Tổng hợp công thức toán cấp 3 đầy đủ nhất.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 20 trang )
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
*
)
)
*(
*(
*
*(
*(
⇔{
(
)(
)
⇔*
)
)
⇔*
*
(
)(
)
(
)(
)
)
*(
*Trƣờng hợp (a-b+c)2 xem nhƣ (a+(-b)+c)2, các trƣờng
hợp còn lại tƣơng tự.
*an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1)
*an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+bn-1)
*(a+b)n=∑
Tính chất
Nội dung
Cộng 2 vế
bđt cho cùng
1 số
Nhân 2 vế
bđt cho cùng
1 số
Cộng 2 bđt
cùng chiều
Nhân 2 bđt
cùng chiều
a>b ac>bc
c>0
a>b ac
c<0
a b a 2 n1 b 2 n1
Lũy thừa, lấy
căn bậc hai 2
vế bđt
Điều kiện
a>b a+c>b+c
a b
ac bd
c d
a b
ac bd
c d
ab
2 n1
a
2 n1
b
b>0 và d>0
n nguyên
dƣơng
a b a 2n b 2n
a,b>0
BĐT CÔ-SI (CAUCHY)
Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hay bằng
trung bình nhân của chúng.
ab
ab a b 2 ab, a, b 0.
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
CÁC TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT
*A
*A2 > 0 ⇔
*
⇔
*| |
⇔
*√
⇔
*
⇔
A 0B 0
A B
A B
| |
B 0
AB
2
A B
B 0
A B
A B
B 0
B 0
AB
hay
2
A 0
A B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa căn bậc 2 bằng cách dặt
ẩn phụ
PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
B 0
A B
A B
A B
A B
A B
a b 2n a 2n b
2
PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI
A 0
A B B 0
2
A B
CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT
Tên gọi
⇔*
A B A2 B 2 A B A B 0
A B
AB
A B
A B
A B B A B
A B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa gttđ bằng cách sử dụng
A A 0
định nghĩa A
để bỏ gttđ
A A 0
ĐỊNH LÝ VIÉT
Thuận:
Pt ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1, x2 thì {
Đảo:
Nếu {
*A3>0⇔
(n là số nguyên dƣơng)
thì x1, x2 là 2 nghiệm của pt: X2-SX+P=0
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
⇔
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
Cho f(x) = ax2+bx+c (a 0)
=b2-4ac ( ’ =b’2-ac, b’ = )
1
● 0 af ( x) 0 x
(tam thức cùng dấu a với mọi x)
-b -b
● 0 af ( x) 0 x , f 0 ,
2a 2a
(tam thức cùng dấu a với mọi x khác nghiệm kép)
● >0⇔pt f(x)=0 có 2 nghiệm pb x1, x2.
x
f(x)
cùng dấu a
x1
0 trái dấu a
0
+ < x1 < x2 hoặc x1 < x2 <
x1 x2 0
x2
0 cùng dấu a
0
< x1 < x2 x1 x2 0
S
0
2
+
ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1)
a 0
+Pt (1) có 2 nghiệm pb
0
a 0
+ Pt (1) có nghiệm kép
(
0
a 0
+ Pt (1) có 2 nghiệm
0
√
√
(
)
a 0
+ Pt (1) có nghiệm
(Xét a = 0)
0
(x1- ). (x2- ) < 0
+ x1 < < x2
0
x1 x2 0
S
0
2
+ x 1 < x2 <
)
TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs chẵn nếu
x D thì x D và f(-x) = f(x)
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs lẻ nếu
x D thì x D và f(-x) = -f(x)
●Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
●Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
a 0
+ Pt (1) VN
(Xét a = 0)
0
DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1).Gọi x1, x2 là 2 ng(nếu có)
+Pt (1) có 2 nghiệm trái dấu P < 0
(x1 < 0 < x2)
* a b (a1 b1 ; a2 b2 )
* k a ka1 ;ka2
0
+ Pt (1) có 2 nghiệm cùng dấu
P 0
(0 < x1 x2 hoặc x1 x2 < 0)
0
+ Pt (1) có 2 nghiệm dƣơng pb S 0
P 0
(0 < x1 < x2)
0
+ Pt (1) có 2 nghiệm âm pb S 0
P 0
(x1 < x2 < 0)
Cho a (a1 ; a2 ), b (b1 ; b2 ), k R
a1 b1
*a b
a 2 b2
* k. a k . a
* a b a . b . cos(a, b) a1b1 a 2 b2
* a a12 a 22
* a b a1b1 a2 b2 0
a1 a 2
b1b2 0
b1 b2
⃗⃗
*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ cùng hƣớng ⇔ { ⃗
* a cùng phƣơng b a k . b
*Hai véctơ ⃗ ⃗⃗ ngƣợc hƣớng ⇔ { ⃗
⃗⃗
* Góc giữa 2 véctơ:
SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ
Gọi x1, x2 là các ng của pt ax2+bx+c=0 (nếu có)
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
a1b1 a2b2
a b
cos a , b
a.b
a12 a22 b12 b22
2
* Góc của tam giác: cos A cos AB , AC
AB x B x A ; y B y A
* AB ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2
* M Ox M x M ;0 M Oy M 0; y M
* M là trung điểm đoạn thẳng AB
x A xB
x M
2
y y A yB
M
2
* G là trọng tâm tam giác ABC
x A x B xC
xG
3
y y A y B yC
G
3
*Góc của tam giác: cos BAC cos AB, AC
*AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC
AB
DB
DC
AC
*I là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
AI2 = BI2 = CI2
*Tìm tâm J của đtròn nội tiếp tam giác ABC:
+Tim D là chân đƣờng phân giác trong AD của tam giác
ABC
+Tim J là chân đƣờng phân giác trong BJ của tam giác
ABD
+J là tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC
*A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phƣơng
*ABCD là hình bình hành AB DC và A, B, C
không thẳng hàng
*ABCD là hình thang (AB//CD)
A,
AB ,CD cùng huong và
B, C không thẳng hàng
(3 tính chất trên vẫn đúng trong không gian)
ĐƢỜNG THẲNG
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt chỉ phƣơng của đt d nếu giá của nó
song song hoặc trùng với d
*Véctơ ⃗⃗ ⃗⃗là vt pháp tuyến của đt d nếu giá của nó
vuông góc với d
)thì d có vtpt là
*Đt d có vtcp là ⃗⃗ (
⃗⃗
(
)
(
x y
1 ab 0
a b
(đƣờng thẳng cắt Ox, Oy lần lƣợt tại A(a; 0), B(0; b) )
*Nếu d//đƣờng thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
ax+by+m=0 (m c)
*Nếu d đƣờng thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
bx ay+m=0
* pt trục Ox : y=0, Oy : x=0
*Pt đƣờng thằng theo đoạn chắn:
)
*Pttq của đt d có dạng : ax+by+c=0 (vtpt là (a;b))
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƢỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
a
a
c
d1 //d2 1 2 1
b1 b2 c2
a1 a 2 c1
b1 b2 c 2
a
a
d1 cắt d2 1 2
b1 b2
Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2
a1 a2
d1 //d2
b1 b2
d1 d2
a1 a2
d1 d2
b1 b2
d1 cắt d2 a1 a 2
a1 x b1 y c1 0
Tọa độ giao điểm là nghiệm hpt
a 2 x b2 y c 2 0
GÓC GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
Gọi là góc giữa 2 đƣờng thẳng d1, d2
a1a 2 b1b2
cos
a12 b12 a 22 b22
KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐƢỜNG THẲNG
Cho đƣờng thẳng : ax+by+c=0 và điểm M
ax M byM c
Khoảng cách từ M đến : d ( M , )
a 2 b2
Chú ý: d(M,Ox) = | |
d(M,Ox) = | |
PT CÁC ĐƢỜNG PHÂN GIÁC CỦA CÁC GÓC
TẠO BỞI 2 ĐƢỜNG THẲNG
*Đƣờng thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtcp a =(a1;a2) có
x x 0 a1 t
x x0 y y0
a1a2 0
ptts
ptct
a1
a2
y y0 a 2 t
*Đƣờng thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtpt n =(a; b) có
pttq : a(x x0) + b(y y0) = 0
*Đƣờng thằng đi qua diểm M(x0; y0), hệ số góc k có pt:
y y0=k(x x0)
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
Cho 2 đƣờng thẳng d1: a1x+b1y+c1=0,
d2: a2x+b2y+c2=0
Pt các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi 2 đƣờng
a x b1 y c1
a x b2 y c 2
2
thẳng d1, d2 là: 1
2
2
a1 b1
a 22 b22
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƢỜNG THẲNG
*Viết pt đƣờng thẳng qua 2 điểm A, B:
3
Đƣờng thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct)
hoặc
(mẫu khác 0)
Chú ý: Viết pt trung tuyến AM của tam giác ABC
+Tìm trung điểm M của cạnh BC
+Viết pt tt AM qua A,M
*Viết pt đƣờng thẳng qua điểm M và vuông góc AB:
+Pttq đƣờng thẳng qua M, vtpt AB
Chú ý:
Đƣờng cao AA/ của tam giác ABC qua A, vtpt BC
Đƣờng trung trực của BC qua trung điểm I của BC, vtpt
BC
* Tìm hình chiếu H của M lên đƣờng thẳng d
+Viết pt đƣờng thẳng qua M, vuông góc d
pt d
+Ta có H d Tọa độ H là nghiệm hpt
pt
Cách khác:
*Tìm điểm M/ đối xứng với M qua đƣờng thẳng d
+Tìm hình chiếu H của M lên d
+M và M/ đối xứng nhau qua d
xM 2 xH xM
H là trung điểm MM/
yM 2 yH yM
/
*Viết pt đƣờng thẳng đối xứng đƣờng thẳng qua
đƣờng thẳng d
+Lấy 2 điểm M, N trên
+Tìm M/, N/ dối xứng với M, N qua đƣờng thẳng d
+Viết pt đƣờng thẳng / qua M/, N/
*Viết pt đƣờng thẳng qua M, cách A một khoảng bằng k
+(x a)2+(y b)2 = R2
+ x2 + y2 2ax 2by+c = 0 (1) R a 2 b 2 c
Pt (1) là pt của 1 đƣờng tròn a2+b2 c>0
CHÚ Ý:
+(C) có tâm I, qua M R = IM
+(C) có tâm I, tiếp xúc đƣờng thẳng d I , R
+(C) có đƣờng kính AB tâm I là trung điểm AB và bán
kính R = AB/2
AI BI
+(C) qua A và tiếp xúc đƣờng thẳng d tại B
BI
ad
+(C) đi qua 3 điểm A, B, C thế tọa độ A, B, C vào pt
đƣờng thẳngròn dạng khai triển. Giải hpt tìm a, b, c.
*PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÕN
* Viết pttt của (C) tại M:
+Tìm tâm I của (C)
+Tiếp tuyến của (C) qua M, có vtpt IM
* Viết pttt của (C) các dạng khác:
+Tìm tâm và bán kính của (C)
+Xác định dạng của ttuyến
●có hệ số góc k : Pttt có dạng : y = kx + m
●// đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : ax + by + m
=0
● đƣờng thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : bx ay +
m=0
●qua M : Pttt có dạng : a(x xM) + b (y yM) = 0
+Ttuyến d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
Từ dó tìm m hoặc a, b.
Pt đƣờng thẳng đi qua M, vtpt n =(a; b) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
cách A một khoảng bằng k
d ( A, ) k
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b (hoặc ngƣợc lại)
*Viết pt đƣờng thẳng qua M, cách đều A, B
Pt đƣờng thẳng đi qua M, vtpt n =(a; b) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
cách đều A, B
d ( A, ) d ( B, )
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b
*Viết pt đƣờng thẳng qua M và tạo với d:ax+by+c=0 1
góc
Pt đƣờng thẳng đi qua M, vtpt n =(n1; n2) có dạng:
a(x xM)+b(y yM)=0
tạo với d 1 góc
n1a n2 b
cos( , d ) cos
n12 n22 a 2 b 2
Từ hệ thức giữa n1 và n2 chọn n1 suy ra n2
ĐƢỜNG TRÕN
*PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN
Pt đtròn tâm I(a; b) bán kính R
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
ELIP
(E) = {M/ MF1 + MF2 = 2a } với 2a > F1F2
F1, F2 : tiêu điểm F1F2 = 2c : tiêu cự
M (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm
x2 y2
PT chính tắc của (E) : 2 2 1 (a2 = b2 + c2)
a
b
Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2b
Tiêu điểm : F1( c; 0) F2(c; 0) Tâm sai
Đỉnh : A1( a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b)
Hình
Tam giác
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Diện tích
Trong đó
a:cạnh đáy
1
S ah
h:chiều cao
2
( a b )h
2
Hình thang
S
Hình bình hành
S ah
Hình thoi
S
Hình chữ nhật
Hình vuông
ab
2
S ab
S a2
a,b:2 đáy
h:chiều cao
a:cạnh đáy
h:chiều cao
a,b:2 đƣờng
chéo
a,b: 2 kthƣớc
a: canh hv
4
Hình
Diện tích
Hình hộp S tp
chữ nhật 2ab bc ca
Hình lập
phƣơng
Hình lăng
trụ(k.lăng
trụ)
Stp=6a2
Sxq=tổng dt mặt
bên
Stp=Sxq+S2đ
S =tổng dt mặt
Hình chóp xq
bên
(K/chóp)
Stp=Sxq+Sđ
Hình cầu
S 4R 2
(K/cầu)
S xq Rl
Hình nón
S tp S xq S d
(K.nón)
Rl R 2
S xq 2Rl
Hình trụ
S tp S xq 2 S d
(K.trụ)
2Rh 2R 2
Thể tích
V=abc
V=a3
Trong
đó
a,b,c:3
kích
thƣớc
a:cạnh
hlp
h:chiều
cao
V=Sđ.h
V
1
Sd h
3
S
4 3
R
3
R:bán
kính
1
V R 2 h l:đƣờg
3
sinh
V R h
2
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
*CÁC PP CM 2 ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG
a // b
u a
+ a ( ), b ( ) u//a//b hoặc
u b
( ) ( ) u
a //( )
( ), ( ) // a
a//b +
a//b
+ a ( )
(
)
(
)
b
( ) ( ) b
( ) //( )
a b
+ ( ) ( P) a a//b +
a // b
a
,
b
( ) ( P) b
+Các pp cm 2 đƣờng thẳng song song trong mặt phẳng nhƣ
định lý Talet đảo, cm tứ giác là hbh, đƣờng trung bình
trong tam giác, hình thang, …
*CÁC PP CM 2 MP SONG SONG
a b O
+ a, b ( ) ( ) //( )
a, b //( )
( ) //( P)
+ ( ) //( P) ( ) //( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) //( )
+
( ), ( ) a
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
*CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP SONG SONG
a // b ( )
a ( )
+
a //( ) +
a //( )
a ( )
( ) //( )
a ( )
+ a b a //( )
( ) b
*CÁC PP CM 2 ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
a ( )
a // b
+
+
ab
bc
b ( )
a c
+Cho a/ là hình chiếu của a lên mp (P), b (P)
a a a b
*CÁC PP CM 2 MP VUÔNG GÓC
a ( )
a //( )
+
+
( ) ( )
( ) ( )
a ( )
a ( )
*CÁC PP CM ĐƢỜNG THẲNG VÀ MP VUÔNG GÓC
a b, c
+ b c O a ( )
b, c ( )
( ) ( ), ( ) ( ) d
a ( )
+
a ( ), a d
‖
( ) //( )
a ( ) +{
+
⇒ ( )
( )
a ( )
*Mp (đƣờng) trung trực của một đoạn thẳng là mp (đƣờng
thẳng) vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
Trong không gian, tập hợp những điểm cách đều 2 đầu
đoạn thẳng là mp trung trực của đoạn thẳng đó.
Trong mp chứa đoạn thẳng, tập hợp những điểm cách đều 2
đầu đoạn thẳng là đƣờng trung trực của đoạn thẳng đó.
*Các đlý khác:
●Hai mp // chắn trên 2 cát tuyến // các đoạn thẳng bằng
nhau.
●Ba mp // chắn 2 cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tƣơng
ứng tỉ lệ.
KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đƣờng thẳng) là độ dài
đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp (đƣờng thẳng)
*Khoảng cách giữa 1 đƣờng thẳng và 1 mp (đƣờng thẳng)
song song là khoảng cách từ 1 điểm trên đƣờng thẳng đến
mp (đƣờng thẳng)
*Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1
điểm trên mp này đến mp kia.
*Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau là:
+độ dài đoạn vuông góc chung
+khoảng cách giữa 1 trong 2 đƣờng thẳng đó và 1 mp
song song với nó chứa đƣờng thẳng còn lại
+khoảng cách giữa 2 mp song song lần lƣợt chứa 2 đƣờng
thẳng đó
5
*Các pp tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến mp ( )
Cách 1:
_Tìm (dựng) MH P tại H
_ d (M , P) MH
Cách 2:
_Tìm (dựng) MN // P
_ d (M , P) d N , P
Cách 3: (tỉ số khoảng cách)
( ( ))
(
( ))
+Các miền tam giác gọi là
các mặt bên của hc
+Hc có đáy là tam giác, tứ
giác, … gọi là hc tam giác,
hc tứ giác, … Hc tam giác
còn gọi là hình tứ diện.
