CHUYÊN ĐỀ MŨLÔGARIT HAY VÀ ĐẦY ĐỦ

Chuyên đề 3:
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ & LÔGARIT
Loại 1: Phương trình mũ & lôgarit
1. Phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: Với 0 < a = 1 thì af (x)


b > 0
= b ⇐⇒
f (x) = log x
a

b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
• Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0 < a = 1 thì af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x).
• Phương pháp đặt ẩn số phụ: Đặt t = af (x) , t > 0 để đưa phương trình đã cho về
phương trình mới ẩn t.
• Phương pháp lôgarit hóa: Thường được sử dụng giải các phương trình af (x) = bg(x) .
Khi đó ta lấy lôgarit cơ số c (0 < c = 1) hai vế của phương trình. Để đơn giản ta
thường chọn c = a hoặc c = b.
• Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ: Thông thường ta tiến hành
theo 2 bước
– Đoán một nghiệm của phương trình (thường là nghiệm đơn giản)
– Chứng minh nghiệm này là duy nhất bằng cách sử dụng tính đơn điệu của
hàm số mũ.i

0 < a = 1
2. Phương trình lôgarit: Điều kiện tồn tại loga f (x) là
f (x) > 0.

a) Dạng cơ bản: loga f (x) = b ⇐⇒


0 < a = 1
f (x) = ab .

b) Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:
• Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Với 0 < a = 1 thì loga f (x) = loga g(x) ⇐⇒


f (x) > 0 hoặc g(x) > 0
f (x) = g(x).

• Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t = loga f (x) để đưa phương trình đã cho về phương
trình với ẩn mới là t.
• Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit: (Tương tự như phần
phương trình mũ).
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2x+1 .5x = 2.102x+5
b) log3 (2x + 1) − log 1 (3 − x) = 0
3
√ x
√ x
c) 4 + 15 + 4 − 15 = 62
1


d) 3.49x + 2.14x − 4x = 0
x

e) 3x .8 x+2 = 6
f) 2x

2 −4

= 3x−2

g) 3x = 3 − log5 x
h) log3 (x + 1) =

4
x+2
Loại 2: Bất phương trình mũ & lôgarit1

1. Bất phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: af (x) > b ⇐⇒

b) Đưa về cùng cơ số: af (x)


a > 1


0 < a < 1

∪
f (x) > log b
f (x) < log b.
a
a



a > 1
0 < a < 1
> ag(x) ⇐⇒
∪
f (x) > g(x)
f (x) < g(x).

2. Bất phương trình lôgarit:
a) Dạng cơ bản: loga f (x) > b ⇐⇒


a > 1


0 < a < 1

∪
f (x) > ab
f (x) < ab .


a > 1
0 < a < 1
b) Đưa về cùng cơ số: loga f (x) > logg (x) ⇐⇒
∪
f (x) > g(x) > 0
0 < f (x) < g(x).
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

a) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (2x−2 + 1)
√

b)

5−2

x−1
x+1

≤

√

5+2

x−1

4
2
+
>3
log2 2x log2 x2

c)

√

d)

10 + 1

log3 x

−

√

10 − 1

log3 x

≥

2x
3

e) log3 (3x+1 − 2) > 2x
f) 32 log2 x − 2x1+log2 x − 8x2 ≤ 0
Loại 3: Hệ phương trình mũ & lôgarit
Để giải hệ phương trình mũ & lôgarit với hai ẩn x, y ta có thể dùng các phương pháp sau:
a) Đưa về hệ phương trình đại số theo x, y.
b) Dùng phương pháp thế.
1

Ở đây chúng ta chỉ xét một dạng đại diện, những dạng khác giải tương tự.

