Một số PP chứng minh bất dẳng thức

Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
lí do chọn đề tài
Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài
toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ
bản của bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức.
Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc
thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng
minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng
có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí .
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài
toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm
giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đợc sử dụng nhiều trong khi ôn
tập , ôn thi ngoại khoá ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến
thức cơ bản về bất đẳng thức .
Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi
giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất
đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định
nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của
học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh
còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập
khác .
Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơng pháp
hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng các bất đẳng thức đà biết , phơng pháp phản chứng ......và một
số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về
chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc
phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và
bộ môn Toán nói chung .
Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều và khả năng
nghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn
góp ý thêm .

1


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
phần i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ h¬n b , kÝ hiƯu a < b
+ a lín h¬n b , kÝ hiƯu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a < b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a > b ,
2, Một số tính chất cơ bản cđa bÊt d¼ng thøc :
a, TÝnh chÊt 1: a > b <=> b < a
b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c
c, TÝnh chÊt 3: a > b <=> a + c > b + c
HƯ qu¶ : a > b <=> a - c > b - c
a + c > b <=> a > b - c
d, TÝnh chÊt 4 : a > c vµ b > d => a + c > b + d
a > b vµ c < d => a - c > b - d
e, TÝnh chÊt 5 : a > b vµ c > 0 => ac > bd
a > b vµ c < 0 => ac < bd
f, TÝnh chÊt 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd
g, TÝnh chÊt 7 : a > b > 0 => an > bn
a > b <=> an > bn víi n lỴ .
h, TÝnh chÊt 8 : a > b ; ab > 0 =>
3, Mét sè đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 sè d¬ng a , b ta cã :

a +b
≥ ab

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)
Dấu đẳng thức xảy ra <=>

a
b
=
x
y

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :
a + b a +b

Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab ≥ 0

2


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
phần ii :
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghÜa
- KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A
-B >0.
- Lu ý : A2 ≥ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 .
- VÝ dơ :
Bµi 1 :

Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z)
Gi¶i :
Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2 ≥ 0 víi mäi x
(y - 1)2 ≥ 0 víi mäi y
(z - 1)2 ≥ 0 víi mäi z
=> H ≥ 0 víi mäi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) víi mäi x, y, z .
DÊu b»ng x¶y ra <=> x = y = z = 1.
Bµi 2 :
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
Gi¶i :
XÐt hiÖu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
a

a

a

a

= ( 2 − b )2 + ( 2 − c )2 + ( 2 − d )2 + ( 2 − e )2
a

Do ( 2 − b )2 ≥ 0 víi mäi a, b
a

Do( 2 − c )2 ≥ 0 víi mäi a, c
a

Do ( 2 − d )2 ≥ 0 víi mäi a, d

3


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
a

Do ( 2 − e )2 ≥ 0 víi mäi a, e
=> H ≥ 0 víi mäi a, b, c, d, e
DÊu '' = '' x¶y ra <=> b = c = d = e =

a
2

Bµi 3 : Chứng minh bất đẳng thức :
a2 + b2  a + b 
≥

2
 2 

2

Gi¶i :
XÐt hiƯu : H =

=
=

a 2 + b2  a + b 
−

2
 2 

2

2(a 2 + b 2 ) − (a 2 + 2ab + b 2 )
4
1
1
(2a 2 + 2b 2 − a 2 − b 2 − 2ab) = (a − b) 2 ≥ 0
4
4

. Víi mäi a, b .

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b .
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất
đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đà đợc chứng minh là đúng .
- Một số bất đẳng thức thờng dùng :
(A B)2 = A2 ± 2AB + B2
 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC
 (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3
 .........................................................

VÝ dơ :
Bµi 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chøng minh r»ng :
Gi¶i:

1
1
4
+
≥
a +1 b +1 3

Dïng phÐp biến đổi tơng đơng ;
3(a + 1 + b + 1) ≥ 4(a + 1) (b + 1)
 9 ≥ 4(ab + a + b + 1)
(v× a + b = 1)
 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab (a + b)2 4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mÃn : a + b + c = 4
Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3
Gi¶i:
4


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
Tõ : (a + b)2 ≥ 4ab , (a + b + c)2 = [ (a + b) + c ] 2 ≥ 4(a + b)c
=> 16 ≥ 4(a + b)c => 16(a + b) ≥ 4(a + b)2c ≥ 16 abc
=> a + b ≥ abc
T¬ng tù : b + c ≥ abc
c + a ≥ abc
=> (a + b)(b + c)(c + a) ≥ a3b3c3

Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức :
a3 + b3  a + b 
≥

2
 2 

3

; trong ®ã a > 0 ; b > 0

Gi¶i :
Dïng phÐp biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng : Víi a > 0 ; b > 0 => a + b > 0
a3 + b3  a + b 
≥

2
 2 



3

a+b 2
 a + b   a + b 2
2

.(a − ab + b ) ≥ 
 .


