Các điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối (LV01982)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH MINH ĐỨC

CÁC ĐIỂM ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG
TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DANG KHỐI
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 28 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ MÁY TÍNH
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS. TS Trịnh Đình Thắng

HÀ NỘI, 2016


i

LỜI CẢM ƠN
Từ trong thâm tâm của mình tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành đến Ban Giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy giáo ở Viện Công nghệ thông tin – Viện Khoa học công nghệ
Việt Nam đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện để tôi học tập, tìm hiểu, nghiên
cứu và hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trịnh Đình
Thắng - người đã tận tình hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tập thể
lớp đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên để tôi hoàn thành luận văn.
Học viên

Trịnh Minh Đức


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung luận văn này là của tự bản thân tôi tìm hiểu,
nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trịnh Đình Thắng.
Các tài liệu tham khảo được trích dẫn và chú thích đầy đủ. Nếu không
đúng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Học Viên

Trịnh Minh Đức


iii

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. ii
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................ v
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ.............................. 3
1.1. Mô hình cơ sở dữ liệu ............................................................................. 3
1.2. Mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ ............................................................... 4
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản .................................................................. 4
1.2.2. Đại số quan hệ .................................................................................. 6
1.2.3. Bao đóng của tập thuộc tính ........................................................... 11
1.2.4. Khóa của lược đồ quan hệ .............................................................. 13

1.3. Điểm bất động của ánh xạ đóng ........................................................... 15
1.3.1. Định nghĩa và tính chất ánh xạ đóng.............................................. 15
1.3.2. Một số phép toán trên ánh xạ đóng ................................................ 16
1.3.3. Điểm bất động của ánh xạ đóng ..................................................... 18
1.3.4. Phép hạn chế trên ánh xạ đóng ....................................................... 19
1.3.5. Khóa của ánh xạ đóng .................................................................... 19
CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH CƠ SỞ DỮ LIỆU DẠNG KHỐI ...................... 22
2.1. Khối, lược đồ khối ................................................................................ 22
2.2. Đại số quan hệ trên khối ....................................................................... 25
2.2.1. Phép hợp ......................................................................................... 25
2.2.2. Phép giao ........................................................................................ 27
2.2.3. Phép trừ .......................................................................................... 28
2.2.4. Tích đề các...................................................................................... 29
2.2.5. Tích Đề Các theo tập chỉ số ........................................................... 30


iv

2.2.6. Phép chiếu ...................................................................................... 30
2.2.7. Phép chọn ....................................................................................... 31
2.2.8. Phép kết nối .................................................................................... 32
2.2.9. Phép chia ........................................................................................ 33
2.2.10. Phép nối dài .................................................................................. 33
2.3. Phụ thuộc hàm ................................................................................... 34
2.4. Bao đóng của tập thuộc tính chỉ số ....................................................... 36
2.5. Khóa của lược đồ khối R với tập phụ thuộc hàm F trên R ................... 39
CHƢƠNG 3: CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG TRONG
MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI............................................................ 43
3.1. Ánh xạ đóng .......................................................................................... 43
3.2. Tập điểm bất động của ánh xạ đóng trên lược đồ khối ........................ 46

3.3. Một số tính chất mở rộng của các điểm bất động của ánh xạ đóng trên
khối .............................................................................................................. 50
KẾT LUẬN .................................................................................................... 53
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 54


v

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Ý nghĩa

CSDL

Cơ sở dữ liệu

LĐQH

Lược đồ quan hệ

AXĐ

Ánh xạ đóng

PTH

Phụ thuộc hàm

CNTT

Công nghệ thông tin

Dom(A)