2

c) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đại số theo hai ẩn số phụ.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau

5 log x − 3 log y = −8
2
4
a)
10 log x − log y = −10
2

4

√
 x − 1 + √2 − y = 1
b)
3 log (9x2 ) − log y 3 = 3
9

c)

3


lg2 x = lg2 y + lg2 (xy)
lg2 (x − y) + lg x. lg y = 0

√

 √x + 1 − 1 .3y = 3 4 − x
x

d) (ĐHBK HN 1991)

log3 x + y = 1

4log3 (xy) = 2 + (xy)log3 2
e) (ĐHBK HN 1992)
x2 + y 2 − 3x − 3y = 12
CÁC BÀI TOÁN THI
Bài tập 1: Giải các phương trình sau
a) (D_2003) 2x

2 −x

− 22+x−x = 3

2

b) (D_2006) 2x

2 +x

− 4.2x

2 −x

− 22x + 4 = 0

c) (A_2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0
d) (D_2007) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2

1
=0
−3

4.2x

√
√
x
2+1 −2 2=0
√
f) (CĐ 2008) log22 (x + 1) − 6 log2 x + 1 + 2 = 0

e) (B_2007)

√

2−1

x

+

g) (A_2008) log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4
h) (D_2010) 42x+

√
x+2

√

3

3

+ 2x = 42+ x+2 + 2x +4x−4
√
√
i) (D_2011) log2 (8 − x2 ) + log 1
1+x+ 1−x −2=0
2

j) (D_2013) 2 log2 x + log 1 (1 −
2

√

x) =

√
√
1
log2 2 x − 2 x + 2
2

Bài tập 2 (A_2002): Cho phương trình log23 x +

log23 x + 1 − 2m − 1 = 0.

a) Giải phương trình khi m = 2.

√

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3

3

3

.


Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a) (DB2 2002)

1
1
log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x)
2
4

b) (DB5 2002) 16 log27x3 −3 log3x x2 = 0
c) (DB2 D_2003) log5 (5x − 4) = 1 − x
1. 4x − 2x+1 + 2 (2x − 1) sin (2x + y − 1) + 2 = 0
2. log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6
d) (DB2 D_2006) 2 (log2 x + 1) log4 x + log2 41 = 0
√
e) (DB1 B_2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0
2

x2 +x−1

f) (DB2 B_2006) 9

x2 +x−2

− 10.3

+1=0

g) (DB2 A_2006) log2 x + 2 log2x 4 = log√2x 8
h) (DB2 D_2007) log2

2x − 1
= 1 + x − 2x
|x|

i) (DB1 B_2007) log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2
j) (DB2 B_2007) (2 − log3 x) log9x 3 −

4
=1
1 − log3 x

1

k) (DB2 A_2007) log4 (x − 1) +

=

√

1
+ log2 x + 2
2

log(2x+1) 4
√
√
x
x
l) (DB2 D_2008)
5 + 1 + 2 5 − 1 = 3.2x

m) (DB1 B_2008) 2 log2 (2x + 2) + log 1 (9x − 1) = 1
2

n) (DB2 B_2008) 3 +
√

o) (DB2 2009) 4x−

1
6
= logx 9x −
log3 x
x

x2 −5

− 12.2x−1−

p) (DB3 2009) logx+3 3 −

√

x2 −5

+8=0

√
1
x2 − 2x + 1 =
2

q) DB5 2009 log3 (x − 1)2 + log√2 (2x − 1) = 2
3

r) (DB6 2009) log27 (x2 − 5x + 6) =

1
log√3
2

x−1
2

s) (DB6 2010) log5 (5x − 1) log25 (5x+1 − 5) = 1
Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) log x2 x2 − 14 log16x x3 + 40 log4x

√

x=0

b) x1−lg x = 0, 01
c) lg (20 − x) = lg3 x
4

+ log9 (x − 3)2


d) logx 3xlog5 x + 4 = 2 log5 x
e) lg (x2 − x − 6) + x = lg (x + 2) + 4
1
2x

1

f) log5 5 x + 125 = log5 6 + 1 +
g) log3 (4.3x − 1) = 2x + log3 4x

2 +1

h) log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3)
i) log2 cos2 xy +

1
cos2 xy

j) log3 |πx| + log|πx| 3 =

=

y2

1
, cos xy = 0
− 2y + 2

2
sin (x + y) − 2 sin (x + y) + 2
2

k) 2log5 (x+3) = x
Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau
a) (B_2002) logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1
b) (B_2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (2x−2 + 1)
c) (A_2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2
3