 2 
 2   2 

 a2 - ab + b2 ≥

a +b 


 2 

2

 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) 0
Bất đẳng thức cuối cùng ®óng ; suy ra :

a3 + b3  a + b


2
2

3

Bài 4:
Cho 2 số a, b thoả m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab ≥
Gi¶i :
Ta cã : a3 + b3 + ab ≥

1

2

<=> a3 + b3 + ab -

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab <=> a2 + b2 -

1
2

1
2

1
2

≥0

≥0

≥ 0 . V× a + b = 1

<=> 2a2 + 2b2 - 1 ≥ 0
<=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 ≥ 0 ( v× b = a -1 )
<=> 4a2 - 4a + 1 ≥ 0
<=> ( 2a - 1 )2 0
Bất đẳng thức cuối cùng ®óng . VËy a3 + b3 + ab ≥
DÊu '' = '' xảy ra khi a = b =

1
2

Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :

a3 + b3 a + b 
≥

2
 2 

5

3

1
2

1
2


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
Trong ®ã : a > 0 , b > 0 .
Gi¶i :
Víi a > 0 , b > 0 => a + b > 0
a3 + b3  a + b 
≥

2
 2 

Ta cã :

3

<=>

a +b 2
 a + b  a + b 
2

. a − ab + b ≥ 


 2 
 2  2 

<=>

a +b
a 2 − ab + b 2 ≥ 

 2 

(

)

2

2

<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 3(a2 - 2ab + b2 ) ≥ 0
<=> 3(a - b)2 ≥ 0 . BÊt đẳng thức này đúng
=>

a3 + b3 a + b 
≥

2
 2 

3

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b .
Bµi 6 : Víi a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
a
a
b

b

b
a

Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :
a
a
b

(
 [(




≥ b−

b
a

a a + b b ) − ab ( a + b )

]

≥0

a ) + ( b ) − ab ( a + b ) ≥ 0
3

3

( a + b )(a − ab + b) − ab ( a + b ) ≥ 0
( a + b )( a − 2 ab + b) ≥ 0
( a + b )( a b ) 0

Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :

a

a
b



b

b
a

3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki
, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt ®èi ®Ĩ biÕn ®ỉi vµ chøng minh ,
Mét sè hƯ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 ≥ 2xy
Víi a, b > 0 ,
C¸c vÝ dơ :
6

a b
+ ≥2
b a


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:
a
b
c
+
+

>2
b+c
c+a
a+b

Giải
áp dơng B§T Cauchy , ta cã :
a + (b + c)

a
2a
≥
b+c a +b+c



≥ 2 a (b + c )

T¬ng tù ta thu đợc :
b
2b

c+a a+b+c

c
2c

a+b a+b+c

,

Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi ®ã cã :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = 0 ( tr¸i víi giả thiết a, b, c đều
là số dơng ).
Từ đó suy ra :

a
b
c
+
+
>2
b+c
c+a
a+b

Bµi 2:
Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n :
x2 + y2 = x 1 − y + y 1 − x
Chøng minh r»ng : 3x + 4y 5
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã :
1
1
(x2 + y2)2 = ( x 1 − y + y 1 − x )2 ( x ≤ ; y ≤ )
2
2
2
2
≤ (x + y )(1 - y + 1 - x )

2
=> x + y2 ≤ 1
Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 ≤ (32 + 42)(x2 + y2) 25
=> 3x + 4y 5
2

2

2

Đẳng thức xảy ra
Điều kiện :

2

2
2
x + y = 1

x > 0, y > 0
 x y
 3=4



x =

y =


3
5
4
5

3
5
≤x≤
2
2

Bµi 3: Cho a, b, c ≥ 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng :
a, a + b + b + c + c + a ≤ 6
b, a +1 + b +1 + c +1 < 3,5
Giải
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bé 3 sè ta cã :
( a +b .1 + b +c .1 + c +a .1) ≤(1 +1 +1)( a +b ) +( b +c ) +(


2

=>
=>

(

a +b + b +c + c + a

)

2

≤ 3.(2a + 2b + ac) = 6

a +b + b +c + c +a ≤ 6

.
7

2

c +a

)

