phương trình tích phân trong không gian trừu tượng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


HỒ THỊ MỴ


PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN
TRỪU TƯỢNG


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số chuyên ngành: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS LÊ HOÀN HÓA



Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2012

1

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn
Hóa, người đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi tối đa để tôi hoàn

thành tốt luận văn này.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian và công sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi
hoàn thành tốt luận văn.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Quý Thầy Cô Phòng Sau đại
học, Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán- Tin học trường Đại học Khoa
học tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp chúng tôi hoàn thành chương trình học.
Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính
mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý Thầy Cô khi đọc và
chấm luận văn.
Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, và bạn bè đã hỗ
trợ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Xin chân thành cảm ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011
Hồ Thị Mỵ

2

TỔNG QUAN

Lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian trừu tượng hiện
đại hơn lý thuyết về phương trình tích phân trong không gian hữu hạn chiều.
Thực tế, lý thuyết về phương trình vi tích phân trong không gian vô hạn
chiều, không đòi hỏi toán tử bị chặn, được biết đến vào những năm 1970,
1980, và đã có nhiều ứng dụng khác nhau nhất là trong khoa học ứng dụng.
Trong luận văn này, phương trình tích phân được tiếp cận bằng một số
phương pháp như
• Phương pháp điểm bất động trong các không gian hàm khác nhau, liên
quan đến bài toán về sự tồn tại và tính chất nghiệm;

• Lý thuyết nửa nhóm;
• Xây dựng hạch giải thức và ứng dụng của nó.
Các loại phương trình Volterra cổ điển, các dạng khác nhau của phương trình
vi tích phân, và phương trình Volterra trừu tượng đã được nghiên cứu bởi
nhiều tác giả. Những nghiên cứu này minh họa cho vai trò ngày càng quan
trọng của phương trình Volterra cũng như sự phát triển của toán học hiện đại.
Mục tiêu của luận văn là chúng tôi đưa ra kết quả liên quan đến hướng
nghiên cứu được đề cập ở trên, và minh họa các phương pháp đã được áp
dụng thành công để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực này.
Nội dung luận văn được chia làm 5 chương
- Chương 1: trình bày nội dung về phương trình với toán tử bị chặn.
- Chương 2: phương trình với toán tử không bị chặn trong không gian
Hilbert.

3

- Chương 3: phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi tích phân.
- Chương 4: phương trình Volterra không tuyến tính và liên kết nửa nhóm
toán tử.
- Chương 5: sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân trong không
gian Hilbert.

4

MỤC LỤC


Trang

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn 1
TỔNG QUAN 2
Mục lục 4
Danh mục các kí hiệu 6
Chương 1- PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG
GIAN TRỪU TƯỢNG
7
1.1. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích
phân trong không gian Banach
7
1.2. Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối
số lệch
10
Chương 2- PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ KHÔNG BỊ CHẶN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
26

2.1. Bổ đề 2.1 26
2.2. Bổ đề 2.2 27
2.3. Định lý 2.3 28
2.4. Ứng dụng định lý 2.3 31
Chương 3- PHƯƠNG PHÁP NỬA NHÓM CHO PHƯƠNG
TRÌNH VI TÍCH PHÂN
34

3.1. Định nghĩa 3.1 35
3.2. Định nghĩa 3.2 36
3.3. Mối liên hệ giữa nửa nhóm toán tử và toán tử giải
thức
36
3.4. Xây dựng toán tử giải thức cho phương trình vi tích phân 39

5

Chương 4- PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA KHÔNG TUYẾN
TÍNH VÀ LIÊN KẾT NỬA NHÓM TOÁN TỬ
40
4.1. Bổ đề 4.1 44
4.2. Bổ đề 4.2 46
4.3. Bổ đề 4.3 47
4.4. Định lý 4.4 49
4.5. Định lý 4.5 53
4.6. Định đề 4.6 53
4.7. Định đề 4.7 54
Chương 5- SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
55

5.1. Một số định nghĩa cơ bản 55
5.2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân
trong không gian Hilbert
56
KẾT LUẬN 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO 63








6

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

●
{
}
N=0,1,2,
K
;
{
}
N=1,2,
∗
K
.

