Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong giải bài tập toán

1

Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học
trong giải bài tập toán


2
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Ngày nay logic học càng được ứng dụng rộng rãi, không những trong toán
học và khoa học tự nhiên, mà trong cả khoa học xã hội và nhân văn. Sự phát triển
của khoa học tự động hóa và trí tuệ nhân tạo cũng có đóng góp của logic học. Để có
thể hòa mình vào nền văn minh của nhân loại, chúng ta cần tập trung vào nghiên
cứu các khoa học cơ bản, đặc biệt là toán học và logic học.
Quy nạp (Inductive) hay lập luận quy nạp, đôi khi còn gọi là logic quy nạp là
nội dung cơ bản của logic học, được đặt nền tảng từ thời Aristoteles. Quy nạp là
một vấn đề lớn nằm trong logic học và có một ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển
của khoa học. Đây là các phương pháp tư duy không thể thiếu trong khoa học. Từ
rất sớm – ngay từ thời cổ đại, logic quy nạp đã ra đời, tuy nhiên còn phát triển rất
chậm chạp và khó khăn. Mặc dù nó phát triển mạnh vào thời cận đại, khi mà các
khoa học thực nghiệm phát triển, nhưng cho đến nay logic quy nạp vẫn không khắc
phục được hoàn toàn những bế tắc mà nó đặt ra và vẫn đang được nghiên cứu một
cách tích cực ở các nước phương Tây và các nước thuộc Liên Xô trước đây.
Quy nạp là khái niệm cực kì quan trọng, nó được coi là một tuyệt chiêu trong
toán học và được sử dụng rộng rãi trong số học, đại số và lý thuyết số. Vì vậy nắm
rõ được bản chất về mặt kiến thức, về mặt phương pháp cũng như tư duy là điều bất
cứ ai trong chúng ta đều mong muốn hướng tới. Thêm vào đó, quy nạp là một trong
những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Nó có một sức mạnh tuyệt vời khi
giải quyết những bài toán chứng minh cả ở hình học. Phép quy nạp không chỉ có
ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp
dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình,

quỹ tích cả trong mặt phẳng và trong không gian, ở hình học sơ cấp và cao cấp.
Trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học (số học, hình học, giải tích...)
ta thường gặp những bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến P ( n ) là
một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến n . Do đó ta cần nghiên
cứu các phương pháp chứng minh để tìm ra phương pháp chứng minh chúng một
cách hợp lí. Vì vậy, ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp. Ngoài ra, ta cũng
gặp những bài toán hình học được giải quyết bằng phương pháp quy nạp, và ứng
dụng của nó trong hình học vô cùng lý thú và hấp dẫn.


3
Một số bài tập về ứng dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học được
đề cập đến trong các tài liệu [1], [4], [6], [9],... Nhưng mỗi tài liệu này chỉ nghiên
cứu về một phần nhỏ mà chưa có tài liệu nào nghiên cứu một cách hệ thống, và mỗi
tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở việc giải một số bài toán mà hạn chế trong việc khai
thác lời giải bài toán. Bên cạnh đó, đã có một số công trình của các học giả cũng như
các giảng viên, sinh viên của các trường đại học, cao đẳng nghiên cứu về phương
pháp chứng minh quy nạp toán học. Chẳng hạn như: Sáng kiến kinh nghiệm “Vận
dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học để giải một số dạng toán” [12],
đề tài “Phép quy nạp trong hình học” [4],... Không chỉ vậy mà có cả những công
trình thông qua quy nạp để rèn luyện và phát triển năng lực suy luận như: “Rèn
luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy toán ở trường
phổ thông” [12]. Do đó, phương pháp chứng minh quy nạp toán học là một vấn đề
đáng được quan tâm và nghiên cứu.
Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu về lý thuyết của
phép quy nạp, cũng như các bài tập về sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy
nạp một cách dễ dàng và có hệ thống. Đồng thời cũng giúp cho bản thân tôi hiểu
sâu hơn một phương pháp hiệu quả trong việc giải các bài toán và tích lũy thêm
kiến thức phục vụ cho việc học tập và giảng dạy sau này được tốt hơn nên chúng tôi
mạnh dạn chọn đề tài: “Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán

học trong giải bài tập toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Khóa luận nhằm nghiên cứu tổng quan về phép quy nạp, phương pháp chứng
minh quy nạp toán học và ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học
trong một số bài tập toán. Đồng thời nghiên cứu, khai thác và phân tích một số bài
tập sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp nhằm khắc sâu hơn kiến thức về
phép quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những lí luận phép quy nạp toán học và phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong
một số bài tập toán.
Nghiên cứu một số bài tập có lời giải và một số bài tập vận dụng.


4
4. Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình,
sách giáo khoa có liên quan đến phép quy nạp và phương pháp chứng
minh quy nạp toán học và ứng dụng quy nạp toán học trong đại số và
trong hình học rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức.

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra những kinh nghiệm để áp dụng vào việc
nghiên cứu.

• Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình
thức của khóa luận.

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
• Phạm vi: Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong
giải một số bài tập toán.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về quy nạp và
phương pháp chứng minh quy nạp toán học, đồng thời phân dạng và giải một số bài
tập cơ bản liên quan đến vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp. Thông qua
đó, khai thác lời giải từ những bài toán cụ thể. Khóa luận là tài liệu tham khảo cho
sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu các dạng bài tập về ứng dụng của
phương pháp chứng minh quy nạp trong giải một số bài tập toán.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành
các chương.
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Ở chương này chúng tôi trình bày được một số vấn đề sau: Tìm hiểu được
những cơ sở logic toán (mệnh đề, các phép toán logic trên mệnh đề, công thức của
logic mệnh đề, hệ quả logic và một số quy tắc suy luận thường được vận dụng trong
suy luận toán học); những kiến thức cơ sở về phép quy nạp toán học; đặc biệt là tìm
hiểu lí luận về phương pháp quy nạp toán học: tìm hiểu về cơ sở của phương pháp