2






Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c =

1
3

b, ¸p dơng bất đẳng thức Côsi , ta có :
(a + 1) + 1 a

= +1
2
2
b
b +1 ≤ +1
;
2

a +1 ≤

T¬ng tù :

c +1

c
+1
2

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :
a +1 + b +1 + c +1

a+b+c
+ 3 = 3,5
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
VËy : a +1 + b +1 + c +1 < 3,5
Bµi 4 : Cho các số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = 1 .
Chøng minh r»ng :

1 1 1
+ + ≥9
a b c

Gi¶i :
a b
+ >0 , a , b > 0
b a
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Ta cã : a + b + c = ( a + b + c ) .1 = ( a + b + c ) .(a
a a b
b c c
=1 + b + c + a + 1 + c + a + b + 1
a b
b c
c a
= 3 + (b + a) + (c + b) + (a + c ) ≥
1 1 1
=> a + b + c ≥ 9
1
DÊu ''='' x¶y ra khi : a = b = c = 3

Ta cã :

+ b + c)

3+2+2+2=9

Bµi 5
1 1
4
+ ≥
x y x+y

a, Cho x , y > 0 . Chøng minh r»ng :

b, Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c lµ độ dài các cạnh của
tam giác ) . Chứng minh r»ng :
1
1
1
1 1 1
+
+
≥2 ( + + )
p − a p b p c
a b c

Giải
a, áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã :

x + y ≥2

1 1
+
x
y

=> (x + y)(
=>

1 1
+
x
y

≥

1 1
+
x
y
4
x+y

) ≥4

8

≥

xy

2
xy


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS

b, Ta cã : p - a =

b+c−a
>0
2

T¬ng tù : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng kết quả câu a , ta đợc ;

1
1
4
4
+

=
p a p b ( p − a ) + ( p − b) c

1
1
4
+
≥
p −b p −c a
1
1
4
+
≥
p −a p −c b

1
1
1
1 1 1
2(
+
+
) ≥ 4( + + )
p −a p −c p c
a b c

Tơng tự :

=>

=> đIều phải chứng minh .
Dấu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
- Kiến thức : Dùng các tính chất đà đợc học để vận dụng vào giải các bài
tập .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mÃn điều kiện : x + y = 2 .
Chøng minh r»ng : x4 + y4 2
Giải
Theo tính chất bắc cầu ta cã : (x2 - y2) ≥ 0  x4 + y4 ≥ 2x2y2
 2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (1)
Ta cã : (x - y)2 ≥ 0  x2 + y2 ≥ 2xy
 2(x2 + y2 ) ≥(x +y)2
2(x2 + y2 ) ≥ 4 V× : x + y = 2

 x2 + y2 ≥ 2
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 ≥ 2
DÊu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 2:
Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng :
(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Gi¶i :
Ta cã : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
Do a, b > 0 nªn ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
Do c < 1 nªn 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)
9


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
 (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
Do a, b, c, d > 0 nªn 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0
=>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bµi 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chøng minh r»ng :
2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a
Gi¶i :
Do a, b < 1 => a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta cã :
(1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b
=> 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b .
T¬ng tù : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a .
=> 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a
5. Phơng pháp 5 : Chứng minh phản chứng .

- KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chøng minh bÊt đẳng thức nào đó đúng , ta hÃy
giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đà biết và giả thiết
của đề bài để suy ra điều vô lý .
Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau ,
từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ :
Bµi 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chøng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau
lµ sai :
2a(1 - b) > 1
3b(1 - c) > 2
8c(1 - d) > 1
32d(1 - a) > 3
Gi¶i:
10


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ;
ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
=> [ a(1 − a)][b(1 − b)][ c(1 c)][ d (1 d )] >

1
256

(1)

Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
a +1 − a 1
=
2
2
1
b(1 - b) ≤
4
1
c(1 - c) ≤
4
1
d(1 - d) ≤
4

a (1 − a ) ≤

T¬ng tù :

=> a(1 - a)

1
4

Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta cã :

[ a(1 − a)][b(1 − b)][c(1 − c)][ d (1 − d )] >

1
256

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là
sai .
Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau )
Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mÃn cả ba bất đẳng thức
sau :

a+

1
<2
b

;

b+

1
<2
c

;

c+

1
<2
a

Giải
Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mÃn cả 3 bất ®¼ng thøc :
a+

1
<2
b

;

b+

1
<2
c

;

c+

1
<2
a

Céng theo tõng vÕ cđa 3 bÊt ®¼ng thức trên ta đợc :
1

1
1
+b+ +c+ < 6
b
c
a
1
1
1
(a + a ) + (b + b ) + (c + c ) < 6 (1)
1
1
1
V× a, b, c > 0 nªn ta cã : (a + a ) ≥ 2 ; (b + b ) ≥ 2 ; (c + c ) ≥ 2
1
1
1
=> (a + a ) + (b + b ) + (c + c ) ≥ 6 Điều này mâu thuẫn với (1)
a+

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mÃn cả 3 bất đẳng thức nói trên .
=> đpcm
Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mÃn cả 3 bất đẳng
thức sau :

11


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .

Hớng dẫn : tơng tự nh bài 2 :
Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với ®iỊu ®óng )
Cho a3 + b3 = 2 . Chøng minh r»ng : a + b ≤ 2 .
Gi¶i :
Gi¶ sö : a + b > 2 => (a + b )3 > 8
=> a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8
=> 2 + 3ab(a + b) > 8 ( V× : a3 + b3 = 2 )
=> ab(a + b) > 2
=> ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = 2 )
Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc :
ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 V« lý
VËy : a + b ≤ 2
6. Phơng pháp 6 : Đổi biến số
- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đà cho
về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đà biết cách giải ...
Các ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng : NÕu a , b , c > 0 th× :
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a b+a 2

Giải:
Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z
=> a + b + c =
=> a =

y+z−x
2

x+y+z
2

, b=

z+x−y
2

, c=

x+ y−z
2

Khi ®ã :
VT =
=

y+z−x z+x−y x+ y−z
+
+
2x
2y
2z
1 y x
1 z x
1 z y

3
3 3
( + ) + ( + ) + ( + ) − ≥ 1 +1 +1 − =
2 x y
2 x z
2 y z
2
2 2

a
b
c
+
+
b+c c+a b+a

=

Bµi 2 : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức :
-

1 ( x 2 − y 2 )(1x 2 y 2 ) 1
≤
≤
4 (1 + x 2 ) 2 (1 + y 2 ) 2 4

Gi¶i:

12

Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Đặt : a =

x2 y2
(1 + x 2 )(1 + y 2 )

=> ab =

vµ b =

1− x2 y2
(1 + x 2 )(1 + y 2 )

( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 )
(1 + x 2 ) 2 (1 + y 2 ) 2

Ta cã dƠ thÊy víi mäi a, b th× : -

1
1
(a − b) 2 ≤ ab ≤ ( a + b) 2
4
4

2
2
Mµ : (a - b)2 = 1 − 2 
 x + 1




(a + b) =
2

Suy ra : -

1
≤
4


2 
1 − 2

y +1


ab ≤

1
4

2

.

Bµi 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c ≤ 1 . Chøng minh r»ng :
1
1

1
+ 2
+ 2
≥9
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
2

Gi¶i :
Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z
Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab
= (a + b + c)2 1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z ≤ 1 .
Cøng minh r»ng :
1 1 1
+ + 9
x y z

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)(

1 1 1
+ + ) ≥9
x y z

Theo bÊt đẳng thức Côsi
Mà : x + y + z 1 nên suy ra

1 1 1
+ + 9
x y z

.

7.Phơng pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học .
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thøc ®óng víi n > 1 (n > n0)
- VÝ dơ :
Bµi 1 :
13


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n 3 thì
2n > 2n + 1 (*)
Gi¶i :
+ Víi n = 3 , ta cã : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức
(*) đúng với n = 3 .
+ Giả sư (*) ®óng víi n = k (k ∈ N ; k ≥ 3) , tøc lµ : 2k > 2k + 1
ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1
hay : 2k+1 > 2k + 3 (**)
+ ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
do ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng víi mäi k ≥ 3 .
+ KÕt luËn : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3 .
Bài 2 : ( Tơng tự )
Tìm số nguyên dơng n sao cho 2n > 5n .
Bài 3 : Chøng minh r»ng :
1

2

3

2n −1
≤
2n

5

. 4 . 6 ...

1
3n +1

(*) (n là số nguyên dơng )

Giải :
+ Với n = 1 , ta cã : VT = VP =

1
2

. Vậy (*) đúng với n = 1 .

+ Giả sử (*) ®óng víi n = k ≥ 1 ta cã :

1
2

3

5

. 4 . 6 ...

2k −1
≤
2k

1
3k +1

Ta cÇn chøng minh (*) ®óng víi n = k + 1 , tøc là :
1
2

.

3
4

.

