chuyên đề các bài toán về tam giác THPT

Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

(CÁC BÀI TOÁN ĐÃ THI ĐH TỪ 1997 ĐẾN 2008)
1)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tanA.tanB.tanC.
Hd : (26.95-A01)
- Chứng minh ABC ta luôn có tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC
-Áp dụng Cosy P = tanA.tanB.tanC = tanA+tanB+tanC 3
-Tức là : P 3
P 2 27
P 3
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tanA= tanB = tanC
Tức là MinP = 3

Đạt được khi ABC đều

+ cot + cot

2)Chứng minh trong tam giác ta luôn có : cot

+ tan + tan )

3( tan

(*)

Hd : (27.96-A97)

+ cot + cot = cot .cot .cot

- Chứng minh được trong tam giác ta luôn có: cot
- Gọi x = cot

y = cot

z = cot

thì x,y,z

(1)

0 và (1) trở thành : x + y + z = xyz

(1’)

Do đó, đpcm (*)

3(

x+y+z
2

(x + y + z)

+

+

)

xyz (x + y + z )
2

3 (xy + yz +zx)

2

2

x +y +z

xy + yz + zx (bđt đúng)

= cot

3)Các góc của tam giác thoả mãn điều kiện :

= cot

Hd : (27.97-A98) .Ta có :
cot . cot

=

cot . cot

( Dùng (1’) )

3 (xy + yz +zx)

. cot

Chứng minh ABC cân

= cot

. cot

cot = cot

…

. cot

B = C , ABC cân

4)Hãy tính các góc của tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn :

+ 3cosC + cos2C

sin2A + sin2B + 2sinAsinB =

(sinA + sinB)2 = (

Hd : (27.98-D99) Ta có (*)

+ cosC )2

(*)
sinA + sinB =

+ cosC

…..
+ sin2

=0

5)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
sin cos

cos

+ sin

cos

cos

+ sin

= sin

cos

sin

Hd : (27.99-A2000) -C/m được : tan tan
(sin cos
sin

+ sin
+ sin

cos
cos

=

cos

sin

+ tan

tan

+tan

+tan

tan

+tan

tan

) + sin (cos

cos

=1

tan

=

tan

(*)

= 1 .Do đó , đpcm (*)
)=1

- sin sin

+

+tan

1 (hoàn toàn đúng)

6)Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
tan

+ tan + tan

+ tan

tan

+ tan

tan

+ tan

tan

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

- tan

tan

tan

=1

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

Hd : (27.100-A01) .Ta có tan

+tan + tan

Suy ra đpcm tan

= tan

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

=

Hay là :

+ tan

+ tan

tan

tan

+ tan

(Nhân chéo.)

- tan

tan

tan

tan

=1

7)Tam giác ABC vuông tại A .
2n
2n
Chứng minh : b + c
a2n (*)
Với n N* và BC = a , CA = b , AB = c
Hd : (28.101-A2000) Vì ABC vuông tại A nên a
và a c , ta có b2 + c2 = a2 Do đó bđt (*)
Đúng với n = 1,dấu đẳng thức xẩy ra.Với n

b2n + c2n

)2n + ( )2n

1 thì : (

)2 + ( )2 = 1

(

a2n (đpcm)

8)Chứng minh rằng :

+ cos3 + cos3

Trong tam giác ta có : cos3
Hd : (28.106-A98) .(*)

4 cos3

- 3 cos

+ sin2

…

(bđt đúng) .Dấu bằng xẩy ra

…

+

9)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

+
+tan

tan

…

+

+

Hd : (28.108-D98) Ta có (*)

=2

+

tan

)=2

(*)

+tan

tan

+tan

(Hoàn toàn đúng .Đây là bài toán quá quen thuộc )
10)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : cos2A + cos2B + cos2C -1
Thì : sinA + sinB + sinC 1+
Hd : (29.109-A99) –Biến đổi giả thiết cos2A + cos2B + cos2C -1
cosAcosBcosC

0

cos

.Và

sinA + sinB + sinC = 2cos

Tức là ta được đpcm : sinA + sinB + sinC
11)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

ABC Thì
sin

ABC đều

=2

tan tan

ABC không nhọn . Giả sử C là góc lớn nhất của

0

=2

+
+tan

(*)

+ 4 cos3 - 3 cos + 4 cos3 - 3 cos

cosA + cosB + cosC

3 – (tan tan

+ cos + cos )

