+3−2=
3
+2 +3
−2⟺
3 +1
√
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
−1
+3+2
=
( − 1)(3 − 1)
3 +1
Trang 15
=1
+1
⟺
=
(3 − 1)
3 +1
√ +3+2
(3 − 1)
( + 1)(3 + 1)
+1
3 −2 +3
=
⟺
=
+3+2 ⟺
+3 =
3 +1
3 −1
3 −1
√ +3+2
( − 1)(3 − 5)
3 −2 +3
−1
⟺
+3−2 =
−2⟺
=
3 −1
3 −1
√ +3+2
=1
(3 − 5)
+
1
⟺
=
3 −1
√ +3+2
Gặp khó khăn khi tiếp tục giải
Ta tìm lượng liên hợp hợp lý hơn
3 +2 +3
+3−( + )=
−( + )
3 +1
(1 − ) − 2
(3 − 3 ) + (2 − − 3 ) + 3 −
+3−
⟺
=
3 +1
√ +3+( + )
Ta tìm , sao cho (1 − ) − 2
+ 3 − = 0 ⟺ (3 − 3 ) + (2 − − 3 ) + 3 − = 0
Suy ra = 2 từ đó ta có lời giải.
Giải
Điều kiện:
> − vì 3
⇔
⇔ −3
+3 =
+2 +3 >0
+3−2 =
3
−3 + 3
3 +1
+2 +3
−2 ⇔
3 +1
+3+2
⇔
+3−2 =
−3 + 3
3 +1
−3 + 3 = 0
⇔
+3+2 =3 +1
=1
=1
Bài 3: Giải phương trình
1
7
−
+5
2
2
= 1 là một nghiệm, phương trình có nhân tử chung ( − 1)
√ +3=
Phân tích:
Giải:
Điều kiện:
≥ −3, ≠ 0
1
7
1
7
⇔ √ +3−2=
−
+7⇔ √ +3−2 √ +3+2 = √ +3+2
−
+7
2
2
2
2
=1
1
7
1
7
⇔ − 1 = √ + 3 + 2 ( − 1) 1 +
⇔
1 = √ +3+2 1+
2
2
Xét phương trình 1 = √ + 3 + 2 1 +
⇔ 2= √ +3+2
1+
7
⇔ 2 = √ + 3 + 2 ( + 7) ⇔ 2 = √ + 3( + 7) + 2 + 14
⇔ −14 = √ + 3( + 7) vô nghiệm vì
≥ −3
Bài 4: Giải phương trình
( + 3)
+
Phân tích: Nhẩm được phương trình có nghiệm
chung là
+ − 2.
Giải
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
+2=
+3 +4
= 1, = −2 nên hai vế của phương trình có nhân tử
Trang 16
Điều kiện: Vì
+ 3 + 4 > 0 nên
> −3
⇔ ( + 3)
+
⇔ ( + 3)
⇔ ( + 3)(
+
− 2) = (
+ 3 + 4 − 2( + 3)
+2−2 =
+
+2−2 =
+ − 2)
+
+
−2
+ −2=0
+ +2+2 = +3
+2+2 ⇔
Bài 5: Giải phương trình
( + 1)√ + 8 =
+
+4
(2 + 1)
+3 =3 + +2
4 20
√ −3= − −
3
(3 + 1)
+ +2 =3 +3 +2
Bài 6: Giải phương trình
1
Phân tích: Nhẩm được
Giải:
Điều kiện: > 1
1
7
=
2
4
√ −1
= 2 là một nghiệm, phương trình có nhân tử chung
−1+
⇔ (2 − )
2
+
1
3
1
2
= ⇔
−1+
2
4
√ −1
√ −1
1
1
2
1 3
⇔
−1
+1 +
−1
+
4 √
√ −1
√ −1
1
2− 1 3
1
⇔
−1+
+
+1
−1
4 √ −1
⇔
1
2
+
+
1
1 1 3
+
+
−1
4
1
√ −1
+1
+
−2
1 3
− =0
2
4
1
−1
+1 =0
=0
=0⇔
=2
Bài 7: Giải phương trình
√ +8+
Phân tích: Nhẩm được
Giải
Điều kiện: ≥ 0
+1+√ +
1
+2
+1
= 0 là nghiệm.