5
6

...

do đó chỉ cần chứng

2k +1
1
2k 1 2k +1
. 2(k +1) ≤ 3k +1 . 2(k +1)
2k
1
2k +1
1
minh : 3k +1 2(k +1) ≤ 3(k +1) +1

dïng phÐp biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng , ta cã :
(2k + 1)2(3k + 4) ≤ (3k + 1)4(k +1)2
 12k3 + 28k2 + 19k + 4 ≤ 12k3 + 28k2 + 20k +4
k ≥0.
=> (**) ®óng víi mäi k ≥ 1 .
VËy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n .
8 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức
nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức trong tam giác , tam thức
bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bàI toán mà sử dụng phơng
14


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tàI này không hệ thống ra
những phơng pháp đó .

Phần iii : ứng dụng của bất đẳng thức
I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .

Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki ,
bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp
biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các
bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
A + B ≥ A +B
Chó ý :
X¶y ra dÊu '' = '' khi AB ≥ 0
A ≥0 DÊu ''= '' x¶y ra khi A = 0
Ví dụ :
Bài 1 : Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b
thoả m·n : a + b = 1 .
Gi¶i
B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab
= a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2
Ta cã : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 = 1 => a2 + b2 ≥
VËy min B =

1
2

khi a = b =

1
2

1

2

Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc :
A = (x2 + x)(x2 + x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y
Gi¶i
a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . §Ỉt : t = x2 + x - 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 ≥ - 4
DÊu b»ng x¶y ra khi : t = 0  x2 + x - 2 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0  x = -2 ; x = 1 .
15


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
b, T¬ng tự
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc .
a, C = 2 x −3 + 2 x −1
b, D = x + x +3 + x + x −6
c, E = x −1 + x −2 + x 3 + x 4
Giải :
a, áp dụng BĐT : A + B ≥ A +B
DÊu '' = ''x¶y ra khi AB ≥ 0 .
=> C = 2 x −3 +1 −2 x ≥ 2 x −3 +1 −2 x = −2 =2
2

2

1

3
≤x≤
2
2

DÊu '' = '' x¶y ra khi (2x - 3)(1 - 2x) ≥ 0 
1
3
≤x≤
2
2

VËy minC = 2 khi

b, T¬ng tù : minD = 9 khi : -3 ≤ x ≤ 2
c,
minE = 4 khi : 2 ≤ x ≤ 3
Bµi 4 : Cho a < b < c < d , t×m :
b
c
Minf(x) = x −a + x − + x − + x −d
Híng dÉn : t¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a khi b ≤ x ≤ c
Bµi 5 : Cho ba số dơng x , y , z thoả mÃn :
Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz
Giải :
1
1+x

(1 -

Tơng tự :

1
1+ y

1
1+ y

)+(1-

2

1
1+z

2

Bài 6 :

1
8

)=

y
1+ y

+

+

z
1+z

1
1+ y

≥2

+

1
≥
1+ z

2

yz
(1 + y )(1 + z )

zx
(1 + x )(1 + z )
xy
(1 + x)(1 + y )

Tõ ®ã suy ra : P = xyz ≤
MaxP =

1
1+z

1
1+x

1
8

khi x = y = z =

1
2

Cho 3 sè d¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : F =

1
1
1
(a + ) 2 + (b + ) 2 + (c + ) 2
a
b
c

Gi¶i:
Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + (

1
1 1
+ 2 + 2)+6

2
a
b
c

16


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta cã :
(a.1 + b.1 + c.2)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
1
3

=> a2 + b2 + c2 ≥

1
1
1
1 1 1 2
+ + ) ≤ 3( 2 + 2 + 2 )
a b c
a
b
c
1 1 1
1 1 1
1 1 1
kh¸c : a + b + c = ( a + b + c ).1 = ( a + b + c )(a + b + c)
a b

b c
c a
= 3 + (b +a ) + (c +b ) + (a + c ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2
1 1 1
=> a + b + c ≥ 9
1 1 1
=> ( a + b + c ) 2 81

Tơng tự :
Mặt

(

=> (

=9

1
1
1
+ 2 + 2 ) ≥ 27
2
a
b
c

F≥

1
3

+ 27 + 6 = 33
1
3
1
= 3

Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
1

Vậy MinF = 33 3 khi : a = b = c
Bài 7 : Cho G =

yz x −1 + zx

.

y − 2 + xy z − 3
xyz

Tìm giá trị lớn nhất của G :
Giải : Tập xác định : x ≥ 1 ; y ≥ 2 ; z ≥ 3
Ta cã : G =

x −1
x

y −2
y

+

x −1 ≤

Theo BĐT Cơsi ta có :
T¬ng tù :
=> G ≤

y −2
1
≤
y
2 2

+

;

z −3
z

x −1 + 1
2

=>

1
x −1
≤
2

x

z −3
1
≤
z
2 3

1
1
1
+
+
2 2 2 2 3

Vậy MaxG =

1
1
1
+
+
2 2 2 2 3

đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6

Bµi 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H =

x
x 1

với x > 1 .