Miền giá trị thuộc tính A


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cơ sở dữ liệu là một trong những lĩnh vực đóng vai trò nền tảng trong
sự phát triển của công nghệ thông tin. Để có thể xây dựng được một hệ thống
cơ sở dữ liệu tốt, người ta thường sử dụng các mô hình dữ liệu thích hợp. Đã
có một số loại mô hình được sử dụng trong các hệ thống cơ sở dữ liệu như:
Mô hình thực thể - liên kết, mô hình mạng, mô hình dữ liệu, mô hình phân
cấp, mô hình hướng đối tượng, mô hình dữ liệu datalog và mô hình quan hệ.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu tìm ra các mô hình mới đáp ứng
các ứng dụng phức tạp, các cơ sở dữ liệu có cấu trúc tuyến tính và phi tuyến
tính được các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm. Một trong những
mô hình mới này là mô hình dữ liệu dạng khối. Mô hình dữ liệu này có thể
xem là một mở rộng của mô hình dữ liệu quan hệ.
Để góp phần hoàn chỉnh thêm về mô hình dữ liệu dạng khối tôi mạnh
dạn chọn đề tài là “Các điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô hình dữ
liệu dạng khối” cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu khái quát về mô hình dữ liệu dạng khối sau đó đi sâu và
nghiên cứu một số tính chất của các điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô
hình dữ liệu dạng khối.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu mô hình dữ liệu.
Tìm hiểu mô hình dữ liệu dạng khối.
Tìm hiểu các điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu
dạng khối và tìm ra một số tính chất mới của điểm bất động của ánh xạ đóng
trong mô hình dữ liệu dạng khối.


2

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu
Các điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối
Phạm vi nghiên cứu
Các tính chất của điểm bất động của ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu
dạng khối.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp tổng hợp phân tích các vấn đề có liên quan đến đề tài.
Phương pháp lý luận và chứng minh.
6. Những đóng góp của đề tài
Phát biểu và chứng minh một số tính chất mới của điểm bất động của
ánh xạ đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối và lược đồ lát cắt.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn
gồm có 03 chương:
Chƣơng 1: Nội dung chương 1 đã khái quát một số vấn đề liên quan
đến mô hình cơ dữ liệu quan hệ như: Đại số quan hệ, khóa của lược đồ quan
hệ, bao đóng tập thuộc tính; ánh xạ đóng: điểm bất động và khóa. Đây là cơ
sở để luận văn tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu trong chương 2 và chương 3.
Chƣơng 2: Chương 2 đã trình bày một số khái niệm cơ bản về mô hình

CSDL dạng khối: Khái niệm về khối, lát cắt, lược đồ khối, đại số quan hệ trên
khối, phụ thuộc hàm, bao đóng, khóa của lược đồ.
Chƣơng 3: Chương này đã trình bày về ánh xạ đóng trên lược đồ khối,
tập điểm bất động. Trên cơ sở đó nội dung chương cũng đã giới thiệu và
chứng minh một số tính chất mở rộng của tập điểm bất động trên lược đồ khối
và trên lược đồ lát cắt.


3

CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ
Mô hình CSDL quan hệ và ánh xạ đóng đã được trình bày trong một số
tài liệu [7], [8], [9], [11], [12], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]... Phạm vi
chương 1 luận văn chỉ tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản liên quan đến mô
hình CSDL, mô hình CSDL quan hệ, ánh xạ đóng trong mô hình CSDL quan
hệ và phép dịch chuyển LĐQH.
1.1. Mô hình cơ sở dữ liệu
Định nghĩa 1.1
Dữ liệu: Là những thông tin, sự kiện được ghi lại có ý nghĩa.
Cơ sở dữ liệu: Là tập hợp các dữ liệu có liên quan với nhau, chứa thông
tin của một đối tượng nào đó, được lưu trữ trong máy tính (theo một mô hình
nhất định) nhằm đáp ứng nhu cầu khai thác thông tin của nhiều người với
những mục đích khác nhau.
Định nghĩa 1.2
Một mô hình CSDL là một hệ hình thức toán học học gồm: Một hệ
thống các ký hiệu để mô tả dữ liệu; Một tập hợp các phép toán thao tác trên
dữ liệu đó.
Các mô hình
Những năm 60 của thế kỷ XX xuất hiện mô hình thực thể-liên kết, mô
hình dữ liệu mạng, mô hình dữ liệu phân cấp. Thập kỷ 70 có thêm mô hình dữ

liệu quan hệ do E.F.Codd phát minh. Sang đầu những năm 80, các mô hình
khác ra đời: Mô hình hướng đối tượng, Mô hình datalog, mô hình dữ liệu
phân tán, mô hình dữ liệu dạng khối.
Trong chương 1 luận văn tập trung vào tìm hiểu mô hình CSDL quan
hệ.