+ (cos

+ sinC

tan

=1

0

C

.1 + 1 =

2

+1

1+

+

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

+

+

+

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

Hd : (29.111-D99)
-Ta có sinA + sinB = 2cos cos

suy ra :

2cos

cos

+

- Theo Côsy :

(1)

(Vì theo (1) ở trên)

- Tương tự ta có:

+

Ta được đpcm :

+

+

và

+

.Cộng 3 bđt cùng chiều

+

+
= tan

12)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :

(*)

tan cot

Hd : (29.114-D2000) .Đẳng thức (*) có:

=…Tổng thành tích)… =

VT =

= tan

13)Chứng minh rằng trong tam giác ta có :
1/ ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)

+

2/

+

= VP

0

12

Hd : (30.119-A98).1/Ta có : ab(a+b-2c) + bc(b+c-2a) + ca(c+a-2b)
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)

tan cot

6abc

+

+

+

0
+

+

6 (bđt đúng )

(Áp dụng Côsy cho 6 số dương ở vế trái )

= 2cosA

14)Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của tam giác đó thoả mãn :
Hd : (31.124-D99)

= 2cosA

-Ta có :

…

sin(A+B) = 2cossAsinB

sin(A-B) = 0 , ABC cân tại đỉnh C

15)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn :
cot

cot

cot

-(

+

) = cotA + cotB + cotC

+

thì

ABC đều

Hd : (31.125-A99)
- Ta c/m được ABC bất kỳ ,có cot
- Lại c/m được cot

– cotA =

- Do đó : cot

cot

cot

cot

cot

= cot

+ cot + cot

.Tương tự cho góc B và góc C

-(

+

) = cotA + cotB + cotC

+

(cot – cotA) + (cot – cotB) + (cot – cotC) - (
+

+

=

+

- Ta có : sinA + sinB = 2cos
-Do đó : :

+

cos

+

+

+

…..
)=0

(*)
2cos

2

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

16)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn : sin2B + sin2C = 2sin2A .Thì A 600
Hd : (31.126-B2000) -.Ta có : sin2B + sin2C = 2sin2A
b2 + c2 = 2a2 (Suy ra từ Định lý sin )
- Ta có : a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
-Do đó : cosA =

=

(Định lý côsin trong tam giác)

=

=

suy ra đpcm : A

600

17)Chứng minh rằng nếu các góc tam giác thoả mãn :

+

+

=

thì

ABC đều

Hd : (31.127-A01)

+

- Ta có :

+
+
- suy ra VT

+

+
=

VT

Dấu bằng xẩy ra khi ABC đều.

18)Hãy tính các góc tam giác nếu các góc của tam giác thoả mãn :
Cos2A +

(cos2B + cos2C) +

= 0 (*)
+ 3sin2(B-C) = 0

Hd : (31.128-B01) Biến đỏi ,được (*)

……….
19) 1/-Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
tam giác

cosB +3(cosA + cosC) với A,B,C là ba góc của một

(sinA + sinB + sinC) +

2/-Chứng minh tam giác ABC nhọn thì:

(tanA + tanB + tanC)

Hd : (32.129-A98)
1/Ta có : P =

P

cosB +3(cosA + cosC) =
(1- 2sin2

) + 6sin

=

cos

2/Xét hàm số f (x) = sinx +

tanx - x với 0

) do đó f (x)

cosB + 6sin

-2

= ….

Suy ra MaxP =

……

Đạt được khi :

biến trong khoảng (0;

cosB + 6sin

.Vậy MaxP =
x

,Dùng công cụ đạo hàm c/m hàm số đồng

f (0) = 0 với mọi x

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

(0;

)

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

Theo giả thiết ABC nhọn ,ta có : f (A) =

sinA +

tanA - A

0

f (B) =

sinB +

tanB - B

0

f (C) =

sinC +

tanC - C

0

Cộng ba bđt trên , được:

(tanA+tanB+tanC)

(sinA+sinB+sinC) +

2sinB

A+B+C =

2sinC

20)Tam giác ABC có các góc nhọn , chứng minh (sinA)
+ (sinB)
+ (sinC)
còn đúng không khi tam giác ABC là tam giác vuông? Tại sao ?

