Cự trị trong giải tích không gian

Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.

*Một số bài toán hình học giải tích trong không gian có yếu tố cực trị.
Dng 1: ng vuụng gúc v ng xiờn Bt ng thc tam giỏc.
x 2 y 1 z 1
=
=
v mt phng ( P ) : 3 x + 2 y 3 z 2 = 0 .
1
1
2
Gi B l im i xng vi A qua . Tỡm im C ( P ) sao cho di BC nh nht.
b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
x 1 y 2 z 1
:
=
=
sao cho độ dài MH là nhỏ nhất.
(A_2002)
1
1
2
c) Lp phng trỡnh mt phng (P) ct cỏc trc Ox, Oy, Oz ti A, B, C tng ng sao cho tam giỏc ABC
x 1 y 2 z 3
=
=
cú trng tõm G thuc ng thng :
ng thi di OG nh nht.
2
2
1

2. a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm toạ độ các điểm A, B tơng ứng trên hai đờng thẳng
x 1 y +1 z 2
x 3 y 1 z
d1 :
=
=
=
= sao cho độ dài AB là nhỏ nhất.
; d2 :
(Dự bị ĐH_2006)
1
1
0
1
2
1
x 1 y 2 z 3
=
=
b) Cho đờng thẳng :
v hai im A(5; 4;3), B(6;7; 2) . Tìm điểm M thuộc sao
2
3
1
cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
(D b H_2008)
x +1 y 1 z + 2
=
=
c) Cho đờng thẳng :

v hai im A(2;1; 1), B(1;3;0) . Tìm điểm M thuộc sao
1
2
1
cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
(D b H_2010)
1. a) Cho im A(2;1;0) ng thng :

3. Cho A(1;1;3), B (2;1; 4) v mt phng ( P ) : 2 x y 2 z 12 = 0 .
a) Cmr: AB / /( P) .
b) Tỡm tp hp tt c cỏc im M thuc ( P ) sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
4. Cho A(1;0;0), B(2; 2;1) v mt phng ( P ) : x + 3 y + 2 z 7 = 0 .
a) Lp phng trỡnh mt phng trung trc (Q) ca on AB. Lp phng trỡnh giao tuyn ca ( P ), (Q) .
b) Tỡm im M thuc ( P ) sao cho MA = MB v nh nht.
5. a) Cho t din ABCD cú A(1;1;6), B( 3; 2; 4), C (1; 2; 1), D(2; 2; 0) . Tỡm im M trờn ng
thng CD sao cho chu vi tam giỏc ABM nh nht. (HD: AB CD nờn M l hỡnh chiu vuụng gúc ca
A, B lờn CD. Cú th s bt tam giỏc cho hai vộc t trong mt phng)
x 1 y 2 z 3
=
=
b) Cho A(0; 2; 3); B (4;1; 5) v ng thng d :
. Tỡm im M thuc d sao cho
2
2
1
chu vi tam giỏc ABM nh nht.
x 1 y 2 z 3
=
=
6. a) Cho A(0; 2; 3); B(1;8;6) v ng thng d :

. Tỡm im M thuc d sao cho
2
2
1
r r r r
rr
chu vi tam giỏc ABM nh nht. (HD: u + v u + v vi u , v l cỏc vộct trong mt phng).
b) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đờng thẳng :
( MA + MB ) nhỏ nhất.
c) Cho A(5; 4;3); B(6;7; 2) v ng thng d :
vi tam giỏc ABM nh nht.

x 1 y + 2 z
=
= . Tìm điểm M thuộc sao cho
1
1
2

x 1 y 2 z 3
=
=
. Tỡm im M thuc d sao cho chu
2
3
1
(DB_ 2008)
1

Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.
7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đờng thẳng d :

x 1 y z 2
= =
.
2
1
2

a) Tìm toạ độ điểm B là hình chiếu vuông góc của A lên d.
b) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

(A_2008)