4

1.2. Mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ
1.2.1. Một số khái niệm cơ bản
Thuộc tính: Là đặc trưng của các quan hệ.
Miền thuộc tính: Tập tất cả các giá trị có thể có của thuộc tính Ai gọi là miền
giá trị của thuộc tính đó, ký hiệu: Dom(Ai) hay viết tắt là DAi .
Ví dụ 1.1:
SINHVIEN(MASV, HOTEN, NGAYSINH, GTINH)
Dom(MASV) = {char(5)};

Dom(HOTEN) = {char(15)};

Dom(NGAYSINH) = {date}; Dom(GTINH) = {“nam”, “nữ”};
Quan hệ :
Cho U = {A1, A2, …, An} là một tập hữu hạn không rỗng các thuộc
tính. Mỗi thuộc tính Ai( i = 1,2, …, n) có miền giá trị là DA i . Khi đó r là một
tập các bộ {h1, h2, …, hm} được gọi là quan hệ trên U với hj (j = 1, 2, …, m) là
một hàm: h j : U 

D

Ai U

Ai

, sao cho hj(Ai)

DA i (i = 1,2, … n).

Bộ của quan hệ:
Một bộ giá trị là các thông tin của một đối tượng thuộc quan hệ. Bộ giá
trị cũng thường được gọi là một mẩu tin hay bản ghi, dòng của bảng.
Như vậy, ta có thể xem một quan hệ như một bảng, trong đó mỗi hàng dòng (phần tử) là một bộ và mỗi cột tương ứng với một thành phần gọi là
thuộc tính. Trong quan hệ không có hai bộ trùng lặp và quan hệ rỗng là quan
hệ không chứa bộ nào.


5

Ví dụ 1.2:
SINHVIEN
Bảng 1.1. Các bộ giá trị dựa trên các thuộc tính của quan hệ sinh viên.
MASV

HOTEN

NSINH

DCHI

LOP

h1

SV001

Trần Hà Ánh

8/10/1981

Yên Bái

MTK17

h2

SV002

Hoàng Bình

4/11/1983

Hà Nội

MTK17

h3

SV003

Trần Minh Hải

11/9/1982

Phú Thọ

MTK17

Bảng trên có các thuộc tính là : MASV (mã sinh viên), HOTEN(họ
tên), NSINH(năm sinh), DCHI(địa chỉ), LOP(lớp).
Ta ký hiệu h.Ai là giá trị của bộ h tại thuộc tính Ai.
Bộ giá trị h1.MASV = “SV001”, h1.HOTEN = “Trần Hà Ánh”,
h1.NSINH = “8/10/1981”, h1.DCHI = “Yên Bái”, h1.LOP = “MTK17”.
Lược đồ quan hệ:
Tất cả các thuộc tính trong một quan hệ cùng với mối liên hệ giữa
chúng được gọi là lược đồ quan hệ.
Lược đồ quan hệ R với tập thuộc tính U = {A1, A2, …, An} được viết là
R(U) hoặc R{A1, A2, …, An}.
Phụ thuộc hàm:
Cho lược đồ quan hệ R xác định trên tập thuộc tính U. Cho X, Y là hai
tập con của U. Nói rằng X xác định hàm Y hay Y phụ thuộc hàm vào X và ký
hiệu X

Y nếu với mọi quan hệ r xác định trên R và với 2 bộ t 1, t2 bất kỳ mà

t1(X) = t2(X) thì t1(Y) = t2(Y).
Ví dụ 1.3:
Bảng 1.2. Quan hệ sinh viên.
SBD

HOTEN

NSINH

TINH

KHUVUC

10011

Trần Hà Ánh

8/10/1981

Yên Bái

2


6

10012

Hoàng Bình

10013 Trần Minh Hải

4/11/1983

Hà Nội

1

11/9/1982

Phú Thọ

1

Trong quan hệ SINHVIEN, dựa vào định nghĩa phụ thuộc hàm của
quan hệ ta có:
{TINH}
{SBD}

