Các bài tập vectơ theo chu đề

Gia sư THÀNH ĐƯỢC

www.daythem.edu.vn

CÁC BÀI TẬP VECTOR THEO CHỦ ĐỀ


Gia sư THÀNH ĐƯỢC

www.daythem.edu.vn

Chủ đề 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ

VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)








a) AB  CD  AD  CB









b) AB  CD  AC  DB











c) AD  BE  CF  AE  BF  CD



VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :






a) AN  BP  CM  O









b) AN  AM  AP







c) AM  BN  CP  O



VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.






a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : IA  IB  2 IM .










b) Với điểm N sao cho NA  2NB . CMR với I bất kì : IA  2 IB  3IN










c) Vơi điểm P sao cho PA  3PB . CMR với I bất ki : IA  3IB  2 IP .
d) Tổng quát tính chất trên.
VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
















a) Chứng minh rằng AG  BG  CG  O . Với I bất kì ta có : IA  IB  IC  3 IG .

b) M thuộc đoạn AG và

MG 

1
GA .
4

CMR :

   
2MA  MB  MC  O . Với

  

2 IA  IB  IC  4 IM .

c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng :








+ AD  BE  CE  3GG1

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

I bki


Gia sư THÀNH ĐƯỢC

www.daythem.edu.vn

VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.


















a) CMR : AO  BO  CO  DO  O , Với I bất kì IA  IB  IC  ID  4 IO



b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :






a) AD  BC  2 MN











b) AC  BD  2 MN








c) Tìm vị trí điểm I sao cho IA  IB  IC  ID  O






d) Với M bất kì, CMR : MA  MB  MC  MD  4 MI



VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm A1 , A2 ,..., An .
a) Gọi

G

là

điểm

thoả

mãn

 
 
GA1  GA2  ...  GAn  O .

CMR

vơi

bki

M

:

 


MA1  MA2  ...  MAn  nMG .








b) Gọi I là điểm thoả mãn n1 IA1  n2 IA2  ...  nn IAn  O . CMR với M bất kì :





n1 MA1  n2 MA2  ...  nn MAn  (n1  ..  nn ) MI

VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC,
DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :

 
 

’ ’ ’
A ' B  k A' C, B ' C  k B ' A, C ' A  kC ' B và k  1 . CMR hai tam giác ABC và A B C cùng trọng

tâm.


Gia sư THÀNH ĐƯỢC

www.daythem.edu.vn

d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác
ANP và CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn
nội tiếp.
















a) 3OG  OA  OB  OC
d) aIA  bIB  cIC  O









b) OH  OA  OB  OC












c) 2HO  HA  HB  HC




e) TanA HA  TanBHB  tan CHC  O








f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : SBCM IA  S ACM IB  S ABM IC  O (M nằm
ngoài thì không còn đúng).
VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung
điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.


a) CMR : AK 

1  1 
AB  AC .
4
6



1  1 
4
3

b) D là trung điểm BC. CMR : KD  AB  AC

Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ
ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy
     

 

biểu diễn các véc tơ AM , AG , BC, CB1 , AB1 , MB1 qua hai véc tơ AB, AC .
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao
cho 5JB = 2JC.


Gia sư THÀNH ĐƯỢC
 

www.daythem.edu.vn

 

 

 

a) Tính AI , AJ theo hai véc tơ AB, AC . Từ đó biểu diễn AB, AC theo AI , AJ . (Nhấn mạnh cách
tìm biểu diễn)


 

b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính AG theo AI , AJ .

Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng




Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  k AC .
















Lưu ý : AB  m x  ny , AC  km x  kny thì AB  k AC

VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần
lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.


1  
3

1 
3

b) Gọi E, F thoả mãn : ME  MN , BF  BC . CMR : A, E, F thẳng hàng.

VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng
hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.




 



VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MB  3MC  O , AN  3NC ,
  1  1  1 
  
PB  PA  O . CMR : M, N, P thẳng hàng. ( MP  CB  CA, MN  CB  CA ).
2
2
4


Gia sư THÀNH ĐƯỢC

www.daythem.edu.vn


 

VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB  2 LC, MC 

1    
MA , NB  NA  O . CM : L, M, N
2

thẳng hàng.




 





VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 IA  3 IC  O , 2 JA  5 JB  3 JC  O .



a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.




c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE  k AB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng.










VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : IA  2 IB, 3JA  2 JC=O . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.

Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ
Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.












a) Nếu PB  PA  O thì P là trung điểm của AB.


b) Nếu PB  PA  PC  O thị P là trọng tâm tam giác ABC.
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của
P hay không ?






VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA  2 IB  O .







NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA  nIB  O . Với điểm O


bất kì ta có : OI 

m 
n 
OA 
OB .
mn
mn

VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :






a) MB  MC  AB (Trung điểm AC)







b) 2MA  MB  MC  O









c) MA  2 MB  MC  O




Gia sư THÀNH ĐƯỢC






d) MA  MB  2 MC  O



www.daythem.edu.vn






e) MA  MB  MC  O









f) MA  2 MB  MC  O



NX : Mở rộng với n điểm bất kì

Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ
Một số quĩ tích cơ bản :












a) MA  MB thì M nẵm trên đường trung trực của AB.

b) MC  k AB , với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.

c) AM  k BC với A, B, C cho trước.


+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BC .
+ k< 0
+ k bất kì
Dạng 1. (Bài toán hai điểm)
VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :














a) MA  MB  2 AB







b) MA  MB  AB

d) MA  MB  MA











c) MA  MB  2 MA


e) 2MA  MB  MA  MB

Dạng 2. (Bài toán 3 điểm)
VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :




 3  
 
 

 
 
MB  MC b) MA  AC  MA  MB
c) MA  2 MB  MC  MB  MC
2

a) MA  MB  MC 








d) 3 MA  2 MB  2 MC  MB  MC

