Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN BẰNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã ngành: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

13

Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất . . . . . . . . . . . 13
1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm . . . . . . 15

1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng 18

1.3

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng . . 20

1.4

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định . . . . 26

Chương 2. NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG
29

TRÌNH TRUNG TÍNH

2.1

Phương trình trung tính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Nửa nhóm trung tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính . 34

Chương 3. NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG
TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM

43

3.1

Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm . . . . . . 43

3.2

Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ . . 45

3.3

Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm . . . . . . . . 50
i

3.4

Tính dương của nửa nhóm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 59

Chương 4. ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
64

TRUNG TÍNH

4.1

Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tính
trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng . . . 64

4.2

Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định của phương trình trung
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3

Đa tạp không ổn định của phương trình trung tính . . . . . . 86

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . 119

ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng
dẫn của thầy PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy. Tất cả các kết quả được trình bày
trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ công trình nào.
Thay mặt tập thể hướng dẫn

PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy

1

Tác giả

Phạm Văn Bằng


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.
Nguyễn Thiệu Huy, người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên
con đường khoa học. Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,
giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thử
thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn
được tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã
nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn
Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được
chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,

Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè
đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học
mình đã chọn.
Tác giả

2


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N

: tập các số tự nhiên.

R

: tập các số thực.

R+

: tập các số thực không âm.

Lp (R)

:=

u:R→R: u

p

|u(x)|p dx)1/p < +∞ , 1 ≤ p < ∞.

=(
R

L∞ (R)

:= {u : R → R : u

∞

= ess sup |u(x)| < +∞}.
x∈R

L1,loc (R)

:= {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R}.
trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.
t+1

M(R+ )

:=

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

|f (τ )|dτ < ∞ ,

t
t+1

với chuẩn f

M

|f (τ )|dτ.

:= sup
t≥0

t

E

: không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .

ER

: không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.

X

: không gian Banach.

C

:= C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= sup

u(t) .

t∈[−r,0]

C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục và lim f (t) = 0} không gian hàm
t→−∞

với chuẩn sup.
Cb (R+ , X) : không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX,
xác định trên R+ với chuẩn u

∞

= sup u(t) .
t∈R+

3


MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Vào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được coi như một trường hợp
đặc biệt của phương trình sai - vi phân.
Ví dụ :

u (t) − u (t − 1) + u(t) = 0,
√
u (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0,
u (t) − 2u(t) + u (t − 1) − 2u(t − 1) = 0,
hoặc nó mô tả dưới dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n và sai
phân cấp m :
F t, u(t), u(t − r1 ), ..., u(t − rm ), u (t), u (t − r1 ), ..., u (t − rm ), ...
..., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), ..., u(n) (t − rm ) = 0
với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến.
Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương
trình sai - vi phân cấp 1
a0 u (t) + a1 u (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định .
Nếu a0 = a1 = 0 thì phương trình này gọi là phương trình sai phân. Nó không
chứa bất kỳ vi phân nào.
Nếu a0 = 0, a1 = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - vi
phân "có chậm" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ. Vì nó mô tả sự
phụ thuộc vào hệ trạng thái trong quá khứ.
Nếu a0 = 0, a1 = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - vi
phân "có sớm". Vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trạng thái trong tương lai.
4


Cuối cùng nếu a0 = 0, a1 = 0 thì loại phương trình sai -vi phân này, vừa
"có chậm" vừa "có sớm". Vì vậy trong trường hợp này phương trình trên gọi
là phương trình vi phân trung tính.
Gần đây J. Wu and H. Xia [24] đã xét một mạng lưới các đường dây
truyền tải và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình sau:
∂2
∂
F ut = a 2 F ut + Φut .

∂t
∂x
Phương trình có dạng phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương
trình trung tính. Trong đó hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và không
gian Banach X của hàm trên đường tròn đơn vị S 1 , tức là X = H 1 (S 1 ) hoặc
X = C(S 1 ), hàm lịch sử ut được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]
và t ≥ 0. Các toán tử tuyến tính F và Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi
là toán tử sai phân và toán tử trễ. Hale [20, 21] đã đưa ra phương pháp để
giải quyết bài toán trên, ông đã chỉ ra sự tồn tại và các tính chất của toán
tử nghiệm. Tuy nhiên đối với các phương trình vi phân trung tính phát sinh
từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật, như là hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu,
hệ sinh thái quần thể,... Khi đó việc nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của
nghiệm trở nên phức tạp, các phương pháp cũ không còn phù hợp. Bằng cách
chọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó có thể viết dưới
dạng phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọi
là phương trình tiến hóa.
Do đó, trong luận án này chúng tôi xét phương trình trung tính