Hình tứ diện đều là hình tứ
diện có tất cả các cạnh
bằng nhau.
Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 6 cạnh bằng nhau.
+Hc đều là hc có đáy là đa giác đều và chân đƣờng cao
trùng với tâm của đáy, các cạnh bên bằng nhau, các mặt
bên là những tam giác cân bằng nhau, góc giữa các cạnh
bên (mặt bên) và đáy bằng nhau.
HÌNH LĂNG TRỤ
Cách 4: (dùng thể tích)
*Định nghĩa: Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt nằm
trong 2 mặt // gọi là 2 mặt đáy và tất cả các cạnh không
))
( (
nằm trong 2 đáy thì // nhau. Trong đó:
+Các mặt khác với 2 đáy
))
⇒ ( (
gọi là các mặt bên (các
mặt bên là các hbh)
Chú ý: Để vẽ đt vuông góc mp từ M ta thƣờng tìm mp chứa +Cạnh chung của 2 mặt
M và vuông góc mp đó, từ M vẽ đt vuông góc giao tuyến.
bên gọi là cạnh bên.(các
GÓC
cạnh bên // và = nhau)
+Hai đáy là 2 đa giác có
*Góc giữa 2 đƣờng thẳng a, b là góc giữa 2 đƣờng thẳng các cạnh tƣơng ứng // và
cùng đi qua 1 điểm và lần lƣợt song song với 2 đƣờng = nhau.
thẳng đó. Ký hiệu là (a,b).
+Hlt có đáy là tam giác,
Chú ý: Góc giữa 2 đƣờng thẳng // hoặc trùng nhau =00
tứ giác, … gọi là hlt tam
Có thể từ 1 điểm trên đt này vẽ đt // đt kia
giác, hlt tứ giác, …
+Hlt có đáy là hbh còn gọi là hình hộp. Bốn đƣờng chéo
*Góc giữa đƣờng thẳng a và mp là góc giữa đƣờng
của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đƣờng.
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hcn gọi là hình hộp chữ
thẳng đó và hình chiếu của nó lên mp. Ký hiệu: a,
nhật.
Chú ý: Góc giữa đƣờng thẳng // hoặc nằm trong mp =00
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hvuông gọi là hình lập
phƣơng.
*Góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đƣờng
+Hlt đứng là hlt có cạnh bên vuông góc với đáy, các mặt
thẳng lần lƣợt nằm trong 2 mp và
bên là các hcn và vuông góc với đáy
cùng vuông góc với giao tuyến tại 1
+Hlt đều là hlt đứng có đáy là đa giác đều, các mặt bên là
điểm. (hoặc góc giữa 2 đƣờng thẳng
những hcn bằng nhau.
lần lƣợt vuông góc với 2 mp đó)
0
Chú ý: Góc giữa 2 mp // hoặc trùng nhau =0
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
*Diện tích hình chiếu: Nếu S là dtích của 1 đa giác, S/ là
dtích đa giác hình chiếu và là góc giữa mp chứa đa giác
và mp chiếu thì S S cos
HÌNH CHÓP
*Định nghĩa: Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An và 1
điểm S nằm ngoài (P). Nối S với các đỉnh A1, A2, …,An ta
đƣợc n miền tam giác, hình tạo bởi n miền tam giác đó và
miền đa giác đƣợc gọi là hình chóp S. A1A2…An trong đó:
+Điểm S gọi là đỉnh hc
+Các đoạn thẳng SA1, SA2... gọi là các cạnh bên của hc
+Các đoạn thẳng A1A2 , A2A3 ... gọi là các cạnh đáy của hc
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
Cho a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3), số k tùy ý
a1 b1
* a b a 2 b2
a b
3
3
* a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 )
* k a ka1 ; ka2 ; ka3 * a
b a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
* a a12 a 22 a 32
6
*
*Diện tích hbh ABCD: S AB, AC
ab
cos a , b
a.b
a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
a a 22 a 32 b12 b22 b32
2
1
* AB x B x A ; y B y A ; z B z A
* AB ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 ( z B z A ) 2
M Ox M xM ; 0; 0
M Oxy M xM ; yM ; 0
M Oxz M xM ; 0; zM
* M là trung điểm đoạn thẳng AB
x A xB
xM
2
y yB
yM A
2
z A zB
zM
2
* G là trọng tâm tam giác ABC
x A x B xC
xG
3
y y B yC
yG A
3
z A z B zC
zG
3
* G là trọng tâm tứ diện ABCD
x A x B xC x D
xG
4
y y B yC y D
yG A
4
z A z B zC z D
zG
4
*A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác
AB không cp AC
1
*Diện tích tam giác ABC S
AB, AC
2
*Độ dài đƣờng cao AH của tg ABC
⇒
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
*Tính góc của tam giác ABC:
* AH là đƣờng cao tg ABC
AH BC
BH cp BC
Cách 2: Tìm H là hình chiếu của A lâ đƣờng thẳng BC
* I là tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp tg ABC
AI BI CI
A, B, C , I dong phang
*Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/:
V AB, AD .AA ,
1
AB, AC .AD
6
* Độ dài đƣờng cao AH của tứ diện ABCD
⇒
*Thể tích khối tứ diện ABCD: V
* AH là đƣờng cao td ABCD
AH BCD
B, C , D, H dong phang
Cách 2 : Viết pt đƣờng cao AH
của td ABCD.
Ta có H AH BCD
* Định nghĩa TÍCH CÓ HƢỚNG của 2 vectơ
a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3) là 1 vectơ đƣợc xác định
nhƣ sau:
a2 a 3 a1 a 3 a1 a 2
a , b b b ; b b ; b b
1 3
1 2
2 3
a
a
a
* a, b cùng phƣơng 1 2 3 b1 , b2 , b3 0
b1 b2 b3
a k . b a , b 0
* a , b a , b
* a , b , c đồng phẳng a , b . c 0
*A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phƣơng
*A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện AB. AC . AD 0
Cách 2: D ABC
PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU
*Pt mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 hoặc
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
với tâm I(a; b; c), bán kính R a 2 b 2 c 2 d
Pt (1) là pt một mặt cầu a 2 b2 c 2 d 0
Chú ý:
+(S) có tâm I, qua M R = IM
⇔ thế tọa độ M vào pt mc
+(S) có tâm I, tiếp xúc mp d I , R
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
7
+(S) có tâm I, tiếp xúc đƣờng thẳng d I , R
+(S) có đƣờng kính AB tâm I là trung điểm AB và bán
kính R = AB/2
+Viết pt mặt cầu (S) qua A, B, C, D
Pt mc (S) có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
(a2+b2+c2-d > 0 )
mặt cầu (S) qua A, B, C, D
hpt 4 ẩn a, b, c, d(thế tọa độ A, B, C, D vào (1))
+Để tìm tiếp điểm của tiếp diện (P) và mc:
.Tìm pt đƣờng thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
.Tiếp điểm T= d (P )
+Để tìm tâm và bán kính của đtròn giao tuyến của (P) và
mc tâm I, bán kính R:
.Tìm pt đƣờng thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
. Tâm đtròn J = d (P )
. Bán kính R =
R 2 d 2 I , ( P )
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
*Mp qua điểm M0(x0; y0; z0), vtpt n =(A;B;C)
có pt là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
*Pt tống quát của mp có dạng:
Ax+By+Cz+D=0 với A2+ B2 +C2 0
*Mp Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n =(A;B;C)
*Pt mp theo đoạn chắn:
Pt mp cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
x y z
với abc 0 là : 1
a b c
*Vị trí tƣơng đối của 2 mp:
Cho 2 mp :Ax+By+Cz+D=0 và
:A/x+B/y+C/z+D/=0
cắt A : B : C A : B : C
// A B C D
A B C D
trùng A B C D
A B C D
*Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là:
AxM ByM CzM D
d M , P
A2 B 2 C 2
Chú ý:
*Mp qua A, B, C không thẳng hàng có vtpt
n AB, AC
n ud , MM ' M ' d '
*Pt các mp tọa độ Oxy : z = 0, Oyz : x = 0,
Oxz : y = 0
*Mp chứa Ox A = D = 0
*Mp // Ox A = 0 và D 0
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
*Đƣờng thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0), vtcp u =(a;b;c)
có
x x0 at
pt tham số : y y0 bt t R
z z ct
0
x x0 y y0 z z0
abc 0
pt chính tắc :
a
b
c
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƢỜNG THẲNG
d1 đi qua điểm M1, vtcp u 1
d2 đi qua điểm M2, vtcp u 2
u1 , u2 0
d1 // d 2
u , M M 0
1
1
2
u1 , u2 0
d1 trùng d2
u , M M 0
1 1 2
u1 , u2 0
d1 cắt d2
u , u M M 0
1 2 1 2
d1 chéo d2 u1 , u2 M 1 M 2 0
*Chú ý: Có thể xét hpt gồm pt d1 và d2.
