NGHIÊN cứu một số bài TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC

i

Nghiên cứu một số bài toán
nhận dạng tam giác


ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa.............................................................................................................................i
Lời cảm ơn........................................................................................................ii
Mục lục .....................................................................................................................................ii
Danh mục các từ viết tắt ..................................................................................iv
1.1.2. Định lý hàm số cosin...................................................................................4
1.1.3. Các công thức về diện tích............................................................................4
1.1.4. Định lý đường phân giác..............................................................................4
1.1.5. Công thức đường phân giác..........................................................................5
1.1.6. Định lý đường trung tuyến............................................................................5
1.1.7. Công thức đường trung tuyến.......................................................................5
1.1.8. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp ........................................................5
1.1.9. Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp.......................................................5
1.1.10. Các hệ thức lượng giác cơ bản....................................................................5
1.2. Các bất đẳng thức trong tam giác...................................................................17
1.2.1. Bất đẳng thức tam giác...............................................................................17
1.2.2. Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản............................................................17
1.3. Một số bất đẳng thức đại số...........................................................................23
1.3.1. Bất đẳng thức Côsi.....................................................................................23
1.3.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.......................................................................24
1.3.3. Bất đẳng thức Chebyshev...........................................................................24
CHƯƠNG 2......................................................................................................25
BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC.............................................................25
2.1. Nhận dạng tam giác vuông............................................................................25

2.1.1. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức...........................................................25
2.1.2. Sử dụng bất đẳng thức ...............................................................................31
2.1.3. Phương pháp thêm tham số mới..................................................................34
2.2. Nhận dạng tam giác cân................................................................................35
2.2.1. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức...........................................................36
2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức................................................................................39


iii
2.2.3. Phương pháp thêm tham số mới..................................................................43
2.3. Nhận dạng tam giác đều................................................................................45
2.3.1. Sử dụng bất đẳng thức lượng giác cơ bản....................................................45
2.3.2. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức...........................................................47
2.3.3. Sử dụng bất đẳng thức................................................................................50
2.3.4. Nhận dạng tam giác từ hệ điều kiện.............................................................52
2.3.5. Phương pháp thêm tham số mới..................................................................55
2.4. Nhận dạng tam giác trong các trường hợp khác ..............................................56
CHƯƠNG 3......................................................................................................60
CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG.................................................................................60
3.1. Các bài tập có lời giải....................................................................................60
3.1.1. Nhận dạng tam giác vuông.........................................................................60
3.1.2. Nhận dạng tam giác cân.............................................................................63
3.1.3. Nhận dạng tam giác đều.............................................................................64
3.1.4. Nhận dạng tam giác trong các trường hợp khác.............................................67
KẾT LUẬN.......................................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................75
........................................................................................................................75


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình toán học
phổ thông. Tuy nhiên khả năng đi sâu vào vấn đề này của người học còn
nhiều mặt hạn chế. Nhận dạng tam giác là một lớp bài toán trong phần hệ thức
lượng trong tam giác nói riêng và trong chương trình môn học lượng giác ở
nhà trường phổ thông nói chung. Nhận dạng tam giác là một dạng toán hay và
khó, thường gặp trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hoặc
các Kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh. Nội dung cơ bản của nó có thể
tóm tắt như sau: Cho một tam giác thỏa mãn một điều kiện nào đó (thường là
dưới dạng một đẳng thức lượng giác), chúng ta cần chỉ ra tam giác đó có đặc
điểm gì. Ngoài ra, nhận dạng tam giác còn được đưa vào như một bước trung
gian của rất nhiều bài toán. Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác là
đều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất nhiều cho việc tính
diện tích, chu vi hay các yếu tố khác trong tam giác…
Các bài tập về nhận dạng tam giác rất phong phú và đa dạng, bên cạnh
những bài toán có thuật giải còn có không ít những bài toán không có thuật
giải. Vì vậy, việc giải bài toán nhận dạng tam giác học sinh gặp không ít khó
khăn cần thiết phải có những định hướng hoặc một bước nào đó trong quá
trình giải bài toán. Từ những hướng đó học sinh cần phải có những kỹ năng
biến đổi công thức và nhận ra những dấu hiệu để đi đến lời giải cho lớp bài
toán tương tự.
Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài " Nghiên cứu một số bài toán nhận
dạng tam giác” làm khóa luận tốt nghiệp nhằm cung cấp thêm kiến thức cho
người học thể hiện ở hệ thống lại các kiến thức cơ bản, các ý tưởng và
phương pháp giải điển hình về bài toán nhận dạng tam giác.
2. Mục tiêu khóa luận
Hệ thống các phương pháp giải bài toán nhận dạng tam giác. Xây dựng
ví dụ minh họa cho từng phương pháp kèm phân tích, nhận xét làm cơ sở cho
Nguyễn Hiền