 ∂ F ut = BF ut + Φut với t ≥ 0,
∂t
u (t) = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0],
0

(1)

và phương trình dạng nửa tuyến tính
∂
F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ),
∂t

t ∈ I,

(2)

trong đó I = R+ hoặc I = R, B(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn)
trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Với C := C([−r, 0], X);
5


toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, Φ : C → X là
toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phi tuyến liên tục) là toán tử trễ,
và ut là hàm lịch sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0].
Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm
tổng quát, cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những bước
phát triển gần đây của Toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản
chất của nghiệm phương trình đó.
Sử dụng các phương pháp toán học hiện đại hiện nay như là lý thuyết
phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết
các không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, ... Chúng
tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm (ổn định, không ổn định, nhị
phân,..) đối với phương trình (1) và (2).
Với phương trình trung tính tuyến tính (1) một số kết quả nền móng ban
đầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T. Huy và một
số tác giả khác (xem [33, 40, 43, 46, 53]). Trong luận án này, chúng tôi sẽ
phát triển các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính
hóa đối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn
và ứng dụng vào các mô hình cụ thể.
Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) chúng tôi nghiên cứu về sự
tồn tại đa tạp tích phân đối với nghiệm của phương trình này. Trong trường
hợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức là trường hợp đặc biệt của phương

trình trên khi F ut = u(t)) đã có nhiều công trình liên quan đến sự tồn tại đa
tạp bất biến đối với các nghiệm của phương trình có trễ (xem [3, 25, 42, 48] )
với điều kiện họ (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân
mũ, toán tử trễ phi tuyến là liên tục Lipschitz. Trường hợp phương trình vi
phân hàm trung tính trở nên phức tạp hơn khi ta lấy vi phân hàm F ut thay
vì u(t), hơn nữa công thức biến thiên hằng số được áp dụng cho F ut . Do đó,
ta cần đến một số điều kiện trên F để thu được u từ F ut . Một số kết quả về
sự tồn tại của đa tạp bất biến trong các trường hợp ôtônôm (tức là B(t) = B
6


và Φ(t, φ) = Φ(φ) không phụ thuộc vào t) được H. Petzeltová và O.J. Staffans
[14], R. Benkhalti, K. Ezzinbi và S. Fatajou [50] đưa ra với điều kiện toán tử
đạo hàm riêng B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ và toán tử trễ Φ là liên
tục Lipschitz với hằng số Lipschitz nhỏ, tức là Φ(φ) − Φ(ψ) ≤ q φ − ψ

C

với q đủ nhỏ.
Trong trường hợp không ôtônôm như phương trình (2) (tức là B(t) và
Φ(t, φ) phụ thuộc thời gian t) và đối với phương trình phát sinh từ quá trình
tương tác - khuyếch tán phức tạp, toán tử Φ đại diện cho nguồn vật chất
(hoặc dân số) mà trong nhiều trường hợp phụ thuộc một cách phức tạp vào
thời gian (xem [2], [16, Chương 11], [17]). Vì vậy, đối với một số phương trình
đó ta không thể hi vọng tính liên tục Lipschitz đều của Φ. Gần đây, đối với
phương trình vi phân có trễ (tức là F ut = u(t)) N.T. Huy và T.V. Dược đã
chỉ ra kết quả về sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến (xem [44]). Các tác giả đã
sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ (xem
[36]) của phương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xây
dựng cấu trúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt. Phương pháp nghiên cứu là áp

dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học như nguyên lí ánh xạ
co, định lý hàm ẩn, ... Việc sử dụng không gian chấp nhận được giúp các tác
giả xây dựng đa tạp bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz
đủ nhỏ của toán tử trễ phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [42]). Cụ thể các
tác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại
của đa tạp ổn định bất biến (xem [37]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi
tuyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp
nhận được. Đồng thời, việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được
đã mang đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được
công bố trong thời gian gần đây (xem [8, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43]).
Tuy nhiên sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình trung tính phi
tuyến đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu.
Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là "Một số tính

