Toan 10 VCVB Đề thi, đáp án (đề xuất) trại hè hùng vương

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

ĐỀ THI MÔN TOÁN

TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC

KHỐI 10

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Đề này có 01 trang, gồm 05
câu

Câu 1. (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực 

2(x 2 + x - 1)2 + 2x 2 + 2x = 3 +

5 + 4x

Câu 2. (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Các tiếp điểm
của (I) với AB, BC, CD, DA làn lượt là E, F, G, H. Chứng minh AC, BD, EG,
HF đồng quy tại một điểm.

( )

5

2

Câu 3. (4,0 điểm) Giả sử đa thức P x = x + ax + b có năm nghiệm

x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Đặt f ( x ) = x 2 - 3. Chứng minh rằng

f ( x 1 ) ×f ( x 2 ) ×f ( x 3 ) ×f ( x 4 ) ×f ( x 5 ) ³ - 243 .
Câu 4. (4,0 điểm) Cho 2014 tập hợp mà mỗi tập hợp này đều chứa đúng 40
phần tử. Biết rằng hai tập tuỳ ý trong các tập này đều có đúng một phần tử
chung. Hãy chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2014 tập đã cho.
Câu 5. (4,0 điểm) Chứng tỏ rằng tổng
A=

2014
2014
2014
2014
+
+
...
+
+
...
+
(2013 số hạng)
20132 + 1 20132 + 2
20132 + n
2013 2 + 2013

không phải là số nguyên dương.
------------------- HẾT ------------------Người ra đề
(Phạm Thị Lan – Điện thoại 0982217044)

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN

TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC

KHỐI 10

ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Đáp án này có 04 trang, gồm 05 câu

Câu 1
Đáp án
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực 

2(x 2 + x - 1)2 + 2x 2 + 2x = 3 +
+ Điều kiện: x ³ -

Điểm
4,0

5 + 4x
0,5

5
4

+ Đặt y = x 2 + x - 1 ta có phương trình: y 2 + y - 1 = - 1 +

5 + 4x
2

+ Đặt z = - 1 +

5 + 4x
1 ta có phương trình: 2
z + z - 1=x
,z ³ 2
2
ìï x 2 + x - 1 = y
ìï x (x + 1) = y + 1
ïï
ïï
2
ï
+ Ta có hệ phương trình: í y + y - 1 = z (1) Û ïí y (y + 1) = z + 1 (2)
ïï 2
ïï
ïï z + z - 1 = x
ïï z (z + 1) = x + 1
î
î
1
Do điều kiện z ³ suy ra y ¹ - 1, x ¹ - 1 .
2
Từ (2) suy ra xyz = 1.
Mặt khác, cộng vế với vế của (1): x 2 + y 2 + z 2 = 3 ³Þ£
3 3 x 2y 2z 2
xyz 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 = y 2 = z 2 = 1 Þ x = y = z = 1 (vì
x , y, z ¹ - 1 )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

Câu 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Các tiếp điểm của (I) với AB,
BC, CD, DA làn lượt là E, F, G, H. Chứng minh AC, BD, EG, HF đồng quy
tại một điểm.

4,0


A

E
B

H
M
D

F

G

1,5

C

Gọi M là giao của AC và HF, M ¢ là giao của AC và EG.
·
·
Vì sin A· HM = sin BFM
nên ta có
= sin FMC
S VA BM
sin A· MH .A M .A H
A H .HM . sin A· HM
AM
AH
=
=
Þ
=
·
S VMFC
MC
FC
sin A· MH .MF .MC
MF .FC sin BFM
AM '

AE
Tương tự
=
(2)
M 'C
GC
Do A H = A E , CF = CG nên từ (1), (2) ta có

(1)
0,5

1,0

AM
AM '
=
Þº M
M ' hay AC, EG, HF đồng quy tại M.
MC
M 'C
Tương tự ta cũng có BD, HF, EG đồng quy tại M.