8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x 2 y + 2 z 5 = 0 và hai điểm A(-3;0;1),
B(1;-1;3). Trong số các đờng thẳng đi qua A và song song với (P), hãy lập phơng trình đờng thẳng mà
khoảng cách từ B đến đờng thẳng đó là nhỏ nhất.
(B_2009)
x +1 y 3 z +1
=
=
9. Cho mt phng ( P ) : x + y + z 1 = 0 v ng thng d :
. Lp phng trỡnh
1
1
1
ng thng i qua im A(1; 1; 2) vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch t im B (1;1; 1) n nú
l ln nht, nh nht.
10. a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đờng thẳng

x 1 y + 2 z
:
=
= . Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng trình đờng thẳng sao
1
1
2
cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó là lớn nhất ? nhỏ nhất ?
b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;2), B(2;1;1) và đờng thẳng
x +1 y z 2
:
= =
. Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng trình đờng thẳng sao
2
1
1
cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó là lớn nhất ? nhỏ nhất ?
11. a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y z + 1 = 0 , điểm A(1;-1;2), đx + y + z 3 = 0
ờng thẳng d :
. Hãy viết phơng trình đờng thẳng đi qua A, song song với ( P ) sao cho
2 x y + z 2 = 0
khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất.
x +1 y 3 z +1
=
=
b) Cho mt phng ( P ) : x + y + z 1 = 0 v ng thng d :
. Lp phng trỡnh
1
1
1

ng thng i qua im A(1; 1; 2) song song vi (P) sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất.
12. a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và hai đờng thẳng
x 1 y + 2 z
x 1 y +1 z 1
:
=
= , d:
=
=
. Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng
1
1
2
2
1
1
trình đờng thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất.
b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;-1;2) và hai đờng thẳng
x +1 y z 2
x 5 y z
:
= =
=
= . Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng
, d:
2
1
1
2
2 1

trình đờng thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất.
13. Cho hai mt phng ( P ) : x y + z = 0, (Q) : x 2 y + z + 6 = 0 v im M (0; 2;1) . Lp phng trỡnh
ng thng i qua im M sao cho nú ct hai mt phng trờn ti hai im A, B tha món M l trung
im AB ng thi di AB nh nht.
14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, hãy lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với hai đờng thẳng
x y2 z+4
x + 8 y 6 z 10
1 : =
=
, 2 :
=
=
sao cho nó có bán kính nhỏ nhất.
1
1
2
2
1
1
15.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;-1). Hãy lập phơng trình mặt cầu đi qua
A, tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x + y + 2 z 13 = 0 và có bán kính nhỏ nhất.
16.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A(-1;6;6), B(3;-6;-2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng
(Oxy) sao cho
2


Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.
a) (MA + MB) là nhỏ nhất.
b) MA MB là lớn nhất.
17.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(1;-2;1). Tìm điểm M

thuộc mặt phẳng ( P ) : x y + 2 z = 0 sao cho:
a) ( MA + MB ) nhỏ nhất. (Tơng tự dự bị ĐH 2007)
b) MA MC lớn nhất.
c) ( MA2 MB 2 MC 2 ) lớn nhất.
d) ( MA2 + 3MB 2 ) nhỏ nhất. (Tơng tự dự bị ĐH 2007)
uuur uuur uuuur
e) MA + MB + MC nhỏ nhất.
18. Cho mt phng ( P ) : x y + z 1 = 0 v ba im A(1; 2; 1), B(2;1; 2), C (1;0; 1) . Tỡm im
M ( P ) sao cho
a) ( MA + MB ) nhỏ nhất.
b) MA MC lớn nhất.
uuur uuur uuuur
c) MA + 3MB 2 MC nh nht.
d) MA2 MB 2 + MC 2 nh nht; MA2 + MB 2 3MC 2 ln nht.
x 1 y +1 z 2
=
=
19. Cho ng thng (d ) :
v ba im A(2;3;0), B(0; 1; 2), C ( 2;1; 4) . Tỡm im
2
1
2
M (d ) sao cho
uuur uuur
uuur uuur uuuur
a) MA + MB nhỏ nhất; MA + MB MC nhỏ nhất.
b) MA2 + MB 2 + MC 2 nh nht; MA2 2 MB 2 ln nht.
20. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đờng thẳng
x 1 y + 2 z
:

=
=
1
1
2
a) Tìm điểm M thuộc sao cho ( MA2 + MB 2 ) nhỏ nhất.(D_2007)
uuur uuur
b) Tìm điểm M thuộc sao cho MA + MB nhỏ nhất.
21. Cho mt phng ( P ) : 2 x y + 2 z + 9 = 0 v hai im A(3; 1; 2), B (1; 5;0) . Tỡm im M ( P ) sao
uuur uuur
cho MA.MB nh nht.
22. Cho mt phng ( P ) : x + 2 y + 2 z + 5 = 0 v mt cu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 10 x 2 y 6 z + 10 = 0 . T
im M thuc ( P ) (ngoi ( S ) ) ta k ng thng tip xỳc vi ( S ) ti N. Tỡm M MN nh nht.
Dng 2: Mt s bi toỏn cc tr liờn quan ti gúc.
x 1 y + 2 z
=
= . Lập phơng trình mặt
1
1
2
phẳng (P) chứa sao cho góc giữa (P) và mặt phẳng (Oxy) là nhỏ nhất.
x +1 y 2 z +1
=
=
b)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng d :
và điểm A(2;-1;0).
1
1
1
Hãy viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa A và song song với d sao cho góc giữa (P) và mặt phẳng

(Oxy) là nhỏ nhất.
1.a)Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng :

3


Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.
x 1 y + 2 z
=
= . Lập phơng trình
2.a) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng :
1
1
2
mặt phẳng (P) chứa sao cho góc giữa (P) và trục Oy là lớn nhất.
b) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;-1) và mp ( P ) : 2 x y + z + 2 = 0 . hãy viết
phơng trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với ( P ) sao cho nó tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
x2 y 3 z 4
=
=
c) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng :
. Lập phơng trình
1
2
3
x 1 y 1 z 1
=
=
mặt phẳng (P) chứa sao cho góc giữa (P) và ng thng d :
là lớn nhất.

2
1
2
x 1 y + 2 z
x + 2 y 1 z
=
= ;d ':
=
= v mt phng ( P ) : x + 2 y + 2 z = 0 .
3. Cho hai ng thng d :
1
2
1
2
1 2
Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d sao cho
a) Gúc gia hai mt phng ( P ), (Q) nh nht.
b) Gúc gia ( P ) v d ' l ln nht.
4. a) Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 1; 2) song song vi ( P ) : 2 x y z + 3 = 0 to
x +1 y 1 z
=
= mt gúc nh nht, ln nht.
vi ng thng d ' :
1
2
2
b) Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 1; 2) song song vi ( P ) : x + y + z 1 = 0 to vi
x +1 y z 4
= =
ng thng d ' :

mt gúc nh nht, ln nht.
2
1
3
x 1 y 2 z + 2
=
=
5. Lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1;0;1) ct ng thng :
to
2
1
1
x3 y 2 z +3
=
=
vi ng thng d ' :
mt gúc nh nht, ln nht.
1
2
2
Dng 3: Mt s bi toỏn cc tr s dng cỏc bt ng thc c bn, kho sỏt hm s.
x +1 y 1 z
=
= . Tỡm im M d
1. Cho cỏc im A(1;0; 1), B (0; 2;3), C ( 1;1;1) v ng thng d :
1
2
2
uuuur uuur
sao cho AM + BC nh nht.

x 1 y z 1
x 2 y z +1
x +1 y 2 z + 3
=
=
; d2 :
= =
; d3 :
=
=
. Lp phng
1
2
1
1
3
2
2
1
1
trỡnh ng thng d vuụng gúc vi d3 , ct d1 , d 2 ti A, B tng ng sao cho di AB nh nht.
x 1 y z + 2
x 1 y + 2 z 2
= =
; d2 :
=
=
3. Cho hai ng thng d1 :
. Lp phng trỡnh ng thng d
2

1
1
1
3
2
song song vi mt phng ( P ) : x + y + z 7 = 0 , ct d1 , d 2 ti A, B tng ng sao cho di AB nh
nht.
4. Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC bit A( a;0;0), B( a;0;0), C (0;1;0), B '( a;0; b)( a, b > 0) .
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BC v AC theo a, b .
b) Cho a, b > 0 thay i tha món a + b = 4 . Tỡm GTLN ca khong cỏch gia hai ng thng BC v
AC.
(D-2004)
x 1 y z 2
= =
5. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đờng thẳng d :
.
2
1
2
a) Tìm toạ độ điểm B là hình chiếu vuông góc của A lên d.
2. Cho ba ng thng d1 :

4


Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.
b) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
(A_2008)
6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;2), B(2;1;1) và đờng thẳng
x +1 y z 2