2
các bài toán tương tự. Tổng hợp các bài toán cho từng phương pháp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại kiến thức về các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác,
bất đẳng thức tam giác và một số bất đẳng thức đại số thường dùng để giải
bài toán nhận dạng tam giác.
Hệ thống các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác
đều và tam giác trong một số trường hợp khác. Dựa vào các dấu hiệu nhận
biết xây dựng phương pháp giải thông qua các ví dụ điển hình làm cơ sở cho
bài toán tự.
Tổng hợp các bài toán có lời giải cho từng phương pháp và các bài toán
không có lời giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo

•

trình có liên quan đến lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác và một số tài
liệu liên quan để giải các bài toán nhận dạng tam giác.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài

•

liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực

•

tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
•

Đối tượng: Bài toán nhận dạng tam giác.

•

Phạm vi: Sử dụng kiến thức về lượng giác, hệ thức lượng trong tam

giác và một số bất đẳng thức đại số để giải các bài toán nhận dạng tam giác.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán khi muốn tìm
hiểu về bài toán nhận nhận dạng tam giác. Góp phần rèn luyện thói quen phân
tích tìm hiểu về các vấn đề trong quá trình giải toán, phát triển kĩ năng phân

Nguyễn Hiền


3
tích, tư duy và thực hành giải toán thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy sau
này ở trường Phổ thông.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành 3 chương:
Chương 1. Một số đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài
toán nhận dạng tam giác
Trong chương 1, chúng tôi hệ thống các kiến thức cơ bản về một số
đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài toán nhận dạng tam giác.

Chương 2. Bài toán nhận dạng tam giác
Trong chương 2, chúng tôi hệ thống các bài toán nhận dạng tam giác
đưa ra các phương pháp giải cho từng lớp bài toán. Đồng thời đưa ra các nhận
xét, chú ý khi giải bài toán hay khái quát bài toán.
Chương 3. Bài tập áp dụng
Trong chương 3, chúng tôi hệ thống các bài toán mà có thể giải được
bằng cách áp dụng các phương pháp giải đã đưa ra ở chương 2.

Nguyễn Hiền


4
CHƯƠNG 1.
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG TRONG
BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC
1.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác
1.1.1. Định lý hàm số sin
Trong tam giác A BC ta có
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin A
sin A
1.1.2. Định lý hàm số cosin
Trong tam giác A BC ta có
a 2 = b2 + c 2 - 2b cos A

b2 = c 2 + a 2 - ca cos B
c 2 = a 2 + b2 - ab cosC
1.1.3. Các công thức về diện tích
Diện tích tam giác A BC được tính theo một trong các công thức sau:
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
1
1
1
S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
S =

abc
4R

S = 2R 2 sin A sin B sin C
S = pr
S = ( p - a ) ra = ( p - b) rb = ( p - c ) rc

S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )
1.1.4. Định lý đường phân giác
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện

thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Nguyễn Hiền


5
1.1.5. Công thức đường phân giác
Trong tam giác A BC ta có
2bc cos
la =

A
2,

b+ c

2ac cos
lb =

B
2 ,

a+c

C
2
a+b

2ab cos
lc =

1.1.6. Định lý đường trung tuyến
Trong một tam giác, ba đường trung tuyến gặp nhau tại một điểm được
gọi là trọng tâm của tam giác. Trên mỗi đường trung tuyến, khoảng cách từ
trọng tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ trọng tâm đến chân đường
trung tuyến.
1.1.7. Công thức đường trung tuyến
Trong tam giác A BC ta có
m a2 =

b2 + c 2 a 2
a 2 + c 2 b2
a 2 + b2 c 2
, m b2 =
, m c2 =
2
4
2
4
2
4

1.1.8. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp
Trong tam giác A BC ta có
r = ( p - a ) t an

A
B
C
= ( p - b) t an = ( p - c ) t an
2

2
2

1.1.9. Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp
Trong tam giác A BC ta có
ra = p t an

A
B
C
, rb = p t an , rc = p t an
2
2
2

1.1.10. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1.1.10.1.Các đẳng thức cơ bản của hàm số sin
Trong tam giác A BC , ta có các đẳng thức sau:
1. sin A + sin B + sin C = 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
3. sin 3A + sin 3B + sin 3C = - 4 cos

