Lý thuyết điều khiển tự động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM.
KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ
BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ.

BÀI GiẢNG :

LÝ THUYẾT ĐiỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
GV: Th.S Nguyễn Tấn Phúc.


•1


Mô tả toán học
Phần tử và hệ thống liên tục

Chương 2:

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Phương trình vi phân.
Phép biến đổi Laplace.
Hàm truyền.
Sơ đồ khối.
Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.

Graph tín hiệu.
Phương trình trạng thái.
•2


Mô tả toán học
Phần tử và hệ thống liên tục

Chương 2:

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Phương trình vi phân.
Phép biến đổi Laplace.
Hàm truyền.
Sơ đồ khối.
Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.
Graph tín hiệu.
Phương trình trạng thái.
•3


2.1 Phương trình vi phân
Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một

hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng
phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

dn y
dn1y
dmr
dm1r
an n  an1 n1  ...  a0 y(t)  bm m  bm1 m1  ...  b0r(t)
dt
dt
dt
dt
ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)
r(t) : tín hiệu vào
y(t) : tín hiệu ra
n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân
Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả)

•4


Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn
m : khối lượng, [kg]
b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
 Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]
 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

Áp dụng Định luật II Newton :

F(t)

(+)

m

Flx

Fms

d2 y
m 2   Fi  F(t)  Fms  Flx
dt
dy
F

b
Lực giảm chấn :
ms
dt
Lực lò xo : Flx  ky(t)



d2 y
dy
m 2 b
 ky(t)  F(t)
dt
dt

•5


Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp
Theo định luật Kirchhoff :

uR  uL  uC  u

Trong đó:
1
uC   idt
C

duC
iC
dt
duC
uR  Ri  RC
dt
di
d2uC
uL  L
 LC 2
dt
dt

Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: điện áp uc



d2uC
du
LC 2  RC C  uC  u
dt
dt
•6


Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô
v(t)
b

f(t)

m

dv
 bv(t)  f(t)
dt

m : khối lượng xe
b : hệ số cản của không khí (ma sát nhớt)
 Tín hiệu vào: Lực đẩy của động cơ, f(t)
 Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)
•7


Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy
m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
 Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]
 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

d2 y
dy
dr
m 2 b
 ky(t)  b  kr(t)
dt
dt
dt

•8


Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC

i

i

d2uC
du
RLC
 L C  RuC  Ru
dt
dt

d2uC
duC
du
RLC
L
 RuC  L
dt
dt
dt

•9


Mô tả toán học
Phần tử và hệ thống liên tục

Chương 2:

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7

Phương trình vi phân.
Phép biến đổi Laplace.
Hàm truyền.
Sơ đồ khối.

Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.
Graph tín hiệu.
Phương trình trạng thái.
•10


2.2 Phép biến đổi Laplace

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

•11


2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.1 Định nghĩa
• Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi Laplace
của f(t) là:


F(s)  L[f (t)]   f (t)e st dt
0

s : biến Laplace (biến số phức)
L : toán tử biến đổi Laplace
F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức
định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

•12


2.2 Phép biến đổi Laplace
• Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một
hàm thời gian f(t) xác định bởi:

1
ts
f (t)  L [F(s)] 
F(s)e
ds

2j
1

t0

c

Trong đó :
 C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s
 j là số ảo đơn vị (j2 =-1)

•13


2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.2 Tính chất
1) Tuyến tính

L [f1(t)  f2(t)] = F1(s)  F2(s)
L[kf(t)] = kF(s)

2) Ảnh của đạo hàm
Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

f (0), f (0), f (0), ..., f (n 1) (0)
Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:

300y(t)  5y(t)  20y(t)  100

2 điều kiện đầu: y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)
y(0) là vận tốc ban đầu (tại t=0).
•Bộ môn : Cơ Điện Tử

•14


2.2 Phép biến đổi Laplace
2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0
n

L[f ( n ) (t )]  sn F(s)   sni f ( i1) (0)
i 1

L[f (t)]  s 2 F(s)  sf (0)  f (0)
L[f (3) (t)]  s3F(s)  s 2f (0)  sf (0)  f (0)

2b) Nếu các điều kiện đầu = 0

Ví dụ, xét ptvp:

L[f ( n ) (t )]  sn F(s)

300y(t)  5y(t)  20y(t)  100r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

300s2 Y(s)  5sY(s)  20Y(s)  100R(s)
(300s2  5s  20)Y(s)  100R(s)
•15


2.2 Phép biến đổi Laplace
3) Ảnh của tích phân

t
 F(s)
L   f (t )dt  
s
0


4) Ảnh của hàm trễ
f(t-T) = f(t) khi t T
= 0

khi t
L[f (t  T)]  eTs F(s)