5
chứng minh này chính là nguyên lý quy nạp toán học, và một số hình thức của
phương pháp quy nạp toán học.
Chương 2: Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp trong giải bài tập
toán
Ở chương này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của phương pháp chứng
minh quy nạp toán học không chỉ trong đại số, mà cả trong hình học. Nó không chỉ

ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp
dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dựng hình,
quỹ tích hay cả trong mặt phẳng và trong không gian. Bên cạnh lời giải của các bài
toán chúng tôi còn đưa ra nhận xét, phân tích hay hướng khai thác lời giải của các
bài toán đó.
Chương 3: Bài tập
Ở chương này, chúng tôi trình bày một số bài tập có lời giải sử dụng phương
pháp chứng minh quy nạp toán học để giải chúng. Bên cạnh đó, còn trình bày một
số bài tập không có lời giải để có thể khắc sâu hơn kiến thức về phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.


6
NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về phép quy nạp toán học và
phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Phương pháp quy nạp là một phương
pháp vô cùng quan trọng trong quá trình giải một số bài tập toán.
1.1. Cơ sở logic toán
1.1.1. Mệnh đề
Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề toán học là một khái niệm nguyên
thủy không được định nghĩa mà chỉ được mô tả. Những câu phản ánh đúng hoặc sai
thực tế khách quan được gọi là mệnh đề.
Mỗi mệnh đề toán học (gọi tắt là mệnh đề) là những câu phản ánh đúng hoặc
sai thực tế khách quan, không có mệnh đề nào không đúng mà cũng không sai,
không có mệnh đề nào vừa đúng vừa sai.
Giá trị chân lý của mệnh đề: Các giá trị 1 và 0 được gọi là giá trị chân lý của
mệnh đề. Ta quy ước mệnh đề có giá trị chân lý 1 nếu nó đúng, mệnh đề có giá trị
chân lý 0 nếu nó sai. Mỗi mệnh đề có một trong hai tính chất đúng hoặc sai nên nó
chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 1 hoặc 0.

Ví dụ 1.1.
i. “Số 123 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng. Suy ra giá trị chân lý là 1.
ii. “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là mệnh đề sai.
Suy ra giá trị chân lý là 0.
iii. “Bạn có khỏe không?” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một
câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một diều sai.
1.1.2. Các phép toán logic trên các mệnh đề
1.1.2.1. Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề p , ký hiệu là p (đọc là “không p ”) là một mệnh đề
sai khi p đúng và đúng khi p sai. Bảng giá trị chân lý của phép phủ định như sau:

p

p

1

0

0

1


7
Phép phủ định trong logic mệnh đề phù hợp với phép phủ định trong ngôn
ngữ thông thường, nghĩa là phù hợp với ý nghĩa của từ “không” (“không phải”).
Ví dụ 1.2.
i. p : “10 là số chẵn” (đúng), p : “ 10 không là số chẵn” (sai).
ii. p : “ 2 + 3 = 6 ” (sai), p : “ 2 + 3 ≠ 6 ” (đúng).

1.1.2.2. Phép hội
Hội của hai mệnh đề p, q ký hiệu là p ∧ q (đọc là “ p và q ”) là một mệnh
đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại. Bảng giá trị
chân lý của phép hội như sau:

p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Phép hội phù hợp với ý nghĩa liên từ “và” của ngôn ngữ thông thường.
Ví dụ 1.3.
i. “Số π lớn hơn 3 và nhỏ hơn 4 ( 3 < π < 4 ) ” là hội của hai mệnh đề: “Số

π lớn hơn 3 ( π > 3) ” và “Số π nhỏ hơn 4 ( π < 4 ) ”.
ii. Mệnh đề “ −2 ∈¢ và −2 ∉¥ ” là hội của mệnh đề “ −2 ∈ ¢ ” và mệnh đề
“ −2 ∉ ¥ ”.
1.1.2.3. Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p, q ký hiệu là p ∨ q (đọc là “ p hoặc q ”) là mệnh
đề sai khi cả p lẫn q đều sai, và đúng trong mọi trường hợp còn lại. Do đó, theo
định nghĩa mệnh đề tuyển p ∨ q là đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề p, q
đúng và sai khi cả p và q đều sai.
Phép tuyển ứng với liên từ “hoặc” trong ngôn ngữ thông thường. Song từ
“hoặc” của ngôn ngữ thông thường có hai nghĩa: loại trừ và không loại trừ. “Hoặc”
nghĩa loại trừ có nghĩa là mệnh đề “ p hoặc q ” đúng khi và chỉ khi một và chỉ một


8
mệnh đề trong hai mệnh đề p, q đúng. “Hoặc” nghĩa không loại trừ nghĩa là mệnh
đề “ p hoặc q ” đúng khi và chỉ khi ít nhất một trong hai mệnh đề p, q là đúng.
Phép tuyển được định nghĩa như trên phù hợp với liên từ “hoặc” theo nghĩa
không loại trừ.
Bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau:

p

q

p∧q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1.1.2.4. Phép kéo theo

Cho hai mệnh đề p, q . Mệnh đề kéo theo p ⇒ q (đọc là “ p kéo theo q ”
hay “nếu p thì q ”) là mệnh đề sai khi p đúng q sai, và đúng trong các trường
hợp còn lại. Bảng giá trị chân lý của phép kéo theo như sau:

p

q

p⇒q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Phép kéo theo của logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của các từ hoặc cụm từ
sau: “Nếu … thì”, “kéo theo”, “Từ … suy ra”
1.1.2.5. Phép tương đương
Cho hai mệnh đề p; q . Mệnh đề tương đương p ⇔ q (đọc là “ p tương
đương q ”) là mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q , hoặc cùng đúng hoặc
cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại. Ta có bảng giá trị chân lý của phép
tương đương như sau:

p

q

p⇔q


9
1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Định nghĩa của phép tương đương phù hợp với ý nghĩa của cụm từ “khi và
chỉ khi” hay “nếu và chỉ nếu” trong ngôn ngữ thông thường.
1.1.3. Công thức của logic mệnh đề
Định nghĩa 1.1. [7]
Giả sử p, q, r , s,... là các mệnh đề nào đó, từ các mệnh đề đó sử dụng các
các phép toán logic (phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép
tương đương) tạo thành một mệnh đề mới phức tạp hơn. Từ mệnh đề mới lập được
ta lại áp dụng các phép toán logic ta lại được một mệnh đề mới, cứ như vậy ta kiến
thiết được một dãy các kí hiệu và được gọi là công thức của logic mệnh đề.
Mỗi công thức của đại số mệnh đề là một dãy kí hiệu thuộc bốn loại:
+ Các hằng 1; 0 (kí hiệu của mệnh đề đúng hoặc sai).
+ Các biến mệnh đề p, q, r , s,...
+ Các kí hiệu của các phép toán logic −, ∧, ∨ , ⇒, ⇔ .
+ Các dấu ngoặc

( )

chỉ thứ tự các phép toán.

Một cách chính xác hơn ta định nghĩa các hằng và các biến mệnh đề là những công
thức. Nếu p là các công thức thì p là công thức. Nếu p, q là những công thức thì

( p ∧ q) , ( p ∨ q) , ( p ⇒ q) , ( p ⇔ q)

là những công thức.

Ví dụ 1.4. Xét dãy kí hiệu ( p ∧ p ) ⇒ r ta thấy:

p, q là các công thức, do đó p ∧ q là công thức, p ∧ q và r là hai công
thức. Vì vậy ( p ∧ p ) ⇒ r là công thức.
Sự tương đương giữa hai công thức: Cho hai công thức P và Q . Ta nói rằng P
tương đương logic với Q (hay P đồng nhất bằng Q ), kí hiệu P ≡ Q , nếu chúng
cùng nhận giá trị chân lý như nhau với mọi hệ giá trị chân lý có thể có của các biến
mệnh đề có mặt trong chúng.


10
Hệ thức P ≡ Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.
1.1.4. Luật của logic, hệ quả logic và quy tắc suy luận
Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh
bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản. Trong mỗi bước đó, ta ngầm vận
dụng quy tắc suy luận tổng quát để từ mệnh đề đã được thừa nhận là đúng có thể rút
ra một mệnh đề mới. Người ta gọi mệnh đề xuất phát đã được thừa nhận đúng là các
tiên đề, còn mệnh đề mới được rút ra gọi là hệ quả logic của các tiên đề.
1.1.4.1. Luật của logic mệnh đề
Định nghĩa 1.2. [7]

Công thức A gọi là hằng đúng nếu A nhận giá trị 1 với mọi hệ giá trị chân
lý có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A , khi đó ta gọi A là một luật của
logic mệnh đề và ký hiệu = A .
1.1.4.2. Hệ quả logic, quy tắc suy luận
Định nghĩa 1.3. [7] Giả sử A1 , A2 ,…, An , B là những công thức.
Nếu tất cả các hệ giá trị chân lý của các biến mệnh đề có mặt trong công thức
đó làm cho A1 , A2 ,…, An nhận giá trị 1, đồng thời làm cho B nhận giá trị 1, thì ta
gọi B là hệ quả logic của A1 , A2 ,…, An .
Và khi đó ta cũng nói rằng có một quy tắc suy luận từ các tiền đề

A1 , A2 ,…, An tới hệ quả của logic B của chúng. Quy tắc suy luận đó được kí hiệu
là:

A1 , A2 ,..., An
. Hay A1 , A2 ,..., An = B .
B
Những suy luận có dùng các quy tắc suy diễn gọi là suy luận có cơ sở. Khi

tất cả các suy luận có cơ sở là đúng thì sẽ dẫn đến một kết luận đúng. Một suy luận
có cơ sở có thể dẫn đến một kết luận sai nếu một trong các mệnh đề đã dùng trong
suy diễn là sai.
1.1.4.3. Mối quan hệ giữa luật và quy tắc suy luận
Giữa hai khái niệm luật và quy tắc suy luận có mối quan hệ chặt chẽ. Định lý
dưới đây phản ánh mối liên hệ quan trọng giữa luật và quy tắc suy luận.
Định lý 1.1. [7] Cho các công thức A1 , A2 ,…, An , B .


11
Ta có luật = A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An ⇒ B khi và chỉ khi ta có quy tắc suy luận:

A1 , A2 ,..., An
B
Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành
khoa học tự nhiên. Nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ
những cái đã biết. Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo, từ những phán đoán, đưa
đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó.
Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề. Để chứng
minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (gọi là
giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận). Quá trình đi từ giả thiết đến kết luận gọi
là quá trình chứng minh, và quá trình này được thực thi như thế nào thì được gọi là
phương pháp chứng minh. Các phương pháp chứng minh là rất quan trọng, đặc biệt
là trong toán học, trong các phương pháp chứng minh đó có phương pháp chứng
minh quy nạp toán học.
Vậy trên đây là một số kiến thức cơ sở của logic toán, nó chính là những tiền
đề, là cơ sở và để nghiên cứu phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
1.2. Phép quy nạp toán học
Toán học phân biệt với nhiều môn khoa học khác là xây dựng được lý thuyết
suy diễn. Đó là phương pháp đi từ cái chung đến cái riêng. Trong cuộc sống hằng
ngày, ta thường nhận xét từ các quan sát, thực nghiệm thông thường để rút ra kết
luận tổng quát, đúng cho mọi trường hợp. Ta gọi đó là quy nạp. Nó giúp ta có thể đề
xuất hay bác bỏ những giả thuyết, đồng thời điều này còn cho ta một cách chứng
minh cho những bài toán phức tạp.
1.2.1. Tiếp cận khởi đầu phép quy nạp toán học
Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là “Luận lý trong
tam giác số học”. Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiên cứu tam giác
này mặc dù công bố công trình nghiên cứu của ông gây ngạc nhiên cho mọi người
thời ấy. Các tam giác này cũng xuất hiện trong những bài viết của Omar Khayyam,
nhà thiên văn học, nhà thơ, nhà triết học và là nhà toán học hiện đại ở Iran của thế
kỷ XVII.
Tam giác số Pascal được thiết lập như sau:

+ Dòng thứ nhất gồm một số 1 .