Nguyễn Hiền

3A
3B
3C
cos
cos
2
2
2


6
4. sin 4A + sin 4B + sin 4C = - 4 sin 2A .sin2B . sin 2C
5. sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C
= (- 1)k .4 cos(2k + 1)

A
B
C
cos(2k + 1) cos(2k + 1)
2
2
2

6. sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = (- 1)k + 1 4 sin kA. sin kB . sin kC
7. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A . cos B . cos C
8. sin 2 2A + sin 2 2B + sin 2 2C = 2 - 2 cos 2A . cos 2B . cos 2C
9. sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC = 2 + ( - 1)

k+1

2 cos kA . cos kB . cos kC

Chng minh:
1.Ta cú:
sin A + sin B + sin C = 2 sin

A+B
A- B
C
C
. cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2

= 2 cos

Cổ
A- B
A + Bử
ữ
ỗ
ữ
+ cos
ỗcos
ữ

ữ
ỗ
2ố
2
2 ứ

= 4 cos

A
B
C
cos cos
2
2
2

2. Ta cú:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B ) cos(A - B ) + 2 sin C cos C
= 2 sin C

ộcos(A - B ) - cos(A + B )ự
ờ
ỳ
ở
ỷ

= 4 sin A sin B sin C
3. Ta cú:
sin 3A + sin 3B + sin 3C = 2 sin
v A + B = p - C ị

ị sin

3A + 3B
3A - 3B
3C
3C
cos
+ 2 sin
cos
2
2
2
2

3A + 3B
3p 3C
=
2
2
2

ổ
3A + 3B
3p 3C ử
3C
ữ
ữ
= sin ỗ
= - cos
ỗ ữ

ữ
ỗ
2
2 ứ
2
ố2

Nguyn Hin


7
Tng t C = p - ( A + B ) ị
ị sin

3C
3p 3A + 3B
=
2
2
2

ổ
3C
3p 3A + 3B ử
3A + 3B
ữ
ữ
= sin ỗ
=
cos

ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
2
2
ố2
ứ

Do ú
sin 3A + sin 3B + sin 3C = - 2 cos
= - 4 cos

3C
2

ổ 3A - 3B
ử
3A + 3B ữ
ỗ
ữ
cos
+
cos
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2

2
ố
ứ

3A
3B
3C
cos
cos
2
2
2

4. Ta cú:
sin 4A + sin 4B + sin 4C = 2 sin ( 2A + 2B ) cos ( 2A - 2B ) + 2 sin 2C cos 2C
ự
= - 2 sin 2C ộ
ờcos ( 2A - 2B ) - cos ( 2A + 2B ) ỷ
ỳ
ở
=- 4 sin 2A . sin 2B . sin 2C
5. Ta cú:
sin(2k + 1)A + sin(2k + 1)B + sin(2k + 1)C
= 2 sin

(2k + 1)A + (2k + 1)B
(2k + 1)A - (2k + 1)B
2k + 1
2k + 1
. cos

+ 2 sin
C . cos
C
2
2
2
2

= 2 cos(2k + 1)
k

C
2

ộ
ổ
k
A- Bử
A+ Bự
ữ
ờcos ( 2k + 1) ỗ
ỳ( - 1)
ữ
+
cos
2
k
+
1
ỗ

(
)
ữ
ờ
ỗ
ữ
2 ỳ
ố 2 ứ
ở
ỷ

= ( - 1) .4 cos(2k + 1)
vỡ:

A
B
C
. cos(2k + 1) . cos(2k + 1)
2
2
2

ổ
A+B
p C
A+B
p Cử
ữ
ữ
= ị ( 2k + 1)

= ( 2k + 1) ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
2
2
2
2ứ
ố2

ị sin ( 2k + 1)

ổ
A+B
p Cử
ữ
ữ
= sin ( 2k + 1) ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố2 2 ứ
ổ
p
Cử
ữ

ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ
2
2ứ
ố

Nguyn Hin


8
ổ
Cử
ữ
= cos ỗ
ỗk p - (2k + 1) ữ
ữ
ữ

ỗ
2ứ
ố
k

= ( - 1) cos ( 2k + 1)
Tng t

C
2

ổ
C
p A- Bử
ữ
ữ
2k + 1) = ( 2k + 1) ỗ
ỗ
(
ữ
ỗ
ữ
2
2 ứ
ố2
ị sin ( 2k + 1)