7


chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của Luận án:
Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phương
trình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phương
trình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứ
không ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm.
Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn
định đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính.
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính.
Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn.
3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhóm
để xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệm
của phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởi các
toán tử đó.
Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổn định,
Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm
phương trình trung tính tuyến tính.
Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đa
tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trình
trung tính nửa tuyến tính.
4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Đề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một số
tính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong không gian

8


Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công
nghệ.
Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranh
hình học về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân (với nhiễu
phi tuyến) xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác
định. Mặt khác, nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét.
Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trên
mang đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi
vật chất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế, trong các vấn đề của kỹ
thuật và công nghệ. Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng về

quy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những
dữ liệu ban đầu của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại và quá khứ.
5. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm bốn chương:
• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi trình bày
khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa
nhóm. Sau đó, chúng tôi trình bày không gian hàm Banach chấp nhận
được (xem [37, 42]), nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định
của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [36, 37, 39]).
• Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương
trình trung tính có dạng

 ∂ F ut
∂t
u (t)
0

= BF ut + Φut

với t ≥ 0,

= ϕ(t) với t ∈ [−r, 0].
9

(3)


Ở đây, B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, các toán tử F và Φ là
toán tử sai phân và toán tử trễ, tương ứng. Trong [53], với giả thiết các

toán tử F, Φ là tuyến tính bị chặn, (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm liên tục
mạnh (etB )t≥0 trên X. Chúng tôi giải phương trình (3) bằng cách xây
dựng nửa nhóm liên tục mạnh thích hợp trên không gian C. Nửa nhóm
này thu được bởi toán tử sinh thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, và toán
tử sai phân có thể viết dưới dạng F = δ0 − Ψ với Ψ là "nhỏ". Ta cũng
có thể thay điều kiện Ψ là "nhỏ" bởi điều kiện "không có trọng tại 0"
(xem Định nghĩa 2.2.5). Trong chương này, ta sẽ chứng minh rằng với
giả thiết (etB )t≥0 có nhị phân mũ (hyperbolic) và chuẩn của toán tử trễ
Φ đủ nhỏ, khi đó nửa nhóm nghiệm phương trình (3) cũng có nhị phân
mũ. Các kết quả của chúng tôi được mở rộng từ các kết quả đã biết
của các phương trình vi phân hàm có trễ (xem Hale và Verduyn Lunel
[19], Wu [25], Engel [27] và N.T. Huy [35]).
• Chương 3: Trong chương này, chúng tôi xét phương trình trung tính
tuyến tính với quá khứ không ôtônôm dạng
∂
F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0,
∂t
∂
∂
u(t, s) =
u(t, s) + A(s)u(t, s), t ≥ 0 ≥ s,
∂t
∂s

(4)
(5)

trong đó hàm u(·, ·) lấy giá trị trong không gian Banach X. Dựa trên
các điều kiện thích hợp của toán tử sai phân F và toán tử trễ Φ chúng
tôi chứng minh nửa nhóm nghiệm của phương trình này có nhị phân

mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 sinh bởi A(s) ổn
định mũ đều và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0
trên X. Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB )t≥0 , U, F và Φ
chúng tôi chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉ
ra điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ.

10


• Chương 4: Xét phương trình trung tính
∂
F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ),
∂t

t ∈ R+ (hoặc t ∈ R),

(6)

trong đó B(t) là toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trên
không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Đặt C := C([−r, 0], X);
xét toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, toán
tử phi tuyến liên tục Φ : R+ × C → X là toán tử trễ, và ut là hàm
lịch sử được xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Mục đích
của chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến
cho phương trình (6) khi phần tuyến tính của nó (B(t))t≥0 sinh ra họ
tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ trên nửa đường thẳng với
điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Φ là ϕ− Lipschitz, tức là
Φ(t, φ) − Φ(t, ψ) ≤ ϕ(t) φ − ψ