{KHUVUC}
{HOTEN, NSINH, TINH}

1.2.2. Đại số quan hệ
Đại số quan hệ được xây dựng trên tập các quan hệ với các phép toán
cơ sở là phép chọn, chiếu, kết nối tự nhiên, chia, hợp, giao,trừ và phép tích
Đề-các.
*Phép hợp (phép cộng, nối dọc)
Theo lý thuyết tập hợp hai quan hệ khả hợp (tương thích) r và s , ký
hiệu r  s (hoặc r + s) là tập tất cả các bộ thuộc r hoặc s. Tức là:
r  s = {t | t  r hoặc t  s}
Ví dụ 1.4 :
Cho hai quan hệ r và s như sau :
Bảng 1.3. Biểu diễn quan hệ r, s, r  s.
r

r s

s

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

a1

b 1 c1

d1

x1 y1

z1

p1

a1

b 1 c1

d1

a2

b 2 c2

d2

x2 y2

z2

p2

a2

b 2 c2

d2

a3

b 3 c3

d3

a3

b 3 c3

d3

*Phép giao (lấy phần chung)

x1 y1

z1

p1

x2 y2

z2

p2


7

Giao của hai quan hệ khả hợp r và s, ký hiệu

r

s

(hoặc r*s hay r & s)

là một quan hệ gồm tập tất cả các bộ thuộc r và thuộc s. Ta có:
r

s = {t | t  r và t  s}.

Ví dụ 1.5:
Cho hai quan hệ r và s như sau:
Bảng 1.4. Biểu diễn quan hệ r, s, r  s.
r

s

r s

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

a1

b 1 c1

d1

x1 y1

z1

p1

a2

b 2 c2

a2

b 2 c2

d2

a2

b 2 c2

d2

a3

b 3 c3

d3

C
d2

* Phép trừ (lấy phần riêng)
Theo lý thuyết tập hợp (hoặc lấy phần riêng) hai quan hệ khả hợp r và s
ký hiệu r – s hay r \ s, là tập tất cả các bộ thuộc r và không thuộc s. Ta có:
r - s = {t | t  r và t  s}
Ví dụ 1.6:
Bảng 1.5. Biểu diễn phép trừ.
r

s

r\s

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

D

a1

b 1 c1

d1

x1

y1

z1

p1

a1

b1

c1

d1

a2

b 2 c2

d2

a2

b2

c2

d2

s\r
A

B

x1

y1

D
z1

p1

* Tích-Đề các
Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính {A1, A2, …, An} và quan hệ
s xác định trên tập thuộc tính {B1, B2, …, Bm}. Tích Đề-các của hai quan hệ r


8

và s ký hiệu là r  s, là tập tất cả các (m+n) - bộ có n thành phần đầu tiên là
một bộ thuộc r và m thành phần sau là một bộ thuộc s. Ta có:
r  s = {t=(a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm) | (a1, a2, …, an) r và (b1, b2, …, bm)  s
Ví dụ 1.7:
Bảng 1.6. Biểu diễn Tích Đề-các.
r có ba bộ (3 phần tử), s có hai bộ Tích Đề-các r x s có 6 bộ:
r

s
NĂM SINH

MASV TEN

MAM

TINCHI DIEM

0001

ANH

1990

ATBM

3

7.0

0002

BA

1991

KPDL

4

8.0

0003

BÌNH

1992

rxs
MASV TEN

NĂM SIN

MAMH TINCHI DI M

0001

ANH

1990

ATBM

3

7.0

0001

ANH

1990

KPDL

4

8.0

0002

BA

1991

ATBM

3

7.0

0002

B

1991

KPDL

4

8.0

0003

BÌNH

1992

ATBM

3

7.0

0003

BÌNH

1992

KPDL

4

8.0

*Phép chiếu

Phép chiếu quan hệ r trên tập con thuộc tính X U , ký hiệu:

 x (r) = {t. X t  r } .  x (r) được tính theo hai bước:
i) Xóa các cột không thuộc x của bảng r;


9

ii) Lược bớt các dòng giống nhau trong bảng kết quả: chỉ giữ lại một dòng
trong số các dòng giống nhau.
Ví dụ 1.8:
Bảng 1.7. Biểu diễn phép chiếu.

 D (r)

r
A

B

C

D

a1

b 1 c1

d1

a2

b 2 c2

d3

a3

b 3 c3

d3

a3

b 3 c1

d1

a4

a4

d3

c3

 CD (r):