Hd : (32.130-A99)
- Ta c/m được :sin2A+sin2B+sin2C = 2+2cosAcosBcosC .
- Suy ra ABC nhọn thì : sin2A+sin2B+sin2C 2.
-Mặt khác 0 sinA 1 và sinB 1 nên (sin2A)sinB (sin2A)1
(sinA)2sinB

2sinA

(đpcm)
2 . Bất đẳng thức

sin2A Tương tự ,có :

(sinB)2sinC

sin2B và (sinC)2sinA sin2C . Cộng ba bđt cùng chiều này ta được đpcm :
(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA
sin2A+ sin2B+ sin2C
2
0
Nếu tam giác ABC vuông ,chẳng hạn A = 90 thì :
(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA = 1+(sinB)2sinC+ sin2C 1+(sin2B)1 + sin2C = 1+ cos2C+sin2C = 2
Như vậy :trong trường hợp tam giác vuông thì bđt đã cho vẫn đúng.
21)Chứng minh rằng trong tam giác ta có : cosAcosBcosC

sin sin

(*)

s

Hd : (32.131-A2000)
- Tam giác ABC tù hoặc vuông thì hiển nhiên bđt (*) đúng

( vì khi đó cosAcosBcosC

0

sin sin

)

s

- Tam giác ABC nhọn thì cosA,cosB,cosC đều dương .

(1-cosC) = sin2

Ta có cosAcosB =
- Nghĩa là : cosAcosB

sin2

.Tương tự

cosBcosC

sin2

và cosC cosA

cùng chiều có các vế đều dương này ta được đpcm : cosAcosBcosC

sin2

.Nhân ba bđt

sin sin

s

22) Tam giác ABC với a,b,c là độ dài ba cạnh A,B,C là ba góc .Chứng minh ABC vuông tại A hoặc cân
tại A khi và chỉ khi :

=

tan

Hd : (34.134-D99) Áp dụng Định lý sin,biến đổi tổng thành tích ở vế trái .
-Ta có :

=

tan

cot

tan

=

….

.

ABC cân hoặc vuông tại đỉnh A.
23)Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c .và A’B’C’ có độ dài các cạnh là a2,b2,c2.
a/- Hãy xác định dạng của ABC
b/- So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’
Hd : (36.138-A97)
-a/Vì a2,b2,c2 là độ dài ba cạnh của A’B’C’nên

(tính chất các cạnh tam giác) .

- Từ hệ điều kiện trên suy ra ABC có ba góc đều nhọn.Vì áp dụng định lý côsin cho ABC
a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 + c2 khi cosA 0 tức là khi góc A là góc nhọn.
Tương tự,ta có : B,C cũng là góc nhọn.Vậy ABC nhọn

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

-b/So sánh góc bé nhất của ABC và góc bé nhất của A’B’C’:
Giả sử a b c
a2 b2 c2. A , A’ tương ứng là góc nhỏ nhất của ABC và A’B’C’

-

- Xét cosA – cosA’=
vì a

b

c .Như vậy cosA

= ……=

cosA’

A

0

A’

*

24 )Chứng minh nếu tam giác ABC là tam giác nhọn thì : tan8A + tan8B + tan8C
Hd : (36.140-A99)
- Từ giả thiết ABC nhọn

tanA,tanB,tanC dương,nghĩ đến bđt côsy.

9 tan2Atan2Btan2C

- Trong tam giác không vuông ta c/m được tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC
- Áp dụng Côsy có tanAtanBtanC = tanA+tanB+tanC 3
,mũ ba hai vế,
Làm gọn ta được : (tanAtanBtanC)2 27 Nhân hai vế bđt với (tanAtanBtanC)6 0 ,được
(tanAtanBtanC)8
27(tanAtanBtanC)6 Khai căn bậc 3 hai vế được :
(
)8 3tan2Atan2Btan2C .(Nhân 3 cả hai vế ,để vận dụng bđt Côsy cho ba số)
9 tan2Atan2Btan2C

tan8A + tan8B + tan8C .Như vậy ta có đpcm :

3

ABC là tam giác nhọn thì : tan8A + tan8B + tan8C

9 tan2Atan2Btan2C

25) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :

Chứng minh ABC đều

Hd : (36.141-B99)
-Giả thiết (1)

= 2sin

cos

cos2

=

-Giả thiết (2)
-Thế (2’) vào (1’)

= 4sin2

1+ cos(B-C) = 4(1 – cosA) (1’)

…..

1 + 2cossA = 4 – 4cossA

- Thế vào (2’) được cos(B-C) = 1

cos(B-C) = 2cosA

cosA =

A = 600

…..

B = C .Vậy : ABC đều

+

26) a/Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ , ta có :

+

6

b/Xác định dạng của ABC .Biết rằng : (1+cotA)(1+cotB) = 2.
Hd : (3.142-D2000)
-a/Nhân cả tử và mẫu thức mỗi hạng tử ở vế trái với 2cos

+

(*)

+
+ + + + +

+
+

6

, 2cos , 2cos

tương ứng ,được :
…..

