Bài Tập Môn Cơ Học Đất Có Hướng dẫn giải

BÀI TẬP CƠ HỌC ĐẤT - CHƯƠNG 1
Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM

1
1.1

Các công thức thường dùng
Trọng lượng riêng khô
γk =

γ
1 + 0, 01W

(1.1)

Trong đó:
W là "Độ ẩm" (tính theo phần trăm).
Đơn vị của γk là kN/m3
γ là "Trọng lượng riêng tự nhiên" của mẫu đất.

1.2

Hệ số rỗng
e=

γh
− 1 (1.2)
γk

hay
e=

Gs γn (1 + 0, 01W )
− 1 (1.3)
γ

Trong đó:
γh là "Trọng lượng riêng hạt".

1.3

Trọng lượng riêng đẩy nổi
γđn =

(Gs − 1)γn
1+e

(1.4)

hay
γđn = γbh − γn

(1.5)

Trong đó:
Gs là "Tỉ trọng của hạt đất". Tính bằng Gs = γγnh
Đơn vị của γđn là kN/m3
e là "Hệ số rỗng" của mẫu đất.
γbh là "Trọng lượng riêng của đất khi bão hòa".
1

(1.6)


1.4

Độ bão hòa
Sr =

0, 01W Gs
e

(1.7)

Trong đó:
W tính bằng phần trăm.

1.5

Độ rỗng
n=

1.6

Độ ẩm
W =

2

e
100% (1.8)

1+e

Q − Qh
Qn
.100% =
.100% (1.9)
Qh
Qh

BÀI TẬP

2.1

Bài tập 1

Khi xác định trọng lượng riêng của đất sét ướt bằng phương pháp dao vòng
được số liệu như sau:
Thể tích dao vòng: V = 59cm3
Trọng lượng đất ướt trong dao vòng: Q = 116, 45g
Trọng lượng đất sau khi sấy khô: Qh = 102, 11g
Tỷ trọng hạt của đất: Gs = 2, 8
Hãy tính: Độ ẩm, trọng lượng riêng ướt, trọng lượng riêng khô, độ rỗng, hệ
số rỗng, độ no nước của đất đó. Lấy g = 10m/s2 , γn = 10kN/m3
Giải bài 1:
- Trọng lượng riêng tự nhiên (ướt) của đất:
γ=

Qg
(116, 45 ÷ 1000)kg × 10m/s2
=

= 19737N/m3 = 19, 737kN/m3
V
59 ÷ (100)3 m3

- Trọng lượng riêng khô của đất:
γk =

Qh g
(102, 11 ÷ 1000)kg × 10m/s2
=
= 17307N/m3 = 17, 307kN/m3
V
59 ÷ (100)3 m3
2


- Theo công thức (1.1), ta suy ra được độ ẩm:
γk =

γ
1
⇔W =
1 + 0, 01W
0, 01

γ
−1
γk

=

1
0, 01

19, 737kN/m3
−1
17, 307kN/m3

= 14, 04%

+ Hoặc ta có thể tính độ ẩm theo công thức (1.9) ngay từ đầu:
W =

116, 45g − 102, 11g
Q − Qh
.100% =
.100% = 14, 04%
Qh
102, 11g

- Áp dụng công thức (1.2) để tìm hệ số rỗng:
Gs γn
2, 8 × 10kN/m3
γh
−1=
−1=
e=
− 1 = 0, 6178
γk
γk

17, 307kN/m3
- Áp dụng công thức (1.8) tìm độ rỗng:
n=

e
0, 6178
100% =
100% = 38, 19%
1+e
1 + 0, 6178

- Áp dụng công thức (1.7) tìm độ no nước (độ bão hòa):
Sr =

0, 01W Gs
0, 01 × 14, 04 × 2, 8
=
= 0, 6363
e
0, 6178

+ ĐÁP SỐ:

Độ ẩm: W = 14, 04%




3



Trọng lượng riêng ướt: γ = 19, 737kN/m

Trọng lượng riêng khô: γ = 17, 307kN/m3
k

Độ rỗng: n = 38, 19%





Hệ số rỗng: e = 0, 6178



Độ no nước: Sr = 0, 6363

2.2

Bài tập 2

Trọng lượng riêng của cát trên mực nước ngầm là γ = 19kN/m3 và độ ẩm
tương ứng là 15%. Tỷ trọng hạt của cát là 2,65.
Hãy tính:
- Trọng lượng riêng của cát đó khi ngập nước (trọng lượng riêng đẩy nổi)
3


γđn .