ổ
C
p

A + Bử
ữ
ữ
= sin ỗ
ỗ( 2k + 1) - ( 2k + 1)
ữ
ữ
ỗ
2
2
2 ứ
ố
ổ
p
A + Bử
ữ
ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ

ỗ
2
2 ứ
ố
ổ
A + Bử
ữ
ữ
= cos ỗ
k
p
(2
k
+
1)
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2 ứ
ố
k

= ( - 1) cos ( 2k + 1)

A+B
2

6. Ta cú:
sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC = 2 sin k ( A + B ) . cos k ( A - B ) + 2 sin kC . cos kC

Li cú:
A + B = p - C ị k ( A + B ) = k p - kC
ị sin k ( A + B ) = sin ( k p - kC ) = ( - 1)

k+1

sin kC

V kC = k p - k (A + B )

(

k

)

ị cos kC = cos k p - k ( A + B ) = ( - 1) p cos k ( A + B )
ị sin 2kA + sin 2kB + sin 2kC
k

k

= 2 ( - 1) sin kC cos k ( A - B ) + 2 ( - 1) cos ( A + B ) k . sin kC
k
= 2 ( - 1) sin kC ộ
- cos k ( A - B ) + cosk ( A + B ) ự
ờ
ỳ
ở

ỷ

= (- 1)k + 1 4 sin kA . sin kB . sin kC

Nguyn Hin


9
7. Ta có:
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C =

1 - cos 2A 1 - cos 2B
+
+ 1 - cos2 C
2
2

= 2-

1
cos 2A + cos 2B ) - cos2 C
(
2

= 2 - cos ( A + B ) . cos ( A - B ) - cos2 C

= 2 + cosC

écos(A - B ) + cos(A + B )ù
ê

ú
ë
û

= 2 + cos A cos B cos C
8. Ta có:
sin 2 2A+ sin 2 2B + sin 2 2C =

1 - cos 4A 1 - cos 4B
+
+ 1 - cos2 2C
2
2

=2-

1
cos 4A + cos 4B ) - cos2 2C
(
2

= 2 - cos ( 2A + 2B ) + cos ( 2A - 2B ) - cos2 2C
ù
= 2 - cos 2C é
êcos ( 2A - 2B ) + cos ( 2A + 2B ) û
ú
ë
= 2 - 2 cos 2A. cos 2B . cos 2C
9. Ta có:
sin 2 kA + sin 2 kB + sin 2 kC =

1 - cos 2kA 1 - cos 2kB
+
+ 1 - cos2 kC
2
2

= 2-

1
cos 2kA + cos 2kB ) - cos2 kC
(
2

= 2 - cos ( kA + kB ) . cos ( kA - kB ) - cos2 kC
k
= 2 - ( - 1) cos kC é
cos k ( A - B ) + cos ( A + B ) ù
ê
ú
ë
û
k

= 2 - ( - 1) 2 cos kA . cos kB . cos kC
= 2 + ( - 1)

Nguyễn Hiền

k+1

2 cos kA . cos kB . cos kC


10
1.1.10.2. Các đẳng thức cơ bản của hàm số cos
Trong tam giác A BC ta có các đẳng thức sau:
1. cos A + cos B + cosC = 1 + 4 sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

2. cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 - 4 cos A . cos B . cos C
3A
3B
3C
sin
sin
2
2
2

3.

cos 3A + cos 3B + cos 3C = 1 - 4 sin

4.

cos 4A + cos 4B + cos 4C = - 1 + 4 cos 2A . cos 2A . cos 2C

5.

cos ( 2k + 1) A + cos ( 2k + 1) B + cos ( 2k + 1) C
= 1 + (- 1)k .4 sin ( 2k + 1)

A
B
C
sin ( 2k + 1) sin ( 2k + 1)
2
2
2

6. cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 + (- 1)k .4 cos kA . cos kB . cos kC .
Chứng minh:
1. Ta có:
cos A + cos B + cosC = 2 cos

A+B
A- B
C
. cos
+ 1 - 2 sin 2
2
2

2

= 2 sin

Cæ
A- B
Cö
ç
÷
cos
- sin ÷
+1
ç
÷
÷
2ç
2
2
è
ø

= 2 sin

ö
Cæ
A- B
A + B÷
ç
÷
- sin

+1
çcos
÷
2ç
2
2 ÷
è
ø

= 1 + 4 sin

A
B
C
sin sin
2
2
2

2. Ta có:
cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 cos ( A + B ) . cos ( A - B ) + 2 cos2 C - 1
= - cosC é
cos ( A + B ) + cos ( A - B ) ù
- 1
ê
ú
ë
û
= - 1 - 4 cos A . cos B . cosC