Nếu hệ có nghiệm t = t0 và t’ = t’0 thì 2 đt cắt nhau
( tìm tọa độ giao điểm bằng cách thế t = t0 vào pt d1 hoặc
t’ = t’0 vào pt d2)
*Mp chứa (//) AB, có vtpt n AB, n
*Mp chứa (//) AB, // CD có vtpt n AB, CD
*Mp , có vtpt n n , n
’
*Mp chứa 2 đt cắt nhau d, d qua M d
và có vtpt là
n ud , ud '
*Mp chứa 2 đt // d, d’
M d
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
Nếu hệ VN và u d1 , u d2 cùng phƣơng thì d1//d2
*Mp vuông góc AB có vtpt là AB
Nếu hệ VN và u d1 , u d2 không cùng phƣơng thì d1 chéo
d2
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG và MP
Cho đƣờng thẳng d: x= x0 +at, y= y0 +bt, z= z0 +ct và mp
(P): Ax+By+Cz+D=0.
Thế ptts d vào pt mp (P) ta đƣợc 1 pt bâc nhất ẩn t.
Giải pt : * Nếu pt VN : d//(P)
* Nếu pt có VSN : d (P)
qua và có vtpt là
8
* Nếu pt có nghiệm t=t0: d cắt (P) tại (thế t=t0
vào ptts d)
CÁC CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ điểm M đến mp :
AxM ByM CzM D
Ax+By+Cz+D=0: d ( M , )
A2 B 2 C 2
*Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng ( qua
N, vtcp u ):
1
1
u .d M , MN , u
2
2
MN , u
d ( M , )
u
S tam giac
*Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng song song 1 , 2
d 1, 2 d M1, 2 M1 1
*Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau 1 , 2
Đƣờng thẳng 1 qua M1, vtcp u1
Đƣờng thẳng 2 qua M2, vtcp u2
u1 , u2 M 1M 2
d 1 , 2
u1 , u2
*Khoảng cách giữa 2 mp song song (P), (Q)
d P , Q d M , Q M P
*Khoảng cách giữa đƣờng thẳng d // mp (P) :
d d , P d M , P M d
*MỘT SỐ PP XÁC ĐỊNH VTCP CỦA ĐT:
_ d đi qua 2 điểm A, B có vtcp u d AB
_ d // đt d’ có vtcp ud ud
u
_d qua M, cắt d1 và // mp(P) thì d có vtcp d u , n P
với u MN , u d1 N d1
PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT 2
ĐƢỜNG THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
+MM’ qua A AM , AM cùng phƣơng
+Từ đk cùng phƣơng tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng thẳng MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG // VÀ CẮT 2 ĐƢỜNG
THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
Cách 2:
d 1 , 2 d M , (P) M 1 , 2 ( P) / / 1
_ d đt và ’ có vtcp u d u , u ( và ’cắt hoặc
chéo nhau)
_ d qua M, và cắt có vtcp u d u , u với
u MN , u N
_ d có vtcp u d n
+MM’ // MM , u cùng phƣơng
+Từ đk cùng phƣơng tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng thẳng MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2
ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M d , M d (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
MM u d
’
+MM là đoạn vuông góc chung
MM u d
+Giải hpt tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đƣờng vuông góc chung MM’.
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG d qua M, và cắt
+Viết ptts của theo t
+Lấy N (Biểu diễn tọa độ của N theo t)
+MN MN . u 0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đƣờng thẳng MN.
_ d // mp (P) và (Q) có vtcp u d n P , nQ
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
9
*VIẾT PT ĐƢỜNG THẲNG d qua M, cắt d1 và //
mp(P)
+Viết ptts của d1 theo t
+Lấy N d1 (Biểu diễn tọa độ của N theo t)
1) Quy tắc cộng:
Một cv đƣợc hoàn thành bởi 1 trong 2 hành động.
Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và hđộng thứ 2
có m cách thực hiệnkhông trùng với bất kỳ cách nào
của hđộng thứ 1. Vậy cv đó có m+n cách thực hiện
2) Quy tắc nhân:
Một cv đƣợc hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp.
Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và ứng với mỗi
cách thực hiện đó thì hđộng thứ 2 có m cách thực
hiện. Vậy cv đó có mn cách thực hiện
II/ XÁC SUẤT:
1) Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể
xảy ra của 1 phép thử. Ký hiệu là
2) Biến cốlà 1 tập con của không gian mẫu.
3) Tập A I B gọi là giao của các biến cố A và B. Biến cố
+MN// (P) MN. n P 0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đƣờng thẳng MN.
HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
NHỊ THỨC NIUTƠN
I/ HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
*Số hoán vị của 1 tập hợp có n phấn tử là:
Pn = n! = 1.2.3…n
*Một chỉnh hợp k của n ptử tƣơng ứng với 1 cách
chọn k ptử từ n ptử có tính đến thứ tự
*Số chỉnh hợp k của n ptử là :
A I B còn viết là A.B
4) Tập A U B gọi là hợp của các biến cố A và B
5) Tập \ A gọi là b/cố dối của b/cố A, k/hiệu A
n!
A
n k !
k
n
*Một tổ hợp k của n ptử tƣơng ứng với 1 cách chọn k
ptử từ n ptử không có tính đến thứ tự
n!
k ! n k !
*Số tổ hợp k của n ptử là : Cnk
0 P A 1, P 1, P 0
Chú ý: *n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = …
9) A, B là 2 b/cố xung khắc P A U B P A P B
II/ NHỊ THỨC NIUTƠN :
a b
n
6) A và B xung khắc nếu A I B
7) A và B độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của
b/cố này không ảnh hƣởng đến xs của b/cố kia.
Nếu A và B độc lập thì A và B , A và B cũng độc lập
n( A) so ptu cua A
8) Xác suất của b/cố A là P A
n() so ptu cua
10) P A 1 P A
n
Cn0 a n Cn1a n 1b ... Cnk a n k b k ... Cnnb n Cnk a n k b k
11) A, B là 2 b/cố độc lập P A.B P A .P B
k 0
Chú ý:
* Cnk Cnnk (n, k N* , 0 k n)
* Cnk1 Cnk +Ckn 1
* 1 x C C x ... C x ... C x
n
0
n
1
n
k
n
k
n
n
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
* u v u v
n
* Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
C C C ... C
0
2n
0
2 n 1
*C
2
2n
4
2n
C
2
2 n 1
2n
2n
... C
2n
2 n 1
2 n 1
2n
C C C ... C
1
2n
C
1
2 n 1
3
2n
C
3
2 n 1
5
2n
2 n 1
2 n 1
... C
2
* Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk 3 Cnk3
* 1 x 1 Cn1 x Cn2 x 2 ... Cnn x n (1)
2n
2 n 1
2
Với x= 1: *2 1 C C ... C
1
n
2
n
n
n
v
*
n
Lấy tích phân 2 vế của (1)
2n1 1
1
1
1
*
1 Cn1 Cn2 ...
Cnn
n 1
2
3
n 1
QUY TẮC ĐẾM – XÁC SUẤT
I/ QUY TẮC ĐẾM :
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
* 1 u ; a a.u
2
2
v
u
u
u
u
u u
* (au)/ = a.u/ *
*(C)’ = 0 * (x)’ = 1
a
a
Với x= -1: *0 1-Cn1 Cn2 ... 1 Cnn
Lấy đạo hàm 2 vế của (1)
n-1
*n 1 x Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x 2 ... nCnn x n 1
* u u v 2 uv
n
n
* (uv)/ = u/v + uv/
x 2 1 x
x
u 2uu
1
n
*
*
nn x n1
. x
* x
1
.u
* u
1
u
* (sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’cosu.
* (cosx)’ = - sinx
(cosu)’ = – u’sinu.
* (tanx)’ =
= 1 + tan2x
10
ax b
ĐB trên các khoảng xđ
cx d
y 0 x D
tử > 0
ax b
.Hs y
NB trên các khoảng xđ
cx d
y 0 x D
tử < 0
.Hs y
= u’ (1 + tan2u).
