Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT
HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT
HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2015

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành nhờ sự động viên giúp đỡ nhiệt tình và tạo
điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại học Tây
Bắc, các thầy cô giáo và các em học sinh trường Trung học phổ thông dân tộc
nội trú tỉnh Điện Biên, và các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán – Lý. Đồng
thời, việc hoàn thành khóa luận này đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của
các phòng ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc. Em xin được nói lời
cảm ơn sâu sắc.
Đặc biệt em xin bày tỏ lời cảm ơn tới cô giáo Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý đã
tận tình chỉ bảo và hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình
làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được các ý
kiến đóng góp, phê bình của các thầy cô giáo và các bạn đọc để khóa luận hoàn
thiện hơn.
Cuối cùng em xin kính chúc các thầy, cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc
các bạn sinh viên mạnh khỏe, thành công trong học tập.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2015
Ngƣời thực hiện
Bùi Thị Hải Yến


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn khóa luận ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 3
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận..................................................................... 3
5.2. Phương pháp điều tra quan sát ....................................................................... 3

5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................... 3
6. Cấu trúc đề tài ................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4
1.1. Một số khái niệm ............................................................................................ 4
1.1.1. Phân tích, tổng hợp...................................................................................... 4
1.1.2. Khái quát hóa .............................................................................................. 5
1.2. Vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải bài tập toán học ...... 7
1.2.1. Vai trò của phân tích trong giải bài tập toán học ........................................ 7
1.2.2. Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học ......................................... 7
1.2.3. Vai trò của khái quát hóa trong giải bài tập toán học ................................. 8
1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài tập toán học .......................................... 9
1.4. Nội dung phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit trong chương
trình môn toán Trung học phổ thông................................................................... 12
1.5. Thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong
việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học
phổ thông ............................................................................................................. 12
CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ
KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LÔGARIT .......................................................................................................... 15


2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ
thông .................................................................................................................... 15
2.1.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông .......................................... 15
2.1.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
bất phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông .................................... 22
2.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải

phương trình và bất phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông .... 30
2.2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông .................................... 30
2.2.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải
bất phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông .............................. 36
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................... 41
3.1. Mục đích thực nghiệm: ................................................................................ 41
3.2. Nội dung thực nghiệm:................................................................................. 41
3.3. Tổ chức thực nghiệm: .................................................................................. 41
3.4. Tiến hành thực nghiệm:................................................................................ 42
3.5. Kết quả rút ra từ thực nghiệm: ..................................................................... 43
KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................ 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Nhằm nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn
toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với giáo dục nước ta hiện nay.
Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung
và phương pháp dạy học. Việc nâng cao khả năng của học sinh bằng cách rèn
luyện khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa
cho học sinh trong quá trình học tập môn Toán.
Qua thực tế, ta thấy rằng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa có vai trò rất
quan trọng trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông. Phân tích, tổng hợp và
khái quát hóa được sử dụng thường xuyên trong quá trình dạy học bộ môn toán
và các bộ môn khác như lí, hóa, sinh…
Các bài toán về phương trình và bất phương trình ở phổ thông rất đa dạng,
phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp, trong đó phải kể đến phương trình
và bất phương trình mũ và lôgarit.

Tuy nhiên, việc vận dụng phân tích, tổng hợp và khái quá hóa vào giải các
bài toán về phương trình và bất phương trình chưa được quan tâm đúng mức
trong quá trình dạy học toán ở nhà trường phổ thông. Hơn nữa, do phân bố
chương trình và thời gian có hạn, trong giờ lên lớp về phương trình và bất
phương trình mũ và lôgarit, giáo viên chỉ kịp hướng dẫn cho học sinh cách giải
những dạng phương trình và bất phương trình đơn giản, ít có thời gian cho các
em thực hành. Vì vậy chú trọng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và
khái quát hóa khi giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit là việc
làm cần thiết.
Xuất phát từ lí do trên, tôi chọn khóa luận: “Rèn luyện khả năng phân
tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc
giải phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit”

1


Với khóa luận này, tôi hi vọng nó sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các
em học sinh , đặc biệt là các em chuẩn bị ôn thi Đại học, Cao đẳng, các bạn sinh
viên toán và thầy cô giáo dạy toán ở nhà trường Trung học phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa
qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit qua đó góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán trong các trường Trung học phổ
thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan như các khái niệm phân
tích, tổng hợp, khái quát hóa và vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa
trong giải toán.
Tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái
quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học

sinh lớp 12 Trung học phổ thông.
Đề suất việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa cho học
sinh Trung học phổ thông qua việc giải một số phương trình và bất phương trình
mũ và lôgarit.
Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh
Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và
lôgarit.
Các bài toán về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit trong
chương trình lớp 12 Trung học phổ thông.