b. Tìm giá trị lớn nhất cđa K = x . 1 −x
HD : ¸p dơng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :
II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng tr×nh .
2

17


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
- KiÕn thøc : Nhê vµo các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp
chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó
suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình .
Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mÃn TXĐ)
=> phơng trình cã nghiƯm .
NÕu VT > VP hc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
=> phơng trình vô nghiệm .
- Các ví dụ :
Bài 1 : Giải phơng trình :
13 x 1 + 9 x +1 = 16x
Giải:
Điều kiƯn : x ≥ 1 (*)
C¸ch 1 : ¸p dơng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x 1 + 9 x +1
1

= 13.2. 2

x −1

≤ 13( x - 1 +

3

+ 3.2. 2
1
4

x +1

) + 3(x + 1 +

9
4

) = 16x

DÊu '' = '' x¶y ra

 x −1 =

 x +1 =


1
2
3
2

x=

5
4

thoả mÃn (*)

Phơng trình (1) có nghiệm dÊu '' = '' ë (2) x¶y ra
VËy (1) cã nghiệm x =

5
4

.

Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất cña L = 2 x −3 + 5 − 2 x
b. Giải phơng trình : 2 x 3 + 5 − 2 x - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
Giải :
a. Tóm tắt : ( 2 x 3 + 5 − 2 x )2 ≤ 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 2 x −3 + 5 − 2 x ≤ 2
=> MaxL = 2 khi x = 2 .
b. TX§ :

3
5
≤x≤
2
2

(*)  2 x −3 + 5 − 2 x = x2 - 4x + 6

VP = (x - 2)2 + 2 ≥ 2 , dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2 .
=> với x = 2 ( thoả mÃn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
=> phơng trình (*) cã nghiÖm x = 2 .
18


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Bài 3 : Giải phơng trình :
6 − x + x + 2 = x2 - 6x + 13
Giải : TXĐ : -2 x 6.
VP = (x - 3)2 + 4 ≥ 4 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 3 .
VT2 = ( 6 − x .1 + x + 2 .1)2 ≤ (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
=> VT ≤ 4 , dÊu '' = '' x¶y ra khi 6 − x = x + 2 x = 2 .
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm
Bài 4 : Giải phơng trình :
3 x 2 −12 x +16 + y − 4 y +13 = 5
HD : 3x 2 −12 x +16 ≥ 2 ; y − 4 y +13 ≥ 3 => VT ≥ 5 .
2

2

DÊu '' = '' x¶y ra khi :

x − 2 = 0

y − 2 = 0



x = 2


y = 2

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .

III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình :
- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hƯ , suy
ln vµ kÕt ln nghiƯm .
Lu ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 ≥ 2ab
b. a + c < ; c > 0 => a < b
c.

a
>1
b

nÕu a > b > 0 .

- C¸c ví dụ :
Bài 1 : Giải hệ phơng trình :
x3 + 2 y 2 − 4 y + 3 = 0
 2
2 2
 x + x y − 2y = 0

3
2
3
(1)  x = - 1 - 2(y - 1)  x ≤ - 1  x ≤ - 1 . (*)
2y

(2)  x2 ≤ 1 + y 2 ≤ 1 ( v× 1 + y2 ≥ 2y)  -1 ≤ x ≤ 1 (**)

Tõ (*) vµ (**) => x = -1 . Thay x = -1 vµo (2) ta có : y = 1 .
=> Hệ phơng trình có nghiÖm duy nhÊt : x = -1 ; y = 1 .
- Kiến thức : Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơng trình
còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
Bài 2 : Giải hệ phơng trình :

19


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thøc cho häc sinh THCS
 x+ y + z =1
 4
4
4
x + y + z = xyz

Giải :
áp dụng : B§T : A2 + B2 ≥ 2AB dÊu '' = '' x¶y ra khi A = B
Ta cã : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 .
=> x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (*)
M¾t kh¸c : x2y2 + y2z2 ≥ 2x2yz
y2z2 + z2x2 ≥ 2xy2z
x2y2 + z2x2 ≥ 2xyz2
=> 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) ≥ 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
=> x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ xyz .
(**)
Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 ≥ xyz
DÊu '' = '' x¶y ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z =

Vậy hệ phơng trình cã nghiƯm : x = y = z =

1
3

C¸ch 2: áp dụng BĐT Côsi ;
- Kiến thức : Dùng phơng pháp thế
Bài 3 : Giải hệ phơng trình

x + y 2 + z 3 = 14

( 1 + 1 + 1 )( x + y + z ) = 1
 2x 3y 6z 2 3 6


(víi x, y, z > 0)