d) (D_2008) log 1

2

x2 − 3x + 2
≥0
x

e) (B_2008) log0,7 log6
f) (CĐ 2011) 4x − 3.2x+

x2 + x
x+4

√

<0

x2 −2x−3

√

− 41+

x2 −2x−3

>0

g) (CĐ 2012) log2 (2x) . log3 (3x) > 1
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau
a) (DB1 2002) log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x+1 − 3.2x )
2
2
√
b) (DB2 A_2003) 15.2x+1 + 1 ≥ |2x − 1| + 2x+1
c) (DB2 B_2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0
2
4
√
d) (DB1 A_2004) log π4 log2 x + 2x2 − x < 0
x2 −2x

e) (DB2 D_2005) 9

−2

1
3

2x−x2

≤3

f) (DB1 A_2006) logx+1 (−2x) > 2
√

1
1
log2 (x − 1)2 ≥
2
2
2
√
h) (DB1 A_2007) (logx 8 + log4 x2 ) log2 2x ≥ 0
g) (DB1 D_2007) log 1

2x2 − 3x + 1 +

5

i) (DB1 D_2008) 22x

2 −4x−2

− 16.22x−x

2 −1

−2≤0

j) (DB2 B_2008) 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ 0
k) (DB1 A_2008) log 1
3

log2

2x + 3
x+1

≥0

l) (DB3 2010) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2
m) (DB4 2010)

√

x2 − 4x + 3 log5

x 1 √
+

−2x2 + 8x − 6 + 1 ≤ 0
5 x

n) (BD5 2010) log4 (2x2 + 3x + 1) > log2 (2x + 1)
Bài tập 7: Giải các hệ phương trình sau

23x = 5y 2 − 4y
a) (D_2002) 4x + 2x+1

=y
2x + 2

log 1 (y − x) − log4 1 = 1
4
y
b) (A_2004)
 2
2
x + y = 25
√
 x − 1 + √2 − y = 1
c) (B_2005)
3 log (9x2 ) − log y 3 = 3
9

3


log (x2 + y 2 ) = 1 + log (xy)
2

2
d) (A_2009)
3x2 −xy+y2 = 81

e) (D_2010)


x2 − 4x + y + 2 = 0

2 log (x − 2) − log√ y = 0
2
2

log (3y − 1) = x
2
f) (B_2010)
4x + 2x = 3y 2


x2 + 2y = 4x − 1
g) (B_2013)
2 log (x − 1) − log√ (y + 1) = 0
3
3

x − 4 |y| + 3 = 0
h) (DB3 2002)
 log x − log y = 0
4

2


log (x3 + 2x2 − 3x − 5y) = 3
x
i) (DB6 2002)
log (y 3 + 2y 2 − 3y − 5x) = 3
y


log √xy = log y
y
x
j) (DB1 A_2003)
2x + 2y = 3

6



x 2 + y = y 2 + x
k) (DB1 D_2004)
2x+y − 2x−1 = x − y

l) (DB2 D_2006)


ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y

x2 − 12xy + 20y 2 = 0


2xy


= x2 + y
x + √
3
2
x − 2x + 9
m) (DB2 B_2007)
2xy


= y2 + x
y + 3 2
y − 2y + 9

x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1
n) (DB1 A_2007)
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

4x−2y − 7.2x−2y = 8
o) (DB1 2009)
log (log x) − log (log y) = 1
2
3
2
3

x + log y = 3

3
p) (DB6 2010)
(2y 2 − y + 12) 3x = 81y

Bài tập 8: Cho hệ phương trình


2|x| + |x| = y + x2 + a
x 2 + y 2 = 1

a) Giải hệ phương trình trên khi a = 0.
b) Tìm a để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

(x2 + 1)a + (b2 + 1)y = 2
Bài tập 9: Tìm a để hệ phương trình
có nghiệm với mọi b.
a + bxy + x2 y = 1

log (x + y) + 2 log (x − y) = 5
2
3
Bài tập 10: Giải hệ phương trình
y+1
2x − 5.2 x+y−1
2
+2
= 0.

log22 x − log2 x < 0
Bài tập 11: Giải hệ bất phương trình x3

 − 3x2 + 5x + 9 > 0.
3

7