2


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có
liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến cơ sở
hình thành các khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh lớp
12 Trung học phổ thông.
5.2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
Dùng phiếu điều tra kết hợp với phỏng vấn giáo viên ở một số trường
Trung học phổ thông về khả năng phân tích tổng hợp và khái quát hóa của học
sinh, để nhận định về việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát
hóa của học sinh qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit.
5.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu.
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục tài liệu tham khảo đề tài bao gồm 3

chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho
học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình
mũ và lôgarit.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Phân tích, tổng hợp
Trong quá trình giải bài tập toán học, khả năng phân tích và khả năng tổng
hợp luôn là yếu tố quan trọng giúp học sinh vận dụng kiến thức vào việc giải
toán. Các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản. Tất
cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của quá
trình phân tích, tổng hợp.
Theo G.Pôlya: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra từng phần và
tách ra từng thuộc tính khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể”. Trong giải
toán, phân tích (phép suy ngược) là phương pháp xuất phát từ cái phải tìm đến
cái đã biết, xuất phát từ cái phải chứng minh đến cái đã cho, từ giả thiết đến kết
luận. Phép suy ngược bao gồm: Suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ
như sau:
B  B0  B1  ...  Bn  A (suy ngược tiến),
B  B0  B1  ...  Bn  A (suy ngược lùi).

Ngược lại với phân tích là tổng hợp, theo G.Pôlya: “Tổng hợp là dùng trí
óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại các thuộc tính, khía cạnh riêng

biệt nằm trong cái toàn thể đó”. Trong giải toán, tổng hợp (phép suy xuôi) là
phương pháp xuất phát từ cái đã biết đến cái phải tìm, xuất phát từ cái đã cho
đến cái phải chứng minh, từ kết luận đến giả thiết. Phép suy xuôi có sơ đồ sau:
A  A0  A1  ...  An  B

Trong cả ba sơ đồ trên, A là một giả thiết, định nghĩa, tiên đề hay một
mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề phải chứng minh.
Cần chú ý rằng suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là
một phép chứng minh như suy xuôi và suy ngược lùi.
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau nhưng đồng thời lại
liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của quá trình thống nhất. Thông thường khi
4


giải toán người ta thường dùng phương pháp phân tích để tìm cách giải và dùng
phương pháp tổng hợp để trình bày lời giải.
Theo G.Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là hai động tác quan trọng của trí óc.
Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị tập trung vào điểm căn bản. Đó là trường hợp
của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trước hết phải hiểu bài toán
như một cái toàn bộ, khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những
chi tiết nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu bài toán thật sát và phân chia bài toán
thành từng bước và chú ý không đi quá xa khi chưa cần thiết”.
1.1.2. Khái quát hóa
Theo G.Pôlya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu”.
Trong “Phương pháp dạy học môn toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ
Dương Thụy có nêu rõ hơn: “Khái quát là chuyển từ một tập đối tượng sang một
tập lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm
chung của các phần tử của các tập hợp xuất phát”.

Ví dụ chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang
việc nghiên cứu những đa thức với bậc tùy ý. Chúng ta khái quát hóa khi chuyển
từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang nghiên cứu những
hệ thức lượng trong tam giác thường.
Trong hai ví dụ nói trên, khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có
tính chất khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng
cách thay hằng số 2 bởi biến số n  n    . Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa
được thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 90 độ
để nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý.
Những dạng khái quát thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn
bằng sơ đồ sau:

5


Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ
đến cái tổng quát

Khái quát hóa từ cái tổng quát
đến cái tổng quát hơn

sadffbw
Ag,sd
Khái quát hóa tới cái tổng
quát đã biết

Khái quát hóa tới cái tổng quát
chưa biết

Có hai con đường khái quát hóa: Con đường thứ nhất dựa trên cơ sở so sánh
những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa
trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau.
Là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là
cơ sở duy nhất để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực
khái quát hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học
tập, nghiên cứu khi được phát triển đến mức độ cao. Chính năng lực này sẽ giúp
mỗi con người tách cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài
liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà
thôi. Bằng con đường đó con người sẽ tiết kiệm được thời gian, sức lực của
mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phương pháp tối ưu.
Như vậy, khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ
biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp
riêng lẻ. Với ý nghĩa đó, khái quát hóa thuộc về các phép suy luận có lí nên các kết
luận được rút ra từ khái quát hóa thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán. Tuy
nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hóa có thể thu được nhờ quy
nạp hoàn toàn.
Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác
như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, hệ thống hóa,…
6


Khái quát hóa thường được sử dụng trong việc hình thành khái niệm,
chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới,…
1.2. Vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải bài tập toán học
1.2.1. Vai trò của phân tích trong giải bài tập toán học
Phân tích có vai trò rất quan trọng trong việc giải bài tập toán học. Để tìm
lời giải một bài toán cần phải trải qua bước phân tích. Quá trình phân tích sẽ
giúp ta hiểu bài toán một cách cụ thể, rõ ràng hơn. Nếu phân tích đúng hướng sẽ

giúp ta biết cách giải quyết được vấn đề.
Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

*Phân tích
Trong phương trình 1 vế trái là hàm mũ cơ số 3, vế phải là 81. Với
phương trình này ta có thể đưa hai vế của phương trình về cùng một cơ số hoặc
lôgarit hai vế của phương trình với cùng một cơ số. Ta nhận thấy phương trình
này có thể đưa vế phải về cùng cơ số 3 ta được 81  34 , khi đó phương trình đưa
về dạng a f  x  a  f  x    , từ đó giải phương trình x2  5x  4  4 để tìm
nghiệm của phương trình 1 .
1.2.2. Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học
Thông thường trong giải toán người ta dùng phương pháp tổng hợp để trình
bày lời giải một bài toán. Việc sử dụng phương pháp tổng hợp làm cho lời giải
bài toán sẽ ngắn gọn, xúc tích hơn so với việc dùng phương pháp phân tích. Tuy
nhiên, nếu ta chỉ dùng phương pháp tổng hợp để giải mà không trải qua việc
phân tích sẽ làm cho học sinh khó hiểu vậy muốn tổng hợp được ta phải trải qua
quá trình phân tích. Mặt khác phương pháp tổng hợp cho ta thấy quá trình phân
tích có chính xác không.
Phương pháp tổng hợp thường được vận dụng để trình bày các kiến thức
trong sách giáo khoa để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng. Xong giáo viên cần có
những câu hỏi gợi mở dẫn dắt để đi đến những kết luận sao cho quá trình lí luận
7


càng tự nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không đột ngột để học sinh dễ dàng tiếp
thu, lĩnh hội tri thức.
Vì vậy tổng hợp không thể thiếu trong quá trình giải toán.
Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

*Tổng hợp
Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:
3x

2

5 x  4

 3x

2

 81

5 x  4

 34

 x2  5x  4  4
 x2  5x  0

x  0

x  5

Vậy phương trình 1 có hai nghiệm: x1  0; x2  5
1.2.3. Vai trò của khái quát hóa trong giải bài tập toán học
Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa tài liệu toán học là
thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học. Góp phần quan trọng trong quá

trình phát triển tư duy cho học sinh, chẳng hạn: Khái quát hóa liên quan đến việc
phát triển các khả năng suy đoán, tưởng tượng, liên quan đến việc rèn luyện các
thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa. Nó cũng góp
phần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí cho học sinh.
Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác nhau
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự,… Khái quát hóa giúp chúng ta hình thành
khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới.
Trong giải toán khái quát hóa hay còn gọi là tổng quát hóa giúp chúng ta
khái quát các bài toán riêng lẻ thành bài toán tổng quát hơn. Để sau này khi gặp
các bài toán tương tự chúng ta sẽ dễ dàng giải hơn.
8


Ví dụ: Giải phương trình: 3x 5 x4  81 1
2

*Khái quát hóa
Từ việc giải phương trình 1 ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng
quát sau:
Giải phương trình: a f  x  b  b  0 
Nếu b đưa được về cơ số a thì:
a f  x   b  a f  x   a  f  x   

Nếu b không đưa được về cơ số a thì:
a f  x   b  f  x   log a b

1.3. Phƣơng pháp chung tìm lời giải bài tập toán học
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi
bài toán. Điều đó là ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có
trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng

dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể
và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Pôlya về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh”
của bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là
các chi tiết rắc rối. Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc
vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ
giải quyết được vấn đề gì?