12
+ Dòng thứ hai gồm hai số 1 .
+ Với n > 2 , dòng thứ n gồm n số, trong đó số thứ nhất và số thứ n bằng 1, còn
các số khác bằng tổng của hai số đứng kề nhau ở dòng thứ n − 1 từ trái qua phải.
1
1
1
1
1
1

1
2

3
4

5

1
3

6
10

1
4

10

1
5

1

Khi ta tính một số trong tam giác Pascal ta phải dựa vào hai số đã tìm được ở
cạnh đáy trên. Cần nghiên cứu một lược đồ tính toán không phụ thuộc vào những
điều đã biết sơ bộ. Phép tính độc lập như vậy dựa vào công thức quen biết:
Cnr =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
1.2.3...r

Mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức Cnr .
Công thức đó có trong công trình của Pascal (được diễn đạt bằng lời chứ
không phải bằng các kí hiệu hiện đại). Có thể suy nghĩ ban đầu trước khi đến công
thức của mình Pascal mới chỉ là phỏng đoán. Mà ta thường phát hiện ra các quy luật
nhờ quan sát lúc đầu, rồi thử khái quát hóa các kết quả có được. Nhưng Pascal đã
đưa ra một cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh của mình.
Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong trường
hợp r = 0 . Tuy vậy, quy ước rằng khi r = 0 thì theo định nghĩa Cn0 = 1 . Còn trong
n
trường hợp r = n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có Cn =

n(n − 1)...2.1
= 1 là
1.2...(n − 1)n

một kết quả đúng. Vậy ta chỉ cần chứng minh công thức đối với 0 < r < n , tức là ở
trong tam giác Pascal, ở đó công thức đó có thể chứng minh được.
Mặc dù công thức tường minh đối với các hệ số nhị thức có trong vô số
trường hợp riêng, ta có thể chứng minh ngắn gọn dựa trên hai bổ đề.
Bổ đề thứ nhất khẳng định là mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất – điều này là
hiển nhiên (khi n = 1 công thức tường minh đúng bởi vì trong trường hợp đó mọi
giá trị có thể được của r , nghĩa là r = 0, r = 1 , rơi vào điều đã nhận xét ở trên).


13
Bổ đề thứ hai khẳng định: nếu mệnh đề của ta đúng với một đáy tùy ý (đối
với giá trị n tùy ý) thì nó sẽ đúng cả với đáy tiếp theo của nó (đối với r = n + 1 ).
Từ hai bổ đề đó, suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề với mọi giá trị của n .
Thật vậy, do bổ đề thứ nhất mệnh đề đúng với n = 1 ; do đó, theo bổ đề thứ hai nó
đúng với n = 2 , tiếp tục theo bổ đề thứ hai nó đúng với n = 3, n = 4 và tới vô hạn.
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai. Theo cách phát biểu của bổ đề
đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n , nghĩa là đối với giá trị tùy
ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với r = 1, 2,..., n ). Đồng thời với
cách viết: Cnr =

n(n − 1)(n − 2)...( n − r + 1)
.
1.2.3...r

r −1
Ta cũng có thể viết (với r ≥ 1 ): Cn =

n( n − 1)( n − 2)...( n − r + 2)
.

1.2.3...(r − 1)

Cộng hai đẳng thức đó ta được:
n( n − 1)...(n − r + 2)  n − r + 1 
.
+ 1÷
1.2...(r − 1)
r


n(n − 1)...(n − r + 2) n + 1 ( n + 1) n(n − 1)...( n − r + 2)
=
.
=
1.2...( r − 1)
r
1.2.3...r

Cnr+1 = Cnr + Cnr −1 =

Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n nào
đó kéo theo tính chất đúng đắn của nó với n + 1 . Chính điều này được khẳng định
trong bổ đề thứ hai. Như vậy, ta đã chứng minh bổ đề đó.
Những lời của Pascal có một giá trị lịch sử to lớn bởi vì chứng minh của ông
là sự vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, và sau
này ta gọi đó là phép quy nạp toán học.
1.2.2. Sự tiếp xúc gợi ý phép quy nạp toán học
Phép quy nạp thường được bắt đầu bằng sự quan sát. Nhà khoa học tự nhiên
có thể quan sát cuộc sống của loài chim, nhà tinh thể học quan sát hình dạng của
các tinh thể,... Nhà toán học thì có thể quan tâm tới lý thuyết số, quan sát tính chất

của các số,…
Nếu muốn quan sát cuộc sống của loài chim để có thể đạt được những kết
quả lý thú, thì trong một chừng mực nào đó, bạn phải hiểu biết về chim, phải thích
chim và thậm chí là yêu chim. Cũng như vậy, nếu bạn muốn quan sát những con số
thì bạn phải thích thú với chúng và trong một chừng mực nào đó phải hiểu biết


14
chúng. Bạn phải biết phân biệt số chẵn và số lẻ, phải biết các số chính phương và
các số nguyên tố,… Ngay những kiến thức đơn giản nhất chúng ta cũng có thể nhận
thấy một cái gì thú vị.
Chẳng hạn ngẫu nhiên ta gặp các hệ thức:
3 + 7 = 10, 3 + 17 = 20, 13 + 27 = 30,...