(tanu)’ =
= – (1 + cot2x)
* (cotx)’ =
= – u’ (1 + cot2u).
(cotu)’ = –
* (ex)’ = ex
(eu)’ = u’eu
* (ax)’ = axlna
(au)’ = u’aulna
1
* ln x
x
'
ln u u
u
'
'
* log a x
'
*
(
)
|
=
u'
u ln a
log a u'
1
x ln a
|
(
)
=
(
)
aa ' x 2 2ab' x
a'
'
ax 2 bx c
*
'
'
a xb
b
c
b'
a x b
'
' 2
ax 2 bx c
2
a x bx c
HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
*Định nghĩa: Cho hs f xác định trên K ( khoảng, đoạn,
nửa khoảng )
. Hs f đồng biến trên I nếu:
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
. Hs f nghịch biến trên I nếu:
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
*Định lý:
Giả sử hs f có đạo hàm trên khoảng I
*Hs đồng biến trên I f x 0 x I (1)
*Hs nghịch biến trên I f x 0 x I (2)
Dấu “ = ” chỉ xảy ra tại các điểm “rời rạc”
Chú ý: .Hs bậc 3 đúng với các phát biểu (1), (2)
.Hs nhất biến đúng với các phát biểu (1), (2) không có
dấu “ = ”
.Hs y=ax3+bx2+cx+d ĐB trên R
y 0 x R (Xét riêng a = 0)
a 0
0
.Hs y=ax3+bx2+cx+d NB trên R
y 0 x R (Xét riêng a = 0)
a 0
0
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hs
f
coù
ñh
taï
i x0
f ( x0 ) 0
*
Hs f ñaït cöïc trò taïi x 0
*Quy tắc 1 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Tìm các điểm x0 mà f /(x0) = 0 hoặc
f /(x0) không xác định.
+Lập BBT
+Kết luận.
*Quy tắc 2 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Giải pt f /(x0) = 0 tìm các nghiệm x0.
+ Tính f //(x) và f //(x0)
.Nếu f //(x0) < 0 thì x0 là điểm CĐ
.Nếu f //(x0) > 0 thì x0 là điểm CT
*Chú ý:
f x0 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CĐ tại x0
f x0 0
f x0 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CT tại x0
f x0 0
f x0 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0
f x0 0
+Hs y=f(x) đạt cực trị tại x0 f /(x0) = 0 (Thử lại)
+Đồ thị hs y=f(x) có điểm cực trị là M(x0;y0)
(hs có giá trị cực trị bằng y0 khi x = x0 )
f x0 0
f x0 y0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d có cực trị (Xét a = 0)
Pt y/=0 có 2 nghiệm p/b
a 0
0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d có CĐ, CT
Pt y/=0 có 2 nghiệm p/b
a 0
0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d không có cực trị (Xét a = 0)
Pt y/=0 VN hoặc có nghiệm kép
a 0
0
+Xét hs y=ax4+bx2+c
.TXĐ: D = R
. y/ =4ax3+2bx
11
x 0
.y/ =0 4ax3 2bx 0 (1)
2
4ax 2b 0 (2)
●Hs y=ax4+bx2+c có 3 cực trị (có CĐ, CT)
Pt (1) có 3 nghiệm p/b
Pt (2) có 2 nghiệm p/b khác 0
b
0
2a
●Hs y=ax4+bx2+c có 1 cực trị (Xét a = 0)
Pt (1) có 1 nghiệm
Pt (2) VN hoặc có nghiệm kép = 0
b
0
2a
P( x )
+Nếu hs y f ( x)
( P(x), Q(x) là các đa thức) đạt
Q( x )
P( x0 )
cực trị tại x0 thì f ( x0 )
Q( x0 )
ax2 bx c
có CĐ, CT thì pt đƣờng
ax b
2ax b
thẳng đi qua các điểm ctrị là y
)
a
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0 thì y0 = r(x0) với y
= ax3+bx2+cx+d = (Ax + B).y/ + r(x) ( r(x) là phần dƣ của
phép chia y cho y/ )
(Nếu hs trên có CĐ, CT thì pt đƣờng thẳng đi qua các
điểm ctrị là y= r(x))
(Nếu hs y f ( x)
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS
* lim y hoặc lim y hoặc lim y hoặc
x x0
x x0
x x0
lim y thì x=x0 là TCĐ của đƣờng thẳnghị hs.
x x 0
* lim y y0 hoặc lim y y0 thì y=y0 là TCN của đthị
x
x
hs.
PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
*PTTT của đồ thị hs (C) : y = f(x) tại M(x0;y0):
y y0=f /(x0)(x x0) y=f /(x0)(x x0)+y0
* Hệ số góc tt trên là f /(x0)
*Viết pttt tại hoặc có hệ số góc hoặc // với dt d:
y=kx+b: +Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
+ Tìm x0, y0, f /(x0)
(tt//d f /(x0) = k. tt d f /(x0).k= 1)
+PTTT cần tìm là: y=f /(x0)(x x0)+y0
*Viết pttt biết tt đi qua (xuất phát từ, vẽ từ) điểm M(x0;
y0).
+Pt đƣờng thẳng d đi qua M, hệ số góc k có dạng:
y=k(x x0)+y0
+Đƣờng thẳng d tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm
f ( x ) k ( x x0 ) y0 (1)
f ( x ) k (2)
+Thế (2) vào (1). Giải pt tìm nghiệm x (là hoành độ tiếp
điểm). Thế x tìm đƣợc vào (2) suy ra k
+Vậy pttt cần tìm là: (thế k tìm đƣợc vào pt d)
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƢỜNG
Cho 2 đƣờng (C) : y=f(x) và (C /): y=g(x)
*Pt có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và (C/):
f(x)=g(x) (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C) và (C/)
*CHÚ Ý:
+Pt (1) là pt có dạng: ax3+bx2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0
(x-x0)(ax2+Bx+C)=0 (1)(nhẩm 1 no, chia đa thức)
x x0
2
ax Bx C 0 (2)
●(C) và (C/) cắt nhau tại 3 điểm pb
Pt (1) có 3 nghiệm pb
Pt (2) có 2 nghiệm pb khác x0
a 0
0
ax 2 Bx C 0
0
0
●(C) và (C/) cắt nhau tại 1 điểm (Xét a=0)
Pt (1) có 1 nghiệm pb
Pt (2) VN hoặc có nghiệm kép = x0
a 0
a 0
hoặc 0
0
ax2 Bx C 0
0
0
●(C) và (C/) cắt nhau tại 2 điểm pb(Xét a=0)
Pt (1) có 2 nghiệm pb
Pt (2) có 2 nghiệm pb mà 1 n0= x0 hoặc có n0 kép
khác x0
a 0
a 0
hoặc 0
0
ax 2 Bx C 0
ax2 Bx C 0
0
0
0
0
**Nếu pthđgđ không phân tích đƣợc hoặc có đk đối với
nghiệm phức tạp thì biến đổi về dạng g(x)=m rồi lập BBT
+Pt (1) là pt có dạng: ax4+bx2+c=0(1)
Đặt t = x2 ĐK : t 0
Pt (1) trở thành : at2+bt+c=0(2)
●(C) và (C/) cắt nhau tại 4 điểm pb
Pt (1) có 4 nghiệm pb
Pt (2) có 2 nghiệm dƣơng pb
0 S - b
a
S 0
P 0 P c
a
/
●(C) và (C ) cắt nhau tại 3 điểm pb
Pt (1) có 3 nghiệm pb
Pt (2) có 1 nghiệm dƣơng và 1 nghiệm =0
(c=0:pt có nghiệm =0
c 0 S>0: số 0 + số dƣơng >0
S 0
●(C) và (C/) cắt nhau tại 2 điểm pb (Xét a=0)
12
Pt (1) có 2 nghiệm pb
Pt (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc nghiệm kép dƣơng
0
P 0 hoặc
S 0
●(C) và (C/) không có điểm chung (Xét a=0)
Pt (1) VN
Pt (2) VN hoặc có 2 nghiệm âm
0
a 0
hoặc S 0
0
P 0
MỘT SỐ T/CHẤT HÀM TRÙNG PHƢƠNG
*Hs luôn có ctrị nếu a 0 hoặc b 0
*Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
MỘT SỐ T/CHẤT HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
* Đồ thị (C)nhận giao điểm I của 2 tiệm cận làm tâm đối
xứng
*Không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua I
*Hai tt’ của (C) không bao giờ vuông góc nhau
*Hai tt’ ssong của (C) có các tiếp điểm đối xứng nhau
qua I
*Gọi M là 1 điểm tùy ý thuộc (C), A, B là giao điểm của
tt tại M và 2 tiệm cận thì:
_M là trung điểm AB
_Tam giác IAB có dtích không đổi
_Tích các khoảng cách từ M đến 2 tcận khôg đổi
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KSHS
1) Bài toán 1: Giải pt, bpt, hpt:
Cách 1: *Chuyển pt về dạng : f(x)=k
*Xét hs y=f(x). Cm hs đơn điệu
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
Cách 2: *Chuyển pt về dạng : f(x)=g(x)
*Xét hs y=f(x) và y=g(x). Cm hs y=f(x) đồng biến và
y=g(x) nghịch biến
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
Vd: Gpt: 1 x 1 x 2 x 3 6 x
Chú ý Hs y=ax4+bx2+c tƣơng tự
Vd: Cho hs y=2x3-3(m+1)x2+6mx+m3. Tìm m để hs có
CĐ, CT và :
a) Khoảng cách giữa 2 điểm CĐ, CT là 2 (m=0 hoặc
m=2)
b) Hai điểm CĐ, CT tạo với C(4; 0) 1 tam giác vuông
tại C (m=-1)
Vd: Tìm m để hs y=mx4+(m−1)x2+1−2m có 1 điểm ctrị.