9


Sau đó, cần phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát
biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có
thể dùng công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh,
khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời lời cho
đề toán.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải
bài toán. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà
chỉ có thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời
giải được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công
hơn. Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh
hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành
công, càng giải được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành
những “kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan.

Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán
nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như
chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích,...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan.
Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải
hợp lí nhất cho bài toán.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản
để đánh giá kết quả hoạt động giải toán.
10


Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách
lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng
những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình
tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi
tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào
“bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi
tiết mà ta đã trình bày trước đó.
Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác
với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và
lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bƣớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải:
Bao gồm một số việc như sau:
+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng.

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
* Những lưu ý khi dạy học giải bài tập toán học: Để dạy học giải bài tập
toán học, ta cần lưu ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình 4 bước
của G.Pôlya.

11


1.4. Nội dung phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit trong
chƣơng trình môn toán Trung học phổ thông
Phương trình và bất phương trình là một chủ đề xuyên suốt trong chương
trình toán phổ thông. Trong đó nội dung phương trình và bất phương trình mũ
và lôgarit được đưa vào giảng dạy trong chương trình giải tích lớp 12. Đây là
kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh. Nội dung kiến thức bao gồm các
nội dung cơ bản sau:
Theo chương trình cơ bản:
+ Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (3 tiết)
+ Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (3 tiết)
Theo chương trình nâng cao:
+ Bài 7: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (2 tiết)
+ Bài 8: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (2 tiết)
1.5. Thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa

trong việc giải phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit cho học sinh
Trung học phổ thông
Để tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái
quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông, chúng tôi tiến hành điều tra trên hai
đối tượng giáo viên và học sinh như sau:
a. Bảng điều tra giáo viên:
Bảng 1. Bảng điều tra giáo viên trƣờng Trung học phổ thông dân tộc nội
trú tỉnh Điện Biên:

STT Họ tên giáo viên

Tuổi
nghề

Hệ đào tạo
Thạc Đại
sĩ

1 Đỗ Lâm Tới

Trên 10
năm

2 Nguyễn Thị Huệ Trên 10
năm

Cao

học đẳng

Danh hiệu dạy giỏi

giảng dạy

cấp

Giỏi Khá

+

+

+

+
12

Chất lượng

Trung
bình

Tỉnh Huyện Trường

+

+


3 Nguyễn Thu

Loan

Trên 10
năm

4 Nguyễn Thị

Trên 10

Thường

năm

5 Vi Thị Vân

Trên 10

+

năm
6 Hà Mạnh Tuân

Dưới 10
năm

8 Nguyễn Thị

Dưới 10

Thương

năm

+

+

+

+

+

Dưới 10
năm

7 Võ Hoàng Cầm

+

+

+

+
+

+

+

+

+

+

+

+

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy nhiều giáo viên có thâm niên công tác lâu
năm nên có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Do đó, phương pháp
giảng dạy đều nắm vững. Tuy nhiên cũng có một phần nhỏ giáo viên trẻ tuổi
mới bước vào nghề, chưa có kinh nghiệm dẫn tới chưa hình thành phương pháp
và kĩ năng giải toán cho học sinh.
Về trình độ đào tạo tất cả giáo viên của trường Trung học phổ thông dân
tộc nội trú tỉnh Điện Biên đều đạt trình độ đại học trở lên, theo đúng quy định
của luật giáo dục, tay nghề tương đối vững vàng, ngoài ra còn một giáo viên
được đào tạo lên thạc sĩ.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi,
tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ
giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy.
b. Bảng điều tra học sinh

13


Bảng 2. Bảng điều tra học sinh lớp 12 Trung học phổ thông dân tộc nội trú
tỉnh Điện Biên:
Giới tính

STT

Lớp

Xếp loại học tập (môn toán)