Và ta nhận thấy giữa chúng có một vài chỗ giống nhau. Chúng ta có thể nghĩ
tới 3, 7, 13 và 17 là những số nguyên tố lẻ. Tổng của hai số nguyên tố lẻ là những
số chẵn (đó là điều tất nhiên).
Thực vậy: 10, 20, 30 là các số chẵn. Nhưng có thể nói gì về các số chẵn
khác? Chúng có thể được biểu diễn tương tự như vậy không?
Số chẵn đầu tiên bằng tổng của hai số nguyên tố lẻ dương là 6 = 3 + 3 . Tìm
tiếp ta thấy: 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 7 + 5, 14 = 3 + 11 = 7 + 7,…
Và ta cứ tiếp tục tìm mãi chăng? Dù sao những trường hợp riêng đã khảo sát
cũng làm chúng ta nghĩ tới một điều khẳng định chung là: “Mọi số chẵn lớn hơn 4
đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ”. Phân tích những
trường hợp ngoại lệ là các số 2 và 4 không thể là tổng của hai số nguyên tố lẻ
chúng ta có thể bằng lòng với điều khẳng định ít trực tiếp hơn sau đây: Bất kỳ số
chẵn nào không phải là số nguyên tố và không phải là bình phương của một số
nguyên tố, cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ.
Như thế chúng ta đã phát biểu một giả thuyết. Chúng ta tìm thấy giả thuyết
đó nhờ phép quy nạp. Nói cách khác giả thuyết đó nẩy sinh trong chúng ta nhờ kết

quả của sự quan sát và đã được chỉ ra bằng những ví dụ riêng biệt.
Những chỉ dẫn đó tương đối ít trọng lượng. Chúng ta chỉ có những cơ sở rất
mong manh để tin vào giả thuyết của mình. Tuy nhiên chúng ta có thể tìm thấy một
nguồn an ủi, ở chỗ là cách đây hơn 200 năm Goldbach, nhà toán học đầu tiên phát
biểu giả thuyết đó, cũng không có cơ sở gì vững chắc hơn.
Giả thuyết của Goldbach có đúng không? Ngày nay chưa ai có thể trả lời câu
hỏi đó. Mặc dù có một số nhà toán học vĩ đại đã có những cố gắng lớn nhằm làm
sáng tỏ vấn đề, nhưng cho đến nay giả thuyết của Goldbach, cũng như ở thời Euler
vẫn là một trong “nhiều tính chất của các số mà chúng ta rất quen thuộc, nhưng
chúng ta vẫn chưa chứng minh hay bác bỏ được”.


15
Nhưng từ giả thuyết này chúng ta đã mô tả trong những nét tổng quát giai
đoạn đầu của quá trình quy nạp.
1.2.3. Phân loại phép quy nạp toán học
1.2.3.1. Quy nạp hoàn toàn
Danh từ “quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó dùng để chỉ các quy luật nhờ
đó mà thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
Quy nạp hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận chung được khẳng định cho
tất cả các trường hợp được xét bằng một chứng minh chặt chẽ hoặc bằng cách thử
nghiệm trực tiếp tất cả các trường hợp (nếu có thể thử được).
Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng
trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có.
Ví dụ 1.5. Chúng ta xác lập rằng: “Mỗi số chẵn n trong khoảng [ 4;100] đều có thể
biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố”.
Muốn vậy ta phân tích:

4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,

8 = 5 + 3,
10 = 7 + 3,
.................
98 = 93 + 5,
100 = 97 + 3
Sau khi thử 49 trường hợp, chứng tỏ rằng thực tế mỗi số chẵn trong khoảng
xét được biểu diễn duới dạng tổng của 2 số nguyên tố.
1.2.3.2. Quy nạp không hoàn toàn
Quy nạp không hoàn toàn là quy nạp mà kết luận tổng quát được khẳng định
từ một số trường hợp cụ thể. Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa
trên sự kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn
các trường hợp thì ta có quy nạp không hoàn toàn. Do đó, kết luận của phép quy
nạp không hoàn toàn có thể đúng, có thể sai, có thể chưa biết đúng sai.
Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực
nghiệm. Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn
khối lượng, định luật này được Lomonosov phát biểu và chỉ được thừa nhận khi


16
Lavoisier đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều
kiện đủ khác nhau.
Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương
pháp chứng minh chưa chặt chẽ, nên nó được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh
đề toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng ta không thể tiến
hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được. Chẳng hạn sau khi có kết quả
đúng với 49 trường hợp như ví dụ 1.5, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng: Mọi số tự
nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố.
Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất
hiệu lực để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ.
Ví dụ 1.6. Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.

Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ Với n = 1 : 1 = 1 mà 1 = 12
+ Với n = 2 : 1 + 3 = 4 mà 4 = 22
+ Với n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 mà 9 = 32
+ Với n = 4 : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 mà 16 = 42
+ Với n = 5 : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 mà 25 = 52
Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta đưa ra kết luận tổng quát:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + ( 2n − 1) = n 2 (1.2.1)
tức là: “Tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng n 2 ”. Việc chứng minh kết luận này
một cách chặt chẽ đã chứng tỏ kết luận này là đúng.
Ví dụ 1.7. Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:

S n = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Ta xét các trường hợp riêng biệt:

S1 = 13 = 1 = 12
S 2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2) 2
S3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3) 2
S4 = 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4) 2
Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát: Sn = (1 + 2 + 3 + ... + n) 2 (1.2.2)