Nguyễn Hiền


11
3. Ta có:
cos 3A + cos 3B + cos 3C = 2 cos

3A + 3B
3A - 3B
3C
. cos
+ 1 - 2 sin 2
2
2
2

= - 2 sin

3C
2

= 1 - 4 sin

æ 3A - 3B
3A + 3B ö
÷
ç
÷
- cos
+1

çcos
÷
÷
ç
2
2
è
ø

3A
3B
3C
sin
sin
2
2
2

4. Ta có:
cos 4A + cos 4B + cos 4C = 2 cos ( 2A + 2B ) . cos ( 2A - 2B ) + 2 cos2 2C - 1
= 2 cos 2C é
cos 2A - 2B ) + cos 2C ù
- 1
ê
ú
ë (
û
= 2 cos 2C é
cos ( 2A - 2B ) + cos ( 2A + 2B ) ù
- 1

ê
ú
ë
û
= - 1 + 4 cos 2A . cos 2B . cos 2C
5. Ta có:
cos ( 2k + 1) A + cos ( 2k + 1) B + cos ( 2k + 1) C
= 2 cos ( 2k + 1)
Mà ( 2k + 1)

A+B
A- B
C
sin ( 2k + 1)
+ 1 - 2 sin 2 ( 2k + 1)
2
2
2

æ
A+B
p Cö
÷
÷
= ( 2k + 1) ç
ç
÷
ç
÷
2

2
2
è
ø

Nguyễn Hiền


12
ị cos ( 2k + 1)

ổ
A+B
p Cử
ữ
ữ
= cos ( 2k + 1) ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
2ứ
ố2

ổ
p
Cử
ữ
ữ

= cos ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ
2
2ứ
ố
ổ
ử
Cữ
ữ
= - sin ỗ
k
p
2
k
+
1
ỗ
(

) 2ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
= - 1( - 1)
k

k- 1

sin ( 2k + 1)

= ( - 1) sin ( 2k + 1)

C
2

C
2

Li cú:
sin ( 2k + 1)

ổ
C
p A + Bử
ữ
ữ
= sin ( 2k + 1) ỗ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
2
2 ứ
ố2
ổ
ử
p ổ
A + Bử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
= sin ỗ
k
p
+
2
k
+
1
ỗ
ỗ
(
)
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
2
ố
ứ
ố
ứ
ổ
= cos ỗ
kp ỗ
ỗ
ỗ
ố

ử
ổ
k
A + Bử
A+B
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
2
k
+

1
+
1
cos
ỗ
(
)
(
)
( 2k + 1)
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
2
ố 2 ứ
ứ

Do ú:
cos ( 2k + 1) A + cos ( 2k + 1) B + cos ( 2k + 1) C
k

= 1 + 2 ( - 1) sin ( 2k + 1)

C
2

= 1 + (- 1)k .4 sin ( 2k + 1)
6. Ta cú:

Nguyn Hin

ộ
ự
ờcos ( 2k + 1) A - B - cos ( 2k + 1) A + B ỳ
ờ
2
2 ỳ
ở
ỷ

A
B
C
sin ( 2k + 1) sin ( 2k + 1)
2
2
2


13
cos 2A + cos 2B + cos 2C
= 2 cos k ( A + B ) . cos k ( A - B ) + 2 cos2 kC - 1
= 2 cos k ( A + B ) . cos k ( A - B ) + 2 cos2 kC - 1
k
= 2 ( - 1) cos kC é
cos k ( A - B ) + cos k ( A + B ) ù
- 1
ê

ú
ë
û

= - 1 + (- 1)k .4 cos kA . cos kB . cos kC
1.1.10.3. Các đẳng thức cơ bản của hàm số t an
Trong tam giác A BC ta có các đẳng thức sau:
1. t an A + t an B + t an C = t an A . t an B . t an C ( D A BC không vuông)
2. t an 2A + t an 2B + t an 2C = t an 2A. t an 2B . t an 2C
3. t an

A
B
B
C
C
A
t an + t an t an + t an t an = 1
2
2
2
2
2
2

4. t an kA + t an kB + t an kC = t an kA . t an kB . t an kC

5. t an ( 2k + 1)

A

B
B
C
t an ( 2k + 1) + t an ( 2k + 1) t an ( 2k + 1)
2
2
2
2
+ t an ( 2k + 1)