●
[
)
R0,.
+
=∞

●
(
)
R,.
=−∞+∞

●
[ ]
(
)
2
0,
nn
coKnPQ

××

: là bao lồi đóng của
[ ]
(
)
2
0,

nn
KnPQ
××
.
Giả sử
X
là không gian Banach với chuẩn
⋅
và
Y
là không gian Banach, ta
kí hiệu
●
(
)
,
LXY
là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ
X
vào
Y
.
●
[
]
(
)
0,,
CTX
: là tập các ánh xạ liên tục từ

[
]
0,
T
vào
X
.
●
(
)
(
)
1
R,
CX
+
: không gian các hàm khả vi liên tục từ
R
+
vào
X
.
●
[
]
(
)
0,,
p
LTX

: không gian các hàm
(
)
xt
đo được theo độ đo Lebesgue
trên
[
]
0,
T
sao cho
( )
0
T
p
xtdt
<+∞
∫
, với chuẩn
( )
1
0
p
T
p
p
L
xxtdt

=



∫
,
1
p
≥
.
●
(
)
(
)
(
)
{
}
1,111
R,R,:R,,1
WXfLXDfLX
α
α
+++
=∈∈≤
với
Df
α
là
đạo hàm suy rộng thứ
α

của
f
.
●
[
]
(
)
0,,
LTX
∞
: không gian gồm các hàm
[
]
:0,
xTX
→
đo được và tồn
tại hằng số
C
sao cho
(
)
xtC
≤
h.k.n trên
[
]
0,
T

.
●
(
)
{
R,:R
p
loc
LXfX
++
=→
đo được sao cho
(
)
p
fL
ω
∈
với mọi
R
ω
+
⊆

thỏa
ω
là tập compact chứa trong
}
R
+

(
1
p
≤≤∞
).

7

Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH

VỚI TOÁN TỬ BỊ CHẶN

1.1. Sự tồn tại và tính chất nghiệm của phương trình tích phân
trong không gian Banach
Định lý 1.1.1.
Cho
X
là một không gian Banach với chuẩn
⋅
, xét phương trình tích phân

( ) ( ) ( )
( )
[ ]
0
,,,0,,
t
xtftktsxsdstT
=+∈

∫
(1.1)
với
,
xf
là các ánh xạ từ
[
]
0,
T
vào
X
, ánh xạ
[
]
[
]
:0,0,
kTtXX
××→
. Giả
sử rằng
(1)
(
)

∈

0,,;
fCTX

(2)
(
)
,,
ktsx
liên tục mạnh theo
(
)
,,
tsx
trên tập

(
)
0;0;,
tTstxftr
≤≤≤≤−≤

(
)
D

trong đó r là một số dương;

(3)
k
thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên
D

(
)
(
)
,,,,.
ktsxktsyLxy
−≤−
(1.2)
Khi đó, phương trình (1.1) tồn tại nghiệm
(
)
xxt
=
xác định trên

8

{
}
1
0,min,
tTMr
δδ
−
≤≤=
,
trong đó
(
)

=
sup,,
D
Mktsx
.
Chứng minh.
Đặt
{
}
[
]
(
)
,0,,
rr
SxXxfrSCX
δ=∈−≤⊂
,

(
)
[
]
{
}
1
sup;0,
Lt
xxtet
δ

−
=∈
.
Trên
r
S
ta định nghĩa toán tử
T
như sau

( )( ) ( ) ( )
( )
[ ]
0
,,,0,.
t
Txtftktsxsdst
δ
=+∈
∫

Từ (1.2) ta có

(
)
(
)
(
)
(

)
−≤−,,,,
ktsxktsftLxft


(
)
(
)
(
)
(
)
,,,,,
ktsxLxftktsft
≤−+

mà
(
)
(
)
(
)
,,
Lxftktsft
−+
bị chặn trên
D
nên

M
<+∞
.
Với mọi
,
∈
r
xyS
ta có
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
{ }
0
,,,,
t
TxtTytktsxsktsysds
−=−
∫
.
Ta suy ra
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
{ }
0
,,,,
t

TxtTytktsxsktsysds
−=−
∫


9


( ) ( )
0
t
Lxsysds
≤−
∫


( )( ) ( )( ) ( ) ( )
0
t
LtLtLsLs
eTxtTyteLeexsysds
−−−
−≤−
∫



11
0
t

Ls
TxTyxyLeds
−
−≤−
∫



(
)
11
1
Lt
TxTyexy
−
−≤−−


(
)
[
]
11
1,0,.
L
TxTyexyt
δ
δ
−
−≤−−∈

Vì
11
δ−
−<
L
e
nên
T
là ánh xạ co trên
r
S
hay
(
)
(
)
(
)
Txtxt
=
. ■
Định lý 1.1.2. (Krasnoselskii-Perov)
Cho
X
là không gian Banach thực,
D
là tập mở bị chặn và
:
TDX