17
Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của
các công thức (1.2.1) hay (1.2.2). Chúng ta cũng cần chú ý rằng, suy luận bằng quy
nạp đôi khi dẫn đến kết luận sai, như các ví dụ sau:
Ví dụ 1.8. Khi nghiên cứu hiệu của một số có 2 chữ số trở lên với số có cùng các
chữ số như thế nhưng viết theo thứ tự ngược lại.
Trong trường hợp các số có 2 chữ số, 3 chữ số ta có kết luận là các hiệu đó

chia hết cho 9 và 99. Cụ thể là ta có: ab − baM9 , abc − cbaM99 .
Từ đó, ta nảy ra kết luận quy nạp là: abcd − dcbaM999 .
Kết luận này sai vì chẳng hạn ta có: 2231 − 1322 = 909 không chia hết 999.
Ví dụ 1.9. Khi xét các số có dạng 22n + 1 nhà toán học Fermat đã nhận xét rằng với
các giá trị n = 1; 2; 3 hoặc 4 thì thu được các số nguyên tố.
Từ đó ông đưa ra giả thiết rằng tất cả các số có dạng như thế (với n ∈ ¥ * ) là
số nguyên tố. Nhưng Euler đã chỉ ra rằng với n = 5 ta được số 232 + 1 không phải
là số nguyên tố vì số đó chia hết cho 641.
Điều đó có nghĩa là kết luận của nhà toán học Fermat là sai lầm.
Ví dụ 1.10. Xét Sn = n 2 + n + 17, n ∈ ¥ * với các trường hợp n = 1; 2; 3;...; 15 thì ta
thấy S n là số nguyên tố.
Từ đó có thể kết luận là S n là số nguyên tố với mọi n ∈ ¥ * hay không?
Với n = 16 thì ta được số S16 = 162 + 16 + 17 = 17 2 do đó S16 không phải là
số nguyên tố, tức là kết luận quy nạp S n là số nguyên tố với mọi số n ∈ ¥ * là sai.
Như vậy, quy nạp không hoàn toàn là một trong những con đường để dẫn
đến phát minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để tìm ra
quy luật tổng quát. Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn
đến các kết quả sai. Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là
đúng đắn, chẳng lẽ ta lại cứ thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà
kết luận đó không đúng. Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử là hữu hạn.
Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một
phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là “phương pháp quy nạp toán học”, cho
phép thay thế những hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không hoàn toàn
bằng sự chứng minh chặt chẽ. Vậy kết luận chung được khẳng định cho tất cả các


18
trường hợp được xét bằng một chứng minh chặt chẽ như thế là quy nạp hoàn toàn,
mà từ nay ta sẽ gọi là phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

19
1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Trong cuộc sống cũng như trong khoa học chúng ta cần có một phương pháp
làm cho quan niệm của chúng ta gần với kinh nghiệm ở mức độ có thể được. Đó là
“Phương pháp quy nạp toán học”. Nó đòi hỏi sự ưa thích nhất định đối với cái gì
thực tế tồn tại, đòi hỏi chúng ta sẵn sàng từ những quan sát nâng lên trình độ khái
quát, đồng thời sẵn sàng từ sự khái quát rộng lớn nhất trở về với những quan sát cụ
thể nhất.
Bên cạnh những phương pháp quen thuộc như: phương pháp chứng minh
trực tiếp, chứng minh phản chứng,... phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh,
sắc bén trong giải toán, nhất là những bài toán rối rắm vô cùng. Cách đây gần 4 thế
kỷ, bằng những cây thước, cái bàn, Pascal đã xây dựng nên lý thuyết quy nạp. Từ
đó trở đi, quy nạp đã trở thành một phương tiện giúp cho những người học toán
trong công cuộc đi tìm những lời giải mà biến chứng minh phụ thuộc vào n ∈ ¥
một cách hay và đẹp.
1.3.1. Phương pháp quy nạp toán học
Giả sử P ( n ) là một khẳng định phụ thuộc vào số tự nhiên n và chúng ta cần
phải chứng minh P ( n ) đúng với mọi n ∈ ¥ .
Trong trường hợp này, ta không thể sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
bởi vì như đã nhận xét, kết luận của phép quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất
dự đoán, chưa biết đúng sai. Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng phép
quy nạp hoàn toàn mà kết luận chung được xét bằng một phương pháp suy luận đặc
biệt gọi là “phương pháp quy nạp toán học” và tiến hành chứng minh như sau:
Trước tiên, ta kiểm tra với n = 1 thì P ( 1) đúng.
Sau đó ta chứng tỏ rằng từ tính chất đúng đắn của khẳng định P ( k − 1) đúng
với n = k − 1, k ≥ 1 , cũng suy ra rằng P ( k ) đúng với n = k .
Hoặc từ tính chất đúng đắn của khẳng định P ( k ) đúng với n = k , k ≥ 1 , cũng suy
ra rằng P ( k + 1) đúng với n = k + 1 .
Từ đó suy ra rằng P ( n ) đúng với mọi n ∈ ¥ * .

20
Khi đó, khẳng định P ( n ) được coi là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 . Thật
vậy, ta có nếu P ( 1) đúng thì P ( 2 ) đúng, nếu P ( 2 ) đúng thì P ( 3) đúng,… Tiếp
tục suy luận như vậy, ta có P ( n ) đúng ∀n ≥ 1 .
Phương pháp chứng minh trên đây được gọi là phương pháp quy nạp toán
học. Cở sở của phương pháp chứng minh này là nguyên lý quy nạp toán học.
1.3.2. Nguyên lý quy nạp toán học
Hệ tiên đề Peano về tập hợp số tự nhiên:
Tiên đề 1. 1 là số tự nhiên.
Tiên đề 2. Với mọi số tự nhiên a , có một số tự nhiên a* đi liền sau a .
Tiên đề 3. Số 1 không đi liền sau số tự nhiên nào. Nói cách khác, với mọi số tự
nhiên a ta chỉ có a* khác 1.
Tiên đề 4. Nếu a* = b* thì a = b . Số tự nhiên đi liền sau a là duy nhất.
Tiên đề 5 (Tiên đề quy nạp). Nếu một tập hợp M các số tự nhiên có tính chất M
chứa 1, nếu M chứa a thì M cũng chứa a* . Khi đó M trùng với tập hợp các số
tự nhiên ¥ .
Cơ sở của nguyên lý quy nạp toán học là tiên đề thứ 5 (còn gọi là tiên đề quy
nạp) của hệ tiên đề Peano về tập hợp số tự nhiên, xây dựng từ cuối thế kỉ XIX. Nội
dung cụ thể đó như sau:
Nếu một tập hợp M các số tự nhiên có tính chất: M chứa 1 và nếu M
chứa a thì M cũng chứa a* (hiểu là a + 1 ) thì M chính là ¥ .
Một mệnh đề phụ thuộc vào n (n ∈ ¥ * ) được coi là đã được chứng minh với
mọi số n nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
a. Mệnh đề đúng với n = 1 .
b. Từ sự đúng đắn của mệnh đề với một số tự nhiên n = k nào đó thì suy ra
sự đúng đắn của nó với n = k + 1 .
Sau đây chúng ta xét ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng
minh các mệnh đề toán học.

Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng:

Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) n (2n − 1) = (−1) n .n
Giải.


21
+ Ta có với n = 1 ⇒ S1 = −1 = (−1)1.1 . Do đó mệnh đề đúng với n = 1.
+ Giả sử rằng mệnh đề đúng với k ( k ∈ ¥ * ) tức là đã chứng minh được rằng:

Sk = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) k (2k − 1) = (−1) k .k
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 . Nghĩa là phải chứng minh:

Sk +1 = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) k (2k − 1) + ( −1) k +1 (2k + 1) = ( −1) k +1.( k + 1)
Thật vậy, ta có: S k +1 = S k + (−1) k +1 (2k + 1) = ( −1) k k + (−1) k +1 (2k + 1)

= (−1) k ( k − 2k − 1) = ( −1) k (− k − 1) = ( −1) k +1 ( k + 1)
Từ đó theo nguyên lý quy nạp toán học ta có :

Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + (−1) n (2n − 1) = (−1) n .n với mọi n ∈ ¥ *
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng không đúng phương pháp
quy nạp toán học.
Ví dụ 1.12. Xét mệnh đề: “Bất kỳ một tập hợp hữu hạn các số tự nhiên nào cũng
gồm toàn những số bằng nhau”.
Chứng minh. Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử của tập hợp.
+ Với n = 1, mệnh đề là hiển nhiên: mỗi số luôn bằng chính nó.
+ Giả sử mệnh đề đã được chứng minh với tập hợp có k phần tử. Ta sẽ chứng minh
mệnh đề cũng đúng với tập hợp có k + 1 phần tử.
Lấy tập hợp có k + 1 phần tử là a1; a2 ; a3 ;...; ak ; ak +1 .

Theo giả thiết quy nạp ta có a1 = a2 = ... = ak cũng theo giả thiết quy nạp thì
ta có: a2 = a3 = ... = ak = ak +1 .
Từ đó ta có: a1 = a2 = a3 = ... = ak = ak +1 .
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra mệnh đề trên đúng.
Nhận xét. Sai lầm của suy luận trên là ở chỗ chỉ có thể chuyển từ k đến k + 1 với

k ≥ 2 ; nhưng không thể chuyển từ n = 1 đến n = 2 bằng suy luận này được.
Ví dụ 1.13. Mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên tiếp sau nó.
Chứng minh.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k , với k ∈ ¥ * ; tức là k = k + 1 . Ta sẽ chứng
minh rằng mệnh đề đó đúng với n = k + 1 ; tức là phải chứng minh k + 1 = k + 2 .


22
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

k = k + 1 ⇒ k + 1 = k + 1 + 1 ⇒ k + 1 = k + 2.
Từ đó theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề trên luôn đúng với ∀n ∈ ¥ * .
Nhận xét. Sai lầm của suy luận trên là đã quên kiểm tra định lý có đúng khi n = 1
không? Ta thấy rõ ràng rằng khi n = 1 thì mệnh đề không đúng (vì 1 ≠ 2 ), do đó ở
đây ta không áp dụng được phương pháp quy nạp toán học được.
Chúng ta lưu ý rằng trong nhiều trường hợp cần phải chứng minh một mệnh

(

)

*
đề nào đó đúng không phải với tất cả các số tự nhiên mà chỉ với n ≥ p p ∈¥ thì

nguyên lý quy nạp được trình bày dưới dạng sau:
Nếu: + Mệnh đề đúng với n = p .
+ Từ giả thiết mệnh đề đúng với các số tự nhiên n = k ≥ p ta suy ra
mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 .
Thì khi đó mệnh đề sẽ đúng với tất cả các số tự nhiên n ≥ p .
1.3.3. Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học
Giả sử P ( n ) là một khẳng định cần chứng minh phụ thuộc vào biến n .
Hình thức 1:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( 1) đúng.
- Bước 2: Giả sử khẳng định P ( k ) đúng (k ≥ 1) . Ta suy ra được P ( k + 1) cũng
đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .
Hình thức 2:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( n0 ) đúng với n0 là một số nguyên nào đó.
- Bước 2: Giả sử khẳng định P ( k ) đúng ( k ≥ n0 ) ta suy ra được P ( k + 1) cũng
đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số nguyên n ≥ n0 .
Hình thức 3:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( 1) đúng.


23
- Bước 2: Giả sử các khẳng định P ( 1) , P ( 2 ) ,..., P ( k ) đúng ta suy ra được

P ( k + 1) cũng đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 .
Hình thức 4:
- Bước 1: Chứng minh cho P ( n0 ) và P ( n0 + 1) đúng với n0 ∈ ¥ .
- Bước 2: Giả sử P ( k − 1) và P ( k ) đúng. Ta suy ra được P ( k + 1) cũng đúng.
- Bước 3: Kết luận P ( n ) đúng với mọi n ≥ n0 .