C
A
t an ( 2k + 1) = 1
2
2

Chứng minh:
1. Ta có
A + B + C = p Þ A + B = p- C
Þ t an ( A + B ) = t an ( p - C )
Û

t an A + t an B
= - t an C
1 - t an A . t an B

Û t an A + t an B + t an C = t an A . t an B . t an C
2. Ta có
A + B + C = p Þ 2A + 2B = 2p - 2C

Nguyễn Hiền


14
Þ t an ( 2A + 2B ) = t an ( 2p - 2C )
Û

t an 2A + t an 2B
= - t an 2C
1 - t an 2A . t an 2B

Û t an 2A + t an 2B + t an 2C = t an 2A . t an 2B . t an 2C
3. Ta có
A+ B +C =pÞ

A B
p C
+
= 2
2
2 2

æ
æ
A Bö
p Cö
÷
ç
÷
÷

Þ t an ç
=
t
an
ç + ÷
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
2ø
2ø
è2
è2
æ
A Bö
C
÷
Û t an ç
+ ÷
=
cot
ç
÷
ç
÷
2ø
2

è2
A
B
+ t an
2
2 = 1
Û
A
B
C
1 - t an . t an
t an
2
2
2
t an

Û t an

A
B
B
C
C
A
t an + t an t an + t an t an = 1
2
2
2
2

2
2

4. Ta có
A + B + C = p Þ k (A + B ) = k p - kC
Þ t an k ( A + B ) = t an ( k p - kC ) = - t an kC
Û

t an kA + t an kB
= - t an kC
1 - t an kA . t an kB

Û t an kA + t an kB + t an kC = t an kA . t an kB . t an kC
5. Ta có:
A + B + C = p Þ ( 2k + 1)

Nguyễn Hiền

A
B
p
C
+ ( 2k + 1) = ( 2k + 1) - ( 2k + 1)
2
2
2
2


15

æ
æ
A
Bö
p
Cö
÷
ç
÷
÷
Þ t an ç
=
t
an
2
k
+
1
2
k
+
1
ç( 2k + 1) + ( 2k + 1) ÷
ç
(
)
(
)
÷
÷

÷
÷
ç
ç
2
2ø
2
2ø
è
è
æ
A
Bö
C
÷
Û t an ç
2
k
+
1
+
2
k
+
1
= cot ( 2k + 1)
ç
(ç
)2 (
) 2÷

÷
÷
2
è
ø
A
B
+ ( 2k + 1) t an
1
2
2 =
Û
A
B
C
1 - t an ( 2k + 1) . t an ( 2k + 1)
t an ( 2k + 1)
2
2
2
t an ( 2k + 1)

Û t an ( 2k + 1)
+ t an ( 2k + 1)

A
B
B
C
t an ( 2k + 1) + t an ( 2k + 1) t an ( 2k + 1)

2
2
2
2
C
A
t an ( 2k + 1) = 1
2
2

1.1.10.4. Các đẳng thức cơ bản của hàm số cot
Trong tam giác A BC ta có các đẳng thức sau:
1. cot A . cot B + cot B . cot C + cot C . cot A = 1
2. cot

A
B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2

3. cot kA . cot kB + cot kB . cot kC + cot kC . cot kA = 1

4. cot ( 2k + 1)

A
B
C
+ cot ( 2k + 1) + ( 2k + 1) cot
2
2
2

= cot ( 2k + 1)

A
B
C
. cot ( 2k + 1) . cot ( 2k + 1)
2
2
2

Chứng minh:
1. Ta có: A + B = p - C Þ t an ( A + B ) = - t an C = Û

t an A + t an B
1
=1 - t an A . t an B
cot C

1
1

+
1
Û cot A cot B = 1
1
cot C
1.
cot A cot B
Nguyễn Hiền

1
cot C


16
Û

cot A + cot B
1
=1 - cot A . cot B
cot C

Û cot A . cot B + cot B . cot C + cot C . cot A = 1
2. Ta có:

æ
A B
p C
A Bö
C
÷

+
= Þ t an ç
= cot
ç + ÷
÷
÷
ç
2
2
2
2
2ø
2
è2
A
B
+ t an
2
2 = cot C
Û
A
B
2
1 - t an .t an
2
2
t an