1,0

Hay AC, BD, EG, HF đồng quy.
Câu 3 Giả sử đa thức P x = x 5 + ax 2 + b có năm nghiệm x , x , x , x , x .
1
2
3
4

5

( )

( )

2

Đặt f x = x - 3. Chứng minh rằng

4,0

f ( x 1 ) ×f ( x 2 ) ×f ( x 3 ) ×f ( x 4 ) ×f ( x 5 ) ³ - 243 .

( )

Vì x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 là nghiệm của P x nên

1,0

P ( x ) = ( x - x1 ) ( x - x 2 ) ( x - x 3 ) ( x - x 4 ) ( x - x 5 )
f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( x 4 ) f ( x 5 )

(

= x1 -

)(

3 x1 +

)(

3 x2 -

)(

3 x2 +

) (

3 K x5 -

)(

3 x5 +

3

)

1,0


(

3) ( x
) (
= P ( 3 ) ×P ( - 3 ) = ( - 9
= x1 -

3 K x5 -

) (

3 K x5 +

+
1

3

1,0

)

)(

3 + 3a + b 9 3 + 3a + b

)

1,0

2

= ( 3a + b) - 243 ³ - 243
Câu 4 Cho 2014 tập hợp mà mỗi tập hợp này đều chứa đúng 40 phần tử. Biết rằng
hai tập tuỳ ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung. Hãy chứng

4,0

minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2014 tập đã cho.
Xét tập A tuỳ ý trong 2014 tập đã cho.
Vì A có phần tử chung với từng tập trong 2013 tập còn lại nên trong A phải
tồn tại phần tử a nào đó thuộc ít nhất 51 trong 2013 tập còn lại (vì ngược

1,0

lại, nếu một trong 40 phần tử của A chỉ thuộc 50 tập còn lại thì số tập đã
cho khác A sẽ là 40.50 = 2000 < 2013 ).
Như vậy, phần tử a thuộc 52 tập A , A1, A2, ..., A51 .
Chứng minh a thuộc tập bất kỳ B trong 2014 tập đã cho.
Vì hai tập tuỳ ý trong các tập đã cho có đúng một phần tử chung nên các tập
1,0

A , A1, A2, ..., A 51 không thể có phần tử chung nào khác a .
Giả sử phần tử a không thuộc B . Khi đó với mỗi Ai ( 1 £ i £ 51) , B phải
có phần tử chung ai ¹ a và các phần tử này cũng phải khác nhau. (Nếu

(

)

ai = a j thì các tập Ai , A j 1 £ i, j £ 52 sẽ có ít nhất hai phần tử chung là

1,0

a và ai ). Bởi vậy tập B chứa không ít hơn 52 phần tử (trái giả thiết).
Do đó a thuộc tập B .

(

)

Vì B là tập bất kỳ trong 1962 tập còn lại B ¹ A, B ¹ Ai ( 1 £ i £ 51) nên
a thuộc tất cả 2014 tập đã cho.
Câu 5 Chứng tỏ rằng tổng
A=

2014
2014
2014
2014
+
+
...
+
+
...
+
20132 + 1 20132 + 2
20132 + n
2013 2 + 2013

(2013 số hạng)

1,0

4,0

không phải là số nguyên dương.
Trước hết ta giải bài toán tổng quát:
“ Chứng minh rằng tổng (n số hạng, n > 1 )
A=

n+1
n+1
n+1
+ 2
+ ... + 2
(n số hạng)
2
n +1 n +2
n +n

không phải là số nguyên dương”.
n+1 n+1
n+1
Ta có A <
+
+ ... +
(n số hạng)
2
2
n
n
n2
n+1

1
=
.
n
=
1
+
< 2.
n
n2
n+1
n+1
n+1
+ 2
+ ... + 2
Mặt khác A > 2
(n số hạng)
n +n n +n
n +n
n+1
= 2
.n = 1
n +n
Do đó 1 < A < 2 . Vậy A không phải là số nguyên dương. Với n = 2013 thì
ta có bài toán đã cho.

1,0

0,5
0,5

0,5
0,5
1,0