Dân

Nam

Nữ

tộc

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

1

12C1

19

12

31

6

18

7

0

2

12C2

19

11

30

5

17

8

0

3

12C3

13

21

34

2

11

20

1

4

12C4

13

24

37

3

10

24

0

5

12C5

16

21

37

2

12

23

0

Nhận xét: Về phía học sinh qua điều tra, quan sát tôi có một số nhận định
ban đầu như sau: Các em đều là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học
tập tốt. Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập. Các em
chủ yếu là học sinh trung bình nên khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát
hóa còn nhiều hạn chế.
Qua phỏng vấn giáo viên và học sinh tôi rút ra nhận xét sau:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán hiện nay giáo viên vẫn chưa chú trọng

nhiều đến khâu phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh nhất là trong việc
giải phương trình và bất phương trình. Giáo viên chưa thực sự hiểu sự cần thiết của
quá trình phân tích, tổng hợp và khái quát một bài toán đối với học sinh.
Học sinh chưa hiểu sâu phân tích, tổng hợp, khái quát hóa là gì? Chưa nắm
được vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải toán nên chưa
biết cách áp dụng nó vào trường hợp cần thiết.
Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Rèn luyện khả năng phân tích, tổng
hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương
trình và bất phương trình mũ và lôgarit” là cần thiết và phù hợp với yêu cầu thực
tiễn.
14


CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ
KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LÔGARIT
2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc
giải phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung
học phổ thông
2.1.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc
giải phƣơng trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông
Trong mọi khâu của quá trình giải toán, khả năng phân tích và khả năng
tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức
và vận dụng kiến thức. Các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư
duy cơ bản. Tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác
nhau của quá trình phân tích và tổng hợp. Vì vậy, để rèn luyện năng lực giải
toán của học sinh phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích
và tổng hợp.
Khi giải bài toán, trước tiên phải nhìn bao quát bài toán một cách tổng thể.

Xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm… Phải
biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán
trong từng hoàn cảnh cụ thể.
Theo G.Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là hai động tác quan trọng của trí óc.
Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy. Những chi tiết quá nhiều và quá
nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩa, không tập trung vào điểm căn bản. Đó là trường
hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng. Trước hết phải tìm hiểu
bài toán như một cái toàn bộ. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem
xét những điểm chi tiết nào là căn bản. Ta phải nghiên cứu thật sát và chia bài
toán thành từng bước và chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết”.
Sau khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ, khi đã tìm được mục đích chủ
15


đạo thì phải đi vào chi tiết. Đặc biệt, nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần
thiết phải thực hiện xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát các chi tiết nhỏ hơn.
Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu
tố của nó. Chẳng hạn ta có thể tạo nên một bài toán mới dễ hơn, mà trong trường
hợp cần thiết ta có thể dùng như một bài toán phụ.
Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các trường hợp khác
nhau của nó, chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ. Giải các bài toán nhỏ
kết hợp thành bài toán lớn. Trong nhiều bài toán, đòi hỏi học sinh phải biết tách
các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó rút ra
cách giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình:



 
x

2 1 



2  1  2 2  0 1 (Đề thi đại học khối B-2007)
x

*Phân tích
Ta thấy vế trái của phương trình 1 chứa hai hàm mũ không có cùng cơ số.
Tuy nhiên ta thấy hai cơ số





2 1

2  1 có liên quan đặc biệt là:

2  1 và



2  1  1 , do đó ta có thể biểu diễn

2  1 theo

vậy ta có thể đặt ẩn phụ để giải bài toán trên.
*Tổng hợp

Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:
Nhận thấy:





2 1



2 1  1

Đặt t   2  1 điều kiện t  0 * , thì
x





x

2 1 

Khi đó phương trình 1 tương đương:
1
t 2 2
t
 t 2  2 2t  1  0

16

1
t

2  1 hoặc ngược lại. Vì


t  2  1

(thỏa mãn)
t  2  1

Với t  2  1   2  1  2  1  x  1
x

Với t  2  1   2  1  2  1  x  1
x

Vậy phương trình 1 có hai nghiệm: x1  1; x2  1
*Khái quát hóa
Từ việc giải ví dụ trên ta có thể khái quát hóa việc sử dụng một ẩn phụ để
chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ. Ta lưu ý
các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
 Với phương trình  k akx   k 1a k 1 x ...  1a x  0  0
Khi đó đặt t  a x điều kiện t  0 , ta được:  k t k   k 1t  k 1 ...  1t  0  0
 Với phương trình  k akf  x   k 1a k 1 f  x ...  1a f  x  0  0
Đặt t  a f  x , điều kiện t  0 . Khi đó: a2 f  x  t 2 , a3 f  x  t 3 ,..., akf  x  t k
 Với phương trình 1a x   2b x  3  0 với a.b  1
1