D

C

D

d1

c1

d1

d3

c2

d3

c3

d3

* Phép chọn (Phép lọc)
Phép chọn (phép lọc) là phép toán lấy ra một tập con các bộ của quan
hệ đã cho thỏa mãn một điều kiện (còn gọi là biểu thức lọc hay biểu thức
chọn) xác định.
Cho r là một quan hệ và F là một biểu thức logic trên các thuộc tính của
r. Phép chọn trên quan hệ r với biểu thức chọn F, ký hiệu là  F (r ) , là tập tất cả
các bộ của r thỏa mãn F.
Ta có  F (r ) = {t | t  r  F(t) = đúng}.
Biểu thức chọn F được định nghĩa là một tổ hợp logic của các toán
hạng, mỗi toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa hai biến là hai thuộc

tính hoặc giữa một biến là một thuộc tính và một giá trị hằng. Biểu thức chọn
F cho giá trị đúng hoặc sai đối với mỗi bộ đã cho của quan hệ khi kiểm tra
riêng của bộ đó.
Trong các biểu thức chọn ta sử dụng ký hiệu :


10
+ Các phép toán logic :  - hội (và),  - tuyển(hoặc, or),  ( phủ
định),

-kéo theo.
+ Các phép toán so sánh: >, <, =, , ,  .

Ví dụ 1.9:
Xét quan hệ sinh viên.
r

TT

HOTEN

NS

DIEMCNPM DIEMCSDL

1

Hoàng Anh

1990

7.0

8.0

2

Trọng Bình

1990

3.0

6.0

3

Văn Chung

1990

3.5

4.0

4

Đỗ Hùng

1990

8.0

8.0

Lọc ra sinh viên có ít nhất một điểm dưới trung bình (<5)
 F (r )

TT

(điểm<5)

2

Trọng Bình

1990

3.0

6.0

3

Văn Chung

1990

3.5

4.0

HOTEN

NS

DIEMCNPM DIEMCSDL

* Phép kết nối
Cho quan hệ r xác định trên tập thuộc tính {A1, A2, …, An}, và quan hệ
s xác định trên tập thuộc tính {B1, B2, …, Bm}. Để định nghĩa phép kết nối
của hai quan hệ, trước hết chúng ta làm quen với khái niệm ghép bộ.
Giả sử cho hai bộ u = (a1, a2, …, an) và v = (b1, b2, …, bm). Phép lấy
ghép bộ u với bộ v, ký hiệu (u,v), được định nghĩa là:
(u,v) = (a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm)
Phép kết nối hai quan hệ thực chất là phép ghép các cặp bộ của hai
quan hệ thỏa mãn một điều kiện nào đó trên chúng. Điều kiện đó được gọi là
điều kiện kết nối hay biểu thức kết nối.


11

Biểu thức kết nối được định nghĩa là phép hội của các toán hạng, mỗi
toán hạng là một phép so sánh đơn giản giữa một thuộc tính của quan hệ r và
một thuộc tính của quan hệ s.
Phép kết nối của quan hệ r với quan hệ s với biểu thức kết nối F được
định nghĩa như sau:
r  s  {t  (u, v) | u  r  v  s  F (t )  đúng}
F

Tất nhiên ở đây cần giả thiết rằng các phép so sánh của các cặp thuộc
tính thuộc hai quan hệ là có nghĩa, hay mỗi giá trị của thuộc tính này có thể so
sánh được với mỗi giá trị của thuộc tính kia.
Trong trường hợp phép so sánh là “=”, chúng ta gọi phép kết nối đó là
phép kết nối bằng. Trường phép kết nối bằng trên các thuộc tính cùng tên của
hai quan hệ và sau khi kết nối một trong hai thuộc tính của phép so sánh “=”
được loại bỏ thông qua phép chiếu thì phép kết nối này được gọi là phép kết
nối tự nhiên và sử dụng ký hiệu “*”. Phép kết nối tự nhiên của hai quan hệ có
thể được định nghĩa như sau:
r(U) * s(V) = {t.(U  V) | t.U  r  t.V  s}
*Phép chia
Cho r là một quan hệ n ngôi xác định trên tập thuộc tính U và s là một
quan hệ m ngôi xác định trên tập thuộc tính V với n > m và

s

có nghĩa là

lực lượng của s là khác 0 hay s có ít nhất một bộ. Để đơn giản chúng ta giả
thiết V U . Phép chia quan hệ r cho quan hệ s, ký hiệu là r  s (hoặc r : s), là
tập tất cả các bộ t sao cho với mọi bộ v  s thì khi ghép bộ t với bộ v ta được
một bộ thuộc r. Ta có: r  s = {t |  v  s  (t,v)  r}.
1.2.3. Bao đóng của tập thuộc tính
Khái niệm
Cho r là quan hệ trên lược đồ R = {A1, A2 ,… An,}. Giả sử F là tập PTH
trong R. X là tập con của tập thuộc tính R.