⇔ √ +8−2+
⇔
+1−1+√ +
+
√ + 8 + 2√ + 8 + 4
√
⇔
=
+
√ + 8 + 2√ + 8 + 4
+1+1
√
√ =0
√ .
√
+1+1
=
+√
+ 1+√
1
−1
+1
1+√
=−
=−
+1
√ ⇔
+1
=0
Bài 8: Giải phương trình
+ +1
1
+
=
+2
+4
2
√ +1
Phân tích: Phương trình có nghiệm
= ±√3, phương trình có nhân tử chung
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
−3
Trang 17
Giải
Điều kiện:
> −4
+ +1
3
1
1
−1+ − =
−
+4
2 2 √ +1 2
( − 3)
−3
1
+ ( − 3) = −
1
1
2
+ +1
2( + 1)
+2
+
1
√ +1
+4
−3=0
1
1
1
+ =−
1
1 ⇔ = ±√3
2
+ +1
(
)
2
+1
+
√ +1 2
+4 +1
⇔
⇔
⎡
⇔⎢
⎢
⎣
Bài 9: Giải phương trình
2
= 1, =
Phân tích: Phương trình có nghiệm
Điều kiện: 2
− 3 + 1 ≥ 0,
⇔
⇔
2
(−
√
,
=
−1
2 −3
√
≥ 0, 2 − 3 ≠ 0. Với điều kiện trên ta có:
−3 +1−
−3 +1=
−3 +1 =
=
−1
−
2 −3
⇔
2
−3 +1−
+ 3 − 1) √2 − 3 + 1 +
2 −3
−3 +1 =0⇔
=
−3 +1+
2 −3
√2
3 − √5
,
2
= −1 ⇔
⇔ √2
=
+3 −1
2 −3
−3 +1=0
−3 +1+
= −1
2 −3
=
−
3 + √5
2
=1
*) Tìm lượng liên hợp:
2
⇔ (2 − 3)
⇔ (2 − 3)(2
−3 +1−
)=(
−1−2
+3 )
2
−3 +1+
=0⇔
−1−2
+3 = 0
2 = 2.1
−3 = 2. (−2 ) vô nghiệm
-) Sử dụng kỹ thuật đồng nhất thức:
1−
= 2(3 − 1)
-) Quan sát hệ số của hai phương trình ta chọn = ta được:
−3 +1 =0 ⇔−
Do đó lượng liên hợp cần tìm là .
Bài 10: Giải phương trình
Ta tìm
sao cho: 2
−1
⇔ (2 − 3) 2 − 3 + 1 =
−1
2 −3
2 −3 +1−
=
− 1 − (2 − 3)
−3 +1 =
−3 +1−
+3 −1 =0
( + 1)
−2 +3=
+1
Phân tích: Dùng phương pháp thêm, bớt và bằng kỹ thuật nhân liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung ở
hai vế của phương trình.
Tìm lượng liên hợp
+1
+1
( + 1)
−2 +3 =
+1 ⟺
−2 +3=
⟺
−2 +3− =
−
+1
+1
Suy ra = 2
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 18
Giải
Điều kiện: + 1 ≥ 0 ⇔
Với điều kiện trên, ta có:
≥ −1
⇔ ( + 1)
⇔ ( + 1)
⇔ ( + 1)(
−2 +3−2 =
− 2 − 1) = (
−2 −1
− 2 − 1)
−2 −1 =0
−2 +3 = −1(
⇔
+ 1 − 2( + 1)
−2 +3−2 =
)
−2 +3+2
⇔
= 1 ± √2
*) Tìm lượng liên hợp
⇔ ( + 1)
⇔ ( + 1)(
−2 +3−
−2 +3−
Ta tìm saocho ( − 2 + 3 −
Từ đây suy ra = 2.