Giải :
áp dụng : Nếu a, b > 0 thì :

3 2 1
+ + )(3 x + 2 y + z ) = 36
x y z
x y
x z
y z
 6 ( y + x ) + 3( z + x ) + 2( z + y ) = 22
x
y
kh¸c : vì x, y, z > nên

6 ( y + x ) ≥ 12

(2) 

MỈt

a b
+ ≥2
b a

(

3(
(

x z
+ ) ≥6
z x

;

2(

z
y
+ ) ≥4
y
z

x y

x z
y z
+ ) + 3( + ) + 2( + ) ≥ 22
y x
z x
z
y

DÊu '' = '' x¶y ra khi x = y = z , thay vào (1) ta đợc :
x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0
<=> x - 2 = 0 <=> x = 2 .
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 .
20

1
3


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
* Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi
hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc
đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc .
Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên .
Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
1 1 1
+ +
x y z

=2

Giải :
Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y ≥ z , ta cã :
2=

1 1 1
+ +
x y z



3
z

=> 2z 3 , mà z nguyên dơng

Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc :
1 1
+ =1
x y

Theo giả sử , x y , nên 1 =

1 1
+
x
y



2

y

Y nguyên dơng nên y = 1 hoặc y = 2 .
Với y = 1 không thích hợp
Với y = 2 ta có : x = 2 .
VËy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình .
Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là :
(2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)

Thực nghiệm s phạm

Bài vận dụng Bất đẳng thức để giải phơng trình
A. Mục tiêu
- Giíi thiƯu vµ híng dÉn häc sinh néi dung kiÕn thức giải phơng trình nhờ
vận dụng kiến thức bất đẳng thức Bunhiacôpxki và tính chất của bất đẳng thức
- Hình thành kỹ năng giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳng
thức thông qua việc chữa các bài tập đợc đa ra trên cơ sở các bài toán chứng
minh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tính
chất của bất đẳng thức .
- Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập và biết
vận dụng vào giải các bài tập tơng tự

21


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
- học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác ,
phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh .
B. Chuẩn bị :
C. Các hoạt động dạy học

1, ổn định lớp
2, Kiểm tra bài cũ
HS1: Tìm Min cđa M = x2 - 6x + 13
HS2: T×m Max cña N = 2 x −3 + 5 − 2 x
HS3: Bất đẳng thức Côsi ; Bunhiacôpxki ? Dấu đẳng thức xảy ra
khi nào ?
GV: Chữa bài HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 ≥ 4
=> Min M = 4 khi x = 3
HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta cã :
( 2 x −3 .1 + 5 − 2 x .1)2 ≤ (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
=> 2 x −3 + 5 − 2 x ≤ 2
=> Max N = 2 khi 2x - 3 = 5 - 2x  x = 2 .
HS3 : Viết các BĐT
3, Bài mới :
a, Đặt vấn đề :
Định nghĩa phơng trình ẩn x ? cách giải ?
HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thức
biến x
Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có)
Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mÃn ĐKXĐ
nghiệm đúng phơng trình đà cho .
GV : NÕu ta cã A(x) ≥ a ; B(x) ≤ a , vậy phơng trình A(x) = B(x)
có nghoiệm khi nµo ?
HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trờng hợp dấu bằng )
GV : Đặt vấn đề vào bài
B, Bài giảng :

22

Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS

Hoạt động của thày và trò

Nội dung

Hoạt động 1: Dạng 1:
GV: yêu cầu HS giải bài tập
Gợi ý: ? Nhận xét vế trái của (1)
HS : VT 2
Vậy phơng trình (1) có nghiệm khi nào ?

1, Bài 1: Giải phơng trình :
a, 2 x 3 + 5 − 2 x = 2 (1)
b, 3 x −1 + 4 5 − x =10 (2)
Gi¶i

GV : yêu cầu hs làm câu b
Hs trình bày lời giải

VT ≤ 2; x¶y ra '' = '  x = 2
VËy 91) cã nghiƯm x = 2.
b, §k : 1 ≤ x ≤ 5
(3 x −1 + 4 5 − x )2 ≤ (9+ 16)(x - 1 + 5 x) = 25 . 4 = 100
=> VT ≤ 10

a, §k :