12

Bao đóng của tập thuộc tính X đối với F ký hiệu X + (hoặc XF+ ) là tập
tất cả các thuộc tính A của R được suy dẫn bắt đầu từ tập X, theo các phép
tính suy dẫn trong hệ tiên đề Armstrong và các PTH trong F. Chính xác hơn
X+ là tập:
X+ = {A: A R và X

A F+}

Tính chất của tập bao đóng X+
Nếu X,Y là các tập con của tập thuộc tính R thì ta có các tính chất:
1. Tính phản xạ: X

X

2. Tính đơn điệu: Nếu X Y thì X+

Y+ .

3. Tính lũy đẳng: X++ = X+ .
4. (XY) +

X+Y+ .
+

5. (X + Y)+ =(XY )+ =(X + Y + )+ .
X+ .

6. X

Y

Y

7. X

Y

Y+

X+.

8. X

X+ và X+

X.

9. X+

Y+

Y và Y

X

X.

Thuật toán tìm bao đóng tập thuộc tính X+
Input: Lược đồ quan hệ R
Tập PTH F;

Tập thuộc tính X;
Output: Tập X
Mô tả thuật toán:
Begin
Y: =X;
Repeat
Z: ;
For each A in R do


13

if (A

Y and Y

A

F+ ) then Z: =

A;

Y:=Y Z;

Until Z =

;

X =Y
end;

Ví dụ 1.10:
Giả sử R = {A,B,C,D,E,G,H}, tập PTH F như sau:
F ={BC

ADE, AC

BDG, BE

ABC, CD

BDH, BCH

ACG}

Hãy tính X+ trong trường hợp X = ABE và X = BD.
*Trường hợp X=ABE
*Đặt X(0)=ABE (=X)
X(1) = X(0)  Z(0) = ABE  ABC = ABCE
X(2) = X(1)  Z(1) = ABCE  (ADE  BDG) = ABCDEG
X(3) = X(2)  Z(2) = ABCDEG  BDH = ABCDEGH
Vậy X+ = ( A,B,E)+ = A,B,C,D,E,G,H = R
*Trường hợp X=BD
Đặt X(0) = BD (=X)
X(1) = X(0)  Z(0) = BD   = BD
Suy ra X(0) = X(1) vậy X+ = X= BD
1.2.4. Khóa của lƣợc đồ quan hệ
Định nghĩa 1.3
Cho s = (U, F) là 1 lược đồ quan hệ, U là tập thuộc tính khác rỗng và F
là tập các phụ thuộc hàm. Cho tập con bất kỳ  K  U. Ta nói rằng K là khóa
của lược đồ quan hệ s khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

i) (K

U)

 F+

ii) Không tồn tại Z  K sao cho ( Z

U )  F+


14

Điều kiện (i) và (ii) khẳng định các thuộc tính không khóa phụ thuộc
đầy đủ vào khóa. Từ định nghĩa trên có thể suy ra rằng K là khóa của lược đồ
quan hệ khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện:
a) K+ = U
b) (K \ A )+

U,  A  K.

Các tính chất của khóa trong lƣợc đồ quan hệ
Cho LĐQH (U, F) khi đó:
1. K

U là một khóa khi và chỉ khi U phụ thuộc đầy đủ vào K.

2. Hai khoa khác nhau của một LĐQH không bao nhau.
3. Mọi LĐQH đều có ít nhất một khóa.
Định lý 1.1 ( Đặc trưng của các thuộc tính khóa)

Cho K là 1 khóa của LĐQH a = ( U,F ). Khi đó với mọi tập con X của
K ta có X+  K = X.
Định lý 1.2 (Công thức tính giao các khóa)
Cho LĐQH a = (U,F) với n thuộc tính trong U và m PTH trong F. Gọi
UI là giao các khóa của a. Khi đó có thể xác định giao các khóa bằng 1 thuật
toán tuyến tính theo mn qua công thức:
UI

U\

( R \ L)
L

R F

Định lý 1.3 (Định lý về khóa duy nhất )
Cho LĐQH a = (U,F). Gọi UI là giao của các khóa trong a. Khi đó a có
một khóa duy nhất khi và chỉ khi UI + = U.
Ví dụ 1.11:
Cho lược đồ quan hệ  = (U,F) với U = ABCDEGH , F={AB  C,
B D, CD E, CE GH, GA}. Lược đồ có một hay nhiều khóa?
Bước 1: tính giao của tất cả các khóa U I =U\