Bài 11: Giải phương trình
)=(
2(
)=(
−
=
+ 1)
−
− + 1) = 0 ⇔
−
+ 2) = 5
≥ −1, với điều kiện trên ta có:
Nhận thấy
2( + 2) = 5
+ 1 ⇔ 4 + 4 = 5 ( + 1)(
= 1 không là nghiệm của phương trình, với ≠ 1 ta có:
+4=5
( + 1) (
−2 +3+
−
−
+1 =0
+1
Giải
Điều kiện
⇔4
( + 1)
+1−
+ 1)
−
− + 1)
4 +4
⇔
=
+1
5 +5
− +1
+1
Tìm lượng liên hợp:
4 +4
−
5 +5
Với
=
− +1
−
+1
⇒
= 2,
=
1
2
= 2 ta có:
4 +4
−2=
5 +5
− +1
2
−2 ⇔
+1
− 10 − 6
5 +5
− +1
+2 =
+1
−5 −3=0
⇔
2
⇔
− +1
+4 =5
+1
=
−5 −3
+1
5 ± √37
2
Bài 12: Giải phương trình
Phân tích: Nhẩm được
Giải
Điều kiện ≥ −1
Với điều kiện trên, ta có
⇔
−3
− 3 − 8 + 40 − 8√4 + 4 = 0
= 3 là một nghiệm của phương trình.
⇔
− 3 − 8 + 40 = 8√4 + 4
− 8 + 40
− 3 − 8 + 40
= √4 + 4 ⇔
− 2 = √4 + 4 − 2
8
8
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 19
⇔
( − 3)( − 8)
− 8 + 24 √4 + 4 − 4
4 − 12
=
⇔
=
8
8
√4 + 4 + 2
√4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4
=3
−8
4
⇔
=
8
√4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4
−3
Xét phương trình
−8
4
=
8
√4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4
−8
( )=
à ℎà
ố đồ
ế .
8
4
( )=
à ℎà
ố
√4 + 4 + 2 √4 + 4 + 4
(3) = (3)
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất = 3
Đáp số: Nghiệm của phương trình là = 3
ℎị ℎ
ế
Bài 13: Giải phương trình
√2(
+ 8) = 5 ( + 2)(
− 2 + 4)
Giải:
= −2 không là nghiệm của phương trình nên ta viết phương trình về dạng:
√2(
+ 8) = 5
( + 2) (
− 2 + 4)
+8
⇔
=
+2
5( + 2)
−2 +4
2 +4
Tìm lượng liên hợp:
+8
−
5( + 2)
⇔
Chọn
−5
+ 8 − 10
5 + 10
−2 +4
−
2 +4
=
−2 +4
+
2 +4
=
− 2(
+ 1) + 4 − 4
2 +4
⇔
= 2,
=
1
2
= 2 ta được:
+8
−2=
5( + 2)
⇔
⇔
(
+8
−2
5( + 2)
(
− 10 − 12)
5( + 2)
−2 +4
−2
2 +4
(
− 2 + 4)
+2 =
2 +4
(
− 2 + 4)
+2 =
2 +4
− 2 + 4)
−4
2 +4
− 10 − 12
2 +4
− 10 − 12 = 0
⇔
(
− 2 + 4)
5⇔
+2=
2 +4
2
= 5 + √37
= 5 − √37
Bài 14: Giải phương trình
2(
− 3 + 2) = 3
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
+8
Trang 20
=2
Phân tích: Tìm được lượng liên hợp
Bài 15: Giải phương trình
Phân tích: Tìm được lượng liên hợp
Bài 16: Giải phương trình
2 +5 −1 =7
=3
−1
+ 2 ( + 2) − 6 = 0
−3
Bài 17: Giải phương trình
Phân tích: Nhẩm được
Giải
2
⇔
2 − 11 + 21 − 3√4 − 4 = 0
= 3 là một nghiệm
− 11 + 21
2 − 11 + 21
= √4 − 4 ⇔
− 2 = √4 − 4 − 2
3
3
=3
( − 3)(2 − 5)
4( − 3)
⇔
=
⇔ (
2 − 5) √4 − 4 + 2√4 − 4 + 4 = 12
3
√4 − 4 + 2 √4 − 4 + 4
Xét (2 − 5) √4 − 4 + 2 √4 − 4 + 4 = 12
( ) = (2 − 5) √4 − 4 + 2 √4 − 4 + 4 là hàm số đồng biến,
duy nhất.