+

+

6 đúng .Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c ,

cos(A+B) + sin(A+B) = 0

sinC = cosC

(*)
(**)

6

-b/Nhận dạng tam giác :Giả thiết (1+cotA)(1+cotB) = 2.
…

(2’)

6
ABC đều

(sinA+cosA)(sinB+cosB)=2sinAsinB
tanC = 1

…

C = 450

Như vậy : ABC có C = 450

27) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB (*)
Chứng minh ABC Là tam giác vuông.

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

Hd : (36.144-D01)
-Ta có: sin(A+B)cos(A-B) = 2sinAsinB
(1 – sinC)cos(B-C) + cosC = 0
(cos

– sin

)

(cos

– sin

)

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

sinCcos(B-C) = cos(A-B) + cosC
(cos

– sin

)2.cos(B-C) + (cos2

– sin2

)=0

=0
=0
(Trong dấu móc vuông : dương)

cos

– sin = 0

tan

=1

= 450

28) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :

vậy C = 900 , ABC vuông tại đỉnh C

+

+

+

=

+

Chứng minh ABC đều
Hd : (37.147-A2000)

+

-Theo côsy :

+

- Tương tự ,có:

chiều (1),(2),(3) ta được :

(2) và

+

=

(1)

+

(3) Cộng 3 bđt cùng

+

+

chỉ khi ở cả ba bđt (1),(2),(3) đều xẩy ra dấu bằng

…

+

Dấu bằng xẩy ra khi và

ABC đều .

29) Tam giác ABC có các cạnh và các góc thoả mãn đều kiện : c2sin2A + a2sin2C = b2cot
Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.
Hd : (38.154-A01)
VT = c2sin2A + a2sin2C = … =
= 4R2
= 2sin2

.sin(A+C) = 8R2 cos2

4R2

sinB = 8R2

Như vậy với ABC bất kỳ ta có : c2sin2A + a2sin2C
=1

=

sin2B = 2b2
b2cot

b2cot

= VP

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

A = C Tức là ABC cân tại đỉnh B .

30) Tam giác ABC có các cạnh và cácgóc thoả mãn đều kiện : bc = R
. (*) Trong đó
a,b,c là độ dài ba cạnh và R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh ABC đều
Hd : (39.156-A97) –Định lý sin trong tam giác .
(*)

2sinB

=0

ABC đều

31) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : sin

cos3

= sin

cos3

(*)

Chứng minh ABC cân
Hd : (39.158-A99) –Chia hai vế của (*) cho cos3 cos3

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

, chú ý

= 1 + tan2

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

-Ta có (*)

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

(tan

)(1+ tan

+ tan

2

– tan

0985128747

+ tan

2

tan

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

)=0

tan

– tan

A=B

ABC cân tại đỉnh C

=

32) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

(*)

Hd : (39.160-A01) .
-Ta có (*)
( a2 – b2 ) sin (A+B) = (a2+ b2 )sin (A-B)
2

2

2

(1)

2

2

-Đẳng thức (1) có VT = ( a – b ) sin (A+B) = 4R (sin A – sin B)sin(A+B) = … = c2sin (A-B)
-Thay vào (1) được : c2sin (A-B) = (a2+ b2 )sin (A-B)

33*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =

Trong đó A,B,C là ba góc ABC

Hd : (40.162-A98)

+1=

Ta có M +1 =

=

=

=

=

= 4 .Như vậy : M+1

4

M

…

Dấu bằng xẩy ra ,tức là M đạt giá trị lớn nhất khi :

3.

ABC đều

Như vậy MaxM = 3 đạt được khi ABC đều
34) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện : 2cosAsinBsinC +

(sinA+cosB+cosC) =

(*)

Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh

=

Hd : (40.163-A99)-Thay cosA =
sin2A+sin2B+sin2C +

,Ta có

(*)

…

(sinA+cosB+cosC) =

2-

-

+

+

Như vậy ABC cân tại đỉnh A và A

=

…

=0

.

35) Tam giác ABC có các góc thoả mãn đều kiện :
Hãy xác định hình dạng của tam giác đó.Chứng minh
Hd : (40.164-A2000)- Để ý : trong khoảng (0; ) Hàm số sin đồng biến và hàm số cosin nghịch biến
- Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế rồi cộng (-1) vào mỗi vế được :
B = C vì nếu B

=

(*)

C thì ở (*) không xẩy ra dấu bằng (dấu hai vế khác nhau)

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

…

-Thay B =C vào (1) : sinB =
A=

Vậy : B = C =

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *
2

(

=0

B=

Như vậy Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A.

36) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và diện tích S thoả mãn : S = (c + a - b)(c + b – a) .
Chứng minh : tanC =
Hd : (40.165-A01) .Sử dụng giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) , S =
Định lý cosin trong tam giác c2 = a2 + b2 – 2bccossC để giải bài toán này
-Từ giả thiết S = (c + a - b)(c + b – a) suy ra S2 = 16(p - a)2(p – b)2
- Ta có : tan2

=

=

(1)

= …=

(2)

= . Do đó tanC =

- Từ (1) và (2) suy ra tan

=…=

đpcm.

37) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các đường trung tuyến tương ứng :ma,mb,mc ..Chứng minh rằng

=

ABC đều nếu ta có :

=

Hd : (41.166-D01).

-

Dùng công thức trung tuyến: ma2 =
-Ta có : m2a – m2b = … =
- Nếu ma

mb ,thì từ giả thiết :

,tính chất dãy tỷ số bằng nhau để giải bài toán này

suy ra (m2a – m2b)(a2 – b2)

=

=

0

(ma – mb)(a – b)

=

0

0

(1)
(2)

-Từ (1) và (2) suy ra : a = b .Lập luận tương tự ,có b = c .Vậy ABC đều
38) Tam giác ABC có các cạnh a,b,c và các góc thoả mãn :
Chứng minh ABC đều
Hd : (44.172-B2000)

+1=

-Bình phương hai vế của (1) ,làm gọn được :

sin(A-C) = 0

A=C

-Giả thiêt :

+1

a=c

…

b = 2acossC

(3)
…

a=b

(4) .Từ (3) và (4)

ABC đều

39) Chứng minh ABC bất kỳ ,với a,b,c là độ dài các cạnh , p là nửa chu vi .Chứng minh rằng :
+
+
Hd : (45.174-B98)
-Chứng minh :
+
+

Bình phương hai vế , được điều hiển nhiên.
-Chứng minh :
+
+
Thì áp dụng bđt BunhiaCopxky
2
Ta có : (
+
+
3(p - a + p - b + p - c) = 3p
+
+
.
40) Tam giác ABC thoả mãn :

=

(*) .Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh

p là nửa chu vi và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác .Chứng minh ABC đều
Hd : (45.176-B01) -Dùng Đlý sin trong tam giác.

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

- Biến đổi (*)

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

9sinAsinBsinC = (sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA)(sinA+sinB+sinC)

-Áp dụng bđt Côsy : sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA 3
-Ta lại có : sinA + sinB + sinC 3
-Nhân hai bđt cùng chiều có các vế dương (2) và (3) được :
(sinA + sinB + sinC)(sinAsinB+ sinBsinC + sinCsinA) 9sinAsinBsinC
Từ (1) và (4) suy ra : sinA = sinB = sinC , ABC đều. Đây là đpcm

(1)
(2)
(3)
(4)

********************************************************************************
Trên đây là 40 bài toán Trong Tam giác-Đây là những bài đã thi Đại học từ 1997 đến 2008.Tôi đã
biên tập, ghi lại ngắn gọn Hướng dẫn giải.Mong sao giúp các em học sinh ôn tập tốt mảng kiến thức
này.Tất cả có 80 bài toán Trong tam giác đã thi từ 1997 đến 2008 tôi soạn thành hai phần :Phần I có
40 bài – Gửi lên Violet ngày 17 tháng 05/2009 .Đây là 40 bài phần II.Bạn đồng nghiệp nào cần 40
bài phần I thì xin mời vào trang cá nhân Trần Đức Ngọc để download .Xin mời các bạn ghé thăm.
(Địa chỉ

http://violet,vn/ducngoct/ )

TRẦN ĐỨC NGỌC - 0985128747 - YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆ AN - GV TRƯỜNG THPH TÂN KỲ I NGHỆ AN

********************************************************************************

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI


Chuyên đề :CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
*TRẦN ĐỨC NGỌC

YÊN-SƠN ĐÔ-LƯƠNG NGHỆ-AN

0985128747

TẤT CẢ VÌ HỌC SINH THÂN YÊU. VÌ TƯƠNG LAI ĐẤT NƯỚC.

GV: THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN *

NGƯỜI THẦY GIÁO – NGƯỜI ƯƠM CÂY ĐỜI