(R\L)
L

R F


15

Từ công thức trên ta có: UI = U\(C  D E  GH  A) = U\
{ACDEGH}= B.
Bước 2: Tính bao đóng (UI)+ của B, B+ = B  D   = BC ≠ U, do vậy
lược đồ có nhiều hơn một khóa.
Ví dụ 1.12:
Cho lƣợc đồ quan hệ  =(U, F) với U=ABCDEGH và
F={ ABCDE, BCDG, ABHEG, CEGH}. Lược đồ có một hay nhiều
khóa?
Bước 1: Tính giao của tất cả các khóa U I  U \

 ( R \ L)

L  RF

Từ công thức trên ta có: UI = U\ {DE  G  EG  GH } = U \{DEGH}=
ABC
Bước 2: Tính bao đóng của ABC, (ABC)+ = ABC  DE  G  GH =
ABCDEGH = U, do vậy lược đồ có duy nhất một khóa.
1.3. Điểm bất động của Ánh xạ đóng
1.3.1. Định nghĩa và tính chất ánh xạ đóng
Định nghĩa 1.4
Cho tập U hữu hạn. Ánh xạ f: SubSet(U)  SubSet(U) được gọi là đóng
trên tập U nếu với mọi tập con X,Y  U thỏa các tính chất sau đây:
i) Tính phản xạ: f ( X )  X ,
ii) Tính đồng biến hay đơn điệu: Nếu X  Y thì f ( X )  f (Y ),
iii) Tính lũy đẳng: f ( f ( X ))  f ( X ).
Ví dụ 1.13:
Các ánh xạ sau đây là đóng:
- Ánh xạ tối đại: (X) = U với mọi X  U,

- Ánh xạ đồng nhất: e(X) = X với mọi X  U,


16

- Ánh xạ tịnh tiến: hT(X) = TX với mọi X  U và T là tập con cố định tùy
ý cho trước trong U.
Với trường hợp T = U thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ tối
đại, hU = , trường hợp T   thì ánh xạ tịnh tiến theo T trở thành ánh xạ
đồng nhất, h  e . Điều này cho thấy có thể dùng ánh xạ tịnh tiến làm cơ sở
đặc tả họ các ánh xạ đóng { , hT, e}.
Ngoài ba tính chất trên, ánh xạ đóng còn thỏa một số tính chất sau: [6],
[7], [8]:
Ký hiệu Close(U) là tập tất cả ánh xạ đóng (AXĐ) trên tập U cho trước.
Giả sử f

Close U . Khi đó, với mọi X ,Y  U ta thu được:

iv) f ( f ( X )Y )  f ( Xf (Y ))  f ( XY ) ;
v) f ( XY )  f ( X ) f (Y ) ;
vi) f ( X  Y )  f ( X )  f (Y ) .
1.3.2. Một số phép toán trên ánh xạ đóng
Phép toán hội
Định nghĩa 1.5
Cho các AXĐ f, g trên tập U hữu hạn. Ánh xạ h được xác định trên U
như sau: h( X )  f ( X )  g ( X ), với mọi X  U . Ta gọi h là phép hội của các
AXĐ f và g. Ký hiệu h  f  g .
Mệnh đề 1.1
Hội của hai AXĐ trên U là một AXĐ trên U.
Phép toán hợp thành

Định nghĩa 1.6
Cho hai AXĐ f và g trên tập U hữu hạn. Ánh xạ k được xác định trên U
như sau: k(X) = f(g(X)), với mọi X  U .
Ta gọi k là phép hợp thành của hai ánh xạ đóng f và g. Ký hiệu k = f g.


17

Mệnh đề 1.2
Hợp thành của hai AXĐ thỏa các tính chất phản xạ và đồng biến.
Mệnh đề 1.3
Hợp thành của hai AXĐ nói chung không giao hoán.
Mệnh đề1.4
Phép hợp thành của các ánh xạ trong Map(U) có tính kết hợp, do đó
trong biểu thức gồm một dãy các phép hợp thành của các ánh xạ trong
Map(U) ta có thể gộp các phép hợp thành liên tiếp nhau thành từng nhóm
bằng cách sử dụng các cặp dấu ngoặc.
Định nghĩa 1.7
Cho tập hữu hạn U và các ánh xạ f, g  Map(U). Ta nói ánh xạ f hẹp
hơn ánh xạ g và ký hiệu là f  g, nếu với mọi X  U ta luôn có
f ( X )  g ( X ).