Đáp số: Phương trình có nghiệm
Bài 18: Giải phương trình
Nhận xét:
(3) = 12 nên
= 3 là nghiệm
= 3.
√ + 1 + √ + 10 = √ + 2 + √ + 5
= −1 là 1 nghiệm của phương trình.
⟺ √ + 1 + √ + 10 − 3 = √ + 2 − 1 + √ + 5 − 2
+1
+1
+1
+1
⟺
+
=
+
√ + 1 √ + 10 + 3 √ + 2 + 1 √ + 5 + 2
= −1
1
1
1
1
⟺
+
=
+
√ + 1 √ + 10 + 3 √ + 2 + 1 √ + 5 + 2
Ta có:
1
√ +1
1
+
1
1
=
+
1
√ + 10 + 3 √ + 2 + 1 √ + 5 + 2
1
1
1
⟺
−
+
−
=0
√ + 1 √ + 2 + 1 √ + 10 + 3 √ + 5 + 2
Ta có √ + 2 + 1 > √ + 1; √ + 10 + 3 > √ + 5 + 2
1
1
1
1
⟹
<
;
<
√ + 1 √ + 2 + 1 √ + 10 + 3 √ + 5 + 2
1
1
1
1
⟹
−
+
−
<0
√ + 1 √ + 2 + 1 √ + 10 + 3 √ + 5 + 2
Bài 19: Giải phương trình
3
−5 +1−
−2 =
3(
− − 1) −
−3 +4
Giải
Điều kiện:
Ta có: 3
≤ −√2, ≥
− 5 + 1 − 3(
√
−
− 1) = −2 + 4 = −2( − 2)
− 2 − ( − 3 + 4) = 3 − 6 = 3( − 2)
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 21
⟺
⟺
− 5 + 1 − 3(
−2( − 2)
3
− 5 + 1 + 3(
2
√3
⟺ ( − 2)
√3 − 5 + 1 + 3(
Bài 20: Giải phương trình
− − 1) =
− 1)
−
+
− 1)
−
=
−2−
−3 +4
3( − 2)
−2+√
3
√
−2+√
√
+ 12 + 5 = 3 +
−3 +4
−3 +4
=0⟺
=2
+5
Giải
⟺
Điều kiện có nghiệm: 3 − 5 > 0 ⟺
+ 12 −
>
⟺
+ 12 − 4 −
−4
⟺
+5=3 −5
√
⟺ ( − 2)
+5−3 = 3 −6
−4
= 3( − 2)
+5+3
+2
−
−3 =0
+ 12 + 4 √ + 5 + 3
−
+ 12 + 4 √
+2
√
Ta có
+2
√
+ 12 + 4
−
+2
+5+3
√
=
Với
> ta có: √
+5 <√
⟹
−3 =
( + 2) √
( + 2) √
Vậy phương trình có nghiệm
Bài 21: Giải phương trình
+5+3
−3
+ 12 − 1 < 0
+5+3−√
+ 12 + 4 √
+ 12 − 4
−3
+5+3
+5−√
−1+
Giải
Điều kiện
+ 12 − 1
+ 12 + 4 √
√
+5+3−√
+ 12 + 4 √
√
+5−√
+ 12 ⟹ √
√
= 2.