- Trọng lượng riêng no nước của cát γnn .
- Độ ẩm của cát đó khi nằm dưới mực nước ngầm.
Giải bài 2:
- Hệ số rỗng e:
2, 65 × 10kN/m3 × (1 + 0, 01 × 15)
Gs γn (1 + 0, 01W )
−1 =
e=
−1 = 0, 6039
γ
19kN/m3
- Theo công thức (1.4), ta xác định được trọng lượng riêng của cát khi ngập
nước:
γđn

(2, 65 − 1) × 10kN/m3
(Gs − 1)γn
=
= 10, 2874kN/m3
=
1+e
1 + 0, 6039

- Trọng lượng riêng no nước của cát tức là ứng với lúc bão hòa, theo (1.5):
γđn = γbh −γn ⇒ γnn = γbh = γđn +γn = 10, 2874kN/m3 +10kN/m3 = 20, 2874kN/m3
- Độ ẩm của cát đó khi nằm dưới mực nước ngầm là lúc cát bão hòa tức độ
bão hòa bằng 1 và hệ số rỗng là không đổi, theo (1.7) ta có:
Sr =

0, 01W Gs

e
0, 6039
⇔ e = 0, 01W Gs ⇒ W =
=
= 22, 79%
e
0, 01Gs
0, 01 × 2, 65

+ ĐÁP SỐ:

3

Trọng lượng riêng đẩy nổi: γđn = 10, 2874kN/m
Trọng lượng riêng no nước: γnn = 20, 2874kN/m3


Độ ẩm khi nằm dưới mực nước ngầm: W = 22, 79%

2.3

Bài tập 3

Tính lượng nước sạch cần để điều chế vữa sét bentônit từ một tấn bột sét
bentônit có độ ẩm W = 10%, tỷ trọng hạt Gs = 2, 75. Giả thiết trọng lượng
riêng của vữa sét γ = 11, 5kN/m3
Giải bài 3:
- Bột sét trong điều kiện thường sẽ có nước + không khí (có nước vì có độ
ẩm).
4

- Do khối lượng và thể tích không khí không đáng kể nên ta có thể bỏ qua
trong lúc tính toán.
- Gọi Vn1 , Qn1 lần lượt là thể tích và trọng lượng nước có trong bột sét.
- Gọi Vh , Qh lần lượt là thể tích và trọng lượng các hạt trong bột sét (không
có nước).
- Gọi Vn2 , Qn2 lần lượt là thể tích và trọng lượng nước sạch cần thêm vào bột
sét.
- Sau khi đổ nước vào bột sét, ta được thể tích và trọng lượng của vữa lần
lượt là Vn1 + Vn2 + Vh và Qn1 + Qn2 + Qh
- Trọng lượng riêng của vữa sét γ = 11, 5kN/m3 = 1, 15tấn/m3
γ=

Qn1 + Qn2 + Qh
= 1, 15tấn/m3
Vn1 + Vn2 + Vh

(1)

- Dựa vào số liệu độ ẩm của bột sét, ta có:
W =

Qn1
× 100% = 10% (2)
Qh

- Biết tổng trọng lượng nước và hạt là 1 tấn:
Qn1 + Qh = 1tấn (3)
- Từ (2) và (3) ta suy ra được:

Qn1 =

1
tấn;
11

Qh =

10
tấn
11

- Thể tích nước có trong bột sét:
Vn1 =

1
tấn
Qn1
1
= 11
= m3
3
γn
11
1tấn/m

- Thể tích hạt có trong bột sét:
Vh =

10

tấn
40 3
Qh
11
=
=
m
γh
121
2, 75tấn/m3

- Thể tích nước thêm vào là:
Vn2 =

Qn2
⇒ Qn2 = Vn2 γn = Vn2 × 1tấn/m3
γn
5

(4)


- Theo (1) và (4), ta được:
γ=

1tấn + Vn2 tấn/m3
= 1, 15tấn/m3
1
40
3

3
m + Vn2 + 121 m
11

1tấn + Vn2 tấn/m3
1173
23
= 1, 15tấn/m3 ⇔ 1tấn+Vn2 tấn/m3 =
tấn+ Vn2 tấn/m3
51
3
2420
20
m + Vn2
121