1

1

B
2 = cot C
Û
1
2
1.
A
B
cot
cot
2
2
cot

A
2
1

+

cot

A
B
+ cot
2
2 = cot C
Û

A
B
2
1 - cot .cot
2
2
cot

Û cot

A
B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2

3. Ta có: kA + kB = k p - kC Þ t an ( kA + kB ) = - t an kC = Û

1
cot kC

t an kA + t an kB

1
=1 - t an kA . t an kB
cot kC

1
1
+
1
cot kB = Û cot kA
1
1
cot kC
1.
cot kA cot kB
Û

cot kA + cot kB
1
=1 - cot kA . cot kB
cot kC

Û cot kA . cot kB + cot kB . cot kC + cot kC . cot kA = 1
Nguyễn Hiền


17
4. Ta có:

æ
A B

p C
A Bö
C
÷
+
= Þ t an ç
= cot
ç + ÷
÷
÷
ç
2
2
2
2
2ø
2
è2
A
B
+ t an ( 2k + 1)
2
2 = cot ( 2k + 1) C
Û
A
B
2
1 - t an ( 2k + 1) . t an ( 2k + 1)
2
2

t an ( 2k + 1)

1
Û

cot ( 2k + 1)

A
2

cot ( 2k + 1)

1

1-

1

+

1

.

cot ( 2k + 1)

B
2

= cot ( 2k + 1)

C
2

A
B
cot ( 2k + 1)
2
2

A
B
+ cot ( 2k + 1)
2
2 = cot ( 2k + 1) C
Û
A
B
2
cot ( 2k + 1) .cot ( 2k + 1) - 1
2
2
cot ( 2k + 1)

Û cot ( 2k + 1)

A
B
C
+ cot ( 2k + 1) + cot ( 2k + 1)

2
2
2

= cot ( 2k + 1)

A
B
C
. ( 2k + 1) cot . ( 2k + 1) cot
2
2
2

1.2. Các bất đẳng thức trong tam giác
1.2.1. Bất đẳng thức tam giác
Trong tam giác D A BC ta có:
b - c < a < b + c,

c - a < b < c + a,

1.2.2. Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản
Với mọi D A BC ta luôn có các bất đẳng thức sau:
1. sin A + sin B + sin C £

3 3
2

2. cos A + cos B + cosC £

3
2

Nguyễn Hiền

a - b < c < a + b.


18
3. sin

A
B
C
3
+ sin + sin £
2
2
2
2

4. cos A + cos B + cos C £ 3 3
2
2
2
2
5. sin

A
B

C
1
sin sin £
2
2
2
8

6. cos A cos B cosC £

1
8

7. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C £
8. t an

9
4

A
B
C
+ t an + t an ³
2
2
2

9. cot A + cot B + cot C ³

3

3

Chứng minh:
Để chứng minh 1,3 ,4 ta cần các kết quả phụ trợ sau:
ù, ta có
a, Nếu x , y Î é
ê
ë0, pú
û

sin x + sin y
x+y
£ sin
.
2
2
é p pù
- , ú
b, Nếu x , y Î ê
ê 2 2 ú, ta có
ë
û
cos x + cos y
x+y
£ cos
2
2
Dấu bằng xảy ra trong cả hai đẳng thức trên khi và chỉ khi x = y .
1. sin A + sin B + sin C £ 3 3
2

Áp dụng kết quả phụ trợ trên ta có

Nguyễn Hiền


19
sin C + sin

sin A + sin B
+
2
2

p
3

sin

2

£

A+B
+ sin
2
2

A+B
+
2

£ sin
2

C +

C +

p
3

2

p
3

2

Hay
sin A + sin B
+
2
2

sin C + sin

p
3

2

Û sin A + sin B + sin C £ 3 sin

A+ B +C +
£ sin

p
3

4

p
3
=3
Þ (đpcm).
3
2

ìï
ïï
ïï
ïï A = B
ïï
ïï
p
p
Û A = B =C = .
Dấu " = " xảy ra Û í C =
ïï
3
3

ïï
ïï
p
C +
ïï A + B
3
ïï
=
ïî 2
2
2. cos A + cos B + cosC £
Û 2 cos

3
2

A+B
A- B
C
3
cos
+ 1 - 2 sin 2 £
2
2
2
2

Û 4 sin 2

C

C
A- B
- 4 sin cos
+ 1³ 0
2
2
2
2

æ C
A- Bö
2 A - B
÷
÷
Û ç
2
sin
cos
+
sin
³ 0
ç
÷
ç
÷
2
2 ø
2
è
Vì (1) đúng suy ra đpcm.