( + 2) √
+ 12 − 4
+5+3
=
−3<0
−2
≥ √2
⟺
−1−2 +
−9
⟺
√
− 1 + 2√
⟺ ( − 3)
√
−3=
−2−5
+ ( − 3) =
−1+4
+3
− 1 + 2√
+1−
−1+4
− 27
√
−2+5
+3 +9
√
−2+5
=0
Ta có:
+3
√
√ −1 <
− 1 + 2√
+3
=
−1+4
√
−1+1
+3
− 1 ⟺ √ − 3 + 3√ − 1 <
− 1 ⟺ √ + 3√ <
⟺ √ − +3 √ −
< 0 ⟺ √ − (3 + ) < 0
+3
+3
⟹
<1⟹
+1<2
√ −1+1 +3
√ −1+1 +3
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
+3
Trang 22
Mặt khác:
+3 +9
√
−2+5
>2
Bài 22: Giải phương trình
5
− 1 + √2 − 1 = 4 −
Phương pháp đưa về phương trình tích
Bài 1: Giải phương trình sau:
(2 + 7)√2 + 7 =
Phân tích: Làm xuất hiện nhiều đại lượng 2 + 7
Giải
Điều kiện:
+9 +7
≥−
⇔ (2 + 7)√2 + 7 =
+ 7 + 2 + 7 ⇔ (2 + 7)√2 + 7 = ( + 7) + (2 + 7)
(2 + 7)√2 + 7 = (2 + 7) + (2 + 7) −
⇔ (2 + 7) √2 + 7 −
= √2 + 7 −
√2 + 7 +
⇔ √2 + 7 −
√2 + 7 −
−7 =0⇔
√2 + 7 − = 0
√2 + 7 − − 7 = 0
Bài 2: Giải phương trình sau:
2 √ + 2 + 15 = 10 + 3√ + 2
Phân tích:
Giải
Điều kiện ≥ −2
⇔ 2 √ + 2 − 10 = 3√ + 2 − 15 ⇔ 2
√ +2−5 =3 √ +2−5
⇔ √ + 2 − 5 (2 − 3) = 0
Bài 3: Giải phương trình
+
Phân tích:
Giải
Điều kiện:
3(
− 2 − 2)
≥ 1 + √3
⇔
⇔
⇔
+√ −2=
+ +
( + 1)( − 2) =
−2+2
( + 1)( − 2) = 3
−4 −2⇔
( + 1)( − 2) = ( − 2) − 2( + 1) ⇔
⇔√ +1
−6 −6
( + 1)( − 2) =
−2 −2 −2
( − 2). √ + 1 = ( − 2) − 2( + 1)
⇔
( − 2). √ + 1 = ( − 2) − ( + 1) − ( + 1)
⇔
( − 2). √ + 1 + ( + 1) = ( − 2) − ( + 1)
( − 2) + √ + 1 =
⇔
( − 2) + √ + 1
( − 2) + √ + 1
( − 2) − √ + 1
( − 2) − 2√ + 1 = 0
Bài 3: Giải phương trình sau
) (2 − 8)(4 + ) + 2√2 − 8 = 0
) (3 + 9)(2 + ) − 4√3 + 9 = 0
) ( + 8)(5 + ) − 3√ + 8 = 0
) (4 − 8)(4 + 5 ) + 2√4 − 8 = 0
) √2 + 8 + 5 (3 + )( + 4) = 0
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 23
Phương pháp ẩn phụ
( />Bài 1: Giải phương trình sau
−4 +3 =4 −
Phân tích: Đại lượng chung
Giải
Điều kiện
−4 +3 ≥0
−4
⇔
−4 +3 =4 − −4 +3
Đặt = √ − 4 + 3, ≥ 0 ta được phương trình: − − 3 = 0
Bài 2: Giải phương trình sau
) 2 + 5 − 5√2 + 1 = 0
) 6 + 3 − 5√6 − 1 = 0
) 5 + 1 − 12√5 − 10 = 0
)3
+6−7 3
)
+2=0
ℎ) 5
+5−5
+ 1 − 12 5
+1 =0
) 3 + 6 − 7√3 + 2 = 0
)2
+3−5 2
−1=0
− 10 = 0
Bài 3: Giải phương trình sau
)2
−3−5 2
) 9 − 81 − 7
)2 +3 +3= 5 2
Bài 4: Giải phương trình sau
+3 =0
)2
=
)
2
+3 +9
) √ + 1 + √4 − + ( + 1)(4 − ) = 5
Bài 5: Giải phương trình sau:
) ( + 5)(2 − ) = 3
+3
) ( + 1)(2 − ) = 1 + 2 − 2
) 18 − 18 + 5 = 3 9 − 9 + 2
Bài 6: Giải phương trình sau:
2
)1+
−
= √ + √1 −
3
) √4 + 3 + √2 + 1
= 6 + 8 + 10 + 3 − 16
)√ −2−√ +2 = 2
−4−2 +2
+3 +3−5 2
+3− 2
) √ + 2 + √5 −
+3 +9= 0
3
− 3 + 2 = ( + 1)
2
+ ( + 2)(5 − ) = 4
) ( + 4)( + 1) − 3
+5 +2= 6
) 4 + 10 + 9 = 5 2 + 5 + 3
) 3 + 21 + 18 + 2
+7 +7 =2
) √2 + 3 + √ + 1 = 3 + 2 2
+ 5 + 3 − 16
) √3 − 2 + √ − 1 = 4 − 9 + 2 3
−5 +2
Kỹ thuật: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình tích.