⇔γ=

⇒ Vn2 =

1247 3
m ≈ 3, 4353m3
363

- Vậy cần thêm vào 3, 4353m3 vào để được vữa có γ = 11, 5kN/m3

2.4

Bài tập 4

Cho một mẫu đất sét, trạng thái dẻo cứng, bảo hòa hoàn toàn, có chiều cao
4cm và đường kính d = 6, 4cm, cân nặng 235g, tỷ trọng hạt Gs = 2, 68. Lấy
trọng lượng riêng của nước là γn = 10kN/m3 . Xác định các đặc trưng sau
của mẫu đất trên:
a. Trọng lượng riêng tự nhiên γ.
b. Độ ẩm W %.
c. Hệ số rỗng e.
d. Trọng lượng riêng khô γk .
Giải bài 4:
- Thể tích mẫu đất:
V = πR2 h =

π
1024
π 2
d h = × (6, 4cm)2 × 4cm =
πcm3 = 128, 6796cm3
4
4
25

- Trọng lượng riêng tự nhiên:
γ=

0, 235kg × 10m/s2
Qg
=
= 18262, 4N/m3 = 18, 2624kN/m3
V
128, 6796 × (100)−3 m3

- Độ ẩm:
Ta có hệ phương trình sau theo ẩn W và e:
Gs
Sr = 0,01W
e
)
e = Gs γn (1+0,01W
−1
γ

6


Đất ở trạng thái bảo hòa hoàn toàn Sr = 1:
Gs
Sr = 0,01W
⇒ e − 0, 01 × 2, 68W = 0
e
3 (1+0,01W )
Gs γn (1+0,01W )
−e +
− 1 = 0 ⇔ −e + 2,68×10kN/m
−1=0
γ
18,2624kN/m3

⇔

e − 0, 0268W = 0

e − 0, 014675W = 0, 467495
⇔

e = 1, 0333
W = 38, 56%

- Trọng lượng riêng khô:
e=

γh
26, 8kN/m3
γh
− 1 ⇔ γk =
=
= 13, 1805kN/m3
γk
1+e
1 + 1, 0333

- ĐÁP SỐ:

Trọng lượng riêng tự nhiên: γ = 18, 2624kN/m3



Độ ẩm: W = 38, 56%

Hệ số rỗng: e = 1, 0333




Trọng lượng riêng khô: γk = 13, 1805kN/m3

2.5

Bài tập 5

Một mẫu đất ở trạng thái tự nhiên có đường kính 6, 3cm và chiều cao 10, 2cm,
cân nặng 590g. Lấy 14, 64g đất trên đem sấy khô hoàn toàn cân lại được
12, 2g. Giới hạn nhão WL = 25%, giới hạn dẻo WP = 15%. Tỷ trọng hạt
Gs = 2, 67. Lấy trọng lượng riêng của nước là γn = 10kN/m3 . Xác định các
đặc trưng sau của mẫu đất trên:
a. Hệ số rỗng e ở trạng thái tự nhiên của mẫu đất.
b. Độ bão hòa Sr .
c. Độ rỗng n.
d. Trọng lượng riêng đẩy nổi γđn .
e. Xác định tên và trạng thái của đất theo TCVN.
f. Cần thêm vào mẫu đất một lượng nước bao nhiêu (ml) để mẫu đất bão
hòa hoàn toàn?
g. Xác định trọng lượng riêng bão hòa khi Sr = 1.
7


Giải bài 5:
a)
Độ ẩm:
W =

14, 64g − 12, 2g
Q − Qh

× 100% =
× 100% = 20%
Qh
12, 2g

Thể tích mẫu đất:
V =

π 2
π
d h = × (0, 063m)2 × 0, 102m = 3, 1796 × 10−4 m3
4
4

Trọng lượng riêng tự nhiên của mẫu đất:
γ=

Qg
0, 59kg × 10m/s2
=
= 18555, 8N/m3 = 18, 5558kN/m3
V
3, 1796 × 10−4 m3

- Hệ số rỗng e:
e=

2, 67 × 10kN/m3 × (1 + 0, 01 × 20)
Gs γn (1 + 0, 01W )
−1 =

−1 = 0, 7267
γ
18, 5558kN/m3

b) Độ bão hòa:
Sr =

0, 01 × 20 × 2, 67
0, 01W Gs
=
= 0, 7348 = 73, 48%
e
0, 7267

c) Độ rỗng:
n=

e
0, 7267
100% =
100% = 42, 09%
1+e
1 + 0, 7267

d) Trọng lượng riêng đẩy nổi:
γđn =

(Gs − 1)γn
(2, 67 − 1) × 10kN/m2
=

= 9, 6717kN/m3
1+e
1 + 0, 7267

e) Xác định tên và trạng thái của đất theo TCVN:
- Chỉ số dẻo:
IP = WL − WP = 25% − 15% = 10%