→
là
ánh xạ compact. Giả sử
T
thỏa các điều kiện sau
i) Với
0
ε
>
tồn tại ánh xạ compact
T
ε
sao cho
(
)
(
)
,
TxTxxD
ε
ε
−<∀∈

và phương trình
(
)
xTxh
ε
=+
có nhiều nhất một nghiệm trên

D
nếu
h
ε
≤
;
ii)
T
không có điểm bất động trên
D
∂
và
(
)
deg,,00
ITD
−≠
.
Khi đó tập các điểm bất động của
T
là tập compact liên thông.
Ta kí hiệu
[
]
(
)
0,,
ECTX
= là một không gian hàm. Toán tử
:

VEE
→

được gọi là toán tử Volterra trừu tượng nếu với bất kì
,
xyE
∈
sao cho
(
)
(
)
xsys
=
với
[
]
0
,,
stttT
∈≤
thì
(
)
(
)
(
)
(
)

VxtVyt
=
.
Xét phương trình Volterra trừu tượng như sau

10


(
)
(
)
(
)
[
]
,0,,
xtVxttT
=∈
(1.3)
trong đó
xE
∈
và
:
→
VEE
là toán tử Volterra không tuyến tính.
Định lý 1.1.3.
Xét phương trình Volterra (1.3) dưới các điều kiện sau

(a)
[
]
(
)
[
]
(
)
:0,,0,,
VCTXCTX
→ là một toán tử Volterra;
(b)
V
liên tục compact trên
[
]
(
)
0,,
r
SCTX
⊂ , với
r
S
là quả cầu tâm

0
∈⊂
xXC

, và bán kính
r
;
(c)
0
x
là giá trị đầu cố định của toán tử
V
.
Khi đó, tồn tại
0,
T
δδ
>≤
để (1.3) có ít nhất một nghiệm trên
[
]
0,
δ
.
1.2. Nghiệm mạnh của phương trình vi tích phân với đối số lệch
Cho
X
là không gian lồi địa phương và
P
là một họ nửa chuẩn tách
trên
X
,
D

là một tập con của
X
và
:
UDX
→
. Với bất kì
aX
∈
, ta định
nghĩa
:
a
UDX
→
bởi
(
)
(
)
a
UxUxa
=+
.
Toán tử
:
UDX
→
được gọi là Hoa-Schmitt co trên tập con
Ω

của
X

nếu
1) với bất kỳ
(
)
:
a
aUDD
∈Ω⊂
;
2) với bất kỳ
a
∈Ω
và
pP
∈
, tồn tại
a
kN
∈
với tính chất
0, rε
∗
∀>∃∈Ν

và
0
δ

∃>
sao cho
,
xyD
∀∈
thỏa
(
)
,
p
a
xy
αεδ
<+
thì
(
)
(
)
(
)
,
prr
aaa
UxUy
αε
<
.
Trong đó

11

(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
,max:,0,1,2,,
pij
aaaa
xypUxUyijk
α =−=K
.
Định lý 1.2.1.
Cho
X
là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn
tách
P
và giả sử
,
UC
là toán tử trên
X
sao cho

i)
U
là Hoa-Schmitt co trên
X
;
ii) với bất kỳ
,0
p
pPk
∈∃≥
(
p
k
phụ thuộc vào
p
) sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
,
p
pUxUykpxyxyX
−≤−∀∈
;
iii) tồn tại

0
xX
∈
với tính chất:
[
)
,0,1
pP
λ
∀∈∃∈
(
,
r
λ
phụ thuộc vào
p
)
sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
00
;,
rr
xx

pUxUypxyxyX
λ
−≤−∀∈
;
iv)
C
là ánh xạ compact và với
(
)
,AXpA
⊂<∞
, trong đó
(
)
(
)
{
}
sup:
pApxxA
=∈
;
v)
( )
(
)
(
)
( )
lim0;,

px
pCx
xXpP
px
→∞
=∀∈∀∈
.
Khi đó
UC
+
có điểm bất động trên
X
.
Định lý 1.2.2.
Cho
E
là không gian Banach với chuẩn
.
, giả sử
(
)
0
R,
XCE
+
=
là
không gian Frechet các hàm liên tục từ
R
+

vào
E
và
A
là tập con của
0
X
.
Với mỗi
N
n
∗
∈
, giả sử
[
]
(
)
0,,
n
XCnE
= là không gian Banach gồm các
hàm số liên tục
[
]
:0,
unE
→
với chuẩn
(