Ta thấy hình thức đầu tiên là hình thức thường hay sử dụng. Vậy phương
pháp để chứng minh một mệnh đề chứa biến P ( n ) là mệnh đề đúng với mọi giá trị
nguyên dương của n ≥ p ( p ∈ ¥ * ) , ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Kiểm chứng mệnh đề đúng với n = p , tức là P ( p ) đúng.
Bước 2: Giả sử với n = k ( k ≥ p ) mệnh đề P ( k ) đúng (gọi là giả thiết quy nạp).
Với n = k + 1 ta cần chứng minh mệnh đề P ( k + 1) đúng. Như vậy ta thấy:

P ( n ) đúng với n = p thì cũng đúng với n = p + 1, p + 2, p + 3,...
Từ đó ta có kết luận: mệnh đề P ( n ) đúng với mọi n ∈ ¥ và n ≥ p ( p ∈ ¥ * ) .
Chúng ta nhiều khi tưởng rằng quy nạp thực chất cũng chỉ là đi theo một mô
hình quen thuộc cho nên bỏ qua vài bước trong đó. Ta nên cẩn thận mà hiểu rằng đó
là làm trái với tiên đề và như vậy tất nhiên sẽ không có cơ sở gì nói lên rằng chứng
minh của ta là đúng. Do đó, ta cần trình bày đầy đủ các bước cho một chứng minh
quy nạp, điều này rất cần thiết.


24
Chương 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
TRONG GIẢI BÀI TẬP TOÁN
Dựa vào những kiến thức cơ sở về phương pháp chứng minh quy nạp toán
học, chương này trình bày ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán
học trong giải một số bài tập toán. Bên cạnh lời giải của các bài toán còn đưa ra
nhận xét, phân tích hay hướng khai thác lời giải của bài toán đó.
2.1. Ứng dụng quy nạp toán học trong một số bài toán đại số
2.1.1. Vận dụng quy nạp để chứng minh một mệnh đề toán học
Bài toán 2.1. Chứng minh một mệnh đề toán học. Một kết quả tổng quát được
chứng minh trong trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp, vét hết các khả
năng có thể xảy ra thì kết quả đó được chứng minh quy nạp hoàn toàn.
Ví dụ 2.1.1. Chứng minh mệnh đề:
“Phương trình

( m – 1) x 2 – 2 ( 2m – 1) x + 3m = 0 ( 2.1.1)

luôn có nghiệm

với mọi giá trị của tham số m ”.
Phân tích. Để chứng minh mệnh đề này, ta phải xét tham số m. Trước tiên ta đi xét
hệ số của x 2 , tức là xét m – 1 , nếu m – 1 = 0 thì ( 2.1.1) trở thành phương trình
bậc nhất một ẩn, nếu m – 1 ≠ 0 thì ( 2.1.1) là phương trình bậc hai một ẩn.
Giải. Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Với m = 1 . Khi đó, phương trình ( 2.1.1) trở thành: −2 x + 1 = 0 ⇔ x =

1
.
2

Như vậy trong trường hợp m = 1 , mệnh đề trên đúng.
TH2: Với m ≠ 1 .
Khi đó, phương trình ( 2.1.1) là phương trình bậc hai ẩn x .
2
Có ∆ ' = ( 2m – 1) – ( m – 1) .3m = m 2 – m + 1 > 0 với mọi giá trị của m .

Do đó phương trình ( 2.1.1) có hai nghiệm phân biệt. Nghĩa là trong trường
hợp này, phương trình ( 2.1.1) cũng có nghiệm.
Kết luận: Vậy phương trình ( 2.1.1) luôn có nghiệm với mọi m .
Nhận xét. Rõ ràng qua hai trường hợp trên ta đã xét hết các khả năng có thể có của

m . Vậy phương trình ( 2.1.1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m .

25
Khai thác. Muốn chứng minh một phương trình nào đó luôn có nghiệm với mọi giá
trị của tham số, ta xét các giá trị của tham số đó theo các khả năng có thể xảy ra thì
kết quả đó sẽ được chứng minh. Ta được bài toán tương tự. Chẳng hạn:
2
2
Chứng minh mệnh đề: “Phương trình 2 x − x − 8 = x − 1 có nghiệm duy

nhất”.
Bài toán 2.2. Trong một số trường hợp tổng quát, ta vét hết các khả năng có thể xảy
ra thì kết quả đó được chứng minh quy nạp hoàn toàn.
Ví dụ 2.1.2. Giải và biện luận phương trình: mx − n = nx − m

( 2.1.2 )

theo hai

tham số m, n .
Phân tích. Đây là phương trình có thể đưa về dạng ax + b = 0 hay ax = −b rồi
biện luận.
Giải.
Ta có phương trình ( 2.1.2 ) ⇔ mx − nx = − m + n ⇔ (m − n) x = −(m − n)
+ Nếu m ≠ n thì ( 2.1.2 ) ⇔ x =

−( m − n )
= −1 .
m−n

+ Nếu m = n thì ( 2.1.2 ) có dạng 0 x = 0 , do đó ( 2.1.2 ) nghiệm đúng với ∀x ∈ ¡ .
Kết luận: Nếu m ≠ n thì phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 .

Nếu m = n thì phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ ¡ .
Khai thác.
+ Nếu giữ nguyên ẩn và các tham số, thay đổi phép toán ta sẽ được bài toán mà quá
trình giải được thực hiện như trên.
Giải và biện luận phương trình mx + n = nx + m .
+ Nếu tăng độ phức tạp cho các tham số, chẳng hạn không phải m, n mà là một
biểu thức nào đó chứa m, n cũng sẽ được bài toán mà lời giải được thực hiện cũng
theo quy trình tương tự như trên. Chẳng hạn:

(

)

3
3
Giải và biện luận phương trình (m − 1) x − n = n − 1 x − m .

2.1.2. Vận dụng quy nạp toán học trong phát hiện quy luật và chứng minh quy
luật đó
Trong quá trình ta giải một số bài toán, có thể ta phát hiện ra được một quy
luật nào đó, mà khi phát hiện ra quy luật đó, chúng ta chứng minh dự đoán đó đúng.
Bài toán 2.3. Tính tổng Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n