Cơ sở vật lý chất rắn bài 3

Baøi 3


1. Dao động của chuỗi nguyên tư

Trong tinh thể các nguyên tử dao động quanh ca
trong không gian 3 chiều.

Bài toán của một hệ hạt có tương tác với nhau v
biên độ nhỏ quanh vò trí cân bằng là một trong n
điển hình của Cơ học cổ điển.

Để thấy một số tính chất quan trọng của các dao
đầu từ một chuỗi thẳng của các nguyên tử.


a. Chuỗi thẳng dài vô hạn của các nguyên t
có cùng khối lượng m

d 2x n
m 2 = - f [( x n - x n -1 ) - (x n +1 - x
dt

xn là độ lệch khỏi vò trí cân bằng của nguyên
f là hằng số lực đàn hồi tương tác giữa 2 nguy
Nghiệm có dạng
q - số sóng

xn = A exp i ( wt + qna

Thay nghiệm vào phương trình chuyển động đ

f
1
w = ±2
sin( qa)
m
2
cho thấy sự phụ thuộc của tần số dao động w va
w là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ
chỉ cần xét q trong khoảng

2p
a

p
p
- £q£
a
a

Vùng Brillouin thứ nhất một chiều

à Chỉ cần các bước sóng lớn hơn 2a


Ở hình trên , q = p/a tương ứng với l=2a. q > p/a kho
vật lý vì không có nguyên tử dao động giữa một chu
vectơ sóng được phép cho dao động mạng nằm trong
thứ nhất ( |q| < p/a ).

Do đó tất cả có N giá trò được phép của vectơ sóng (
nằm trong khoảng -p/a < q < p/a. Mỗi giá trò đó tươn
mode dao động của mạng. Mode đó được gọi là mod


Vận tốc pha của sóng trong chuỗi :
w
vp = = a
( vận tốc truyền của các mặt đẳng pha )
q

ª Với q nhỏ ( bước sóng dài ) vận tốc pha vp = a(f
đổi và bằng vận tốc truyền âm trong tinh thể ( ~

ª Khi q tăng, vận tốc giảm : hiện tượng tán sắc. S
ï ảnh hưởng lẫn nhau giữa các phần nén và dãn
các bước sóng ngắn các phần đó rất gần nhau.
ª Khi l giảm đến 2a các phần nén và dãn bù trừ
sóng biến mất --> vận tốc bằng 0.

Vận tốc truyền năng lượng - vận tốc nhóm: v nhóm =
Ở các biên q = p/2 , vnhóm = 0 : không truyền năng


w
(4f / m )1/ 2

w
qa
=

sin
2
(4f / m )1/ 2

Vuøng Brillouin thöù nhaát

q


f
1
w = ±2
sin( qa)
m
2

Với q nhỏ

w
2

f
m

q

Có sự phụ thuộc tuyến tính trong miền n


b. Chuỗi thẳng dài L hữu hạn gồm N

nguyên tử có cùng khối lượng m
f

x

x(0)

L = Na
Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N

Từ

Điều
Born

xn = A exp i ( wt + qna )

exp inqa = exp i(n+N)qa

exp iNqa = 1

Nqa =2pj

2p
q=
j
na

j là các số nguyên dương hoặc âm.

f

L = Na

Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn

Các giá trò gián đoạn của q xác đònh N dao động
chuỗi. Nghiệm tổng quát thu được từ sự tổ hợp tu
cả các nghiệm riêng

2pn
x n = å A s exp i(ws t +
j
N
s