)
[
]
{
}
sup:0,
n
uuttn
=∈
.
Đặt
[ ]
{
}
0,
:
n
n
AxxA
=∈
. Khi đó ta có

12

Tập
A
là compact tương đối trong
0
X
⇔

(
N,
n
nA
∗
∀∈
đẳng liên tục
trong
n
X
và với bất kỳ
[
]
0,
sn
∈
tập hợp
(
)
(
)
{
}
:
nn
AsxsxA
=∈ compact
tương đối trong
E
)

⇔
(
N,
n
nA
∗
∀∈
đẳng liên tục trong
n
X
và tập hợp
(
)
[
]
{
}
:,0,
n
xtxAtn
∈∈
compact tương đối trong
E
).
Cho
0
r
>
. Ta kí hiệu
[

]
(
)
,0,
r
CCrE
=− với chuẩn
(
)
[
]
{
}
sup:,0
r
C
xxttr=∈−
,
và
(
)
0
R,
XCE
+
=
là không gian Frechet các hàm liên tục từ
R
+
vào

E
với họ
nửa chuẩn
{
}
n
n
⋅
được định nghĩa như sau
(
)
[
]
{
}
sup:0,,N
n
xxttnn
∗
=∈∈
.
Cho
[
]
(
)
,,
XCrE
=−∞ là không gian các hàm liên tục từ
[

)
,
r
−∞
vào
E
.
Với mọi
xX
∈
và
0
t
≥
đặt
tr
xC
∈
định nghĩa bởi
(
)
(
)
[
]
,,0
t
xxtr
θθθ
=+∈−

.
Xét phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
,,,,;0,
.
t
ts
r
xtAtxtLtxVtxtKtsxsxdsftt
I
xCϕ

′
=++++≥



=∈

∫

Trong đó
(

)
{
}
0
t
At
≥
là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ
E
vào
E
,
(
)
{
}
0
t
Lt
≥
là họ toán tử tuyến tính liên tục từ
r
C
vào
E
,
:R
fE
+
→

liên tục.
Xét phương trình
(
)
I
với các điều kiện sau

13

1)
(
)
tAt
a
liên tục và
(
)
tLt
a
liên tục;
2)
:R
VEE
+
×→
liên tục và tồn tại hàm liên tục
:RR
ω
++
→

sao cho
(
)
(
)
(
)
,,;,,R
VtxVtytxyxyEtω
+
−≤−∀∈∀∈
;
3)
[
)
2
:0,
r
KECE
∞××→
là ánh xạ compact sao cho

(
)
,.,.,.:
KtIABE
××→
liên tục đều theo
t
trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý

của
[
)
0,
∞
, với bất kỳ các tập con bị chặn
[
)
0,
I
⊂∞
, tập con bị chặn
AE
⊂
,
tập con bị chặn
r
BC
⊂
, nghĩa là
Trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý
J
của
[
)
0,
∞
, với mọi
0
ε

>
, tồn tại
0
δ
>
,
sao cho với mọi
12
,
ttJ
∈
và
12
tt
δ
−<
thì
(
)
(
)
(
)
12
,,,,,,,,,
KtsxyKtsxysxyIAB
ε
−<∀∈××
;
4)

(
)
,,,
lim0
C
r
r
xu
C
Ktsxu
xu
+→∞
=
+
đều theo
(
)
,
ts
trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý của
[
)
2
0,
∞
.
Định lý 1.2.3.
Nếu các điều kiện 1), 2), 3), 4) được thỏa mãn thì bài toán
(
)

I
với
r
C
ϕ
∈
cho trước có nghiệm
[
)
:,
xrE
−∞→
.
Chứng minh.
Đặt
:R
r
gCE
+
×→
với
(
)
(
)
(
)
(
)
,0

gtxAtxLtx
=+
. Vậy
(
)
I
được viết
lại là
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
0
,,,,,;0,
.
t
ts
xtgtxVtxtKtsxsxdsftt
x ϕ