C

trong đó φ, ψ ∈ C, và ϕ(t) là hàm

dương nhận giá trị thực trong không gian chấp nhận được (xem Định
nghĩa 1.2.3 trong Chương 1). Chúng ta sẽ mở rộng phương pháp trong
[42] cho trường hợp phương trình vi phân trung tính (6). Khi đó điều
kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈I

t+1
ϕ(τ )dτ
t

đủ nhỏ với I = R+ (hoặc I = R). Do đó, ta chỉ ra được sự tồn tại của đa
tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định cho trường hợp phần tuyến
tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến
Φ. Hơn nữa, sử dụng kết quả và phương pháp đổi tỉ xích ta chứng minh
sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho nghiệm đủ tốt của phương trình
(4.1) trong trường hợp phần tuyến tính có tam phân mũ với một số
điều kiện của toán tử trễ phi tuyến Φ như trong trường hợp nhị phân
mũ.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình, được liệt kê
ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốn bài
báo (trong đó [1],[2],[3] thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) và
bài báo [4] đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica.
11


Luận án đã được báo cáo tại:
– Semina "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trình
tiến hóa" Viện toán cao cấp (VIASM).

– Semina "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và
ứng dụng" Đại học Bách khoa Hà Nội.
– Seminar Phương trình vi phân và tích phân, Trường Đại học Bách
khoa Hà Nội.

12


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của
nửa nhóm liên tục mạnh, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa
đường thẳng R+ (xem [38]). Bằng một số những thay đổi nhỏ, chúng ta thu
được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng thực (xem [42]). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ
của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất

1.1.1

Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi là
một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:
(i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ 0.
(ii) T (0) = I toán tử đồng nhất.
(iii) lim+ T (t)x = T (0)x, ∀x ∈ X.

t→0

Định nghĩa 1.1.2. Toán tử A : D(A) ⊆ X → X xác định bởi
1
Ax := lim+ (T (h)x − x)
h→0 h
trên miền xác định D(A) = {x ∈ X : lim+ h1 (T (h)x − x) tồn tại} gọi là toán
h→0

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.
13


Định lý 1.1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0
ta có:
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)
và

d
dt T (t)x

= T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0.

(iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có

t
0 T (s)xds

∈ D(A).

(iv) ∀t ≥ 0 ta có
t

T (t)x − x = A

T (s)xds nếu x ∈ X
0
t

T (s)Axds nếu x ∈ D(A).

=
0

Định nghĩa 1.1.4. Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach
X. Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song ánh}.
Khi đó
R(λ, A) := (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,
σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A.
Định lý 1.1.5. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Khi
đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất
sau:
(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

∞ −λs
T (t)xds
0 e

tồn tại, ∀x ∈ X thì

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).
(iii) R(λ, A) ≤

M
Reλ−ω , ∀Reλ

> ω.
14


Chú ý rằng, công thức R(λ, A)x =

+∞ −λs
e T (s)xds
0

gọi là biểu diễn tích

phân của giải thức. Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng
+∞

t

e

−λs

t→+∞

0

1.1.2

e−λs T (s)xds.

T (s)xds = lim

0

Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ và
nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh và đặc trưng phổ cho tính ổn định
và nhị phân của nửa nhóm đó. Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ổn định mũ
đều như sau.
Định nghĩa 1.1.6. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại > 0 sao cho
lim e t T (t) = 0.

t→∞

Sau đây, ta đưa ra các khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm như sau:
Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi
là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp
X = Xs ⊕ Xu , các không gian con đóng Xs , Xu bất biến đối với (T (t))t≥0 sao
cho hạn chế của (Ts (t))t≥0 trên Xs , và (Tu (t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các điều
kiện:

(i) Nửa nhóm (Ts (t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs .
(ii) Nửa nhóm (Tu (t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu (−t))t≥0 ổn định mũ đều trên
Xu
Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũ
của nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng
của nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây.
15


Định nghĩa 1.1.8. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên không
gian Banach X. Khi đó
s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}
được gọi là cận phổ của A.
Định nghĩa 1.1.9. Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tử
sinh (A, D(A)). Khi đó
ω0 := ω0 (T ) := ω0 (A) := inf ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho T (t) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0
được gọi là cận tăng của T .
Nhận xét: Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0 (A) < 0.
Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vì
trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh có
thể xác định cụ thể. Để làm điều đó ta cần đến khái niệm Định lý Ánh Xạ
Phổ (Spectral Mapping Theorem - SMT) sau đây.
Định nghĩa 1.1.10. Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh
(A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) nếu:
(SMT)

σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0.