3
5

≤x≤
2
2

61
25
61
VËy (2) cã nghiƯm x =
25

DÊu '' = '' x¶y ra khi x =

23


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Hoạt động 2: Vận dụng hớng dẫn HS Bài 2: Giải PT
biến đổi
GV: Yêu cầu hs nhận dạng pt
HS : biến đổi suy ra
- VT 2
- VP ≥ 2
? VËy PT cã nghiƯm kh«ng ? cã nghiƯm
khi nµo ?
HS : PT cã nghiƯm khi VT = VP = 2
HS: trình bày lời giải
GV : Yêu cầu HS làm bài tập
? Em hÃy nêu cách giải phơng trình
GV gọi ý : Em có nhận xét gì về VT của
phơng trình

HS : Chứng minh đợc VT 16x
=> tìm nghiệm của PT

GV : Nhận xét
HS hoàn thành bµi tËp vµo vë

2x − 3 + 5 − 2x − x2 + 4x − 6 = 0
 2x − 3 + 5 − 2x = x2 − 4x + 6

HD :
VT ≤ 2 . DÊu '' = '' x¶y ra khi x = 2
VP ≥ 2 . DÊu '' = '' xảy ra khi x = 2
Vậy phơng trình có nghiệm khi
x=2
Bài 3 : Giải phơng trình :
13 x −1 + 9 x +1 = 16x
§iỊu kiƯn : x 1 (*)
Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức C«si ta cã :
13 x −1 + 9 x +1
= 13.2.

1
2

x −1 + 3.2.

≤ 13( x - 1 +

3
2

x +1

1
9
) + 3(x + 1 +
) = 16x
4
4

DÊu '' = '' x¶y ra
1

 x −1 = 2
5

x=
tho¶ m·n
3
4
 x +1 =
2

PT (1) cã nghiÖm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y ra
VËy (1) cã nghiƯm x =

24

5
.

4


Đề tài : Rèn luyện kỹ năng CM Bất đẳng thức cho học sinh THCS
Hoạt động 3: Dạng 2
GV : Lu ý A ≥ 0 ; A2 ≥ 0
X¶y ra dÊu '' = '' khi nµo ?
HS : dÊu '' = '' xảy ra khi A = 0
Gv: yêu cầu hs tìm min L ? áh trình bày
lời giải

GV : híng dÉn HS t×m GTNN cđa
5 x 2 −10 x + 9 ? => đpcm
GV đề xuất bài toán mới ;
? Nêu đặc điểm của biểu thức trong
căn ?
HS rút ra nhận xét : VT 5
? Tìm x để VT = VP

Bài 3
a, Tìm min của L = 3x 2 + 6 x +12
b, Chøng minh r»ng :
3 x 2 + 6 x +12 + 5 x 2 −10 x + 9 ≥ 5

gi¶i:
a, Ta cã : 3(x + 1)2 + 9 ≥ 9
=> L = 3x 2 + 6 x +12 ≥ 3
X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1
VËy min L = 3 khi x = -1
b, T¬ng tù ; 5 x 2 −10 x + 9 ≥ 2

VËy : 3x 2 + 6 x +12 + 5 x 2 −10 x + 9 ≥ 5
Bài 4 : Giải PT
3 x 2 + 6 x +12 + 5 x 2 −10 x + 9 = 5

HD :
3 x 2 + 6 x +12

≥3

dÊu '' = '' x¶y ra khi x - 1
5 x 2 −10 x + 9 ≥ 2

dÊu '' = '' x¶y ra khi x = 1
Vậy PT vô nghiệm
4. Hoạt động 4 : Vận dụng
GV : yêu cầu HS giải phơng trình
HS lên bảng trình bày lời giải
HS dới lớp làm vào vë BT

Bµi 5 : GPT
3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 +10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2

Gi¶i;
3 x 2 + 6 x + 7 = 3( x +1) 2 + 4 ≥ 2

X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1
5 x 2 +10 x +14 = 5( x +1) 2 + 9 ≥ 3

X¶y ra dÊu '' = '' khi x = -1
VËy PT cã nghiÖm : x = -1

5. Hoạt động 5 Củng cố
? Khái quát cách giải PT
A(x) = B(x)
A(x) m xảy ra dấu '' = '' khi x = a
B(x) ≤ m x¶y ra dÊu '' = '' khi x = b
=> PT cã nghiÖm x = a nÕu a = b
NÕu a # b => PT v« nghiƯm

4, Híng dÉn häc ë nhà :
Xem lại cách giải các bài tập đà chữa tại lớp
Vận dụng tốt các kiến thức đà học để giải các bài tập
Bài tập về nhà :
Bài 1: Giải PT :
a, 3x −12 x + 6 +
b, 2 x 2 − 4 x + 5 +
2

y 2 − 4 y +13 = 5

2 x 2 − 4 x +14 = −2 x 2 + 2 x + 3 3 −1

25