′
=+++≥



=

∫

14

(
)
I
tương đương với phương trình tích phân sau
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
000
00
0
,,
,,,0;0,
.
ttt
s
ts
xtgsxdsVsxsdsfsds
Ksxxddst
x
σ
σσσϕ
ϕ


=++





++≥





=



∫∫∫
∫∫

Với
0
xX
∈
hoặc
n
X
, đặt
[
)
:,

xrE
−∞→
được định nghĩa như sau
( )
(
)
(
)
(
)
( )
[ ]
00,0,
,,0.
xsxs
xs
ssr
ϕ
ϕ
+−≥


=

∈−



Khi đó
x

liên tục trên
[
)
,
r
−∞
.
Đặt
00
:
HXX
→
với
( ) ( ) ( )
( )
0
,,,,0
t
s
HxtKtsxsxdst
=∀≥
∫
.
Đặt
00
,:
UCXX
→
xác định bởi
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
000
,,
ttt
s
UxtgsxdsVsxsdsfsds
=++
∫∫∫
,

( ) ( ) ( )
0
0
t
CxtHxsds ϕ=+
∫
.
Khi đó
0
xX
∈
là điểm bất động của
UC
+
nếu và chỉ nếu
x
là nghiệm của

(
)
I
.
Vậy vấn đề trở thành chứng minh sự tồn tại điểm bất động của
UC
+
.
Ta cần các bổ đề sau

15

Bổ đề 1.2.4.
[
)
:,
r
grCE
−∞×→
là ánh xạ liên tục và
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,0,
N,supsup,
rr
n

CC
tntn
nkAtLt
∗
∈∈
∀∈∃=+

thỏa
(
)
(
)
[
]
,,,,,0,
r
nr
C
gtxgtykxyxyCtn
−≤−∀∈∀∈
.
Chứng minh.
Sử dụng giả thiết
(
)
tAt
a
liên tục và
(
)

tLt
a
liên tục ta có
g
liên tục.

[
]
,,0,
r
xyCtn
∀∈∀∈
có

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

,,00
gtxgtyAtxyLtxy
−=−+−


[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,0,
supsup
n
tntn
AtxyLtxykxy
∈∈
≤−+−=−
. ■
Bổ đề 1.2.5.
Với mọi
[
]
0,
sn
∈
, với mọi
0
,
xyX

∈
ta có

(
)
(
)
2
r
ss
n
C
xyxy
−≤−
,

2
nn
xyxy
−≤−
,

2
r
nnC
xx
ϕ
≤+
,

(
)
2
r
r
s
nC
C
xx
ϕ
≤+
.


16

Bổ đề 1.2.6.

00
:
HXX
→
là ánh xạ compact và
lim0
n
n
x
n
Hx
x

→∞
=
.
Chứng minh.
● Ta chứng minh
00
:
HXX
→
là ánh xạ liên tục.
Lấy
00
xX
∈
và
(
)
0
k
k
xX
⊂
mà
0
lim
k
k
xx
→∞
=

.
Khi đó
{
}
;0,1,2,
k
Bxk
==
K
là tập compact trong
0
X
.
Đặt
(
)
[
]
{
}
:,0,
GysyBsn
=∈∈ và
(
)
[
]
{
}
:,0,

s
FyyBsn
=∈∈
.
Khi đó
,
GF
là các tập compact. Lấy
0
ε
>
, do
K
liên tục trên tập compact
[
]
2
0,
nGF
××
nên tồn tại
0
δ
>
sao cho
,;,
xyGuvF
∀∈∀∈
mà
xy

δ
−<
,
uv
δ
−<
thì
( ) ( )
[ ]
,,,,,,;,0,
KtsxuKtsyvstn
n
ε
−<∀∈ .
Mà
0
lim
k
k
xx
→∞
=
trong
0
X
nên tồn tại
0
N
k
∗

∈
sao cho
0
:.
2
n
kkxy
δ
∀≥−<

Vậy
(
)
(
)
00
2
kk
n
xsxsxx
δ
−≤−<
,

(
)
(
)
00
2

r
kk
nss
C
xxxx
δ
−≤−<
;
[
]
0,
sn
∀∈
.
Do đó
[
]
0
,0,,
tsnkk
∀∈∀≥
ta có

17

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
000
0
,,,,,,
t
kkk
ss
HxtHxtKtsxsxKtsxsxds
−≤−
∫