(1.1)

Ta lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không
kéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A
(chẳng hạn xem [23, Ví dụ 1.2.4]). Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định
lý Ánh Xạ Phổ thì ta có đặc trưng sau:
(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0.
Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây được lấy từ [28].
Định lý 1.1.11. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , các mệnh đề
sau là tương đương:
16


(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
(ii) σ(T (t)) ∩ Γ = ∅ với một/ mọi t > 0.
Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) và A là toán tử
sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
(iii) σ(A) ∩ iR = ∅.
Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh
Xạ Phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn
σ(T (t)) ⊂ Γ.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0.
Hơn nữa nếu dùng trung bình Cesàro thì ta có đặc trưng sau đây của tính
nhị phân mũ mà không cần dùng đến Định lý Ánh Xạ Phổ.
Định lý 1.1.12. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X với toán tử sinh A. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.
(ii) iR ⊂ ρ(A) và
(C, 1)
k∈Z

1
R(iω + ik, A)x := lim

N →∞ N

N −1

n

R(iω + ik, A)x
n=0 k=−n

hội tụ với mọi ω ∈ R và x ∈ X.
Chú ý, định lý này được lấy từ [23, Định lý 2.6.2], trong khi chứng minh
chủ yếu do G. Greiner và M. Schwarz [12, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2]. Phiên
bản liên tục của định lý trên được chứng minh bởi M. Kaashoek và S. Verduyn
Lunel trong [29, Định lý 4.1].

17


1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.2.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được
Borel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó
B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu:
(1) (E, ·

E)

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được

Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp nơi ) thì ψ ∈ E và ψ

E

≤ ϕ

E,

(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]
∞, inf t≥0 χ[t,t+1]

E

E

> 0,

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao
cho

J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E.

Bổ đề sau đây cho ta tiêu chuẩn kiểm tra một hàm liệu có thuộc không
gian hàm Banach E.
Bổ đề 1.2.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo
được Borel trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact
và bị chặn cốt yếu trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E.
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu
trên J nên tồn tại M > 0 sao cho
λ(A) := λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0.
Đặt B = J \ A, do E là không gian hàm Banach nên |ϕ| ∈ E và χB ∈ E. Bởi
vậy, |ϕ| + χB ∈ E. Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ| + M χB (λ-hầu khắp nơi ), suy ra
ψ ∈ E.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn:
18

<


(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

E.

t+1
ϕ(τ )dτ .
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , với
Tτ+ ϕ(t) =

ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0
nếu 0 ≤ t < τ

0

Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.2.4. Không gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞, và không gian
t+1

M(R+ ) :=

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup
t≥0

với chuẩn f

M

:= supt≥0

t+1
|f (τ )|dτ
t

|f (τ )|dτ < ∞ ,
t

là các không gian hàm Banach chấp

nhận được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như
là không gian Lorentz Lp, q , 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm
Banach chấp nhận được.
Chú ý 1.2.5. Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E →
M(R+ ).
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận
được.
Mệnh đề 1.2.6. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có
các khẳng định sau

19


(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác
định Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau:
t

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

Λσ ϕ(t) =

0

∞

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

Λσ ϕ(t) =
t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E (xem Chú ý 1.2.5) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh
giá
Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

(1.2)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.2.3.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.
Chứng minh. Xem [36].

1.3

Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng

Thay R+ bởi R và thay đổi tương ứng trong các định nghĩa chúng ta có
khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực.
Định nghĩa 1.3.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được
Borel trên R được gọi là không gian hàm Banach trên (R, B, λ), trong đó B
là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R, nếu:
(1) (E, ·

E)

là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được

Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp) thì ψ ∈ E và ψ
20

E

≤ ϕ

E,


(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt∈R χ[t,t+1]
∞, inf t∈R χ[t,t+1]

E

E

> 0,

(3) E → L1,loc (R), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R tồn tại βJ > 0 sao
cho

J

|f (t)|dt ≤ βJ f

E

với mọi f ∈ E.

Định nghĩa 1.3.2. Không gian hàm Banach E trên đường thẳng thực được
gọi là chấp nhận được nếu nó thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R và mọi ϕ ∈ E ta có
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E.

(ii) E là bất biến đối với toán tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ ,
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R, với
Tτ+ ϕ(t) = ϕ(t − τ ).
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ).
Hơn nữa tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R.
Tương tự như trong R+ , ta có một số tính chất sau của không gian hàm
Banach chấp nhận được trên đường thẳng.
Mệnh đề 1.3.3. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng. Ta có các tính chất sau:

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,
−∞

21

<