t

Khi đó đặt t  a x , điệu kiện t  0 suy ra b x  ta được:
1t 

2
t

 3  0  1t 2   3t   2  0

 Với phương trình 1a 2 x   2  ab   3b2 x  0 khi đó chia 2 vế của phương
x

2x

x

a
a
trình cho b  0 ( hoặc a ,  ab  ), ta được: 1     2    3  0
b
b
2x

2x

x

x

a
Đặt t    , điều kiện t  0 , ta được: 1t 2   2t  3  0
b

 Với phương trình mũ có chưa nhân tử: a 2 f , b2 f ,  ab  , ta thực hiện theo các
f

bước sau:
17


-

Chia 2 vế phương trình cho b2 f  0 (hoặc a 2 f ,  ab  )

-

Đặt t    điều kiện
b

f

a

f

*Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
1. 3.8x  4.12x 18  2.27 x  0 (Đề thi đại học khối A-2006)
2. 25x  10x  22 x1
3. 4log x  6.2log x  2log 27  0

9

9

3

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3x  4x  5x 1 .
* Phân tích
Ta thấy 1 là phương trình có cùng số mũ, tuy nhiên các cơ số khác nhau
mà lại có ba cơ số, từ đó ta nghĩ đến việc tìm cách triệt tiêu một cơ số bằng cách
chia cả hai vế cho 5 x (hoặc 3x ; 4 x ). Để giải phương trình này ta chia cả hai vế của
x

x

3  4
phương trình cho 5 , khi đó phương trình 1 có dạng       1 .Sau đó ta đi
5  5
x

x

x

3  4
xét sự biến thiên của hàm số f  x        và chỉ ra nghiệm duy nhất của
5  5

phương trình.
* Tổng hợp

Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:
Chia cả hai vế của phương trình 1 cho 5 x ta được:
x

x

3
4
1        1
5  5
x

x

3  4
Xét hàm số f  x        . Ta có f  x  nghịch biến trên tập xác định R vì
5  5
x

x

4
 3 3  4
f '  x     ln    ln  0 với mọi x thuộc R.
5
5 5  5

18

Do đó :
x

x

x

x

3  4
Với x  2 thì f  x   f  2 hay       1 , nên phương trình không thể có
5  5

nghiệm x  2 .
3  4
Với x  2 thì f  x   f  2 hay       1, nên phương trình không thể có
5  5

nghiệm x  2 .
Mà ta có: f  2   1  x  2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy phương trình 1 có nghiệm duy nhất: x  2 .
*Khái quát hóa
Từ việc giải ví dụ trên ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng quát sau:
Giải phương trình dạng : a x  b x  c x  2 
Từ việc sử dụng tính chất: Nếu hàm y  f  x  đồng biến ( hoặc nghịch
biến) trong khoảng  a, b  thì phương trình f  x   k có nghiệm duy nhất trong
khoảng  a, b  , áp dụng tính chất này để giải phương trình  2  ta làm như sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f  x   k
Bước 2: Xét hàm số y  f  x  ,
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét:
Với x  x0  f  x   f  x0   k  x  x0 là nghiệm
Với x  x0  f  x   f  x0   k  phương trình vô nghiệm
Với x  x0  f  x   f  x0   k  phương trình vô nghiệm

19


*Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau:
x

1. 1  8 2  3x
2. 2log  x3  x
5

x

3. 2x  5x  29 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2.26 x  3.23 x  1  0 1 .
*Phân tích
Ta thấy vế trái của phương trình 1 chứa hàm mũ có cùng cơ số. Để ý
thấy: 26 x  23 x.23 x   23 x  nên ta có thể đưa phương trình 1 về dạng phương
2

trình bậc hai khi ta đặt 23 x làm ẩn phụ t  t  0  . Giải phương trình bậc hai theo
ẩn phụ t để tìm t , sau đó giải phương trình mũ cơ bản để tìm nghiệm của
phương trình 1 .
*Tổng hợp
Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:

Phương trình 1   23 x   3.23 x  1  0  2  .
2

Đặt 23 x  t  0 . Phương trình  2  trở thành:
2t 2  3t  1  0

t  1
  1 (thỏa mãn)
t 
 2

Với t  1  23 x  1  23 x  20  3x  0  x  0 .
1
2

Với t   23 x  21  3x  (1)  x 

1
.
3

Vậy phương trình 1 có hai nghiệm: x1  0; x2 
20

1
.
3