0
.
t
t
ds
nn
εε
ε
<=≤
∫

Suy ra
00
,
k
n
HxHxkk
ε

−<∀≥
. Vậy
H
liên tục trên
0
X
.
● Lấy
Ω
là tập con bị chặn của
0
X
. Ta phải chứng tỏ rằng
N
n
∗
∀∈

a) Tập hợp
( )
[ ]
{
}
0,
:
n
n
AHxx
=∈Ω
đẳng liên tục trên

n
X
;
b) Với mọi
[
]
0,
tn
∈
, tập hợp
(
)
(
)
{
}
:
n
AtHxtx
=∈Ω
compact tương đối
trong
E
.
Đặt
(
)
[
]
{

}
:,0,
n
Pxsxsn
=∈Ω∈
và
(
)
[
]
{
}
:,0,
n
s
Qxxsn
=∈Ω∈
. Do
Ω

bị chặn nên
,
nn
PQ
bị chặn. Vì
K
là ánh xạ compact nên
[ ]
(
)

2
0,
nn
KnPQ
××

bị chặn.
Vậy tồn tại
0
n
M
>
sao cho
(
)
(
)
(
)
[
]
,,,;,0,,
n
s
KtsxsxMtsnx
≤∀∈∀∈Ω
.
Vì
(
)

,.,.,.
Kt
liên tục đều theo
t
trên
[
]
2
0,
nn
nPQ
××
nên
0,0,
εδ
∀>∃>
[]
1212
,,0,:
4
n
ttntt
M
ε
δδ
<∀∈−<
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )

( )
[ ]
12
,,,,,,;,0,
4
ss
KtsxsxKtsxsxxsn
n
ε
−<∀∈Ω∀∈ .
Vậy
[
]
121221
,,0,,:xttntttt
δ
∀∈Ω∀∈<−<
ta có

18

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
12
1212
00
,,,,,,
tt

ss
HxtHxtKtsxsxdsKtsxsxds
−=−
∫∫


( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
1
12
0
2
,,,,,,
,,,
t
ss
t
s
t
KtsxsxKtsxsxds
Ktsxsxds
≤−
+
∫

∫


42
n
M
εε
δε
≤+<<
.
Do đó
n
A
đẳng liên tục trên
n
X
.
Đặt
[ ]
(
)
2
0,
nn
IcoKnPQ

=××

. Do
[ ]

(
)
2
0,
nn
KnPQ
××
compact
tương đối trong không gian Banach
E
nên
I
là tập compact.
Mà
[
]
(
)
0,:
n
tnAttI
∀∈⊂
. Do đó
(
)
n
At
compact tương đối trong
E
với

mọi
[
]
0,
tn
∈
.
Nên theo định lý 1.2.2 ta có
(
)
H
Ω
là tập compact tương đối trong
0
X
.
● Ta có
(
)
,,,
lim0
C
r
r
xu
C
Ktsxu
xu
+→∞
=

+
đều theo
(
)
,
ts
trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý
của
[
)
2
0,
∞
. Lấy 0,0,,
r
xEuC
εβ
>∃>∀∈∀∈
mà
r
C
xu
β
+>
thì
( )
(
)
()
[]

2
,,,;,0,,
16
r
C
Ktsxuxutsn
n
ε
<+∀∈

compact nên tồn tại
0
ρ
>
sao cho
,
r
xEuC
∀∈∀∈
mà
r
C
xu
β
+≤
thì
(
)
(
)

[
]
2
,,,,,0,
Ktsxutsn
ρ≤∀∈
,

19

( )
(
)
[ ]
,,,,,0,,,
16
r
r
C
KtsxuxutsnxEuC
n
ε
ρ
<++∀∈∀∈∀∈
.
Do đó
[
]
0,
tn

∀∈
ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(
)
00
,,,
16
r
tt
ss
C
HxtKtsxsxdsxsxds
n
ε
ρ

≤≤++


∫∫
.
Do đó
(
)
42
1648
rr

nnCnC
Hxnxnx
εεε
ρϕρϕ
≤++=++ .
Vậy
48
n
nnn
Hx
n
xxx
ϕ
ρεε
≤++
. Chọn
8
max,
n
nρ
µϕ
ε