8


Do 7 ≤ IP ≤ 17 ⇒ Đất sét pha
- Chỉ số nhão:
IL =

W − WP
20% − 15%
W − WP
=
=
= 0, 5
WL − WP
IP
10%

⇒ 0, 25 < IL ≤ 0, 5 ⇒ Trạng thái: Dẻo cứng
f) Mẫu đất bão hòa hoàn toàn ⇒ Sr = 1
⇒ e = 0, 01W Gs ⇒ W =

e

0, 7267
=
= 27, 22%
0, 01Gs
0, 01 × 2, 67

Trọng lượng hạt ứng với lúc bão hòa hoàn toàn:
Wbh =

Q − Qh2
× 100% ⇔ Qh2 =
Qh2

Q
=
+1

Wbh
100%

590g
27,22%
100%

= 463, 77g

+1

Trọng lượng hạt ứng với lúc W = 20%:
W =

Q − Qh1
× 100% ⇔ Qh1 =
Qh1

Q
=
+1

W
100%

590g
= 491, 67g
20%
+
1
100%

Như vậy trọng lượng nước cần thêm là:
Q − Qh2 − (Q − Qh1 ) = Qh1 − Qh2 = 491, 67g − 463, 77g = 27, 9g = 27, 9ml
g) Trọng lượng riêng bão hòa:
γđn = γbh −γn ⇒ γbh = γđn +γn = 9, 6717kN/m3 +10kN/m3 = 19, 6717kN/m3
- ĐÁP SỐ:


Hệ số rỗng e ở trạng thái tự nhiên: e = 0, 7267





Độ bão hòa: Sr = 73, 48%





Độ rỗng: n = 42, 09%
Trọng lượng riêng đẩy nổi: γđn = 9, 6717kN/m3



Tên đất - Trạng thái: Đất sét pha - Dẻo cứng





Lượng nước cần thêm: 27, 9ml



Trọng lượng riêng bão hòa: γ = 19, 6717kN/m3
bh
9


2.6

Bài tập 6

Cho một mẫu đất có đường kính 7cm, cao 5cm. Khi đem cân có trọng lượng
365g. Sau khi sấy khô mẫu đất cân nặng 300g. Đem mẫu đất làm thí nghiệm
nhão - dẻo ta được giới hạn nhão là 27% và giới hạn dẻo là 13%. Thí nghiệm
tỉ trọng hạt ta được 2, 66. Hãy xác định:
a. Trọng lượng riêng (dung lượng) tự nhiên của mẫu đất.
b. Độ ẩm.
c. Trọng lượng riêng (dung lượng) khô.
d. Hệ số rỗng.
e. Độ rỗng.
f. Độ bão hòa.
g. Tên đất, trạng thái của đất theo TCVN.
Giải bài 6:
a)
- Thể tích mẫu đất:
π
π
V = d2 h = × (0, 07m)2 × 0, 05m = 1, 9242 × 10−4 m3
4
4
- Trọng lượng riêng (dung lượng) tự nhiên của mẫu đất:
γ=

Qg
0, 365kg × 10m/s2
=
= 18968, 9N/m3 = 18, 9689kN/m3
V
1, 9242 × 10−4 m3

b) Độ ẩm:
W =

Q − Qh
365g − 300g
× 100% =
× 100% = 21, 67%
Qh
300g

c) Trọng lượng riêng (dung lượng) khô:
γk =

γ
18, 9689kN/m3
=
= 15, 5904kN/m3
1 + 0, 01W
1 + 0, 01 × 21, 67

d) Hệ số rỗng:
e=

γh
Gs × γn
2, 66 × 10kN/m3
−1=
−1=
− 1 = 0, 7062
γk

γk
15, 5904kN/m3

e) Độ rỗng:
n=

e
0, 7062
× 100% =
× 100% = 41, 39%
1+e
1 + 0, 7062
10


f) Độ bão hòa:
Sr =

0, 01W Gs
0, 01 × 21, 67 × 2, 66
=
= 81, 62%
e
0, 7062

g)
- Xác định tên đất dựa vào chỉ số dẻo:
IP = WL − WP = 27% − 13% = 14% ⇒ 7 ≤ IP ≤ 17 ⇒ Đất sét pha
- Xác định trạng thái dựa vào chỉ số nhão:
IL =

