CASIO chung minh sieu chat bui the viet

Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio
CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Facebbook.com/viet.alexander.7
Youtube.com/nthoangcute
BÙI THẾ VIỆT

Bài Toán : Cho x  3 . Chứng minh rằng :
x1

x2  5  3



2x  1
x2  3  1



13
5
(Tường)
(Trần Công Hưng)

Lời giải

 2
2
5
 x  5  3 x  3  0
Bổ đề : 
. Chứng minh : Dành cho bạn đọc. Áp dụng ta được :

 x 2  3  26 x  21  0

23
23
VT 

2x  1
13



x 2  5  3 26 x  21  1 5
23
23
x1

  13x  76x  61  17
10  x  5  3  13x  1



9 2 x 2  5  3x  2

2

2

x2  5

2

0

2
5
Vì 13x 2  76x  61  17 x 2  5  13x 2  76x  61  17  x    0 .
3
3
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
Hướng dẫn
26
26
21
 0 ???
Nhận xét : Tại sao lại nghĩ tới điểm rơi x 
của BĐT x 2  3  x 
23
7
23
Có một vài vấn đề bạn đọc cần quan tâm như sau :
2x  1
x1
13


Thứ nhất, BĐT
vô cùng chặt.
2
2
x 53

x 3 1 5
Nó giống như việc yêu cầu chứng minh x8  2x 

13
 0x mặc dù biết f  x   x8  2x
9

 1 
13
nhỏ nhất bằng f   7   1.4355868   . Thật vậy, nếu xét
9
4

2x  1
x1
13
f x 


thì :
2
2
x 53
x 3 1 5

f 'x 



5  x  3 x2  5

x 53
2

Khi x  3.546515017 thì



2



x 5
2

x1
x2  5  3





x  6  2 x2  3
x 3 1
2

2x  1
x2  3  1





2

 0  x  3.546515017

x 3
2

13
 0.0085292 vô cùng bé nên vô
5

cùng chặt

Điểm rơi này lại không viết dưới dạng căn thức được như  7

1
4

nên sử lý nó vô cùng

khó.
BÙI THẾ VIỆT

Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio

1

Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio
CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Facebbook.com/viet.alexander.7
Youtube.com/nthoangcute
Thứ hai, thay vì lấy điểm rơi chính xác, ta sẽ lấy số hữu tỷ gần 3.546515017 nhất để sử
dụng phương pháp tiếp tuyến, khử từng căn, đưa về một căn để dễ dàng đánh giá.
Do đó, điểm rơi hữu tỷ cần lấy phải thỏa mãn căn thức cần đánh giá là một số hữu tỷ.
13
11
Ví dụ như lấy x 
 3.25 thì x 2  3   .
4
4
13
12
Vậy tiếp tuyến cần lấy là x 2  3  x 
 0 . Tuy nhiên áp dụng BĐT này để khử
11
11
2x  1
x1
13
x 2  3 thì không được vì thành thử x  5 


 0 (không
2
13
12
5

x 53
x
1
11
11
đúng yêu cầu).
26
21
Vậy ta phải làm chặt hơn nữa. Như bạn đọc thấy đó, tại sao tôi lấy x 2  3  x 
?
23
23
26
Điểm rơi x 
sao có thể mò được ?
7
Phương pháp tìm điểm rơi rất đơn giản như sau:
Bước 1 : Tìm điểm rơi chính xác : x  3.546515017 là nghiệm của f '  x   0
BÙI THẾ VIỆT

 x 2  3  x  6.641312065
x 2  3  x ta được 
 x 2  3  x  0.45171796

 2
20
 x  3  x  6.66666  3
Bước 3 : Lấy số hữu tỷ gần đúng : 
 x 2  3  x  0.4444   4


9
20
427
x
 3.5583333
Bước 4 : Giải ngược lại tìm x : x 2  3  x 
3
120
4
259
 3.597222
Hoặc x 2  3  x    x 
9
72
Bạn đọc thấy đó, điểm rơi hữu tỷ chúng ta lấy hiệu quả hơn nhiều. Bạn đọc có thể thế
vào để kiểm chứng. Tuy nhiên, có vẻ như chúng ta dùng “dao mổ trâu để giết bò” rồi
(trâu to hơn bò một tí). Để lời giải có vẻ dễ nhìn hơn, chúng ta lấy điểm rơi thoáng hơn 1
427
427
360
 x2  3 
x
 0 sau khi quy đồng thì rất là
chút, chứ điểm rơi như x 
120
373
373
lớn.
Bước 2 : Thế vào

x 2  3  x hoặc

Vì x 2  3  x  6.641312065 nên nếu có lấy
xấu.

x2  3  x  k 

thì cũng sẽ được x rất

x 2  3  x  0.45171796 thì nhỏ bé, có thể lấy x nhỏ, đẹp hơn (tùy vào thẩm mĩ
1
13
mỗi người). Ví dụ như lấy x 2  3  x    x 
(đẹp thật nhưng không sài được).
2
4
1
14
14
9
 x2  3  x 
 0 . Thế vào không thỏa mãn.
Lấy x 2  3  x    x 
3
3
13
13
1
49
49

24
 x2  3 
x
 0 . Thế vào không thỏa mãn.
Lấy x 2  3  x    x 
4
8
47
47
2
79
79
60
 x2  3  x 
 0 . Thế vào không thỏa mãn.
Lấy x 2  3  x    x 
5
20
71
71

Còn

BÙI THẾ VIỆT

Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio

2

Group : facebook.com/groups/giaitoanbangcasio
CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia
Facebbook.com/viet.alexander.7
Youtube.com/nthoangcute
3
26
26
21
Lấy x 2  3  x    x 
 x2  3  x 
 0 . Thế vào thỏa mãn.
7
7
23
23
Ngoài ra còn có các ứng cử viên sau :
4
259
259
216
Lấy x 2  3  x    x 
 x2  3 
x
 0 . Thế vào thỏa mãn.
9
72
227
227
5
794

194
165
Lấy x 2  3  x    x 
 x2  3 
x
 0 . Thế vào thỏa mãn.
11
55
169
169
26
Tiếc là tôi không kiếm được em nào đẹp và có tài hơn x 
.
7
Sau đó, bài toán trở lên vô cùng đơn giản :
BÙI THẾ VIỆT

2
2
2x  1
13 130x  184x  277  108x  89  x  5
VT 



x2  5  3 26 x  21  1 5
10 x2  5  3 13x  1
23
23
Sử dụng thủ thuật S.O.S mà tôi đã từng trình bày trên tường ta được :

x1









2

130x2  184x  277   108x  89  x2  5  9 2 x2  5  3x  2  13x2  76x  61  17 x2  5  0
2

2

5
97  1043
Vì 13x  76x  61  17 x  5  13x  76x  61  17  x    13 x   
 0.
3
39 
117
3

Bài toán được giải quyết trọn vẹn.
Bài tập tương tự : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:
x1

x3
x 11

 
a)
2
2
x 1 1
x 3 3 3 6
2

x1

b)
c)

2

x 1  2
2

4



2x  1
x 2 1
2

2



19
7

x 4  1  x 2  3x  1  2x  10

P/s : Câu c) khá là hay đó. Dành cho bạn nào thích tìm hiểu …

BÙI THẾ VIỆT

Fanpage : Facebook.com/thuthuatcasio

3