>


.
Khi
n
n

x
µ
>
thì
8482
n
n
Hx
x
εεεε
ε
≤++=<
.
Vậy
lim0;N
n
n
x
n
Hx
n
x
∗
→∞
=∀∈
.
■

Bổ đề 1.2.7.
Xét :

nn
HXX
→
xác định bởi
( ) ( ) ( )
( )
0
,,,
t
s
HxtKtsxsxds
=
∫
.
Khi đó
H
là ánh xạ compact trên không gian Banach
n
X
.
Bổ đề 1.2.8.
Ta có với mỗi
N
n
∗
∈
và bất kỳ
0
zX
∈

ta đặt

(
)
[
]
{
}
max:0,
n
dssn
ω=∈ và
2
nnn
ckd
=+
. Khi đó ta có

20


( ) ( )
(
)
;N
!
j
jjn
zz
n

n
nc
UxUyxyj
j
∗
−≤−∀∈
. (1.4)
Chứng minh.
Ta chứng minh rằng

( )( ) ( )( )
(
)
[ ]
;0,,N
!
j
jjn
zz
n
tc
UxtUytxytnj
j
∗
−≤−∀∈∀∈
. (1.5)
Ta sẽ chứng minh (1.5) bằng quy nạp theo
j
.
Với

1
j
=
. Vì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
000
,,;0,
z
ttt
s
UxtUxtzt
gsxdsVsxsdsfsdsztt
=+
=+++∀≥
∫∫∫

nên
[
]
0,
tn
∀∈
ta có
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
00
00
00
00
,,,,
2
2
.
r
tt
zz
ss
tt

n
ss
C
tt
nn
n
tt
nn
nn
n
n
UxtUytgsxgsydsVsxsVsxsds
kxydssxsysds
kxydsdxsysds
kxydsdxyds
ncxy
ω
−≤−+−
≤−+−
≤−+−
≤−+−
≤−
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
Vậy (1.5) đúng với
1
j
=

. Giả sử (1.5) đúng với
1
j
≥
, ta có

21

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )( )
( )
( )( )
( )
11
00

,,,,
jj
zz
tt
jjjj
zzzz
ss
UxtUyt
gsUxgsUydsVsUxsVsUysds
++
−
≤−+−
∫∫
()
()
()
()
()()()()()
00
r
tt
jjjj
nzzzz
ss
C
kUxUydssUxsUysds
ω≤−+−
∫∫

()

()
()
()
()()()()
00
.
r
tt
jjjj
nzznzz
ss
C
kUxUydsdUxsUysds
≤−+−
∫∫
(1.6)
Theo giả thiết quy nạp ta có
( )( ) ( )( )
(
)
[ ]
.
;0,,
!
j
jjn
zz
n
sc
UxsUysxysnj

j
∗
−≤−∀∈∀∈
¥
.
Với mỗi
[
]
0,
sn
∈
và
[
]
,0
r
θ
∈−
ta có
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
00,0,
0,,0.

jj
zz
ss
jjjj
zzzz
UxUy
UxsUysUxUys
sr
θθ
θθθ
θ
−


+−+−−+≥


=

+∈−



Với
0
s
θ
+≥
có
( )

(
)
( ) ( )
(
)
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
00
jjjj
zzzz
ss
jj
zz
UxUyUxsUys
UxUy
θθθθ−≤+−+
+−


( )
( )
.
0.
!!
j
j
n
n
nn
sc

c
xyxy
jj
θ+

≤−+−


(
)
.
.
!
j
n
n
sc
xy
j
≤−


22

Với
0
s
θ
+<
:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
.
0
!
j
jjn
zz
n
ss
sc
UxUyxy
j
θθ
−=≤−
.
Vậy
( )
( )
( )
( )
(
)
[ ]
.

;0,.
!
r
j
jjn
zz
n
ss
C
sc
UxUyxysn
j
−≤−∀∈
(1.7)
Kết hợp (1.6) và (1.7) ta có
( )( ) ( )( )
( )
(
)
11
0
.
!
j
t
jjn
zznn
n
sc
UxtUytkdxyds

j
++
−≤+−
∫

()()
()
()
()
1
1
1!
.
.
1!
j
j
nnn
n
j
n
n
t
kdcxy
j
tc
xy
j
+
+

=+−
+
≤−
+

Vậy
( )( ) ( )( )
(
)
( )
[ ]
1
11
.
;0,
1!
j
jjn
zz
n
tc
UxtUytxytn
j
+
++
−≤−∀∈
+
.
Do đó (1.5) đúng với
1