:
= =
.
2
1
1
a) Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng trình đờng thẳng sao cho khoảng cách từ B
tới đờng thẳng đó là lớn nhất ? nhỏ nhất ?
b) Trong số các đờng thẳng đi qua A và cắt , hãy lập phơng trình đờng thẳng sao cho khoảng cách
giữa nó và d là lớn nhất.
7. Cho mt phng ( P ) : x + 2 y z 1 = 0 v cỏc im A(1;0;0), B (0; 2; 3) . Lp phng trỡnh ng
thng d nm trong ( P ) i qua A sao cho khong cỏch t B ti d l ln nht, nh nht.
8. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1 ;2 ;4),
cắt các tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C tơng ứng (không trùng với gốc toạ độ) sao cho tứ diện OABC
có thể tích nhỏ nhất.
9. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1 ;2 ;3),
cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C tơng ứng (không trùng với gốc toạ độ) sao cho
1
1
1
1
1
9
+
) nhỏ nhất; b) ( 2 +
+
) nhỏ nhất;
a) ( 2 +
2
2

2
OA OB OC
OA OB OC 2
c) (OA + OB + OC ) nhỏ nhất (với A, B, C tơng ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz);
d) (4OA + 2OB + 3OC ) nhỏ nhất (với A, B, C tơng ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz).
10. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x y + 2 z 14 = 0 và mặt cầu
(S ) : x2 + y 2 + z 2 2 x + 2 y + 2 z 3 = 0 .
a) Lập phơng trình mặt phẳng chứa trục Ox sao cho nó cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn có bán kính
lớn nhất ? Có bán kính bằng 2 ?
b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) là lớn nhất ? Nhỏ nhất ?
(B-2007)
x

2
y

2
z
+
3
=
=
11. Cho mt cu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 4 x + 4 y 8 z 1 = 0 v ng thng d :
. Cmr:
1
3
2
(d ) ct ( S ) ti hai im A, B phõn bit. Lp phng trỡnh mt phng ( P ) i qua A, B v ct mt cu ( S )
theo mt ng trũn cú bỏn kớnh ln nht.
(DB-2010)

(
P
)
:
x

2
y
+
z
+
3
=
0
A
(0;1;
2), B(2;0;1)
12. Lp phng trỡnh mt cu cú tõm thuc mt phng
, i qua
v ct mt phng (Oxy) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht.
(DB-2010)
x 1 y x 2
= =
13. Cho A(1;0;0), B(2; 1; 2), C (1;1;3) v ng thng d :
. Lp phng trỡnh mt cu
1 2
2
cú tõm thuc (d ) , i qua A v ct mt phng (ABC) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh nh nht.
(DB-2009)
14. Lp phng trỡnh ng thng (d ) i qua im M (0;0;1) , nm trờn mt phng ( P ) : x + y + z 1 = 0

v ct mt cu ( S ) : ( x 3) 2 + ( y 2) 2 + ( z 2) 2 = 16 theo mt on thng cú di nh nht.
15*. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + ( z 3) 2 = 9 có tâm I và hai đx = 1
x = 1
, 2 :
ờng thẳng 1 :
.
z = 0
z = 2
a) Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa 1 sao cho nó cắt (S) theo một đờng tròn (C) để thể tích của khối
nón đỉnh I, mặt đáy là hình tròn (C), là lớn nhất.
b) Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa 2 sao cho nó cắt (S) theo một đờng tròn (C) để thể tích của
khối nón đỉnh I, mặt đáy là hình tròn (C), là lớn nhất.
5


Trng Trng Khỏnh_THPT Chuyờn s Phm. ST: 0989.245.256.
16. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;1), B(-1;-2;-3), C(1;0;-3) và mặt cầu
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x + 2 z 2 = 0 . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD là lớn
nhất.
17. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, hãy lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với hai đờng thẳng
x y2 z+4
x + 8 y 6 z 10
1 : =
=
, 2 :
=
=
sao cho nó có bán kính nhỏ nhất.
1
1

2
2
1
1
18*. Cho A(4;1; 2), B(1; 4; 2), C (1;1;5) v ng trũn ( K ) l giao ca mt phng ( P ) : x + y + z 7 = 0
vi mt cu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 y 4 z 3 = 0 . Cmr: A, B, C ( K ) v tam giỏc ABC u. Tỡm
M ( K ) sao cho MA + MB + MC ln nht.

6