Chuyên đề Tích phân và Ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
x
α
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+

+
+
1
x
ln x C+
1
ax b+
1
ln ax b C
a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a
+
x
e
x
e C+
ax b
e
+
1
ax b
e C
a

+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
− + +
cosx Sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b+

1
cot ( )g ax b C
a
− + +
'
( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C+
2 2
1
x a−
1
ln
2
x a
C
a x a
−
+
+
tgx
ln cos x C− +
2 2
1
x a+
2 2
ln x x a C+ + +
cotgx

ln sin x C+
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm
cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
83
1.
3
1
( ) cos
1
f x x
x x
= +
+ −
2.
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
−
=
− +
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫

2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1 ln x
dx
x
+
∫
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :

( ) 0
b
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2 :
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì
( ) 0
b
a
f x dx ≥

∫
• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]
( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈
thì

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
• Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤
thì

( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −
∫
• Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
thì

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
84
• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên
[ ]

;a b
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa
là :
( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =
∫ ∫ ∫
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)

1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)

6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

9)
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2

4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44

∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0

sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx

18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

Bài 2:
1)

3
2
3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx

x
+ −
∫

5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2

Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫

=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
85
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)

4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x

π
∫
7)
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
9)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
10)
1
5 3 6

0
x (1 x ) dx−
∫
11)
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π

+
+
∫
14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0

2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫

+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin

π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x

24)
∫
+
e
dx
x

xx
1
lnln31
25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β

α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
86
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=

∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
3)
1
2
0
1

dx
4 x−
∫
4)
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
7)

2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
8)
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
9)
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
10)
3
2
2
1
9 3x

dx
x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
13)
2
0
cos

7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
15)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+

∫
16)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
17)
∫
++
1
0
311 x
dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
2)
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
3)
3
5 2
0
1x x dx+
∫
4)
ln2
x
0

1
dx
e 2+
∫

5)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
6)
2
2 3
0
1x x dx+
∫
7)
∫
+
32
5
2

4xx
dx

III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
87