3)Bài toán3: Lập pt đƣờng thẳng đi qua các điểm ctrị của
đồ thị hs y=ax3+bx2+cx+d:
Cách 1: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số nguyên hoặc hữu
tỉ thì làm theo cách thông thƣờng
Cách 2: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số vô tỉ hoặc chứa
tham số thì tọa độ các điểm ctrị hs thỏa hệ
y 0
đƣờng thẳng y=h(x) đi qua
y f ( x) y g ( x) h( x)
các điểm ctrị
4)Bài toán4: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm 2 điểm A, B đối
xứng nhau qua đt d : ax+by+c=0
AB d
Cách 1: YCĐB
trung diem I cua AB thuoc d
Cách 2: *AB d pt đt AB có dạng bx−ay+m=0
*Viết pt hđ gđ của (C) và AB
*Tìm đk để (C) cắt AB tại 2 điểm pb
*YCĐB trung điểm I của AB thuộc d
5)Bài toán 5: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm 2 điểm A, B đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
*Gọi M(x0; y0), M’(−x0; −y0 )
y 0 f ( x0 )
*M, M’ (C )
y 0 f ( x 0 )
Ta đƣợc f(x0)+f(−x0)=0
6)Bài toán 6: Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của (H):
x 1
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
y
x 1
a2
b2
Gọi A(1−a;
), B(1+b;
) là 2 điểm tùy ý trên
a
b
(H)
2
2)Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số dể hs
y=ax3+bx2+cx+d có các điểm cực trị thoả đk K :
* TXĐ D=R Tính y’
*Hs c ó CĐ, CT y’=0 có 2 nghiệm pb
a 0
0
x1 x2
Khi đó y’=0 có 2 nghiệm pb thỏa
(đl Viet)
x1 x2
*Chia đa thức y cho y’ : y=y’.g(x)+h(x) y1=h(x1) và
y2=h(x2) Vậy các điểm ctrị là (x1; y1), (x2; y2) ( cũng có
thể tính y1=f(x1) và y2=f(x2) )
*Xét đk K
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
1 1
Ta có AB =(b+a) + 4 16
a b
a b
a b 2
Do đó MinAB = 4 khi
2
a b 2
(ab) 4
2
2
7)Bài toán7: Tìm m để đt d: y=mx+1 cắt (H) y
x 1
tại
x 1
2 điểm trên 2(hoặc 1) nhánh của (H)
HD: Pt hđ gđ có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1<1
1 x x )
1
2
CÔNG THỨC L Y THỪA
13
0
*a =1
* a
* am. an =
*
* (a. b)n = an . bn
*(
* am. an =
*
*(
)
n
1
=
a
=
*Bpt mũ cơ bản : ax > m x > logam (a>1, m > 0)
ax > m x < logam (0
Các trƣờng hợp a x m , a x m , a x m giải tƣơng tự
*Cùng cơ số : af(x)>ag(x) f(x) > g(x) (a > 1)
af(x)>ag(x) f(x) < g(x) (0 < a < 1)
*Các PP đặt ẩn phụ, lôgarit hóa, dùng tính đơn điệu
tƣơng tự.
PT, BPT LÔGARIT
●PT LÔGARIT: Cho 0 a 1
*Cơ bản logaf(x) = m f(x) = am
*Đƣa về cùng cơ số: logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x)
*PP đặt ẩn phụ : Biến đổi các lôgarit về dạng logaf(x)
t
Nếu đặt t = logaf(x) thì loga2 f ( x ) = t2 , loga n f ( x ) ,
n
log f ( x ) a = 1/t, ...
*PP dùng tính đơn điệu của hs:
♦Nhẩm và chứng minh x0 là nghiệm của pt
♦C/m x > x0 và x < x0 không là nghiệm pt
♦Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0
●BPT LÔGARIT : Cho 0 a 1
*Bpt lôgarit cơ bản :
+Với a > 1 : logaf(x) > m f(x) > am
f ( x) am
+Với 0 < a < 1 : logaf(x) > m
f ( x) 0
n
=
)
=
=
= (an)m
n
1
* m an a m
VD: a a 2
*am>an m>n ( a>1)
*am>an m
CÔNG THỨC LOGARIT
*
log a b
0 a 1
xác định
b 0
*
= c b = ac
*
= 0 ; 4)
*
*
(
(
*
( )=
*
=
*
*
*
=1
)=b
)=
.
*
=b
*
Các trƣờng hợp logaf(x) m, logaf(x) m, logaf(x) m
giải tƣơng tự
*Cùng cơ số :
f(x) g(x)
logaf(x)> logag(x)
(a > 1)
g(x) 0
=
=
=
hay
.
=1
=
* log10 x log x lg x ; log e x ln x
*logab > logac b > c ( a > 1)
*logab > logac b < c ( 0 < a < 1)
PT, BPT M
●PT MŨ : Cho 0 a, b 1
*Pt mũ cơ bản : ax = m x = logam (m > 0)
Pt ax = m VN m 0
*PP đƣa về cùng cơ số : af(x) = ag(x) f(x) = g(x)
*PP đặt ẩn phụ : Biến đổi các lũy thừa về dạng af(x)
Nếu đặt t = af(x) thì a2f(x) = t2 , a f(x) = 1/t, ...
*PP logarit hóa : af(x) = bg(x)
logaaf(x) = logabg(x) f(x) = g(x)logab
*PP dùng tính đơn điệu của hs:
♦Nhẩm và chứng minh x0 là nghiệm của pt
♦C/m x > x0 và x < x0 không là nghiệm pt
♦Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0
●BPT MŨ : Cho 0 a, b 1
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
f(x) g(x)
logaf(x)> logag(x)
(0 < a < 1)
f(x) 0
*Các PP đặt ẩn phụ, lôgarit hóa, dùng tính đơn điệu
tƣơng tự.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
* f ( x)dx F ( x) C F ( x) f ( x)
* x’=1 –> dx x c
*/ (kx) / = k –>
kdx kx c
x
.x
*
1
–> x dx
x 1
c
1
1 (ax b) 1
c
–> ax b dx .
a
1
1
1
*/ 2 –>
x
x
1
x2
1
c
x
14
dx
(ax b) 2
–>
sin 2 ax bdx a cotax b c
1 1
c
a ax b
1
1
ln cos x tan x tan x.dx ln cos x C
ln sin x cot x cot x.dx ln sin x C
'
2
x x c ->
3
3
2
ax bdx
ax b c
3a
*
x dx
x 2
*
1
–>
x
'
1
dx 2 x c
x
1
2
dx
ax b c
a
ax b
–>
ln x x 2 k
dx
'
1
x2 k
ln x x 2 k C k 0
x k
ĐỊNH NGHĨA TÍNH PHÂN
2
b
f x dx F x
F b F a
b
a
a
*/ ln x
1
–>
x
1
xdx ln x c
e
–>
–>
ax b
e dx
a
*/ a x
–>
x
a
bx c
x
e
x
dx e x c
1 ax b
e
c
a
ln a –>
x
a dx
ax
c
ln a
1 a bx c
dx
C
b ln a
1
sin
ax
b
dx
cosax b c
a
* sin x cos x –> cos xdx sin x c
–>
cosax b dx
* (tanx)’ =
1
sin ax b c
a
= 1 + tan2x
a
udv uv a vdu
b
b
a
sin ax b
sin ax b
dv cosax b dx v cosax b dx
e ax b
e ax b
ax b
Dạng P ( x )e
dx cũng có thể giải bằng pp đồng
nhất thức.
