Hình học 10 : Chuyên đề Vecto và các dạng bài tập ft đề thi online

WWW.
F
ACEBOOK.
COM/
GROUPS/
TLHTGROUP
-

HÌ
NH HỌC10
Chuyênđề:Vec
t
o
Gi
áovi
ên:NguyễnCaoCường









Thi online - Chứng minh đẳng thức véc tơ, phân tích véc tơ
có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
1.⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

2.⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
3. ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Câu 2. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF. Chứng minh rằng:
1.⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

2. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Câu 3. Cho ∆ ABC, bên ngoài tam giác ABC, ta vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng
⃗.
minh rằng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Câu 4. Cho ∆ABC, gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
1.Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.Đặt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗.

. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗

.

Câu 5. Cho ∆ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
1.Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

2. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗

Câu 6. Cho ∆ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC
kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
1. Tính ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

2. Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
1.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
2.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
3. ⃗⃗⃗⃗⃗
Giải
1. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗.

2. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗ )
3. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗.

Câu 2.Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm
của EF. Chứng minh rằng:
⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Giải
1. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra : ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (Vì E là trung điểm của AB)

⃗⃗⃗⃗⃗ (vì F là trung điểm của CD)
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (vì O là trung điểm của ⃗⃗⃗⃗⃗ .

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

2.Ta có :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Câu 3.Cho ∆ ABC, bên ngoài tam giác ABC, ta vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.
⃗.
Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Giải
Ta có:
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⇔⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⇔⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⇔⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗

⃗.

Câu 4.Cho ∆ABC, gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
⃗.
1.Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.Đặt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗
.
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


1.Theo quy tắc cộng hình bình hành, ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Tương tự: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Suy ra:
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗

⃗

2.Ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=>(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

Và ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⇔{
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy { ⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗

⃗

Câu 5.Cho ∆ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

1.Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
2. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Giải
1.Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (quy tắc cộng hình bình hành)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


= (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

=>⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Tương tự:
⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

2.Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

.

⃗⃗⃗⃗⃗ .

Câu 6.Cho ∆ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC
kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. Tính ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


1.Ta có:
=> (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗

=> ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
=> (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

2. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
=

⃗⃗⃗⃗⃗ (vì ⃗⃗⃗⃗⃗

=>⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ )

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M là trung điểm BC)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (***)

Do kết quả câu 1, (*), (**), ta suy ra:
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Thế vào (***) ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


THI ONLINE: TÌM TẬP HỢP (QUỸ TÍCH) CÁC ĐIỂM M THỎA MÃN MỘT HỆ THỨC
VECTO – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương pháp: Ta chọn một hoặc 2 điểm cố định chẳng hạn A, B. Ta biến đổi hệ thức vec tơ
đã cho về một trong các dạng sau:
a)Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với véc tơ cố định (hay có phương không đổi) thì tập hợp các
điểm M là đường thẳng qua A và cùng phương với .
b)Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(hằng số) thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính bằng R.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m, n là 2 hằng số, và
c)Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
thì tập hợp các điểm M là đường tròn

đường kính CD với C, D là 2 điểm chia trong và ngoài của đoạn AB theo tỉ số
.
Đặc biệt khi |m| = |n| thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn AB.
Câu 1.
Cho 3 điểm cố định A, B, C không thẳng hàng. Gọi M là điểm di động sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng
phương với ⃗⃗⃗⃗⃗
1. Tìm tập hợp các điểm M.
2. Gọi N là điểm sao cho ABNM là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm N.
3. Gọi I là tâm của hình bình hành ABMN. Tìm tập hợp các điểm I.
Câu 2.
Cho ∆ABC, G là trọng tâm. Gọi M và N là 2 điểm di động.
1. Chứng minh rằng ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ không phụ thuộc điểm N.

2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

với a là 1 độ dài cho trước.

Câu 3.
Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện sau :
1. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

2. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Câu 4.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Cho tứ giác ABCD.
1. Xác định điểm O sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

2. Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Câu 5.
Cho ∆ABC có trọng tâm G, gọi E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Tìm tập hợp
các điểm M sao cho :
1.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

2.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Câu 6.
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3. |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

2. | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

4. | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.Cho 3 điểm cố định A, B, C không thẳng hàng. Gọi M là điểm di động sao cho
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗
1. Tìm tập hợp các điểm M.
2. Gọi N là điểm sao cho ABNM là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm N.
3. Gọi I là tâm của hình bình hành ABMN. Tìm tập hợp các điểm I.
Giải

1.Tìm tập hợp các điểm M:
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Nên tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và // với BC.
2.Tìm tập hợp các điểm N. Vì ABNM là hình bình hành
=> ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗
=>⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương
Vậy B, N, C thẳng hàng.
3.Tập hợp các điểm I.
Gọi O là trung điểm của đoạn AB, suy ra O cố định. Theo tính chất hình bình hành ta có

⃗⃗⃗⃗ cùng phương với ⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy tập hợp các điểm I là đường thẳng qua O và song song với BC.
Câu 2.Cho ∆ABC, G là trọng tâm. Gọi M và N là 2 điểm di động.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ không phụ thuộc điểm N.
1.Chứng minh rằng ⃗
2.Tìm tập hợp các điểm M sao cho |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
với a là 1 độ dài cho trước
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ không phụ thuộc điểm N.

⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

1.Chứng minh ⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có : ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

=> ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ⃗ không phụ thuộc vào điểm N.
2.Tìm tập hợp các điểm M :
Ta có : |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

, G là trọng tâm

Vì ABC cố định nên G cố định.
Vây M luôn cách G cố định một đoạn không đổi là .
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính

.

Câu 3.Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện sau :
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Giải
1.Ta có

vì ABC là tam giác nên không có điểm M nào thỏa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Do tập hợp các điểm M cần tìm là tập rỗng.
2.Gọi G là trọng tâm của ∆ABC, thì ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Mà giả thiết cho: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ . Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

Nên tập hợp các điểm M cần tìm là điểm G.
3.Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với F là trung điểm của AC.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vì |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với E là trung điểm của AB

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung trực của EF.
Câu 4.Cho tứ giác ABCD.
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1.Xác định điểm O sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗
2.Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Giải

1.Xác định điểm O: ⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (với I là trung điểm của BD)
⃗⃗⃗⃗

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


⃗⃗⃗⃗ .

Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBOE với ⃗⃗⃗⃗

2.Tìm tập hợp các điểm M.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Theo câu (1) thì: ⃗⃗⃗⃗⃗
Vậy ta có: | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

MO = MA

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực (∆) của đoạn OA.
Câu 5.Cho ∆ABC có trọng tâm G, gọi E, F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
1.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
2.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Giải
1.Tập hợp các điểm M sao cho : |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC.
Thì ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vậy |⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

Nên tập hợp các điểm M là đường trung trực (∆) của đoạn EF.
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗
⏟

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

2ME=3MG

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính HK, với H và K là hai điểm chia trong và
chia ngoài đoạn EG theo tỉ số

Câu 6.Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
1.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
2. | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
3. |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Giải
1.Gọi I là trung điểm của AB. Ta có :
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗ |

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính
2.Chọn P, Q sao cho : ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(P, Q đối xứng qua trung điểm I của AB)
Ta có: | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|2(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
MP =MQ

Vậy M cách đều 2 điểm cố định P, Q nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn
PQ cùng là trung trực của AB).
3.Dựng hình bình hành MANB ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có :
Ta có : |⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (*)

(dấu = xảy ra khi B ∊ đoạn MN)
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

MN = MB + BN
B ∊ đoạn MN
Vậy tập hợp các điêm M chính là đường thẳng AB trừ đoạn AB.
4.

Ta có | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương, cùng chiều

Dấu = xảy ra
nằm trong đoạn AB.

M ∊ đường thẳng AB trừ các điểm

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


THI ONLINE : MỘT SỐ BÀI TOÀN VỀ TỌA ĐIỂM, VECTO – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.
Viết tọa độ các véc tơ sau :
⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗⃗

⃗.

⃗

⃗

⃗

Bài 2:
Viết vec tơ ⃗⃗ dưới dạng ⃗⃗
(

⃗

⃗ khi biết tọa độ của ⃗⃗ là:

)(

)(

)(

)(

)(

)

Bài 3.
(

Cho ⃗

) ⃗⃗

(

) ⃗

a)Tìm tọa độ của véc tơ ⃗⃗

(

)
⃗⃗

⃗

b)Tìm tọa độ của véc tơ ⃗ sao cho ⃗
c)Tìm các số k, m để ⃗

⃗.
⃗

⃗⃗

⃗.

⃗⃗.

⃗

Bài 4.
Xét xem các cặp véc tơ sau có cùng phương hay không? Trong trường hợp cùng phương thì xét
xem cùng hay ngược hướng?
a) ⃗

(

c) ⃗⃗⃗

(

) ⃗⃗
) ⃗⃗

(

)
(

b) ⃗⃗

)

c) ⃗

(
(

) ⃗
) ⃗

(
(

).

).

Bài 5.
Cho tam giác ABC với A= (2;3), B = (-1; 4), C= (1;1). Tìm các tọa độ của đỉnh D của hình bình
hành.
a)ABCD.

b)ACBD

Bài 6.
Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;1), N(2;3), P(0;-4) lần lượt là trung điểm cạnh BC, CA, AB.
Tính tọa độ các đỉnh của tam giác.

>> Truy cập trang để học online hiệu quả nhất!

1


Bài 7.
Cho ba điểm A(2 ;5), B(1 ;1), C(3 ;3).
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

b)Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành ấy
Bài 8.
Cho A(-3 ;4), B(1 ;1), C(5 ;5)
a)Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b)Tìm điểm D sao cho A là trung điểm BD.
c)Tìm điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.
Bài 9.
Cho A(-1;3), B(4;2), C(3;5)
a)Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b)Tìm điểm D sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

c)Tìm điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE.
Bài 10.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(6 ;3), B(-3 ; 6), C(1 ;-2).
a)Chứng minh A, B,C là ba đỉnh một tam giác;
b)Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng;
c)Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 2EC;
d)Xác định giao điểm hai đường thẳng DE và AC.
Bài 11.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;-1), B(-1;2) và I(1;-1). Xác định tọa độ các điểm C,D sao
cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ tâm O của
hình bình hành ABCD.

>> Truy cập trang để học online hiệu quả nhất!

2