W − WP
21, 67% − 13%
W − WP
=
=
= 0, 6193
WL − WP
IP
14%
⇒ 0, 5 < IL ≤ 0, 75 ⇒ Dẻo mềm

- ĐÁP SỐ:


Trọng lượng riêng tự nhiên: γ = 18, 9689kN/m3





Độ ẩm: W = 21, 67%



3


Trọng lượng riêng khô: γk = 15, 5904kN/m
Hệ số rỗng: e = 0, 7062




Độ rỗng: n = 41, 39%





Độ bão hòa: Sr = 81, 62%



Tên đất - Trạng thái đất: Đất sét pha - Dẻo mềm

2.7

Bài tập 7

Cho khối lượng thể tích tự nhiên một mẫu đất là ρ = 1860kg/m3 , khối lượng
thể tích hạt ρh = 2650kg/m3 và độ ẩm W = 15%. Hãy tính:
a. Khối lượng thể tích đất khô ρk .
b. Hệ số rỗng e.
c. Độ rỗng n.
d. Độ bão hòa Sr .
Giải bài 7:
a) Khối lượng thể tích đất khô:
ρk =

ρ

1860kg/m3
=
= 1617, 39kg/m3
1 + 0, 01W
1 + 0, 01 × 15
11


b) Hệ số rỗng e:
e=

ρh
2650kg/m3
−1=
− 1 = 0, 6384
ρk
1617, 39kg/m3

c) Độ rỗng n:
n=

0, 6384
e
× 100% =
× 100% = 38, 96%
1+e
1 + 0, 6384

d)
- Biết:

ρn = 1000kg/m3
- Suy ra, tỉ trọng hạt là:
Gs =

ρh
2650kg/m3
=
= 2, 65
ρn
1000kg/m3

- Độ bão hòa:
Sr =

0, 01W Gs
0, 01 × 15 × 2, 65
=
= 62, 27%
e
0, 6384

- ĐÁP SỐ:

3

Khối lượng thể tích đất khô: ρ = 1617, 39kg/m

Hệ số rỗng e: e = 0, 6384

Độ rỗng n: n = 38, 96%




Độ bão hòa: Sr = 62, 27%

2.8

Bài tập 8

Một mẫu đất sét cứng ở trạng thái tự nhiên cân nặng 129g và có thể tích
là 56, 4cm3 . Sau khi sấy khô mẫu cân nặng 118g. Khối lượng thể tích hạt
ρh = 2700kg/m3 . Hãy xác định:
a. Độ chứa nước của mẫu đất.
b. Hệ số rỗng.
c. Độ rỗng.
d. Độ no nước của mẫu đất.
12


Giải bài 8:
a) Độ chứa nước (hay độ ẩm):
W =

129g − 118g
Q − Qh
× 100% =
× 100% = 9, 32%
Qh
118g

b)
- Trọng lượng riêng tự nhiên của mẫu đất:
γ=

Qg
0, 129kg × 10m/s2
=
= 22872, 3N/m3 = 22, 8723kN/m3
V
56, 4 × 100−3 m3

- Biết:
ρn = 1000kg/m3
- Suy ra, tỉ trọng hạt là:
Gs =

2700kg/m3
ρh
=
= 2, 7
ρn
1000kg/m3

- Hệ số rỗng:
e=

Gs γn (1 + 0, 01W )
2, 7 × 10kN/m3 × (1 + 0, 01 × 9, 32)
−1 =
−1 = 0, 2905

γ
22, 8723kN/m3

c) Độ rỗng:
n=

0, 2905
e
× 100% =
× 100% = 22, 51%
1+e
1 + 0, 2905

d) Độ no nước (hay độ bão hòa):
Sr =

0, 01W Gs
0, 01 × 9, 32 × 2, 7
=
= 86, 62%
e
0, 2905

- ĐÁP SỐ:

Độ chứa nước: W = 9, 32%



Hệ số rỗng e: e = 0, 2905


Độ rỗng n: n = 22, 51%



Độ no nước: Sr = 86, 62%
13