j
+
. Vậy theo quy nạp ta có (1.5) thỏa.
Từ đó
( ) ( )
(
)
.
;N
!
j
jjn
zz
n
n
nc
UxUyxyj
j
∗
−≤−∀∈
. ■
Ta trở lại chứng minh định lý 1.2.3
Vì
(
)
.
lim0
!
j
n

j
nc
j
→∞
=
nên tồn tại
N
n
j
∗
∈
để
(
)
.
1;
!
j
n
n
nc
jj
j
<∀≥
.
Vậy từ (1.4) ta thấy
U
thỏa các điều kiện i), ii), iii) của định lý 1.2.1.
Ta chứng minh
C

liên tục. Lấy
N
n
∗
∈
và cố định
n
lại.

23

Lấy
00
xX
∈
và
(
)
0
k
k
xX
⊂
mà
0
lim
k
k
xx
→∞

=
.
Khi đó
{
}
:0,1,2,
k
Bxk
==
K
là tập compact trong
0
X
.
Vậy
0,0:
n
xy
εδδ
∀>∃>−<
thì
2
n
HxHy
n
ε
−<
.
Do
0

lim
k
k
xx
→∞
=
nên tồn tại
0
N
k
∗
∈
sao cho
00
:
k
n
kkxx
δ
∀≥−<
.
Vậy
0
2
k
n
HxHx
n
ε
−<. Do đó

[
]
0,
tn
∀∈
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
000
00
22
tt
kkk
n
t
CxtCxtHxsHxsdsHxHxds
n
εε
−≤−≤−<≤
∫∫
.
Vậy
0
2
k
n
CxCx
ε
ε
−≤<
.

Từ đó
0
lim0,N
k
n
k
CxCxn
∗
→∞
−=∀∈ .
Vậy
C
liên tục.
Lấy
Ω
là tập bị chặn của
0
X
. Do
H
là ánh xạ compact nên
(
)
H
Ω
bị
chặn.
Vậy tồn tại
0:;
nn

n
Hxxαα
>≤∀∈Ω
.
Do đó
[
]
1221
,0,,,ttnttx
∀∈≥∀∈Ω
ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
11
122121
tt
n
n
tt
CxtCxtHxsdsHxsdsHxtttt
α
−=≤≤−≤−
∫∫
.
Vậy
(
)
(
)
n

C Ω
đẳng liên tục trên
n
X
.

24

Ta có
(
)
H
Ω
là tập compact tương đối nên theo định lý 1.2.2 ta có tập
hợp
(
)
(
)
(
)
[
]
{
}
:,0,
n
n
xsxHsn
Σ=∈Ω∈

compact tương đối trong
E
.
Đặt
(
)
n
Lco
=Σ
. Ta có
L
là tập compact trong
E
.
Ta có
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
0,:0
n
tnCttL ϕ∀∈Ω⊂+
.
Vì

L
là tập compact nên
(
)
0
tL
ϕ
+
là tập compact
[
]
0,
tn
∀∈
.
Do đó
(
)
(
)
(
)
n
Ct
Ω
compact tương đối trong
E
với mọi
[
]

0,
tn
∈
.
Vậy theo định lý 1.2.2 ta có
(
)
C
Ω
là tập compact tương đối trong
0
X
.
Do đó
C
là ánh xạ compact.
Ta chứng minh
lim0,N
n
n
x
n
Cx
n
x
∗
→∞
=∀∈
.
Ta có

lim0,N
n
n
x
n
Hx
n
x
∗
→∞
=∀∈
.
Lấy
0
0,0,
xX
εβ
>∃>∀∈
mà
n
x
β
>
thì
4
nn
Hxx
n
ε
< .

Đặt
{
}
:
nn
n
xXx
β
Φ=∈≤
. Khi đó
n
Φ
là tập bị chặn trên
n
X
.
Do
H
hoàn toàn liên tục trên
n
X
nên
(
)
n
H
Φ
bị chặn trong
n
X

.
Do đó tồn tại
0
ρ
>
sao cho
0
xX
∀∈
mà
n
x
β
≤
thì
n
Hx
ρ
≤
.
Vậy
4
nn
Hxx
n
ε
ρ<+ ,
0
xX
∀∈

. Khi đó
[
]
0,
tn
∀∈
,
0
xX
∀∈
ta có