Lưu ý kỹ thuật xuất phát từ các hằng đẳng thức
+ 1 = ( + 1)( + + 1)
+ 1 = ( + 1) − 2 =
− √2 + 1
+ √2 + 1
+ + 1 = ( + 1) −
= ( − + 1)( + + 1)
4 + 1 = (2 + 1) − 4 = (2 − 2 + 1)(2 + 2 + 1)
Chuyển phương trình ẩn phụ về những dạng cơ bản:
+ =1+
⇔ ( − 1)( − 1) = 0
+
=
+
⇔ ( − )( − ) = 0
− + ( − ) = ( − )( + + ) + ( − ) = ( − )( + )
− − ( − ) = ( − )( + + ) − ( − ) = ( − )( + )
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 24
+ − ( + ) = ( + )( + − ) − ( − ) = ( + )( − )
Bài 7: Giải phương trình
2
1+
−
= √ + √1 −
3
Giải
Điều kiện: 0 ≤ ≤ 1
Nhận xét: √ + (1 − ) = 1
Từ phương trình
1+
2
3
−
= √ + √1 −
Suy ra
√ =
3√1 −
−3
2√1 −
−3
Đặt = √1 − , ≥ 0 ta được
3 −3
2 −3
+ (1 − ) = 1 ta được: ( − 1)(2
√ =
Thay vào biểu thức: √
Bài 8: Giải phương trình
√ +1+ √ +2= 1+
Giải
Nhận thấy: ( + 1)( + 2) =
+
− 4 + 3) = 0
+3 +2
+ 3 + 2 do đó đặt
=1−
= √ + 1, = √ + 2 ta được
=1
=1
⇔ ( − 1)( − 1) = 0 ⇔
⇒
=1
= −1
Bài 9: Giải phương trình
+3 +2
+ 1) − √ + 2 = 1
Nhận thấy: ( + 1 )( + 2) =
+ 3 + 2, do đó ta đặt = √ + 1, = √ + 2 ta được
( − ) = 1 không đưa được về phương trình tích vì thiếu
−
do đó ta khéo léo phân tích như
sau:
1 = ( + 2) − ( + 1) =
−
Giải
⇔
Đặt
= √ + 1,
+ 1) − √ + 2 = ( + 2) − ( + 1)
+3 +2
= √ + 2 ta được
( − )=
−
⇔ ( − )(( + ) = 0 ⇔
⇔
− + ( − )=0
=
⇒ √ +1= √ +2 ⇔
=−
√ + 1 = −√ + 2
=−
3
2
Bài 10: Giải phương trình
( + 2) √2 + 3 − 2√ + 1 + 2 + 5 + 3 − 1 = 0
Nhận thấy: (2 + 3)( + 1) = 2 + 5 + 3, đặt = √2 + 3, = √ + 1 ta được
( + 2)( − 2 ) +
−1=0
Nhận thấy: + 2 = (2 + 3) − ( + 1) do đó ta có
( − )( − 2 ) +
−1 =0
Nhận thấy:
− 2 = 1 nên ta có
( − )( − 2 ) +
−( −2 ) =0
⇔ ( − )( − 2 ) +
+ −( − ) =0
⇔ ( + )( − )( − 2 ) + ( + ) − ( + )( − ) = 0
Bài tập ôn tập hè 2015 – 2016 – PT chứa căn thức – THPT Thuận Châu
Sưu tầm và biên soạn: Đào Duy Quang
Trang 25