Nếu ánh xạ f hẹp hơn ánh xạ g, ta cũng nói ánh xạ g rộng hơn ánh xạ f
và ký hiệu là g  f .
Mệnh đề 1.5
Quan hệ “hẹp hơn”  thoả các tính chất sau:
Với mọi ánh xạ f , g , h  Map(U ) :
1. Phản xạ: f  f ,
2. Phản xứng: Nếu f  g và g  f thì f  g ,
3. Bắc cầu: Nếu f  g và g  h thì f  h.

Như vậy quan hệ “hẹp hơn”  là thứ tự bộ phận trên Map(U).
Mệnh đề 1.6
Hợp thành của hai AXĐ không hẹp hơn mỗi ánh xạ thành phần, tức là
với mọi AXĐ f và g ta có:
1. f  g  f ,


18

2. f  g  g .
Mệnh đề 1.7
Với mọi AXĐ f, g và h trên U, nếu f  g thì
1. f  h  g  h,
2. h  f  h  g .
Mệnh đề 1.8
Với mọi AXĐ f, g, k và h trên U, nếu f  k và g  h thì f  g  k  h
Mệnh đề 1.9
Với mọi AXĐ f , g  Close(U ) ba điều kiện sau đây là tương đương:
(i) f  g,
(ii) fg = g,
(iii) gf = g.
Định lý 1.4
Cho hai AXĐ f và g. Các hợp thành fg và gf đồng thời là các AXĐ khi
và chỉ khi chúng giao hoán, tức là:
(f , g  Close(U )) : ( f  g , g  f  Close(U ))  f  g  g  f .

Định lý 1.5
Hợp thành f.g của hai AXĐ f và g là một AXĐ khi và chỉ khi fgf = fg,
tức là (f , g  Close(U )) : ( f  g  Close(U ))  f  g  f  f  g.
1.3.3. Điểm bất động của ánh xạ đóng

Định nghĩa 1.8
Cho AXĐ f trên tập U. Tập con X của U được gọi là điểm bất động (tập
đóng) của AXĐ f nếu f(X) = X.
Ký hiệu Fix(f) là tập toàn bộ các điểm bất động của AXĐ f. Vì f(U) =
U nên Fix(f) luôn chứa U như phần tử lớn nhất. Ngoài ra, dựa vào tính lũy
đẳng của các AXĐ ta có thể đặc tả Fix(f) như sau: Fix(f) = { f(X) | X  U }.


19

1.3.4. Phép hạn chế trên ánh xạ đóng
Định nghĩa 1.9
Cho AXĐ f trên U và một tập con M của U. Hạn chế của ánh xạ f trên
M, ký hiệu fM là ánh xạ trên M được xác định như sau:

X  M : f M ( X )  f ( X )  M
Định lý 1.6
Với mọi AXĐ f trên U và với mọi tập con M của U, fM là một AXĐ trên
M.
1.3.5. Khóa của ánh xạ đóng
Định nghĩa 1.10
Cho AXĐ f trên U. Tập con K của U được gọi là khóa của AXĐ f nếu
K thỏa đồng thời hai tính chất sau đây:
i) Tính toàn thể: f(K) = U,
ii)Tính tối tiểu: X  K : f ( X )  U .
Chú ý
+ Nếu K thỏa tính chất i) thì K được gọi là siêu khóa của AXĐ f.
+ Kí hiệu X  K cho biết X là tập con thực sự của K, tức là X  K và
X  K.
Mệnh đề 1.10

(1). Mọi AXĐ trên tập hữu hạn đều có ít nhất một khóa
(2). Hai khóa bất kỳ của cùng một AXĐ không bao nhau
(3). Số khóa tối đại của một AXĐ là tổ hợp chặp n/2 của n, trong đó n
là số phần tử của U, x là nền nguyên của x (số nguyên lớn nhất không vượt
quá x), tức là bằng C nn / 2  .
Bổ đề
Cho K là một khóa của AXĐ f trên U. Khi đó X  K ,