5) Ảnh của tích chập
ÑN

f1 (t)*f 2 (t) 

t

t

0 f1 (). f 2 (t  )d  0 f1(t  ). f 2 ()d

L[f1 (t)*f 2 (t)]  F1 (s).F2 (s)
•16


2.2 Phép biến đổi Laplace
6) Nhân hàm f(t) với e-t


L[et f (t )]   et f (t )est dt  L[f (t  )]  F (s  )
0

Nhân f(t) với e-t  thay s bằng (s+) trong ảnh Laplace.
7) Định lý giá trị cuối

f ()  lim f (t)  lim [s.F(s)]
t 

s0

8) Định lý giá trị đầu

f (0)  limf (t)  lim [s.F(s)]
t 0

s

•17


2.2 Phép biến đổi Laplace
2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị



1 st
L[1(t)]   e dt   .e
s
0
 st


0

1
1
  (0  1) 
s

s

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

K
L[K.1(t)]  K.L[1(t)] 
s
•18


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản


2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)
h

a0

1

(t)
t

t

0 a

L[(t)] 



0

0

0

0

0

 st

(t)e
dt 


0

(t)e
dt 


0

 (t)dt  1

3) Hàm mũ e -t ( <0)




 (s  )t
e
L[et ]   et est dt   e (s )t dt  
s
0
0


0

1

s

•19


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
4) Hàm dốc đơn vị

 t khi t  0
r(t)  t.1(t)  
0 khi t < 0

t.1(t)
0

t

Lấy tích phân từng phần

est
ut ; v
 udv  uv   vdu
s

 st    st
te
e
1
1
L[t.1(t)]   test dt 

dt  0  2  2
s 0 0 s
s
s
0

Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t2, t3, tn …
Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:

t
 L[1(t)] 1
L[t.1(t)]  L  1(t)dt  
 2
s
s

0

•20


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

5) Hàm lượng giác sint, cost, …
cos t  jsin t  e jt

 jt
cos

t

jsin

t

e

1
1 jt  jt
 cos t  e jt  e jt ; sin t 
e e
2
2j

Công thức Euler:





















1 jt  jt st
1
L[cos t]   e  e
e dt   e s jt  e s jt dt
2
20
0

1 1
1 

s
 

 2

2  s  j s  j 
s  2

1 1
1 
 2
L[sin t]  ...  


2 j  s  j s  j 
s  2
•21


Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)

TT

f(t)

F(s)

1

1(t)

3

et

8

tet

1/ s
1
s
1
(s   )2

9

t n 1 t
e
(n  1)!
t

17

e

18

et sin t

1
(s   )n

s
(s   )2  2

(s   )2  2

cos t

•Bộ môn : Cơ Điện Tử

•22


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?
Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:

P(s) b ms m  b m 1s m 1  ...  b0
Y(s) 

Q(s)
a n s n  a n 1s n 1  ...  a 0


(m
PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức
đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.

n

n

i 1

i 1

y(t)  L1[Y(s)]   L1[Yi (s)]   yi (t)


Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại
nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm đơn/ bội/ phức).

•Bộ môn : Cơ Điện Tử

•23


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn

Giả sử Q(s) có n nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn
Khi đó có thể phân tích :
Q(s)  a n (s  s1 )(s  s 2 )...(s  s n )
A1
A2
Ai
An
P(s)

Y(s) 


 ... 
 ... 
Q(s) s  s1 s  s 2
s  si
s  sn
Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác định bởi:

Ai  lim [(s  si ).Y(s)]  [(s  si ).Y(s)]
ssi

Tra bảng ta có:

s si

 Ai 
si t
L 

A
e
i

s

s
i


1

n

 y(t)   Ai esi t  A1es1t  A 2es2 t  ...  A n esn t
i 1

•Bộ môn : Cơ Điện Tử

•24


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
5s  3
Y(s) 
s(2s 2  14s  20)
Giải. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5
và hệ số an=2. Do đó có thể phân tích :
A3
A1 A 2
5s  3
Y(s) 



2s(s  2)(s  5) s s  2 s  5

Ví dụ : Tìm y(t) biết

5s  3

3

s0
s0 2(s  2)(s  5)
20
5s  3
7
A 2  lim [(s  2)Y(s)]  lim

s2
s2 2s(s  5)
12
5s  3
22
11
 
A3  lim [(s  5)Y(s)]  lim
s5 2s(s  2)
s5
30
15
A1  lim [s.Y(s)]  lim

•Bộ môn : Cơ Điện Tử

•25