* Dạng 2: P x ln( ax b)dx
* cos x sin x –> sin xdx cos x c
–>
b
sin ax b
*Dạng 1:
P x cosax b dx
e ax b
Đặt u = P (x) du P ( x )dx
1
1
dx ln ax b c
–>
ax b
a
*/ e x
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1
cos 2 xdx tgx c
Đặt u = ln(ax+b)
dv Px dx
a
dx
ax b
v P ( x )dx
Dạng 3: x m ln n xdx
n ln n1 x
dx
Đặt u = ln x du
x
x m 1
m
dv=x
v
m 1
Dạng 4: Truy hồi: e ax b sin( cx d )dx
n
Hoặc
1
1
cos 2 ax bdx a tgax b c
e
ax b
cos(cx d )dx
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
b
* (cotx)’ =
= – (1 + cot2x)
1
sin 2 xdx cot x c
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
du
f u( x ).u ( x )dx
a
với =u(a), =u(b)
f ( u)du
TÍCH PHÂN hàm phân thức hữu tỉ
* Bậc tử >= bậc mẫu –> chia đa thức
15
1 1
1
x a x b b a x a x b
1
1 1
1
* 2
2
2a x a x a
x a
1
*
* Với m > n
(ax b) n
cx d
m
*
*
x ax
Am
A1
A2
...
2
cx d (cx d )
(cx d ) m
dx
n 1
b
x 2 m 1 dx
1 x
2 m2
Nhân tử, mẫu cho xn
x2
2
1 x
m
1 x
2 2
x2
1 x2
x2 1
dx Chia tử,mẫu cho x2
* 4
x 1
TÍCH PHÂN hàm lượng giác
sin
m
n
xdx = sin n1 x sin xdx
Đặt u =sinn-1x, dv=sinxdx–> dx hoặc
x cosn xdx
u ax b
ax b
ax b
sin 2 x dx, cos2 x dx : dv 12 hay 12
sin x
cos x
dx
Dạng 9:
2
a sin x b sin x.cos x c.cos 2 x
Chia tử, mẫu cho cos2x. Đặt t = tanx
TÍCH PHÂN hàm vô tỉ
Dạng 1:
x
m n
Dạng 2:
dx
dx
hoặc
ax b ax c
ax b ax c
cos x m le
*Nếu m hoặc n lẻ : đổi biến số, đặt t
sin x(n le)
Dạng 2:
f (sin x) cos xdx Đặt t = sinx
f (cos x ) sin xdx Đặt t = cosx
f (tan x )
cos 2 x dx Đặt t = tanx
f (cot x )
sin 2 x dx Đặt t = cotx
Dạng 3: sin( ax b). sin( cx d )dx
Dạng 5 :
dx
dx
hoặc
:nhân tử, mẫu cho sinx
sin x
sin 3 x
dx
dx
cos x hoặc cos 3 x :nhân tử, mẫu cho cosx
Dạng 5: tanm xdx
x
dx
dx
Dạng 6:
hoặc
2k
sin x
cos 2 k x
k 1
1
1
1
1 cot 2 x
,
tƣơng tự
2k
2
sin x sin x
cos 2 k x
Dạng 7: Tính sin n xdx hoặc cosn xdx bằng pp truy
hồi:
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
a 2 x 2 dx Đặt x=asint t ;
2 2
a 2 x 2 dx Đặt x=atant t ;
x 2 a 2 dx Đặt x=a/cost t 0; \
n
1
2 2
2
dx
1
( x n 1) n x n 1 : ( x n 1) n x n 1 =
n1
n
1
=
x n1 x n 1
n1
n
1 n. x ( n1)
=
n 1
n
n
x 1 n
–n
Đặt t=x +1
MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
n
2
*
Dạng 4:
tanmx = tanm-2x(tan2x+1)–tanm-2x–> tanx hoặc tan2x
ax m 1 b
n
1
sin( ax b).cos(cx d )dx
cos(ax b).cos(cx d )dx
Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng
ax m1 bdx Đặt t =
Nhân tử, mẫu cho lƣợng liên hợp.
dx
Dạng 3:
Đặt t = x+ x 2 k
2
x k
Dạng 4:
*Nếu m, n chẵn: hạ bậc
sin xdx
Dạng 8:
2 xdx
Đặt t =
Dạng 1:
sin
sin x
sin n x cos n x dx hoặc
0
cos n x
sin n x cos n x dx
0
2
a
*
f ( x )dx 0 nếu f(x) là hàm lẻ
a
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx nếu f(x) là hàm chẵn
a
0
1
*
n x x
1 2 x e dx 0
2
0
* Phối hợp đổi biến và từng phần: VD
sin
e dx , ln( x
sin(ln x)dx
2
ax b
2
x )dx ,
x tan
ax bdx ,
xdx ,
BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
16
1
1
x 1
x2
* 4
Đặt t x
2
2
x 2x 1
x
1
x 4
x
1
1 2
1
x2 1
x
* 4
Đặt t x
2
x 1
x
1
x 2
x
u P( x)
P( x).Q( x)
*
Đặt
Q( x)
Q( x)
dv Q( x) dx
1
2
Vd:
x
x
2
2
x
1
2
x.x
2
u ln(sin x)
ln(sin x)
*
Đặt
dx
2
cos x
dv cos2 x
Đổi biến số đặc biệt:
a
2
f ( x)dx Đặt x = 2 t
f ( x)dx Đặt x =−t
a
0
2
0
0
f ( x)dx Đặt x = t f ( x)dx Đặt x = 2 t
b
f ( x)dx Đặt x= a+b−t
a
1
2
2
Vd:
*
1 sin x
ln 1 cos x dx
0
1
1
sin[( ax b) sin( ax c)
sin( ax b).sin( ax c) sin( b c) sin( ax b).sin( ax c)
*
1
1
,
ttự
sin( ax b). cos(ax c) cos(ax b). cos(ax c)
*PP trên cũng áp dụng đƣợc đvới dạng
1
1
1
sin x sin cos x cos sin x cos
1
1
*
(sin x cos x) sin x (1 cot x) sin 2 x
1
sin x sin( x a)
*
tan x tan( x a) cos x cos(x a)
cos x cos(x a) sin x sin( x a)
1
cos x cos(x a)
cos a
1
cos x cos(x a)
1
1
1
*
a sin x b cos x
a 2 b 2 sin( x )
*
a sin x b cos x A(c sin x d cos x) B(c sin x d cos x)
c sin x d cos x
c sin x d cos x
(dùng đồng nhất thức)
1
1
1
*
2
2
2
2 1 cos(x )
a sin x b cos x a b
a b
a sin x b cos x c
*
a sin x b cos x c
asinx+bcosx+c=A(a’sinx+b’cosx+c’)+B(a’cosx−
b’sinx)+C
1
1
1 cot2 x 1
* 3
cot x sin 2 x
sin x cos x sin 4 x cot x
1
1
1
3
3
tan x cos2 x
sin x cos5 x 3 tan x cos6 x
u x
x
*
Đặt
dx
2
cos x
dv cos2 x
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
1
0
1
cos x
cos x
cos x
1 e x 1 dx 1 e x 1 dx 0 e x 1 dx
1
*xtan2x= x
1
2
cos
4
4
2
1 x
x x 1 x2
1
x2
*
1 x 6 ( x 2 1)( x 4 x 2 1) x 2 1 x 6 1
sin x cos x
sin x cos x
*
3 sin 2 x
4 (sin x cos x) 2
* x cos4 x sin 3 xdx Đặt t= −x
0
2
* sin(sin x ax)dx Đặt t=2 −x
0
1
Đặt t x a x b
( x a)( x b)
*
1
0
1
a
0
a
sin x
sin x
sin x
dx 2
dx 2
dx Đặt x=−t
* 2
x 1
x 1
x 1
1
1
0
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dx x
dx x
dx Đặt x=−t
x
a
1
a
1
a
1
a
a
0
(f(x) là hs chẵn)
b
b
ab
f ( x)dx Đặt t=a+b−x
* xf ( x)dx
2
a
a
(f(a+b−x)=f(x))
*
b
*f(a+b−x)=−f(x) thì
f ( x)dx 0
a
4
Vd:
ln(1 tan x)dx
0
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
*Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=f(x), y=g(x), x=a, x=b.
b
S f ( x ) g ( x ) dx
a
17
Chú ý: 1) Xét phƣơng trình có nghiệm là hoành độ giao
điểm của 2 đƣờng y=f(x), y=g(x):
f(x)=g(x) h(x)=f(x)–g(x)=0 (1)
*Nếu phƣơng trình (1) VN trên (a; b):
b
S h( x ) dx
a
b
h( x )dx
a
*Nếu phƣơng trình (1) có 1 nghiệm c (a; b):
b
S h( x ) dx
a
c
h( x )dx h( x )dx
c
*Nếu phƣơng trình (1) có 2, 3,...nghiệm (a; b):
Giải tƣơng tự.