Dấu " = " xảy ra trong (1) khi và chỉ khi
Nguyễn Hiền

( 1)


20
ìï
ïï 2 sin C - cos A - B = 0
ïï
2
2
í
ïï
ïï sin A - B = 0
ïî
2

( 2)
( 3)

Từ ( 3) suy ra A = B . Thay vào ( 2) có 2 sin

C
p
=1Þ C = .
2
3

Vậy dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi D A BC đều.

3. sin

A
B
C
3
+ sin + sin £
2
2
2
2

Ta có
sin

A
B
C
p
æ
+ sin
sin + sin
A+B
C
pö
÷
2
2 +
2
6

÷
sin
+ sin ç
+
ç
÷
ç
÷
4
4
12
è
ø
2
2
£
2
2
æ
A+ B +C
pö
÷
÷
£ sin ç
+
ç
÷
÷
ç
2

24 ø
è

Hay
sin

Û sin

A
B
C
p
+ sin
sin + sin
2
2 +
2
6
p
2
2
£ sin
2
6
A
B
C
p
1
+ sin + sin £ 3. sin = 3 Þ (đpcm)

2
2
2
6
2

4. cos A + cos B + cos C £ 3 3
2
2
2
2
Ta có
cos

A
B
C
p
æ
+ cos
cos + cos
A+B
C
pö
÷
2
2 +
2
6
÷

cos
+ cos ç
ç +
÷
÷
ç
4
4
12
è
ø
2
2
£
2
2
æ
A+ B +C
pö
÷
÷
£ cos ç
+
ç
÷
÷
ç
2
24 ø
è

Nguyễn Hiền


21
Hay
cos

A
B
C
p
+ cos
cos + cos
2
2 +
2
6
p
2
2
Ê cos
2
6

cos

A
B
C

p
3
+ cos + cos Ê 3. cos = 3
ị (pcm)
2
2
2
6
2

5. sin

A
B
C
1
sin sin Ê
2
2
2
8

8 sin

A
B
C
sin sin - 1 Ê 0
2
2

2

4 sin

ử
Cổ
A- B
A + Bữ
ỗ
ữ
cos
cos
- 1Ê 0
ỗ
ữ
2ỗ
2
2 ữ
ố
ứ

4 sin 2

C
C
A- B
- 4 sin cos
+ 1 0
2
2

2
2

ổ C
A- Bử
A- B
ữ
ữ
ỗ
2
sin
cos
+ sin 2
0 (luụn ỳng).
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
2 ứ
2
ố
Du " = " ca ng thc xy ra khi v ch khi A = B = C =
l tam giỏc u.
6.


cos A cos B cosC Ê

1

8

1ộ
1
cos ( A - B ) + cos ( A - B ) ự
cosC Ê
ờ
ỳ
ỷ
2ở
8

- 4 cos2 C + 4 cos ( A - B ) . cosC - 1 Ê 0
4 cos2 C - 4 cos ( A - B ) . cos C + 1 0
2

ự + sin 2 ( A - B ) 0 (luụn ỳng)
ộ
ờcos C - cos ( A - B ) ỳ
ở
ỷ

Nguyn Hin

p
hay D A BC
3


22

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khiA = B = C =

p
hay D A BC là tam giác
3

đều.
7. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C £
Û

9
4

1 - cos 2A 1 - cos 2B
9
+
+ 1 - cos2 C £
2
2
4

Û 1 - cos ( A + B ) cos ( A - B ) + 1 - cos2 C £

9
4

Û 4 cos2 C - 4 cos C cos ( A - B ) + 1 ³ 0
2

Û é

2 cosC - cos ( A - B ) ù
+ sin 2 ( A - B ) ³ 0 (luôn đúng)
ê
ú
ë
û
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi D A BC đều.
A
B
C
+ t an + t an ³
2
2
2

8. t an

Rõ ràng trong mọi tam giác t an
t an

3
A
B
C
, t an , t an
đều là số dương nên
2
2
2

A
B
C
+ t an + t an ³ 0
2
2
2

Vì thế
t an

A
B
C
+ t an + t an ³
2
2
2

3
2

æ A
B
Cö
ç
÷
Û çt an + t an + t an ÷
³ 3
÷

ç
÷
2
2
2
è
ø
Û t an 2

A
B
C
A
B
C
B
C
+ t an 2 + t an 2 + 2 t an t an t an + 2 t an t an
2
2
2
2
2
2
2
2

+ 2 t an

C

A
A
B
B
C
C
A
t an ³ 3 t an t an + 3 t an t an + 3 t an t an
2
2
2
2
2
2
2
2

(trong đó mọi D A BC ta có

Nguyễn Hiền