* Dựa vào đồ thị: f(x)–g(x)>0 x a; b nếu đthị hs
y=f(x) “nằm trên” đthị hs y=g(x) trong (a; b)
II)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đƣờng: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b
một vòng quanh trục Ox
b
V f ( x ) dx
2
SỐ PHỨC
*Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a + bi
với a, b R và i2 = -1.
a a
*Hai số phức bằng nhau: a+bi=a/+b/i
b b
*Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức a+bi đƣợc biểu diễn bởi điểm M(a;b). Trục
Ox còn gọi là trục thực, Oy là trục ảo.
*Phép cộng, trừ số phức:
(a bi) (a bi) (a a) (b b)i
*Phép nhân số phức: (a+bi).(a/+b/i) Nhân phân phối,
chú ý i2 = -1.
*Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a-bi
*Môđun của số phức z a bi a 2 b 2
*Một số hằng đẳng thức:
(a+bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2 b2 + 2abi
(a bi)2 = a2 2abi + (bi)2 = a2 b2 2abi
(a + bi)(a bi) = a2 + b2
*Giải pt bậc 2 trên tập số phức (hệ số thực)
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
2
=b
4ac
b
> 0 Pt có 2 nghiệm thực : x1, 2
2a
b
= 0 Pt có nghiệm kép: x1 x2
2a
bi
2a
CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
* Các hệ quả của định nghĩa HSLG:
1 sin a 1
1 cos a 1
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
1
cos 2 a
1
1 cot 2 a
sin 2 a
1 tan 2 a
1
sin4a+cos4a=1–2sin2acos2a 1 sin 2 2a
2
3
sin6a+cos6a=1–3sin2acos2a 1 sin 2 2a
4
* Các góc có liên quan đặc biệt:
a/ Các góc đối nhau: a và –a
sin(–a) = –sina
cos(–a) = cosa
tan(–a) = –tana cot(–a) = –cota
b/ Các góc bù nhau: a và –a
sin( –a) = sina
cos( –a) = –cosa
tan( –a) = –tana cot( –a) = –cota
c/ Các góc phụ nhau: a và –a
2
a
< 0 Pt có 2 nghiệm phức : x1, 2
tana.cota=1
sin a cos a 0
tan a
cos a
cos a sin a 0
cot a
sin a
Hệ quả:
b
a
cosa k 2 cos a
cota k cot a
sina k 2 sin a
tana k tan a
* Các hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1
sin( –a) = cosa
2
cos( –a) = sina
2
tan( –a) = cota
cot( –a) = tana
2
2
d/ Các góc hơn kém : a và +a
sin( +a) = –sina
cos( +a) = –cosa
tan( +a) = tana
cot( +a) = cota
e/ Các góc hơn kém : a và +a
2
2
sin( +a) = cosa
2
cos( +a) = –sina
2
tan( +a) = –cota
cot( +a) = –tana
2
2
* Công thức cộng:
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
cos(a b) = cosa.cosb
cosa.sinb
tan a b
tan a tan b
1 tan a.tan b
* Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
tan 2a
2 tan a
1 tan 2 a
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a–1 = 1–2sin2a
* Công thức hạ bậc:
1 cos 2a
1 cos 2a
sin 2 a
cos2 a
2
2
1 cos 2a
tan 2 a
1 cos 2a
* Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
ab
sin a sin b 2 sin
cos
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
sin
2
2
18
ab
ab
cos
2
2
ab
ab
cos a cos b 2 sin
sin
2
2
sin(a b)
tan a tan b
cos a . cos b
( )⇔
* Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
sin a . sin b cosa b cosa b
2
1
sin a . cos b sina b sina b
2
1
cos a . cos b cosa b cosa b
2
* Công thức nhân ba:
sin3a=3sina−4sin3a cos3a=4cos3a−3cosa
3tan a tan 3 a
t an3a
1 3tan 2 a
* Công thức hạ bậc ba:
3sin a sin 3a
3cos a cos3a
sin 3a
cos3 a
4
4
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
u v k 2
sin u sin v
u v k 2
cos u cos v u v k 2
tan u tan v u v k (cosu hay cosv 0 )
cot u cot v u v k (sinu hay sinv 0 )
(Nếu v là hằng số thì không cần đk)
* Các trƣờng hợp đặc biệt:
sin u 1 u k 2
sin u 1 u k 2
2
cos u 1 u k 2
cos u 1 u k 2 cos u 0 u k
2
sin u 0 cos u 1
cos u 0 sin u 1
*Gộp nghiệm:
k 2
x m .n
k 2
x
m .n
k
2
x
m
x
√
√
√
⇔
sin a cos a 2 sin a 2 cos a
4
4
sin a cos a 2 sin a 2 cos a
4
4
2
sin u 0 u k
a 2 b2
Chia 2 vế cho
cos a cos b 2 cos
k 2
có m điểm biểu diễn cách đều trên Đtròn
m
lƣợng giác với 1 trong m điểm là .
VD: x k có 2 điểm bdiễn đối xứng qua gốc O
với 1 trong 2 điểm là
⇔
(
)
(Gọi √
√
√
)
PT ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐV SINU, COSU
Dạng: asin2u+bsinucosu+ccos2u=d (1)
Cách giải: Nếu cosu=0(sinu=±1) thỏa pt (1) thì
là nghiệm pt
Xét cosu≠0 Chia 2 vế cho cos2u
( ) ⇔atan2u + btanu + c =d(1+tan2u)
* Pt đẳng cấp bậc 3, 4 đối với sinx, cosx giải t/tự
PT ĐỐI XỨNG(PHẢN XỨNG)
Đ/V SINX, COSX
A(sinx cosx) + Bsinxcosx + C = 0
Đặt t sin x cos x 2 sin x
4
t 2 1
ĐK: t 2
sin x cos x
2
2
Chú ý: tan x cot x
tan x cot x 2cot 2 x
sin 2 x
1 tan x
cos 2 x
1 tan x 1 sin 2 x
PT GIẢI BẰNG PP KHÔNG MẪU MỰC
*PP dùng tính đơn điệu của hàm số
Vd: Giải pt : 2sinx – 2cosx = cosx sinx
* PP tổng các bình phƣơng
f ( x) 0
g ( x) 0
f2(x) + g2(x) = 0
* PP Pitago:
Cho f ( x) M , g(x) N
f ( x) M
+ f(x)+g(x)=M+N
g ( x) N
f ( x) M
+ f(x).g(x)=M.N
g ( x) N
* PP đối lập : Cho f ( x) M g ( x)
f ( x) M
g ( x) M
f(x) = g(x)
sin u 1
sin u 1
hay
sin v 1
sin v 1
sinu.sinv = -1, sinu.cosv = 1 giải t/tự
* sinu.sinv = 1
PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINU, COSU
Dạng: asinu+bcosu=c (1) (a2+b2≠0)
Cách giải: ĐK a2+b2 ≥c2
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
19
MỤC LỤC
1).CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
1).CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT
1). BĐT CÔ-SI (CAUCHY)
1).CÁC BĐT ĐẶC BIỆT
1). PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI
1). PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1). ĐỊNH LÝ VIÉT
1). DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2). ĐK VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
2). DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
2). SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ
2). TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS
2). HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
3).ĐƢỜNG THẲNG TRONG MP Oxy
4). ĐƢỜNG TRÕN, ELIP TRONG MP Oxy
4).DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH.
5).HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KHÔNG CÓ TỌA ĐỘ
6).HỆ TỌA ĐỘ Oxyz
9) HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP, NHỊ THỨC
NIUTƠN
10).QUY TẮC ĐẾM-XÁC SUẤT
10).ĐẠO HÀM
10).HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
11).CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
11).TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS
11).PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
12).BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƢỜNG
13).CÔNG THỨC LŨY THỪA
13).CÔNG THỨC LOGARIT
13).PT, BPT MŨ
14).PT, BPT LÔGARIT
14).CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
15).TÍCH PHÂN
17).ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
17).SỐ PHỨC
18).CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
18).PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536
20
